Cac dang toan lien quan den cuc tri

DẠNG 2: Tìm điều kiện để hàm số có cực trị hoặc có cực trị thỏa mãn điều kiện cho trước.. - Lập bảng biến thiên - Từ bàng biến thiên duy ra các điểm cực trị.[r]

§2 CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ

CÁC DẠNG BÀI TẬP:

DẠNG 1: Tìm cực trị của hàm số.

DẠNG 2: Tìm điều kiện để hàm số cĩ cực trị (hoặc cĩ cực trị thỏa mãn điều kiện cho trước)

 Dạng 1: TÌM CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ

Quy tắc 1:

- Tìm TXĐ của hàm số

- Tính f x'( ) Tìm các điểm tại đĩ f x'( )bằng 0 hoặc f x'( ) khơng xác định.

- Lập bảng biến thiên

- Từ bàng biến thiên duy ra các điểm cực trị.

Quy tắc 2:

- Tìm TXĐ của hàm số

- Tính f x'( ) Giải phương trình f x '( ) 0và ký hiệu x i i 1, 2,3, là các nghiệm của nĩ.

- Tính f x

và f x i

- Dựa vào đấu của f x i

suy ra tính chất cực trị của điểm xi

LUYỆN TẬP

Bài 1: Tìm các điểm cực trị của các hàm số sau:

a) y3x2 2x3

b)

2 3 6 2

y

x





e) y x2 2x5

c)

4

2 3

x

y x 

d) y x x 2 4

f) y x  2x x 2

Bài 2: Tìm các điểm cực trị của các hàm số sau:

a) f x  x x 2

c) f x     x sin 2 x  2

b) f x    2sin 2 x  3

d) f x     3 2cos x  cos 2 x

GIẢI

a) TXĐ: D=R

.

2 0

x x voi x

f x

x x voi x







 Với x 0: f x  2x 2 0 (vì x 0)

 Với x 0: f x  2x 2

, f x   0 x1

Bảng biến thiên: x 0, f x 0

x   -1 0 

y + 0 - +

y 1 0

Kết luận:

o Hàm số đạt cực đại tại x 1, f CD f 1 1

o Hàm số đạt cực tiểu tại x 0, f CT f 0 0

b) TXĐ: D=R

  4cos 2

f x   x  x k  x  k

, k  

Tính:

8sin

voi k n

voi k n

Kết luận:

 HS đạt cực đại tại x 4 n





, f CD f 4 n 1





    

 HS đạt cực tiểu tại 2 1

x  n 

,

3

2

CD

f     n   

c) TXĐ: D = R

  1 2cos 2

f x   x

, k  

  4sin 2

f x  x

Tính: f 6 k 4sin 3 k2 2 3 0

      





là điểm cực tiểu

4sin 2 2 3 0

f   k   k  





là điểm cực đại Kết luận:

+ Hàm số đạt cực đại tại x 6 k





,

3 2

CD

f f   k  k  

+ Hàm số đạt cực tiểu tại x 6 k





,

3 2

CT

f f  k k  

d) TXĐ: D=R

  2sin 2sin 2 2sin 4sin cos 2sin 1 2cos 

x

f x







Xét:

+ f k   2cosk 4cos 2k  2cosk  4 0

 HS đat cực tiểu tại các điểm x k  ,

CT

+

f   k           

 HS đat cực đại tại các điểm

2

2 3

x  k 

CD

f f   k       

 Dạng 2: TÌM ĐIỀU KIỆN ĐỂ HÀM SỐ CÓ CỰC TRỊ

Lưu ý:

1) Để tính giá trị cực trị của hàm bậc 3: f x ax3bx2cx d ta làm như sau:

 

Ax B

  

(*) Gọi xi là nghiệm của pt f x   0 (xi là các điểm cực trị)

0





  

Trong đó x là phần dư của phép chia

 

 

f x

f x

Đường thẳng đi qua 2 điểm cực trị là: y x

( Vì toạ độ của điểm cực trị M x y ; thoả pt f x 0, nên từ (*) ta suy ra

y x )

2) Tính giá trị cực đại, cực tiểu của hàm số:

 

 

2 u x

ax bx c

y

a x b v x

 

   ,

       

  2

u x v x u x v x y

v x

 

 

 

y  u x v x  u x v x 

(1) Gọi xi là các nghiệm của (1), từ (1) ta suy ra:

u x v x  u x v x 

 

 

 

 

u x u x

v x v x





Các giá trị cực trị là:

 

 

 

2

i

y x

Do đó pt đường thẳng đi qua 2 điểm cực trị là:

2ax b

y

a







Bài 1: Cho hàm số: ym 2x3 mx 2

Với giá trị nào của m thì đồ thị của hàm số không có điểm cực đại và điểm cực tiểu

GIẢI

TXĐ: D =

Đạo hàm: y 3m 2 x2  m

Để hàm số không có cực trị thì phương trình y 0 vô nghiệm hoặc có nghiệm kép

  0  0 4.3 m m  2 0  0m2

Bài 2: Cho hàm số: 1 3 2  2 

3

y x  mx  m  m x

Tìm m để hàm số đạt cực tiểu tại điểm x 1

GIẢI

TXĐ: D =

Đạo hàm: y x2 2mx m 2 m1

y 2x 2m

Hàm số đạt cực tiểu tại x 1

 

 

y y





 

2 3 2 0

m







1

m







 Vậy không có giá trị nào của m để hàm số đạt cực tiểu tại x  1

Bài 3: Cho hàm số y x 3  3x2  3x2

a) Tìm cực trị của hàm số

b) Viết phương trình đường thẳng đi qua các điểm cực trị

GIẢI a) TXĐ: D =

Đạo hàm: y x2 6x 3

Cho

x

x

  

