Cac dang toan On thi vao lop 10

Sau khi đi được 2 giờ , người lái xe quyết định tăng tốc thêm 2km/h trên quãng đường còn lại .Do đó đã đến B sớm hơn dự kiến 30 phút.. Tính vận tốc ô tô đi ở đoạn đường đầu.[r]

I-CÁC KIẾN THỨC CƠ BẢN CẦN NHỚ

-Điều kiện phân thức xác định là mẫu khác 0

- Khử mẫu của biểu thức lấy căn và trục căn thức ở mẫu

- Bảy hằng đẳng thức đáng nhớ

- Quy tắc rút gọn và đổi dấu phân thức,quy tắc dấu ngoặc

- Các phép toán cộng , trừ, nhân, chia phân thức

II-MỘT SỐ CHÚ Ý KHI GIẢI TOÁN VỀ BIỂU THỨC

1) Tìm ĐKXĐ chú ý : Trong căn 0 ,Mẫu  0 , biểu thức chia  0

2)Rút gọn biểu thức

-Đối với các biểu thức chỉ là một căn thức thường tìm cách đưa thừa số ra ngoài dấu căn Cụ thể là :

+ Số thì phân tích thành tích các số chính phương

+Phần biến thì phân tích thành tích của các luỹ thừa với số mũ chẵn

-Nếu biểu thức chỉ chứa phép cộng và trừ các căn thức ta tìm cách biến đổi về các căn đồng dạng

- Nếu biểu thức là tổng , hiệu các phân thức mà mẫu chứa căn thì ta nên trục căn thức ở mẫu trước,có thể không phải quy đồng mẫu nữa.

-Nếu biểu thức chứa các phân thức chưa rút gọn thì ta nên rút gọn phân thức trước

-Nếu biểu thức có mẫu đối nhau ta nên đổi dấu trước khi

-Ngoài ra cần thực hiện đúng thứ tự các phép tính ,chú ý dùng ngoặc ,dấu “-“ , cách viết

căn

Chỉ có sự nỗ lực của chính bạn mới đem lại thành công

Chú ý : Một số bài toán như : Chứng minh đẳng thức , chứng minh biểu thức không phụ

thuộc vào biến… cũng quy về Rút gọn biểu thức

3) Tính giá trị của biểu thức

-Cần rút gọn biểu thức trước.Nếu biểu thức có chứa dấu giá trị tuyệt đối thì nên thay giá trịcủa biến vào rồi mới rút gọn tiếp

-Nếu giá trị của biến còn phức tạp thì nghĩ đến việc rút gọn trước khi thay vào tính

4) Tìm biến để biểu thức thoả mãn 1 điều kiện nào đó

3

1 1

c Tính giá trị của A tại x = 8 - 28

d Tìm max A

4n42n

1n2n

3n

b Tính giá trị của P với n = 9

Bài3 Cho biểu thức M =

x

x x

x

1

1 1 :

2

3 2

4

x

x x

x x

x x x

: 1

1 1

1 2

x x

x x

x x x

a) Rút gọn B.

b) Tìm x để : 2.B < 1 c) Với giá trị nào của x thì B. x = 4/5

1 : 3

1 9

7 2

x x

x

x x

x x

a) Rút gọn M.

b) Tìm các số nguyên của x để M là số nguyên.

1 1

2 2

x x

x

x x

x

x x

1

1 : 1

1 1

1

x x

x x

x

x x

x

a) Rút gọn P.

b) Tính giá trị của P khi x = 2

3 4

2

x

x x

x x x x

2 1

1

x

x x x

x x x x

x x

x

2

1 6

5 3

Bài 14: Cho biểu thức : M = 

x x

x

x

3

1 2 2

3 6

5

9 2

: 3

1 3

2

4

x

x x

x x

x

x x

a) Rút gọn A.

b) Tìm x để A > 1

3 : 2

2 4

4 2

2

x x

x x x

x x

x x

b) Tìm các số nguyên của x để P chia hết cho 4.

