TH cac bai toan ve PTLG lop 11

Ta chia hai vế của phương trình cho cosx với lũy thừa bạc cao nhất - Chuyển phương trình đã cho thành phương trình chứa một hàm số lượng giác tanx.. Sau đó đặt t=tanx - Phương trình đã c[r]

Trang 1

I PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT ĐỐI VỚI SINX VÀ COSX

A NHẬN DẠNG :

* Là phương trình có dạng : a.sinx+b.cosx=c

B CÁCH GIẢI

1 Chia hai vế phương trình cho : a2b2 0

c

3 Đặt :

sin a ; os =c b ; os =c c ;d/k:c a b

4 Khi đó phương trình trở thành :s inx.sin +cosx.cos =cos    cos x- cos

k Z

C MỘT SỐ BÀI TẬP ÁP DỤNG Bài 1 Giải các phương trình sau :

a

2 sin os 3 osx=2

1 2sin osx

3

1 2sin 1 sinx

x c x





c sinx+cosxsin2x+ 3 os3x=2 cos4x+sinc  3x

d 3 os5x-2sin3xcos2x-sinx=0c

Bài 2 Giải các phương trình sau :

a 4 sin 4 x c os4x 3 sin 4x2

b 2 2 sinx+cosx osx=3+cos2x c

c cos 2x 3 sin 2x 2 sinx+cosx  d sin4 x c os4x2 3 sinxcosx+1

a

x  x   x c x  c x  

b 2sin 4x16sin osx 3cos 23x c  x5 c

3

1 sin 4 os sin

a sin 8x c os6x= 3 sin 6 x c os8x b cos7x-sin5x= 3 os5x-sin7xc 

c 3sin 3x 3 os9x=1+4sin 3c 3 x d 3 os5x+sin5x-2cos2x=0c

II PHƯƠNG TRÌNH : BẬC NHẤT - BẬC HAI ĐỐI VỚI MỘT HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC

I ĐỊNH NGHĨA :

*Là phương trình có dạng :

Trang 2

2 2 2 2

os sin 0

.cot cot 0

   (1) Với u=u(x)

II CÁCH GIẢI :

- Đặt :

  2

osu=t t 1

0 2 tan

cot

c





- Giải phương trình (2) để tìm t

- Kiểm tra điều kiện đối với t , để chọn t phù hợp

- Sau đó giải phương trình : u=u(x)=t

III MỘT SỐ BÀI TẬP ÁP DỤNG Bài 1 Giải các phương trình sau :

a

cos3x+sin3x

1 2sin 2x c

 



  b cos 3 os2x-cos2 x c 2x 0

b

    d 4.s inxcosx+3sin2x6sinx

Bài 2 Giải các phương trình sau

a sin 32 x c os 42 xsin 52 x c os 62 x b

x c



c tan 2x 2 tan 2x 2 2

    d 5.s inx-2=3 1-sinx tan x  2

a

2sin 3 2cos3

c

b

osx 2sinx+3 2 2cos 1

1

1 sin 2

x





c

cos os os sinx.sin sin

x

d 4cos3x3 2 sin 2x8cosx

a cos 2x 4 cos 2x-4 4sinx 2 2 1 sinx 

b 3cot2x2 2 sin2x2 3 2 osx c

c

4sin 2 6sin 9 3cos 2

0 osx

c



c Cho :

( ) sinx+ sin 3 sin 5

Hãy giải phương trình : f'(x)=0

Trang 3

a

2 5

sin 5cos sin

x



b sin 2 cotx xtan 2x 4 cos2x

c

2 6 2cos 1 3cos

 

d

3 tan t anx-1

4

a

4 sin 2 os 2

os 4





4

d

2

c

2 cot t anx+4sin2x=

sin2x

x 

c 1 t anx 1 sin 2    x  1 t anx d sin 4x t anx

a

x x  x  

sinx 3 2 2cos 2sin 1

1

1 sin 2

x





c 4cos4x3 2 sin 2x8cosx d

2 4

cos os 3

x



a sin 2x 2 sin x 4 0



2cos 1 3cos

 

c 3cos 4x 2cos 32 x1 d 3tan2x-4tan3x=tan 3 tan 22 x x

a

8

b

c

os sin 1

tan 2

os sin 4

x





 d cos2x c os 22 x c os 32 x c os 42 x2

III PHƯƠNG TRÌNH ĐỐI XỨNG THEO SINX, COSX

I NHẬN DẠNG :

