Gọi trung điểm của BH lµ P.. Trung ®iÓm cña AH lµ Q.[r]
Trang 1đề thi học sinh giỏi môn thi : toán
(Thời gian 150 phút ) Đề số 2
Bài 1: (3 đ) Giải các phơng trình:
a 4 x x 2 x2 6x 11
b
x-3
c 4 x 1 4 1 x4 1 x2 3
Bài 2: (4 đ)
a Cho biểu thức:
b Tìm nghiệm nguyên dơng của phơng trình:
x3y+xy3-3x2-3y2 =17
c Tìm mọi cặp số nguyên dơng (x; y) sao cho x4 +2
x2y+1 là số nguyên dơng.
Bài 3: (3 đ)
a Với a > 0 ; b > 0 cho trớc và x,y > 0 thay đổi sao cho :
a
x+
b
y=1 Tìm x,y để x + y đạt giá trị nhỏ nhất.
b Cho x, y, z là các số dơng thoả mãn xyz =1
Tìm GTNN của biểu thức :
E = 1
x3
(y +z )+
1
y3
(z+ x)+
1
z3
(x + y) .
Bài 4: (2 đ) Cho tam giác vuông ABC (Â= 900) có đờng cao AH Gọi trung điểm của
BH là P Trung điểm của AH là Q
Chứng minh : AP CQ
Bài 5: (3 đ) Cho đờng tròn (o) nội tiếp tam giác đều ABC Một tiếp tuyến của đờng
tròn cát các cạnh AB và AC theo thứ tự tại M và N
a Chứng minh rằng: MN2 AM2AN2 AM AN.
b Chứng minh rằng: NM AN 1
MB NC
Bài 6:(3 đ) Giải hệ phơng trình: a {x2+y2+ xy=1
x3
+y3
=x +3 y ; b
¿
2 x2− y2+xy + y −5 x+2=0
x2
+y2
+x + y − 4=0
¿ {
¿
Bài 7:(2 đ) Chứng minh bất đẳng thức sau:
1
1+x2+
1
1+ y2≥
2 1+xy với x ³ 1, y ³ 1
Đáp án:
Bài 1: Giải các phơng trình sau;
a 4 x x 2 x2 6x 11
đặt A = 4 x x 2 (A ³0)
Trang 22 2 2 (4 )( 2) 2 (4 ) ( 2) 4
A x x x x
Đặt B = x2 6x 11 ( x 3)2 ³ 2 2 (2)
Để A = B khi va chỉ khi : 4-x = x-2 x 3
Vậy nghiệm phơng trình x = 3
b
x-3
x+3 (1) ĐK: x 3 hoặc x ³3
đặt
x-3 (x+3)
x+3 y (2) y2 (x 3)(x 3)
Từ (1) ta có: y2 5y 4 0 y1 1; y2 4
Với y > 0 do đó x + 3 > 0 x ³3
Với y = 1 thay vòa (2) ta đợc: x2 9 1 x 10
Do x > 3 nên x 10
Với y = 4 thay vào (2) ta đợc: x2 9 16 x 5
Do x ³3 nên x = 5
Vậy nghiệm phơng trình là: x 10; x = 5
b 4 x 1 4 1 x4 1 x2 3 ; ĐK: 1 x 1
Đặt 4 x 1 a (a³ 0); 4 1 x b (b³ 0)
Ta có: 4 a4 b4 ab 3
3
Phải sảy ra đẳng thức khi a= b = 1
Do đó : x = 0
Vậy nghiệm phơng trình x = 0
Bài 2: a Rút gọn biểu thức
ĐK: x ³2
