b Chứng minh hình chiếu của O trên mặt phẳng ABC trùng với trực tâm của tam giác ABC... a Chứng minh tam giác ABC là tam giác vuông và OA BC.[r]
Trang 1VEC-TƠ TRONG KHÔNG GIAN- QUAN HỆ VUÔNG GÓC-(11NC)
1 Cho tứ diện ABCD Gọi G là trọng tâm của tam giác BCD , Phân tích vec-tơ AG theo 3 vec-tơ AB,
AC
, AD
2 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi Gọi M là điểm trên cạnh AB Mặt phẳng ( ) qua
M và song song với mặt phẳng ( SBC ) cắt CD, SD, SA lần lượt tại N, P, Q.Chứng minh rằng MNPQ là một hình thang
3 Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’ Gọi I, J lần lượt là trung điểm của BB’ và A’C’ Điểm K thuộc B’C’ sao cho KC' 2KB'
Chứng minh rằng bốn điểm A, I, J, K đồng phẳng
4 Cho hình chop S.ABC có SA = SB = SC và ASB
= BSC
= CSA
Chứng minh rằng:
SA BC SB AC SC AB
5 Trong không gian cho 2 tam giác đều ABC và ABC’ có chung cạnh AB và nằm trong 2 mặt phẳng khác nhau Gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm các cạnh AC, CB, BC’, C’A Chứng minh rằng:
a) AB CC'
b) MNPQ là hình chữ nhật
6 Cho tứ diện ABCD có AB, BC, CD đôi một vuông góc và AB = a, BC = b, CD = c
a) Tính độ dài AD
b) Chỉ ra điểm cách đều A, B, C, D
7 Cho tứ diện OABC có 3 cạnh OA, OB, OC đôi một vuông góc OA = a, OB = b, OC = c
a) Chứng minh tam giác ABC có 3 góc nhọn
b) Chứng minh hình chiếu của O trên mặt phẳng (ABC) trùng với trực tâm của tam giác ABC
c) Chứng minh: 2 2 2 2
OH OA OB OC .
8 Tứ diện OABC có OA = OB = OC = a và AOB AOC 600
, BOC 900
a) Chứng minh tam giác ABC là tam giác vuông và OA BC
b) Tìm đường vuông góc chung IJ của OA và BC
c) Chứng minh: ( ABC ) ( OBC )
9 Cho tam giác ABC vuông có cạnh huyền CB nằm trong mặt phẳng (P) Cạnh AB và AC lần lượt tạo với (P) các góc và Gọi là góc tạo bởi (P) và (ABC) Chứng minh: sin2 sin2 sin2
10 Cho lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác vuông tại đỉnh C, CA = a, CB = b mặt bên ABB’A’ là hình vuông Gọi (P) là mặt phẳng qua C và vuông góc với AB’
a) Xác định thiết diện của lăng trụ đã cho khi cắt bởi (P)
b) Tính diện tich thiết diện
11 Cho tứ diện ABCD có tất cả các cạnh bằng nhau, Gọi M và N lần lượt là trung điểm của AB và CD Lấy các diểm I, J, K lần lượt các đường thẳng BC, AC, AD sao cho IB k IC JA k JC KA k KD , ,
trong đó k là số khác 0 cho trước Chứng minh rằng:
a) MN IJ, MN JK
b) AB CD
Trang 212 Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành và SA = SC, SB = SD, Gọi O là giao điểm của AC
và BD
a) Chứng minh : SO ( ABCD )
b) Gọi d là giao tuyến của (SAB) và (SCD) ; d1 là giao tuyến của (SBC) và (SAD) Chứng minh :
1
( , )
SO mp d d
13 Cho hình vuông ABCD Gọi S là điểm trong không gian sao cho SAB là tam giác đều và mp(SAB) vuông góc với mp(ABCD)
a) Chúng minh rằng: ( SAB ) ( SAD SAB ),( ) ( SBC ).
b) Tính góc giữa hai mặt phẳng (SAD) và (SBC)
c) Gọi H và I lần lượt là trung điểm AB và BC Chứng minh: ( SHC ) ( SDI )
14 Cho tứ diện ABCD có cạnh AD vuông góc với mp(DBC) Gọi AE, BF là hai đường cao của tam giác ABC; H và K lần lượt là trực tâm của tam giác ABC và tam giác DBC Chứng minh rằng:
a) ( ADE ) ( ABC ),( BFK ) ( ABC ).
b) HK ( ABC )
15 Trong mặt phẳng (P) , cho hình thoi ABCD với AB = a,
2 6 3
a
AC
Trên đường thẳng vuông góc với mặt phẳng (P) tại giao điểm O của hai đường chéo hình thoi, ta lấy điểm S sao cho SB = a Chứng minh rằng :
a) Tam giác ASC vuông
b) ( SAB ) ( SAD )
16 Cho hình chóp tam giác đều S.ABC cạnh đáy bằng a, đường cao SO = 2a Gọi M là điểm thuộc đường cao AA1 của tam giác ABC Xét mặt phẳng (P) đi qua M và vuông góc với AA1 Đặt AM = x
a) Xác định thiết diện của hình chóp khi cắt bởi mp(P)
b) Tính diện tích thiết diện vừa xác định theo a và x
17 Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh a
a) Tính góc tạo bởi hai đường thẳng AC’ và A’B
b) Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm các cạnh A’B’, BC, DD’ Chứng minh rằng : AC' ( MNP )
18 Cho hình chop S.ABCD có đáy là hinh thoi, A 1200
, BD = a, cạnh bên SA vuông góc với mặt đáy, góc giữa mặt phẳng (SBC) và mặt đáy là 600 Tính:
a) Đường cao của hình chóp
b) Khoảng cách từ A đến mp(SBC)
19 Cho hình chop S.ABC có đáy là tam giác vuông tại C, CA = b,CB = a, cạnh SA=h vuông góc với đáy Gọi D là trung điểm của AB Tính:
a) Góc giữa 2 đường thẳng AC và SD
b) Khoảng cách giữa 2 đường thẳng AC và SD
c) Khoảng cách giữa 2 đường thẳng BC và SD