* Là phương trình có dạng : a( sinx+cosx)+bsinx.cosx=c (1)

II CÁCH GIẢI

- Đặt t= sinx+cosx , điều kiện : t  2

Trang 4

- Tính : sinxcosx=

2

- Giải phương trình (2) tìm t Sau đó kiểm tra điều kiện đối với t , chọn t thích hợp

- Cuối cùng giải : sinx cosx= 2 sin x 4 t0



III MỘT SỐ BÀI TẬP ÁP DỤNG : Bài 1 Giải các phương trình sau :

a sinx+sin2x c os3x0 b

sin os 1 sin 2

2

c 2 sinx+cosx  t anx+cotx d 3 cot x c osx 5 t anx-sinx  2

a

2

3 1+sinx

x x



  b 2sin3x sinx=2cos3x c osx+cos2x

c sinxsin2 xsin3xsin4x c osx+cos2x c os3x c os4x

tan x 1 sin x cos x1 0

b 2sinxcotx2sin 2x1

c Cho phương trình : msinx+cosx+1  1 sin 2x

Tìm m để phương trình có nghiệm thuộc đoạn 0;2



 

 

 

Bài 4 Cho phương trình : cos3xsin3x m sin cosx x

a Giải phương trình khi m= 2

b Tìm m để phương trình có nghiệm

Bài 5 Cho phương trình :  

sinx+cosx 1 t anx+cotx+ 0

m

c

a Giải phương trình với m=1/2

b Tìm m để phương trình có nghiệm trên khoảng 0;2



 

 

 

3 2

os 2 2 sinx+cosx 3sin 2

a Giải phương trình f(x)=0 khi m=-3

b Tìm GTLN và GTNN của f(x) theo m Tìm m để  

2 ( ) 36

Bài 7 Giải các phương trình :

a cos 2x 5 2 2  cosx sinx-cosx   b cos3xsin3x c os2x

c 3tan2 x4 tanx4 cotx3cot2 x 2 0

d tanxcotxtan2xcot2xtan3 xcot3x6

Bài 8 Cho phương trình : cos3x sin3x m

a Giải phương trình với m=1

Trang 5

b Tìm m sao cho phương trình có đúng hai nghiệm thuộc đoạn 4 4;

 



Bài 9 Cho phương trình :

2 cos 2xsin xcosxsinxcos x m s inx+cosx

b Tìm m để phương trình có ít nhất một nghiệm thuộc đoạn 0;2



 

 

 

2 2

1 cot t anx+cotx 2 0

a Giải phương trình với m=

5 2

a sin3x c os3xsinx-cosx b sin 2x 2 sin x 4 1



c sin2x-12(sinx-cosx)+12=0 d

sinx+cosx

1 sin 2x1 

a

3 3

1 os2x 1 os

1 os2x 1 sin



  b 5 sinx+cosx sin 3x c os3x=2 2 2 sin 2  x

c sin2 xcosx c os2x+sinx=cos sin2x x c osx

d 4sin3x1 3sin x 3 os3xc

2 2

3 3tan t anx+cotx 1

VI PHƯƠNG TRÌNH ĐẲNG CẤP BẬC HAI -BẬC BA ĐỐI VỚI SINX,COSX

1 Nhận dạng :

* Là phương trình có dạng :

a.sin sin cos sin cos cos 0





2 Cách giải :

- Nhận xét : cosx=0 có là nghiệm hay không Nếu là nghiệm , giải viết nghiệm

- Khi cosx Ta chia hai vế của phương trình cho cosx (với lũy thừa bạc cao nhất)

- Chuyển phương trình đã cho thành phương trình chứa một hàm số lượng giác tanx Sau đó đặt t=tanx

- Phương trình đã cho trở thành dạng f(t)=0 ( Bậc hai , bậc ba đối với t)

Trang 6

3 Một số bài tập áp dụng : Bài 1 Giải các phương trình sau :

a sin3x 3 osc 3xsinxcos2x 3 sin2xcosx

b sin2xt anx+1 3sinx c osx-sinx3

a

3

  b sinx c osx-4sin3x0

c cos2x 3 sin 2x 1 sin2 x d cos3x 4sin3x 3cos sinx 2 xs inx=0

a 3cos4x 4sin2xcos2xsin4 x0 b sin sin 2x xsin 3x6cos3x

c

2

c

d sin3x +cos3x +2cosx=0

a

3 5sin 4 osx 6sin 2cos

2cos 2

x c

x

b sinx-4sin3x c osx=0

c tan sinx 2 x 2sin2x3 os2x+sinxcosxc 

Bài 5 Cho phương trình :