Ta bình phơng 2 vế ta đợc
2 2
2
1
x x
A x
b.phơng trình: x3y + xy3 - 3x2 - 3y2 = 17
(x2 + y2)(xy - 3) = 17 = 17.1
Do x,y nguyên dơng nên x2 + y2>1
Trang 3¿x + y =5
xy=4
¿
¿
¿
x+ y=−5
¿
xy=4
¿
¿
¿
⇔
¿
¿
¿
x=4
¿
y=1
¿
hoặc
¿
¿x=1
¿
¿
y=4
¿
¿
¿
Kết luận:
¿
x=1 y=4
¿ {
¿
hoặc
¿
x=− 4 y=− 1
¿ {
¿
hoặc
¿
x=4 y=1
¿ {
¿
hoặc
¿
x=−1 y=− 4
¿ {
¿
c Đặt x4+2
x2y+1 = a Với a là số nguyên dơng thì
x4 + 2 = a(x2y + 1) x2(x2- ay) = a - 2 (1)
Xét 3 trờng hợp sau :
TH1: Nếu a = 1 thì từ (1) ta có : x2(x2- y) = - 1
{ x2 =1
1 − y=−1 {x=1 y=2
TH2: Nếu a = 2 thì từ (1) có x2(x2- 2y) = 0, suy ra x2 = 2y nên có nghiệm x = 2k, y = 2k2 với k là số nguyên dơng
TH3: Nếu a > 2 thì từ (1), có a – 2 > 0 và (a – 2) chia hết cho x2
nên a – 2 ³ x2 a ³ x2 + 2 > x2
Từ đó 0 < x2- ay < x2- x2y 0 Điều này không xảy ra
Vậy: Cặp số nguyên dơng (x; y) thoả mãn đề ra là :
(1; 2) và (2k; 2k2) với k là số nguyên dơng
Bài 3: a áp dụng BĐT Bu_ nhi_ a_ cốp_ xki ta có :
x+ y=(√x2+√y2)( √ (a x)2+√ (b y)2)≥(√x √a x+√y √b y)2
hay x+ y ≥(√a+√b)2
Trang 4I Q
B
A
Dấu “=” xảy ra khi :
√x
√a x
=√y
√b y
hay : x
√a=
y
√b=
x+ y
√a+√b=√a+√b
Tức là : khi x=√a(√a+√b) ; y=√b(√a+√b)
Vậy min (x+y) = (√a+√b)2 khi : x=√a(√a+√b)
y=√b(√a+√b)
b Đặt a = 1
x , b =
1
y , c =
1
z abc =
1
x + y = c(a + b)
y + z = a(b + c)
x + z = b(c + a)
E = a2
b+c +
b2 c+a +
c2 a+b
Dễ dàng chứng minh đợc a
b+c +
b c+a +
c a+b ³
3 2
Nhân hai vế với a + b + c > 0
a(a+b+c )
b+c +
b(a+b+c )
c +a +
c(a+b+c) a+b ³
3
2 (a+b+c)
a2
b+c +
b2 c+a +
c2 a+b ³
a+b+c
3⋅3
√abc
3 2
E ³ 3
2
Dấu "=" xảy ra a = b = c = 1
Vậy min E = 3
2 khi a = b = c = 1
Bài 4:
Gọi I là giao điểm của CQ và AP
Ta có : CAH = ABH (1) ( 2 góc có cạnh tơng ứng vuông góc)
Hai tam giác vuông CAH và ABH có 1 góc nhọn bằng nhau
⇒ ΔCAH ~ Δ ABH ⇒AB
BH AH
⇒AB
2 BP
BP
AQ (2)
Từ (1) và (2) ⇒ Δ ABP ~ ΔCAQ (c.g.c)
⇒AP
BP
BP
PH
PH QH
⇒ Δ HCQ ~ ΔHAP (cạnh góc vuông và cạnh huyền tơng ứng tỉ lệ)
⇒ HAP = HCQ
