Tìm tọa độ M sao cho đường tròn ngoại tiếp tam giác IAB có diện tích nhỏ nhất.( I là giao điểm của các đường tiệm cận ).. Câu II.[r]
Trang 1TRƯỜNG THPT TRIỆU SƠN 4
ĐỀ THI KHẢO SÁT CHẤT LƯỢNG CÁC MÔN THI ĐẠI HỌC LẦN 21 -NĂM HỌC 2011-2012
MÔN: TOÁN-khối A-B-D (Thời gian: 180’- không kể thời gian giao đề)
PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ CÁC THÍ SINH (7,0 điểm)
Câu I (2,0 điểm) Cho hàm số y= 3 x+2
x+2 có đồ thị (C)
1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số
2 Gọi M là điểm bất kỳ trên (C) Tiếp tuyến của (C) tại M cắt các đường tiệm cận của (C) tại A và B Tìm tọa độ M sao cho đường tròn ngoại tiếp tam giác IAB có diện tích nhỏ nhất.( I là giao điểm của các đường tiệm cận )
Câu II (2,0 điểm) 1.Giải phương trình: 1+sinx
2sin x − cos
x
2sin
2
x =2cos2(π
4−
x
2)
2 Giải hệ phương trình:
2
2
y
x
Câu III(1 điểm): Tính tích phân:
2 3
3
Câu IV (1.0 điểm).Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’ có đáy là tam giác đều cạnh a, đỉnh A’ cách đều các
điểm A, B, C Mặt phẳng (P) chứa BC và vuông góc với AA’ cắt lăng trụ theo một thiết diện có diện
tích bằng a
2
√3
8 Tính theo a thể tích khối lăng trụ ABC.A’B’C’
Câu V (1,0 điểm) Cho a, b, c là ba số thực dương thoã mãn abc = 1 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức :
P
B PHẦN RIÊNG (3 điểm) Thí sinh chỉ được làm một trong hai phần (phần 1 hoặc 2)
1.Theo chương trình Chuẩn
Câu VIa ( 2 điểm)
1.Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho tam giác ABC cân tại đỉnh C biết phương trình đường
thẳng AB là: x + y – 2 = 0, trọng tâm của tam giác ABC là
14 5
;
3 3
G
và diện tích của tam giác ABC
bằng
65
2 (đvdt) Viết phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.
2.Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt phẳng (P) x+ y − z +1=0 và đường thẳng:
d: x −2
y − 1
−1 =
z −1
−3
Gọi I là giao điểm của d và (P) Viết phương trình của đường thẳng Δ nằm trong (P), vuông góc với d sao cho khoảng cách từ I đến Δ bằng 3√2
Câu VIIa (1,0 điểm) : Có bao nhiêu số tự nhiên gồm 7 chữ số mà trong đó chữ số 2 có mặt đúng hai lần,
chữ số 3 có mặt đúng ba lần và các chữ số còn lại có mặt không quá một lần
2 Theo chương trình Nâng cao
Câu VIb ( 2 điểm)
1 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC cân tại A, cạnh đáy BC có phương trình: x+ y + 1 = 0 (d1) phương trình đường cao kẻ từ B là d2 : x -2y – 2 = 0 Điểm M(2; 1) thuộc đường cao