4 6 msin3x3 2 m1 sinx+2 m-2 sin   2 xcosx 4m 3 osx=0c

b Tìm m để phương trình có nghiệm duy nhất thuộc đoạn 0;4



 

 

 

a cos3xsinx-3sin cos2x x0 b 1 t anx=2 2 s inx

a sin3x c os3xsinx-cosx b sin2x1 t anx  3sinx c osx-sinx3

c sin3x sin2xcosx 3sin cosx 2x3cos3x0

d 3tan2 x4 tanx4 cotx3cot2 x 2 0

V PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC KHÔNG MẪU MỰC

A TỔNG CÁC HẠNG TỬ KHÔNG ÂM

1

( ) 0 ( ) ( ) 0

( ) 0

( ) 0 ( ) ( ) ( ) 0

( ) 0

n n

n

f x

g x

f x













BÀI TẬP ÁP DỤNG

Trang 7

a 4sin2x 2 3 t anx+3tan2x 4sinx 2 0 b.tan2 xtan 22 xcot 32 x1

c.4cos2 x3tan2x 4 3 osx+2 3 t anx+4=0c d  

sin sin sin

4

a

sin sin 3 sinx.sin 3

4

b 3cot2x4cos2x 2 3 cotx 4cosx 2 0

c 8cos 4 os 2x c 2 x 1 cos3x 1 0 

sin os3xsin sin 3 cos sinxsin 3

3sin 4

x

B PHƯƠNG PHÁP ĐÁNH GIÁ HAI VẾ

I.NHẬN DẠNG :

II MỘT SỐ BÀI TẬP ÁP DỤNG :

1 Dạng 1.

a cos3x+ 2-cos 32 x 2 1 sin 2  2 x

b sin3x c os3x 2 sin4x

b 3 cosx cosx+1 2 d

tan cot 2sin

4

a.cos13xsin14x1 b 2 2cos x 2 sinx x x 2 0

2 Dạng 2.

a 4cosx 2cos 2x c os4x=1 b

1

sinxcos2xcos3x

c cos 3 cos 22 x x c os2x0 d  

2 os4x-cos2x 5 sin 3

Bài 4 Giải các phương trình sau "

a sinx c osx= 2 2 sin 3  x b tanx+tan2x=-sin3xcos2x



a

Trang 8

b

c

MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC KHÁC Bài 1 Giải các phương trình lượng giác sau:

a) cos 2 x+cos 3 x

sin 2 x =

1

2(tan x+cot x ) c) √1+sin x +√1− sin x=2 cos x

a) sin x cos 4 x − sin22 x=4 sin2(π4−

x

2)−7

2 b) 12tan x − 2

cos x +

5

2=0 c) (4 −6 m)sin3x+3(2 m−1)sin x +2(m−2)sin2x cos x −(4 m− 3)cos x=0 (Biện luận theo m)

a) 1− tan2x=2 tan x tan 2 x b) sin 4 x=2cos2x −1

c) 8 cos4x −cos 4 x=1 d) 1+cos2 x+sin x=2cos2x

2

a) sin22 x +sin24 x=3

2 b) tan x +tan 2 x=sin 3 x cos x

c) tan x − 3 cot x=4 (sin x+√3 cos x ) d) sin3x+cos3x=cos 2 x

a) sin 4 x=tan x b) sin 4 x − 4 sin x −(cos 4 x − 4 cos x)=1

c) 3(cot x −cos x )−5 (tan x − sin x)=2 d) cos 7 x −√3sin 7 x=−√2

a) tan x − 2√2 sin x=1 b) 2 cos3x=sin 3 x

c) tan2x= 1+cos x

6(sin

4x +cos4x )

a)

sin42 x+cos42 x

tan(π4− x)tan(π4+x)=cos

4

4 x

b)

sin6x+cos6x

tan(π4− x)tan(π4+x)

=−1

4

c) cos2 x+sin2x +2 cos x+1=0

Bài 8 Giải các phương trình lượng giác sau:

a) 1 − tan x 1+tan x=1+sin 2 x b) 2√2 sin(π4+x)= 1

cos x +

1

sin x

c) 9 sin x+6 cos x − 3sin 2 x+cos 2 x=8 d) cos 2 x − cos 4 x¿2=6 +2sin 3 x

¿

a) sin 5 x 5 sin x=1 c) Cho phương trình :

sin24 x −cos26 x=sin (10 ,5 π +10 x)