x x

x x

: 1

1 3 1

x x

x x

x

1

5 2 1

3 : 1 1

1 2

3 a) Rút gọn P.

b) Tính giá trị của P khi x = 3 5

x x

x x

x

x

2

2 2

3 :

4

2 3 2

3 2

1 :

1 1 1

1

xy

x xy xy

x xy

x xy xy

x

a) Rút gọn M

b) Tính giá trị của M khi x = 2 - 3 và y = 1 3

1 3

6 6

3 2

3 2

y x xy

xy y

x xy

y x

: 3

2 2

3 6

5

2

x

x x

x x

x x

x

x P

a) Rút gọn P.

51

x x x

x

x x P

11

11

x x

x P

a) Rút gọn P b) Tìm x để

2



x P

4 5 2

1

x

x x

x x

x

x x

P

a) Rút gọn P b)*Tìm m để có x thoả mãn : Pmx x  2mx1

Bài26: Cho biểu thức A =

2 2

2

x12

1xx1

1x

-ĐK hai đường thẳng cắt nhau là : a a’

-ĐK hai đường thẳng vuông góc là tích a.a’ = -1

-Đt hs y=ax( a0) đi qua gốc toạ độ

-Đths y=ax+b (a0,b0)không đi qua gốc toạ độ.Nó tạo với ox,oy 1 tam giác

B> BÀI TẬP

Bài 1 : Cho hàm số y = (m + 5)x+ 2m – 10

a) Với giá trị nào của m thì y là hàm số bậc nhất

b) Với giá trị nào của m thì hàm số đồng biến.

c) Tìm m để đồ thị hàm số đi qua điểm A(2; 3)

d) Tìm m để đồ thị cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng 9.

e) Tìm m để đồ thị đi qua điểm 10 trên trục hoành

f) Tìm m để đồ thị hàm số song song với đồ thị hàm số y = 2x -1

g) Chứng minh đồ thị hàm số luôn đi qua 1 điểm cố định với mọi m.

h) Tìm m để khoảng cách từ O tới đồ thị hàm số là lớn nhất.

Bài 2: Cho đường thẳng y=2mx +3-m-x (d) Xác định m để:

a) Đường thẳng d qua gốc toạ độ

b) Đường thẳng d song song với đường thẳng 2y- x =5

c) Đường thẳng d tạo với Ox một góc nhọn

d) Đường thẳng d tạo với Ox một góc tù

Khát vọng vươn lên phía trước là mục đích của

cuộc sống

e) Đường thẳng d cắt Ox tại điểm có hoành độ 2

f) Đường thẳng d cắt đồ thị Hs y= 2x – 3 tại một điểm có hoành độ là 2

g) Đường thẳng d cắt đồ thị Hs y= -x +7 tại một điểm có tung độ y = 4

h) Đường thẳng d đi qua giao điểm của hai đường thảng 2x -3y=-8 và y= -x+1

Bài 3: Cho hàm số y=( 2m-3).x+m-5.

a) Vẽ đồ thị với m=6

b) Chứng minh họ đường thẳng luôn đi qua điểm cố định khi m thay đổi

c) Tìm m để đồ thị hàm số tạo với 2 trục toạ độ một tam giác vuông cân

d) Tìm m để đồ thị hàm số tạo với trục hoành một góc 45o.

e) Tìm m để đồ thị hàm số tạo với trục hoành một góc 135o

f) Tìm m để đồ thị hàm số tạo với trục hoành một góc 30o , 60o

g) Tìm m để đồ thị hàm số cắt đường thẳng y = 3x-4 tại một điểm trên 0y

h) Tìm m để đồ thị hàm số cắt đường thẳng y = -x-3 tại một điểm trên 0x

Bài4 (Đề thi vào lớp 10 tỉnh Hải Dương năm 2000,2001) Cho hàm số y = (m -2)x + m + 3.

a)Tìm điều kiện của m để hàm số luôn luôn nghịch biến

b)Tìm điều kiện của m để đồ thị cắt trục hoành tại điểm có hoành độ bằng 3

c)Tìm m để đồ thị hàm số y = -x + 2, y = 2x –1 và y = (m - 2)x + m + 3 đồng quy

d)Tìm m để đồ thị hàm số tạo với trục tung và trục hoành một tam giác có diện tích bằng 2

Bài 5 (Đề thi vào lớp 10 tỉnh Hải Dương năm 2004).