vẽ từ đỉnh C Viết phương trình các cạnh bên của tam giác ABC
2.Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho điểm A(10; 2; -1) và đường thẳng d có phương trình
y
Lập phương trình mặt phẳng (P) đi qua A, song song với d sao cho khoảng cách từ d tới (P) là lớn nhất
Câu VIIb (1,0 điểm): Giải phương trình
4 x x 2x 16.2 x 2x x (x )
.HẾT
Thí sinh không được sử dụng tài liệu Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm
Trang 2TRƯỜNG THPT TRIỆU SƠN
4
HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI KHẢO SÁT CHẤT LƯỢNG CÁC MÔN THI ĐẠI HỌC LẦN 21 -NĂM 2011-2012
Môn: TOÁN-khối A-B-D
Câu I
(2 điểm)
1.(1.0 điểm)
*Tập xác định: R\{-2}
*Sự biến thiên
-Chiều biến thiên:
x+2¿2
¿
¿
y '=4¿
x≠-2 Hàm số đồng biến trên các khoảng (-;-2) và (-2;+) -Cực trị: hàm số không có cực trị
0,25
-Giới hạn và tiệm cận:
lim
x →− ∞ y= lim
x→+ ∞ y =3⇒ y=3 là
tiệm cận ngang của đồ thị
x → −2+ ¿
y=− ∞ ⇒
lim
x →− 2 − y =+ ∞; lim
¿ x=2 là tiệm cận đứng của đồ thị
0,25
Bảng biến thiên
0,25
*
f(x)=(3x+2)/(x+2) x=-2 y=3
-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4
-3 -2 -1
1 2 3 4 5 6 7 8
x y
x=0y=1; y=0x=- 2
3
0,25
2 (1 điểm)
Gọi
M (a ; 3 a+2
a+2 )∈(C),a ≠ −2
Phương trình tiếp tuyến của (C) tại M là:
0,25
x y
’ y
-
+
-
3
3
Trang 3¿
¿
y=4
¿
()Đồ thị:
Đường thẳng d1:x+2=0 và d2 :y-3=0 là hai tiệm cận của đồ thị
d1=A(-2; 3 a− 2
a+2 ¿ ,
d2=B(2a+2;3)
0,25
Tam giác IAB vuông tại I AB
là đường kính của đường tròn ngoại tiếp tam giác IAB diện tích hình tròn S=
a+2¿2
¿≥ 8 π a+2¿2+64
¿
4¿
πAB
2
π
4¿
0,25
Dấu bằng xảy ra khi và chi khi
a+2¿2
¿
⇔
¿
a=0
¿
a=− 4
¿
¿
¿
a+2¿2=16
¿
¿
¿
Vậy có hai điểm M thỏa mãn bài toán M(0;1) và M(-4;5)
0,25
Câu II
(2 điểm)
1.(1 điểm)
⇔1+sin x
2.sin x − cos
x
2.sin
2x=2
1+cos (π
2− x ) 2
⇔1+sin x
2.sin x − cos
x
2.sin
2
x=1+sin x
0,25
⇔sin x (sin x
2− cos
x
2 sin x −1)=0
⇔
sin x=0 ⇔ x=kπ , k∈ Z
¿
sinx
2− cos
x
2 sin x − 1=0
¿
¿
¿
¿
¿
¿
0,25
3
0,25
O
(*)
Trang 4Vậy phương trình đã cho có nghiệm x=k,kZ 0,25
2.(1 điểm)
2
(*) 2
y
x
Điều kiện :
0
x
(*)
0,5
2
2
0.25
2
2 2
x
Vậy hệ có nghiệm duy nhất (2;1)
0,5
Câu III
(1,0 đ)
2
dx
sin
dx
dv
x
2
x
2
2 3 3
*
4 2 |
x
x
Vậy
4 2 3 3
I
0,25
0,25
0,25
0,25
C’
A’
Trang 5C©u IV
( 1 điểm )
- Do A’A = A’B = A’C nên hình chiếu vuông góc của A’ lên (ABC) trùng với
trọng tâm O của tam giác ABC
Gọi H là hình chiếu vuông góc của B lên AA’, Khi đó (P) (BCH) Gọi M là
trung điểm của BC thì MH AA’ và A ' AM nhọn H nằm giữa AA’ Thiết