Tìm các nghiệm thuộc khoảng (0 ; π

2)

Trang 9

a) sin8x+cos8x=2(sin10x+cos10x )+5

4cos 2 x b) √3 sin2 x − 2cos2x =2√2+2 cos 2 x

c) sin2x+sin22 x+sin23 x=3

2 d) √3 sin x +cos x= 1

cos x

a) cot 2x

=tan 2x+2 tan 2x+1 b)

2 cos x+√2 sin 10 x=3√2+2 cos 28 x sin x

c) sin 2 x +2 cos 2 x=1+sin x − 4 cos x d) sin 2 x +2 tan x=3

a) (√1− cos x+√cos x)cos 2 x =1

2sin 4 x b) 1

tan x +cot 2 x=

√2(cos x −sin x ) cot x −1

c) sin3

(π4+x)=√2 sin x d)

8√2cos6x +2√2sin3x sin3 x −6√2cos4x − 1=0

a) cos3x +sin3x=sin 2 x +sin x +cos x b) 3 −4 cos2x=sin x (2 sin x +1)

c) 4√3 sin x cos x cos 2 x=sin 8 x d) tan2x cot22 x cot 3 x=tan2x −cot22 x +cot 3 x

a) cos

4 x

2x

√1− tan2x =0

b) sin(3 x − π

4)=sin 2 x sin(π4+x)

c) sin x+cos x=cos 2 x

c) sin 3 x+2 cos 2 x − 2=0 d) sin 3 x −sin x +sin 2 x =0

a) cos 2 x+3 cos x+2=0 b) 3 cos 4 x −2 cos23 x=1

c) 1+3 cos x+cos 2 x =cos 3 x+2sin x sin2 x d) tan x +tan 2 x=−sin 3 x cos2 x

a) tan2x= 1+cos x

2sin 4 x c) tan x +cot x=2(sin 2 x+cos 2 x ) d) 2√2(sin x +cos x )cos x =3+cos 2 x

a) sin4x +sin4(x − π

4)+sin

4 (x + π

4)=

9

8 b) sin 2 x 1+sin x+2cos x =0

a) √3− cos x −√1+cos x=2 b) sin x cos x +2 sin x+2 cos x=2

c) cos x cos 2 x cos 4 x cos8 x= 1

16 d) sin2x+sin23 x=cos22 x+cos24 x

a) sin 3 x(cos x − 2sin 3 x)+cos 3 x (1+sin x − 2 cos 3 x )=0

b) 3 tan3x − tan x+ 3(1+sin x )

2

(π4 −

x

2)=0

Trang 10

a) 2 cos3x=sin 3 x b) cos 2 x −√3 sin 2 x −√3 sin x − cos x+4=0

c) cos2 x=cos2x√1+tan x d) 3 cot2x +2√2sin2x=(2+3√2)cos x

Bài 22 Giải các phương trình sau:

a) tan x − sin 2 x −cos 2 x +2(2 cos x − 1

cos x)=0 b) 4 (sin 3 x − cos 2 x )=5(sin x −1)

c) 2 cos 2 x +sin2x cos x +sin x cos2x=2(sin x+ cos x)

a) tan x sin2x −2 sin2x=3(cos 2 x+ sin x cos x ) b) sin 2 x (cot x + tan2 x)=4 cos2x

f) 48 − 1

cos4x −

2 sin2x(1+cot 2 x cot x)=0 g) sin6x+cos6x=cos 4 x

c) cos3x +cos2x+2sin x − 2=0 d) 2+cos x=2 tan x

2

a) cos 3 x+√2 − cos23 x=2(1+sin22 x) b) sin x+sin2 x +sin 3 x=0

c) cot x − tan x=sin x+cos x d) sin 3 x+cos 2 x=1+2 sin x cos 2 x

a) 2 cos 2 x −8 cos x +7= 1

cos x b) cos 3 x cos3x −sin 3 x sin3x=cos34 x +1

4 c) 9 sin x+6 cos x − 3sin 2 x+cos 2 x=8 d) sin3x cos 3 x +cos3x sin3 x=sin34 x

a) sin x+sin2x +sin3x+sin4x=cos x +cos2x +cos3x +cos4x

b) 2 sin2x −sin x cos x −cos2x=− 1 c) sin22 x +cos42 x −1

√sin x cos x =0

a) 2 sin3x −cos2 x+cos x=0 b) 1+cos3x − sin3x =sin 2 x

c) 1+cos x +cos2 x+cos 3 x =0 d) cos x +cos 2 x+cos 3 x+cos 4 x=0

e) cos2x+sin3x +cos x =0 f) cos x sin x +¿cos x +sin x∨¿1

a) 2+cos 2 x=−5 sin x b) sin3x+cos3x=2(sin5x+cos5x)

c) sin2x=cos22 x +cos23 x d) 8 cos3(x+ π

3)=cos 3 x

a) ¿sin x − cos x∨+¿sin x+cos x∨¿2 b) 2 sin x +cot x=2 sin 2 x +1 c) cos6x − sin6x=13