Trong hệ trục toạ độ Oxy, cho hàm số y = 2x + m (*)

1)Tìm m để đồ thị hàm số (*) đi qua điểm

d)Tìm m để d1 song song với d2

e)Tìm m để d1 cắt d2 Tìm giao điểm khi m=2

Bài 7 Cho hàm số y =f(x) =3x – 4

a)Tìm toạ độ giao điểm của đths với hai trục toạ độ

b) Tính f(2) ; f(-1/2); f( 7 24)

c) Các điểm sau có thuộc đths không? A(1;-1) ;B(-1;1) ;C(2;10) ;D(-2;-10)

d)Tìm m để đths đi qua điểm E(m;m2-4)

e)Tìm x để hàm số nhận các giá trị : 5 ; -3

g)Tính diện tích , chu vi tam giác mà đths tạo với hai trục toạ độ.

h)Tìm điểm thuộc đths có hoành độ là 7

k) Tìm điểm thuộc đths có tung độ là -4

l) Tìm điểm thuộc đths có hoành độ và tung độ bằng nhau

m) Tìm điểm thuộc đths cách đều hai trục toạ độ

Nếu kết quả phức tạp thì “đi vòng”.

c) Phương pháp đặt ẩn phụ : Dùng để “đưa ” HPT phức tạp về HPT bậc nhất hai ẩn

2)Một số dạng toán quy về giải HPT:

- Viết phương trình đường thẳng ( Xác định hàm số bậc nhất)

b) Giải và biện luận HPT theo tham số m

c) Tìm m để HPT có nghiệm duy nhất (x ; y) thảo mãn 4x – 5y = 7

d) Tìm m để HPT có 1 nghiệm âm

e) Tìm m để HPT có 1 nghiệm nguyên

Ước mơ chính là bánh lái của con tầu, để ước mơ thành công

f) Tìm 1 đẳng thức liên hệ giữa x,y độc lập với m

Chú ý : Việc giải và biện luận HPT theo tham số là quan trọng Nó giúp ta tìm được điều kiện của tham số đề HPT có 1 nghiệm ,VN,VSN

2) Cho hệ phương trình: mx + y = 3

9x + my = 2m + 3

a Giải phương trình với m = 2, m = -1, m = 5

b Tìm m để phương trình có 1 nghiệm, vô nghiệm, vô số nghiệm

c Tìm m để 3x + 2y = 9 , 2x + y > 2

d Tìm m để phương trình có nghiệm dương

e Tìm m để phương trình có nghiệm nguyên âm

myx)1m(

; có nghiệm duy nhất (x ; y)a) Tìm đẳng thức liên hệ giữa x và y không phụ thuộc vào m;

b) Tìm giá trị của m thoả mãn 2x2 - 7y = 1

c) Tìm các giá trị của m để biểu thức A = x y

y3x2



 nhận giá trị nguyên

1ymx

a.Giải hệ phương trình theo tham số m

b.Gọi nghiệm của hệ phương trình là (x,y) Tìm các giá trị của m để x +y = 1

c.Tìm đẳng thức liên hệ giữa x và y không phụ thuộc vào m

a) Tìm giá trị của m để hệ có nghiệm x = 1, y = 3 1

b) Chứng minh hệ luôn có nghiệm duy nhất với mọi m

a y

x

2

3 3 2

a)Tìm a biết y=1

b) Tìm m để hệ có nghiệm duy nhất (x;y) mà S = x2+y2 đạt giá trị nhỏ nhất

Dạng 3 Một số bài toán quy về HPT

1) Viết phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm A(2;5) và B(-5;7)