diện của lăng trụ khi cắt bởi (P) là tam giác BCH
0,25
ABC đều cạnh a nên AM=a√3
2 , AO=
2
a√3
3 ; HB = HC =
a AH HM BC
Theo bài ra: SBCH=a2√3
a2√3
8 ⇒ HM= a√3
4
0,25
AH=√AM2− HM2=√3 a2
3 a2
3 a
4
Hai tam giác A’AO và MAH đồng dạng A ' O
HM AH
Suy ra A ' O=AO HM
a√3 3
a√3 4
4
3 a=
a
3
0,25
Thể tích khối lăng trụ : V = A ' O SABC=1
2A ' O AM BC=
1 2
a
3
a√3
a3
√3 12
( đvtt)
0,25
Câu V
( 1 điểm)
Ta có: P= 1
a2+2 b2+3+
1
b2+2 c2+3+
1
c2
+2a2+3
Ta cã a2+b2 2ab, b2+ 1 2b 1
a2+2 b2
+3=
1
a2
+b2
+b2+1+2≤
1 2
1
ab+b+1
Tương tự: 1
b2
+2 c2+3≤
1 2
1
bc+c +1 ,
1
c2+2 a2
+3≤
1 2
1
ca+a+1
0,25
0,25
P≤1
2(ab+b+11 +
1
1
ca +a+1)=1
2(ab+b +11 +
ab
b+1+ab+
b
1+ab+b)=1
P=1
2 khi a = b = c = 1 VËy P lớn nhất bằng
1
2 khi a = b = c = 1. 0,25
1 Theo chương trình chuẩn
A
B
C
B’
H
O
M
Trang 6C©u VI.a
(2 điểm)
Gọi H là trung điểm của AB
CH AB
CH có pt : x-y-3=0
;
H CH AB H
CG 2GH C(9;6)
Gọi A(a;2-a) B( 5-a; a-3)
Theo gt :
5
ABC
a
a
* a = 0 A0; 2 ; B5; 3
* a = 5 A5; 3 ; B0;2
0,25
0,25
Đường tròn (c ) cần tìm có pt dạng:
x y ax by c a b c
(c ) qua A, B, C nên:
0,25
Vậy đường tròn cần tìm có pt:
2 2 137 59 66
0
• (P) có véc tơ pháp tuyến n(P )=(1;1 ;−1) và d có véc tơ chỉ phương
.u=(1;−1 ;−3)
I=d ∩(P)⇒ I (1 ;2 ;4)
• vì Δ ⊂(P); Δ⊥ d ⇒ Δ có véc tơ chỉ phương u Δ=[n(P) ; u]=(− 4 ;2 ;−2)
• Gọi H là hình chiếu của I trên Δ ⇒ H ∈mp(Q) qua I và vuông góc Δ
Phương trình (Q): −2(x −1)+( y −2)−(z −4 )=0 ⇔− 2 x+ y − z+4=0
Gọi d1=(P)∩(Q) ⇒d1 có véctơ chỉ phương
[n(P) ; n(Q)]=(0 ;3 ;3)=3(0;1 ;1) và d1 qua I
⇒ ptd1:
x=1 y=2+t
z =4+t
¿{ {
Ta có H ∈ d1⇒ H (1;2+t ;4+t)⇒ IH=(0 ;t ;t)
•
IH=3√2⇔√2 t2=3√2⇔
t=3
¿
t=−3
¿
¿
¿
¿
¿
0,25
0,5
G C
Trang 7• TH1: t=3 ⇒ H (1 ;5;7)⇒ pt Δ: x −1
− 2 =
y − 5
z −7
− 1
−2 =
y +1
z −1
−1
0,25
Câu VIIA
( 1 điểm)
Gọi số cần tìm là: x a a a a a a a 1 2 3 4 5 6 7 (a
1 0)
· Giả sử a1 có thể bằng 0:
+ Số cách xếp vị trí cho hai chữ số 2 là: C72
+ Số cách xếp vị trí cho ba chữ số 3 là: C53
+ Số cách xếp cho 2 vị trí còn lại là: 2!C82
0,5
· xét a1= 0:
+ Số cách xếp vị trí cho hai chữ số 2 là: C62
+ Số cách xếp vị trí cho ba chữ số 3 là: C43
+ Số cách xếp cho 1 vị trí còn lại là: 7
0,25
Vậy số các số cần tìm là: C C72 .2!53 C82 C C62 .7 1134043 (số). 0,25
C©u VI.b
( 2điểm)
2 Theo chương trình nâng cao
1 2
B d d B(0; –1) BM ( ; ) 2 2
MB BC
Kẻ MN // BC cắt d 2 tại N , do tam giác ABC cân BCNM là hình chữ nhật
0,25
PT đường thẳng MN: x y 3 0 N = MN d 2
8 1
3 3
N ;
.