8 cos

22 x d) 1+3 tan x=2 sin 2 x

a) sin 3 x=cos x cos 2 x (tan2x +tan2 x) b) 9sin 2

x+9cos 2

x=10 c) 4 cos3x+3√2 sin 2 x=8 cos x d) 1− x2

2 =cos x e) sin3

(x + π

4)=√2 sin x f ) sin 3 x3 =sin 5 x

5

HỆ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC Bài 1 Giải các hệ phương trình lượng giác sau:

Trang 11

a)

tan x tan y=1

3

x+ y = π

3

b) sin x cos y =

1 4

3 tan x=tan y c)

x + y +z=π

tan x tan y=3 tan y tan z=6

d) sin x+sin y=√2

cos x +cos y=√2 e) sin2x=cos x cos y

cos2x=sin x sin y f) tan y − tan x − tan x tan y=1 cos 2 y +

√3cos 2 x=− 1

g)

tan x +cot x=2 sin(π4+y)

tan y +cot y=2sin(x − π

sin x+cos y=√3

2 cos2x+sin2y=5

4

MỘT SỐ DẠNG BÀI TẬP KHÁC Bài 1 Tìm tất cả các nghiệm của phương trình 1− 5 sin x +2 cos2x=0 thoả mãn cos x ≥ 0

Bài 2 Tìm giá trị lớn nhất của hàm số y=sin x√cos x+cos x√sin x

Bài 3 Chứng minh rằng tam giác ABC có ba góc thoả mãn: sin2A +sin2B+sin2C=m Nếu m =

2 thì tam giác ABC vuông, m > thì ba góc A, B, C đều nhọn và nếu m < 2 thì tam giác có góc tù

Bài 4 Cho các góc của tam giác ABC thoả mãn: sin A +sin B+sin C −2 sin A

2 sin

B

2=2 sin

C

2 Chứng minh rằng số đo của góc C là 120o

Bài 5 Hai góc của tam giác ABC thoả mãn điều kiện: tan A

2+tan

B

2=1 Chứng minh rằng: 3

4≤ tan

C

2<1

Bài 6 Biện luận theo tham số a về số nghiệm của PT:

√2− x2sin x+√2+x2cos x=¿a+1∨+¿a −1∨¿

Bài 7 Chứng minh rằng điều kiện cần và đủ để tam giác ABC đều là có hệ thức:

1

sin A +

1

sin B+

1

sin C −(cot A+cot B+cotC )=√3

Bài 8 Chứng minh rằng nếu tam giác ABC thoả mãn điều kiện: cos 2 A +cos 2 B+cos 2 C+1=0

thì tam giác đó là tam giác vuông

Bài 9 Chứng minh rằng trong tam giác có: (b2+c2)sin (C − B)=(c2− b2)sin(C + B) thì tam giác

đó vuông hoặc cân

Bài 10 Tìm giá trị lớn nhất của hàm số: y=5 cos x −cos 5 x trên [− π

4 ;

π

4]

Bài 11 Cho phương trình: m−2 cos x msin x − 2=mcos x −2

m− 2sin x

a) Giải phương trình khi m = 1

b) Khi m≠ 0 và m≠ ±√2 , phương trình có bao nhiêu nghiệm nằm trong đoạn [20 π , 30 π ]

Bài 12 Cho tam giác ABC Chứng minh rằng: 2 b=a+c ⇔cot A

2 cot

C

2=3

Bài 13 Cho tam giác ABC có: 5 tan A

2 tan

B

2=1 Chứng minh rằng: 3 c=2(a+b)

Bài 14 Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số sau: f (x)=2 sin2x+4 sin x cos x+√5

Bài 15 Tìm các giá trị x ∈(0,2 π) sao cho cos x − sin x − cos 2 x >0

Định dạng
Số trang	15
Dung lượng	0,91 MB