 



Chia f x  cho f x , ta được:

3 3

f x  x  x  x  x

Giá trị cực trị là: f x 0 4x0 1

 

1 2 3 4 2

1 2 3 4 2

f

f

   



 

  





Lập bảng biến thiên  CĐ, CT

b) Phương trình đường thẳng đi qua các điểm cực trị là: y4x1

Bài 4: Cho hàm số y x 3 6x23m2x m  6

Xác định m sao cho:

a) Hàm số có cực trị

b) Hàm số có hai cực trị cùng dấu

GIẢI a) TXĐ: D =

Đạo hàm: y 3x2 12x3m2

Cho y  0 x2 4x m  2 0 (*)

4 m 2 2 m



     

Để hàm số có 2 cực trị thì:    0 2 m 0 m2

b) Chia f x  cho f x , ta được:

3 3

f x   x  x m  x  x mx m 

 giá trị cực trị là:

f x  x  mx m  x m m  m x 

Gọi x1, x2là 2 điểm cực trị

Hàm số có 2 cực trị cùng dấu  f x   1 f x2 0

m 2 2  x1 1 m 2 2  x2 1 0

m 2 2 2x1 1 2  x2 1 0

m 2 2 4x x1 2 2x1 2x2 1 0

m 224x x1 2 2x1 x2 1 0

(1)

Mặt khác: 1 2

12 4 3

, x x1 2  m 2

Do đó (1)  m 22 4m2 2.4 1  0

 m 2 2 4m17 0

17 4 2

m m



 



 

 



Kết hợp với điều kiện có cực trị m  2, ta được:

17

2

4 m

  

Bài 5: Cho hàm số: 1 3  1 2 3 2 1

Tìm m để hàm số đạt cực đại, cực tiểu tại x1, x2 thoả x12x2 1

GIẢI

TXĐ: D =

Đạo hàm: y mx2  2m1 x3m 2

Hàm số có 2 cực trị  2  

0

m





 





2

0

m





 

0

m

m







 



Gọi x1, x2 là 2 nghiệm của phương trình y 0 thì:

 

 

 

2

m

m m

x x

m



















 Từ (1) và (2) 1

4 3

x

m

, 2

2 1

x

m

 

Thay vào (3)



2

2 2

3

(Nhận so với điều kiện)

Vậy:

2 2

3

Bài 6: Cho hàm số:

3 2

3 2

x x

y  mx

(ĐH Y - Dược) Tìm m để hàm số đạt cực đại và cực tiểu có hoành độ lớn hơn m

GIẢI

TXĐ: D =

Đạo hàm: y x2 x m

Hàm số đạt cực trị tại những điểm có hoành độ x m 

0

y

  có 2 nghiệm x1, x2 thỏa m x 1 x2

 

0 0 2

y m



 







 

2

1 2

m

m









1 4

1 2

m

m











Vậy  m   2

Bài 7: Cho hàm số: yf x   2x3 3m 1x2 6m 2x 1 (1)

Tìm m để (1) có cực đại, cực tiểu và đường thẳng đi qua 2 điểm cực đại, cực tiểu song song với đường thẳng y  3 x  4

GIẢI

TXĐ: D =

Đạo hàm: y 6x26m1x6m 2

Cho y   0 x2 m 1xm 2 0

Hàm số (1) có cực trị   m 12  4m 2 0  m 32 0 m3

Lấy (1) chia cho 1  

6 f x ta được:

1

6

Phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm cực trị là:

y m x m  m (d)

Để (d) song song với đường thẳng y  3 x  4 thì:

Bài 8: Cho hàm số:

2 3 5 2

x x y

x

 



 a) Tìm cực trị của hàm số

b) Viết phương trình đường thẳng đi qua các điểm cực trị

GIẢI a) TXĐ: D \2

Đạo hàm:  

2

2

2

y

x

 

x

x

  

 



Giá trị cực trị là:

 

0 0 0

2 3 1

o

u x x

y x

v x



 2 3 1 2 3

, y   2 3  1 2 3

Lập bảng biến thiên  CĐ, CT

b) Phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm cực trị là: y  2 x  3

Bài 9: Cho hàm số:

2

x mx m y

x m

 



 m 0 Tìm m để hàm số:

a) Có cực đại và cực tiểu

b) Giá trị cực đại và giá trị cực tiểu trái dấu

GIẢI a) TXĐ: D\ m

Đạo hàm:  

2

2

y

x m

 

Hàm số có cực đại, cực tiểu  (1) có 2 nghiệm phân biệt



b) Hàm số có 2 giá trị cực trị trái dấu khi và chỉ khi:

y 0 có 2 nghiệm phân biệt

Đồ thị không cắt trục ox ( Pt y 0 vô nghiệm)

2

y y

m m





 





Bài 10: Cho hàm số:

2 2 1

1

mx mx m y

x

  



 Tìm m để giá trị cực đại và giá trị cực tiểu của hàm số cùng dấu

GIẢI

TXĐ: D \ 1 

Đạo hàm:  

2

2

1

y

x

 

Hàm số có 2 giá trị cực trị cùng dấu khi và chỉ khi

y 0 có 2 nghiệm phân biệt

y 0 có 2 nghiệm phân biệt (đồ thị cắt trục hoành tại 2 điểm phân biệt)

2

y y

m





 



1

4

4 0

m m









Vậy

1 4

m  