NC BC PT đường thẳng NC:
7 0 3
x y
.C = NC d 1
;
C
0,25
AB đi qua B và AB CM PT đường thẳng AB: x2y 2 0
AC qua C và AC BN PT đường thẳng AC: 6x3y 1 0
0,25
0,25
* Gọi H là hình chiếu vuông góc của A trên d =>H cố định và AH = const Do
* Gọi I là hình chiếu vuông góc của H trên (p) d( , )H p HI HA HI
lớn nhất A ≡ I => (p) là mặt phẳng qua A nhận AH làm VTPT
0,25
0,25
H ∈ d ⇒ H (1+2 t ;t ;1+3 t) Và u=(2 ;1;3)
AH⊥ d ⇒ AH u=0¿ - là véc tơ chỉ phương của d) ⇒ H (3 ;1 ;4)⇒ AH(−7 ;− 1;5)
0,25
(P): 7(x – 10) + (y – 2) – 5(z + 1) = 0
7x +y - 5z -77 = 0
0,25
Câu VIIb
ĐK: x 2 Với đk đó pt
4 x x 2x 4 x 2x x
3
4 x (2 x 1) 2 (2x x 1) 0
0,25
TH1: 24x4 1 4x 4 0 x 1
TH2:
3
4 2 2
0,25
Trang 83 8 2( 2 2)
x x
2 2
x
x
2
2 0
(*) 2
2 2
x
x
Giải (*):VT = x22x 4 (x1)2 3 3; VP =
2
1
2 2
x (*) VN
0,25
- Chú ý: Học sinh giải cách khác mà đúng vẫn cho điểm tối
đa-Trường THPT Triệu Sơn 4:
Hướng dẫn làm bài thi khảo sát chất lượng lần 2 năm học 2011- 2012
Môn: Toán Câu 1: 1.( 1 điểm): HS tự khảo sát và vẽ đồ thị.
2.( 1 điểm): Gọi M (a ; 3 a+2
a+2 )∈(C),a ≠ −2 ; Viết phương trình tiếp tuyến (d) của (C) tại M ; tìm các giao điểm A, B của (d) với các tiệm cận Tam giác IAB vuông tại I AB là đường kính của
Trang 9đường tròn ngoại tiếp tam giác IAB diện tích hình tròn S=
a+2¿2
¿≥ 8 π a+2¿2+64
¿
4¿
πAB
2
π
4¿
Dấu bằng xảy ra khi và chi
khi
a+2¿2
¿
⇔
¿
a=0
¿
a=− 4
¿
¿
¿
a+2¿2=16
¿
¿
¿
M(0;1) và M(-4;5)
Câu 2: 1 ( 1 điểm): pt ⇔1+sin x
2.sin x − cos
x
2.sin
2
x=2
1+cos (π
2− x ) 2
sin (sin2 cos sin2 1) 0
x k
x = k, kZ 2( 1 điểm): Đk : x0;3x 2y0;4x y 0
Từ (1) y=2x hoặc x = 2y thế vào (2) từ đó suy ra nghiệm của hệ phương trình là: (2;1)
Câu 3(1 đ):
2
dx
2
x
2
x
Câu 4(1 điểm): Từ gt suy ra hình chiếu vuông góc của A’ trên (ABC)
trùng với trọng tâm O của tam giác ABC Gọi H là hình chiếu vuông góc
của B lên AA’ , thiết diện là tam giác HBC Gọi M là trung điểm của BC
HM BC; AM=a√3
2 , AO=
2
a√3 3
SBCH=a2
√3
a2
√3
8 ⇒ HM= a√3
=√3 a2
3 a2
3 a
4
Do hai tam giác A’AO và MAH
A ' O
HM AH
'
A O
Thể tích khối lăng trụ : V = A ' O SABC=1
2A ' O AM BC=
1 2
a
3
a√3
a3√3
12 ( đvtt)
A
B
C
C
’ B
’
A
’
H
Trang 10Câu 5( 1 điểm): P= 1
a2
+2 b2+3+
1
b2+2 c2+3+
1
c2
+2a2+3
Ta có: a2+b2 2ab, b2+ 1 2b 1
a2+2 b2+3=
1
a2+b2+b2+1+2≤
1 2
1
ab+b+1
Tương tự 1
b2+2 c2+3≤
1 2
1
bc+c +1 ,
1
c2+2 a2+3≤
1 2
1
ca +a+1
P≤1
2(ab+b+11 +
1
1
ca +a+1)=1
2(ab+b +11 +
ab
b+1+ab+
b
1+ab+b)=1
2
P=1
2 khi a = b = c = 1.VËy P lớn nhất bằng
1
2 khi a = b = c = 1.
