’ chính phương, các hệ số là số nguyên nên các nghiệm của phương trình là số hữu tỉ... chia hết cho 60 với mọi số tự nhiên n.[r]
Trang 1PHỊNG GIÁO DỤC VÀ ĐT
HUYỆN BÁ THƯỚC ĐỀ THI GIÁO VIÊN GIỎI CẤP HUYỆN
Mơn: Tốn
Năm học: 2011 – 2012 Thời gian làm bài: 150 phút (Khơng kể thời gian giao đề)
Bài 1 :( 4.0 điểm)
Cho biểu thức: M = (x4x − x2− 12+1−
1
x2+1).(x4
+1− x4
1+x2)
a, Tìm x để M xác định
b) Rút gọn biểu thức M rồi tìm giá trị nhỏ nhất của M.
c) Tìm x để M nhận giá trị nguyên.
Bài 2: (4.0 điểm)
a.Giải phương trình: x2 +5 x −√x2
+5 x +4=− 2
b.Giải hệ phương trình: { x2+y2=11
x +xy+ y=3+4√2
Bài 3: (4.0 điểm)
a Chứng minh phương trình (n+1)x2 + 2x - n(n+2)(n+3) = 0 luơn cĩ nghiệm hữu tỉ với mọi số n nguyên
b Gọi x1, x2 là nghiệm của phương trình x2 + 2009x + 1 = 0
x3, x4 là nghiệm của phương trình x2 + 2010x + 1 = 0
Tính giá trị của biểu thức: (x1+x3)(x2 + x3)(x1-x4)(x2-x4)
Bài 4: ( 6 điểm)
Cho đường trịn (O) và điểm A nằm ngồi đường trịn Vẽ các tiếp tuyến AB,
AC với đường trịn (B, C là các tiếp điểm) Đoạn thẳng AO cắt đường trịn (O) tại M Trên cung nhỏ MC của (O) lấy điểm D AD cắt (O) tại điểm thứ hai E I là trung điểm của DE Đường thẳng qua D vuơng gĩc với BO cắt BC tại H và cắt BE tại K
a Chứng minh bốn điểm B, O, I, C cùng thuộc một đường trịn
b Chứng minh ICB = IDK
c Chứng minh H là trung điểm của DK
Bài 5: ( 2 điểm)
Cho A(n) = n2(n4 - 1) Chứng minh A(n) chia hết cho 60 với mọi số tự nhiên n
Trang 2
HUYỆN BÁ THƯỚC Môn: Toán
HƯỚNG DẪN CHẤM
Bài 1:(4.0 điểm)
a, VÌ : x4 – x2 + 1 = (x2−1
2)2+ 3
4 > 0 ; x2 + 1 > 0 với mọi x
=> biểu thức đã cho xác định với mọi x
0,5đ
b, Ta có: M = (x4x − x2− 12
+ 1−
1
x2 +1).(x4+1− x4
1+x2 )
= x4−1 − x4+x2−1
x6+1 .
x6
+x4 +1 − x 4
1+x2
0,5đ
¿x2−2
x6
+ 1.
x6+ 1
x2
+ 1=
x2−2
x2
+ 1
0,5đ
Vậy : M ¿x2−2
x2+ 1
0,25đ
Ta có: M ¿x2−2
x2+1 = 1 - 3
x2+1 Vì x2 + 1 1 Dấu “=” xảy ra khi x = 0
0,25đ
Do đó: M = 1 - 3
x2 +1 1 - 31 = - 2 Vậy Mmin = - 2 khi x = 0
0,5đ
c Tìm x để M nhận giá trị nguyên
Để M nhận giá trị nguyên thì 3
x2 +1 nhận giá trị nguyên
<=> x2 + 1 là ước dương của 3 <=> x2 + 1 = 1
<=> x = 0
x = ±√2
0,5đ Vậy với x = 0 ; x = ±√2 thì M nhận giá trị nguyên 0,25đ
Bài 2: (4.0 điểm)
Giải phương trình:
a x2+5 x −√x2+5 x +4=− 2
x2+5 x +4 −√x2+5 x +4=2
Đặt y=√x2+5 x + 4 (y 0) được: y2 - y - 2 = 0 0,5đ Giải phương trình được: y1 = -1 (loại); y2 = 2 0,5đ
Trang 3Với y = 2 giải √x2+5 x+ 4=2 được x1 = 0; x2 = -5 0,5đ Thử lại (hoặc đối chiếu với điều kiện) kết luận nghiệm 0,5đ Ghi chú: Có thể đặt y = x2 + 5x Lúc này cần đặt điều kiện khi bình phương