Xét tam giác IQA và HQC có : Q1 = Q2 (đối đỉnh)
HAP = HCQ ( chứng minh trên)
⇒ Δ IQA ~ Δ HQC⇒ AIQ = CHQ = 900
Trang 5K
E D
H
N M
C B
A
o
hay : AI CQ (đpcm)
Bài 5:
a Đặt AB = AC = BC = a; AM = x; AN = y; MN = z
Hạ đờng cao NH AB (HAB)
Trong tam giác vuông ANH (H 900)
Có A 600 ANH 300 2
y AH
;
3 2
y
NH
2
y
HM x
; theo định lý Py-ta-go ta có:
MN HM NH x x y xy
Hay MN2 AM2AN2 AM AN. (đpcm)
b.Ta có: MD = MK; NE = NK (t/c tiếp tuyến)
AM AN MN AD AE a
Ta phải c/m: AM N 1
a x a y y z x z
x x z( ) y y z( ) ( x z y z )( ) x2xz y 2yz xy xz zy z 2
x y z
( c/m câu a)
Vậy AM N 1
BM CN (đpcm)
Bài 6:
Giải hệ phơng trình
{x2+y2+ xy=1(1)
x3+y3=x +3 y (2)
Từ (1) ta có PT (2) có dạng : x3
+y3 = (x+3 y)(x2+y2+ xy )
⇔ x3
+y3
¿x3 +xy 2
+x2y +3 x2y +3 y3 +3 xy 2
⇔ 4 x2y+4 xy2 +2 y 3 =0
⇔2 y (2 x2 +2 xy + y 2 )=0
x+ y¿2
x2+ ¿ =0
⇔2 y¿
⇔
y=0
¿
x+ y¿2=0
¿
¿
x2+ ¿
¿
¿
⇔
y =o
{y=− x x =0
¿
⇔
y=o
{x=0 y=0
¿
+ Với y = 0 thay vào (1) ta đợc x2=1 ⇔ x ± 1
+ Với x = 0, y = 0 thay vào (1) không thỏa mãn ⇒ x= 0, y = 0 loại
Vậy hệ phơng trình có 2 nghiệm (x,y) là (1,0) và (-1,0)
b Giải hệ:
¿
2 x2
+xy − y2−5 x+ y − 2=0 (1)
x2+y2+x + y − 4=0(2)
¿ {
¿
Trang 6Tõ (1) 2x2 + (y - 5)x - y2 + y + 2 = 0
y −1¿2
¿
⇒
¿
x= 5 − y −3 ( y − 1)
¿
x= 5− y +3( y −1)
y +1
2
¿
¿
y − 5¿2− 8(− y2+y+2)=9¿
¿
¿
¿Δ x= ¿
* Víi: x = 2 - y, ta cã hÖ:
¿
¿x=2− y
x2
+y2
+x + y −4=0
¿
⇔
¿x=2− y
y2− 2 y +1=0
⇔ x= y=1
¿ {
¿
*Víi x= y+1
2 , ta cã hÖ:
¿
¿x= y +1
2
x2+y2+x + y −4=0
¿
⇔
¿y=2 x − 1
5 x2− x −4=0
⇒
¿
x=−4
5
y=−13
5
¿
¿ {
¿
VËy hÖ cã 2 nghiÖm: (1;1) vµ (−4
5;−
13
5 )
Bµi 7: Ta cã 1
1+x2+
1
1+ y2−
2 1+xy=(1+ x1 2−
1 1+ xy)+(1+ y1 2−
1 1+xy)
= xy − x2
(1+x2)(1+xy)+
xy − y2
(1+ y2)(1+xy)
= x ( y − x )(1+ y2
)+y (x − y )(1+x2
) (1+ x2 )(1+ y 2 )(1+xy)
Trang 7= (y − x)[x (1+ y2
)− y (1+x2
)]
(y − x)(x +xy2− y − yx2
) (1+x 2
)(1+ y2 )(1+xy)
=
y − x¿2(xy −1)
¿
¿
(y − x)[xy ( y − x )−( y − x)]
(1+x 2 )(1+ y 2 )(1+xy) =¿
(V× x ³ 1, y ³ 1)