Câu 6a ( 2điểm)
1( 1 điểm) Gọi H là trung điểm của AB CH AB CH : x-y-3=0 ;
;
H CH AB H
CG GH C
; Gọi A(a;2-a) B( 5-a; a-3)
Theo gt :
5
ABC
a
a
* a = 0 A0; 2 ; B5; 3
* a = 5 A5; 3 ; B0;2
PT đường tròn đi qua 3 điểm A, B, C là:
2 2 137 59 66
0
2( 1 điểm): (P) có véc tơ pháp tuyến n(P )=(1;1 ;−1) và d có véc tơ chỉ phương .u=(1;−1 ;−3)
; I=d ∩(P)⇒ I (1 ;2 ;4)
• vì Δ ⊂(P); Δ⊥ d ⇒ Δ có véc tơ chỉ phương u Δ=[n(P) ; u]=(− 4 ;2 ;−2)
• Gọi H là hình chiếu của I trên Δ ⇒ H ∈mp(Q) qua I và vuông góc Δ
Phương trình (Q): 2x y z 4 0; Gọi d1=(P)∩(Q) ⇒d1 có véctơ chỉ phương
[n(P) ; n(Q)]=(0 ;3 ;3)=3(0;1 ;1) và d1 qua I
⇒ ptd1:
x=1 y=2+t
z =4+t
¿{ {
Ta có H ∈ d1⇒ H (1;2+t ;4+t)⇒ IH=(0 ;t ;t) ; • IH 3 2 2t2 3 2 t= 3
t=3 ⇒ H (1 ;5;7)⇒ pt Δ: x −1
− 2 =
y − 5
z −7
− 1 ; t=−3 ⇒ H (1 ;−1 ;1)⇒ pt Δ: x −1
−2 =
y +1
z −1
−1
Câu 7a ( 1 điểm):Gọi số cần tìm là: x a a a a a a a 1 2 3 4 5 6 7 (a
1 0)
· Giả sử a1 có thể bằng 0: + Số cách xếp vị trí cho hai chữ số 2 là:C72
Số cách xếp vị trí cho ba chữ số 3 là:C53 ; Số cách xếp cho 2 vị trí còn lại là: 2! 2
8
C
· xét a1= 0: + Số cách xếp vị trí cho hai chữ số 2 là: C62
+ Số cách xếp vị trí cho ba chữ số 3 là: C43; + Số cách xếp cho 1 vị trí còn lại là:7
Vậy số các số cần tìm là: C C72 .2!53 C82 C C62 .7 1134043 (số).
Câu 6b : 1(1 điểm): B(0; –1) BM ( ; ) 2 2
MB BC Kẻ MN // BC cắt d2 tại N thì BCNM là hình
chữ nhật ; PT đường thẳng MN: x y 3 0 N = MN d2
8 1
3 3
N ;
NC BC PT đường thẳng NC:
7 0 3
x y
C = NC d1
;
C
AB CM PT đường thẳng AB: x2y 2 0 AC BN PT đường thẳng AC: 6x3y 1 0 2( 1 điểm) : Gọi H là hình chiếu vuông góc của A trên d ; Gọi I là hình chiếu vuông góc của H trên (p) d( , )H p HI HA HI
lớn nhất A ≡ I => (p) là mặt phẳng qua A nhận AH làm VTPT
Trang 11H ∈ d ⇒ H (1+2 t ;t ;1+3 t) Và u=(2 ;1;3)
AH⊥ d ⇒ AH u=0¿ ) ⇒ H (3 ;1 ;4)⇒ AH(−7 ;− 1;5)
(P): 7(x – 10) + (y – 2) – 5(z + 1) = 0 7x +y - 5z -77 = 0
Câu 7b : Với x 2 PT
3
4 x (2 x 1) 2 (2x x 1) 0
3
(2 x 1)(4 x 2 ) 0x
TH1: 24x4 1 4x 4 0 x1
TH2: 24 2 x2 2x3
x3 2 x 2 4x3 8 2( x 2 2)
2 2
x
x
x=2 Vậy nghiệm của PT là: x = 1; x = 2
Chú ý: Học sinh giải cách khác mà đúng vẫn cho điểm tối đa.
Mời các bạn ghé thăm diễn đàn ôn thi và trao đổi “Cà chua 95” nơi chúng mình có thể trao đổi với nhau những kinh nghiệm học tập, cùng bàn luận những bài tập còn vướng mắc.
http://luyenthidaihoc.name.vn/forum Cảm ơn bạn đã lắng nghe mình nói…^^~