hai vế
b.Giải hệ phương trình: { x2+y2=11
x +xy+ y=3+4√2
- Đặt S = x + y; P = xy được: { S2− 2 P=11
- ⇒ S2
- Giải phương trình được S1=3+√2 ; S2=− 5−√2 0,25
- S1=3+√2 được P1=3√2 ; S2=− 5−√2 được P2=8+5√2 0,25
- Với S1=3+√2 ; P1=3√2 có x, y là hai nghiệm của phương trình:
- Với S2=− 5−√2 được P2=8+5√2 có x, y là hai nghiệm của phương
trình:
X2+( 5+√2) X +8+5√2=0 Phương trình này vô nghiệm
0,25
- Hệ có hai nghiệm: {y= x=3√2 ; {x =√2
Bài 3: (4.0 điểm)
a.Chứng minh Phương trình (n+1)x2 + 2x - n(n+2)(n+3) = 0 luôn có nghiệm hữu tỉ với mọi số n nguyên
n =-1: Phương trình có nghiệm
Với n -1 n+10
’= 1+ n(n+2)(n+3)(n+1)
= 1+ (n2 + 3n)(n2+3n+2) = (n2 + 3n)2 + 2(n2 + 3n) + 1 =(n2 + 3n + 1)2
0,5đ
0,5đ
’ chính phương, các hệ số là số nguyên nên các nghiệm của phương trình là
b Gọi x1, x2 là nghiệm của phương trình x2 + 2009x + 1 = 0
x3, x4 là nghiệm của phương trình x2 + 2010x + 1 = 0
Tính giá trị của biểu thức: (x1+x3)(x2 + x3)(x1-x4)(x2-x4)
Giải:
Có: x1x2 = 1 x3x4 = 1 x1+x2 = -2009 x3 + x4 = -2010 0,5đ Biến đổi kết hợp thay: x1x2 = 1;x3x4 = 1
Trang 4= (x2x3 - x1x4 )(x1x3-x2x4 )
= x1x2x32 - x3x4x22 - x3x4x12+x1x2x42
= x32 - x22 - x12 + x42
= (x3 + x4 )2 - 2x3x4 -( x2+ x1)2 + 2x1x2 = (x3 + x4 )2 -( x2+ x1)2
0,5đ Thay x1+x2 = -2009; x3 + x4 = -2010 được : 20102 - 20092 =2010+2009 =4019 0,5đ Ghi chú: Cĩ thể nhân theo nhĩm [(x1+x3)(x2 + x3)].[(x1-x4)(x2-x4)]
Bài 4: ( 3.0 điểm)
a, OB BA; OC CA ( AB, AC là các tiếp tuyến)
OI IA (I là trung điểm của dây DE)
B, O, I, C cùng thuộc đường trịn đường kính AO
0,5đ 0,5đ 0,5đ
ICB = IAB ( Cùng chắn cung IB đường trịn đường kính AO) (1)
DK // AB (Cùng vuơng gĩc với BO)
Từ (1) và (2) được: ICB = IDK
0,5đ 0,25đ 0,25đ 0,5đ
ICB = IDK hay ICH = IDH Tứ giác DCIH nội tiếp
HID = HCD
HCD = BED (Cùng chắn cung DB của (O))
HID = BED IH // EB
IH là đường trung bình của tam giác DEK H là trung điểm của DK
0,5đ 0,25đ 0,5đ 0,25 0,5đ
Bài 5: ( 1.0 điểm)
Chứng minh A(n) = n2(n4 - 1) chia hết cho 60 với mọi số tự nhiên n
- A(n) = n.n(n2 - 1)( n2 + 1) = n.n(n - 1)(n+1)( n2 + 1) Do n(n - 1)(n+1)
chia hết cho 3 nên A(n) chia hết cho 3 với mọi n 0,25
- A(n) = n2(n4 - 1) = n(n5 - n) Do n5 - n chia hết cho 5 theo phecma nên
- Nếu n chẵn n2 chia hết cho 4 A(n) chia hết cho 4 Nếu n lẻ (n-1) 0,25
O A
B
C
I
K H
M
Trang 5(n+1) là tích hai số chẵn nên nó chia hết cho 4 A(n) chia hết cho 4 với
mọi n
- Ba số 3,4,5 đôi một nguyên tố cùng nhau nên A(n) chia hết cho 3.4.5 hay