a Xác định m,n biết d1 cắt d2 tại điểm (2;- 4)

b Xác định phương trình đường thẳng d1 biết d1 đi qua điểm (-1; 3) và cắt ox

tại một điểm có hoành độ là - 4

c Xác định phương trình đường thẳng d2 biết d2 đi qua điểm 7 trên oy và song

song với đường thẳng y - 3x = 1

5) Giả sử đường thẳng (d) có phương trình y = ax+ b

Xác định a, b để (d) đi qua hai điểm A (1;3) và B (-3; 1)

6) Tìm giá trị của m để các đường thẳng sau cắt nhau tại một điểm:

y = 6 - 4x ; y = 4

5

3 x

; và y = (m – 1)x + 2m

7)Trong hệ trục toạ độ Oxy, cho hàm số y = 2x + m (*)

a)Tìm m để đồ thị hàm số (*) đi qua điểm

A(-1 ; 3) ; B( 2 ; -5 2) ; C(2 ; -1)

b) Xác định m để đồ thị hàm số (*) cắt đồ thị hàm số y = 3x – 2 trong góc phần tư thứ IV8)Cho hàm số: y = (2m-3)x +n-4 (d) (

3 2

m 

)

1 Tìm các giá trị của m và n để đường thẳng (d) :

a) Đi qua A(1;2) ; B(3;4)

b) Cắt oytại điểm có tung độ y 3 2 1 và cắt ox tại điểm có hoành độ x  1 2

2 Cho n = 0, tìm m để đường thẳng (d ) cắt đường thẳng (d/) có phương trình x-y+2 = 0 tại điểm M (x;y) sao cho biểu thức P = y2-2x2 đạt giá trị lớn nhất

9)Cho hàm số y = (m -2)x + m + 3

a)Tìm điều kiện của m để hàm số luôn luôn nghịch biến

b)Tìm điều kiện của m để đồ thị cắt trục hoành tại điểm có hoành độ bằng 3

c)Tìm giá trị của m để đồ thị hàm số y = -x + 2, y = 2x –1 và y = (m - 2)x + m + 3 đồng quy

10) Chứng minh 3 điểm A(1 ;3) , B( -2;-3) ,C( 3;7) thẳng hàng

11)Tìm m để ba điểm A(4;5) ,B( 2m ; m2) ,C(-3 ;-2) thẳng hàng

12)Chứng minh 3 đường thẳng : 3x + 7y = 13 , 2x -5y = -1 và y = 4x- 7 cắt nhau tại 1 điểm

PHẦN THỨ TƯ

A.PHÂN LOẠI VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI

LOẠI 1 : PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT 1 ẨN VÀ PHƯƠNG TRÌNH ĐƯA ĐƯỢC VỀ DẠNG AX = C

Phương pháp giải : Biến đổi tương đương phương trình về dạng : ax = c

-Nếu a khác 0 thì phương trình có 1 nghiệm : x = c/a

-Nếu a = 0 thì phương trình vô nghiệm khi c khác 0 , vô số nghiệm khi c = 0

-Nếu a chưa rõ ta phải xét tất cả các trường hợp (biện luận)

Chú ý : Trong quả trình biến đổi : -Nếu có ngoặc thường phá ngoặc –Nếu có mẫu thường quy đồng rồi khử

mẫu

-Nếu mẫu quả lớn thì có thể quy đồng tử – Chuyển vế hạngtử phải đổi dấu -Chỉ được cùng nhân ,chia 1số khác 0

LOẠI 2; PHƯƠNG TRÌNH BẬC 2:

Phương pháp giải : Biến đổi tương đương Pt về đúng dạng ax2 + bx + c = 0

- Dạng khuyết ax 2 + bx = 0 thì đưa về dạng phương trình tích x(ax + b) = 0

LOẠI 3 : PHƯƠNG TRÌNH CHỨA ẨN TRONG DẤU GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI

Dạng 1: PT Chứa 1 dấu giá trị tuyệt đối

Phương pháp giải : 1)Xét dấu của biểu thức trong giá trị tuyệt đối nếu ngoài chứa ẩn

2)Nếu ngoài không chứa ẩn thì đưa PT về dạng /f(x)/ = m

Chú ý : -Đối chiếu ĐK – 2 dạng đặc biệt /f(x)/ = f(x) và /f(x)/ =- f(x)

Dạng 2: PT chứa 2 dấu giá trị tuyệt đối

Phương pháp giải: 1) Xét dấu của biểu thức trong giá trị tuyệt đối

Học vấn luôn đem đến cho bạn niềm vui thực sự

2) Lập bảng xét dấu rồi xét từng khoảng giá trị của ẩn

Chú ý : -Đối chiếu ĐK – Dạng đặc biệt /f(x)/ = /g(x)/ và f(x;y)/ + /g(x;y)/ =0

Dạng 3: PT chứa 3 dấu giá trị tuyệt đối trở lên : thì lập bảng xét dấu …hoặc đưa về HPT

LOẠI 4 : PHƯƠNG TRÌNH CHỨA ẨN TRONG DẤU CĂN (PT VÔ TỈ)

Giải PT vô tỉ trước hết phải tìm ĐKXĐ

Dạng 1: = g (x) (1) Đây là dạng đơn giản nhất của phương trình vô tỉ

Dạng 2: Đưa về PT chứa dấu // :

-Nếu trong căn viết được dứa dạng bình phương thì đưa về phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối

Dạng3 : Đặt ẩn phụ : -Nếu bên ngoài biến đổi được giống trong thì đặt ẩn phụ ( ĐK của ẩn phụ là không âm) Dạng 4 : Dùng phương pháp bình phương 2 vế :

Chú ý : Khi bình phương 2 vế phải cô lập căn thức và đạt điều kiện 2 vế không âm

-Dạng A B  A B m thường bình phương 2vế

LOẠI 5 : PHƯƠNG TRÌNH CHỨA ẨN Ở MẪU

Giải PT chứa ẩn ở mẫu trước hết phải tìm ĐKXĐ

Phương pháp giải : 1) Thông thường - Tìm ĐKXĐ -Quy đồng ,khử mẫu ,giải PT ,đối chiếu ,kết luận

2) Đặt ẩn phụ : -Nếu PT chứa các phân thức giống nhau hoặc nghịch đảo

3) Nhóm hợp lý ( nếu việc QĐ khó khăn và có 4 phân thức trở lên)

LOẠI 6 : PHƯƠNG TRÌNH BẬC CAO -Đưa về Pt tích -Đặt ẩn phụ

3 2

x

5 5 2 3

r x 4

24x4x2x

1x

A.CÁC DẠNG BÀI TẬP VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI

Dạng 1: Điều kiện PHB2 có nghiệm ,vô nghiệm

Có thể xảy ra 6 trường hợp

-Muốn chứng minh PTB2 luôn có nghiệm , có 2 nghiệm pb , vô nghiệm ta chứng minh

Luôn không âm ,luôn dương , luôn âm

-Muốn tìm điều kiện để PTB2 có nghiệm ,vô nghiệm ta giải bất phương trình …

Dạng 2 ; Tính giá trị 1 biểu thức của 2 nghiệm

Phương pháp giải : - Kiểm tra điều kiện có nghiệm Tính tổng ,tích 2 nghiệm theo VIéT

-Biến đổi biểu thức về dạng toàn Tổng ,Tích 2 nghiệm

Chú ý –Nếu gặp Hiệu ,Căn thì tính bình phương rồi suy ra

-Nếu biểu thức không đối xứng thì có thể dùng ax12bx1  c 0 ; ax22bx2  c 0

-Nếu mũ quá lớn thì có thể nhẩm nghiệm

Ngoài ra ở những bài khó cần khéo léo vận dụng linh hoạt

Dạng 3 : Viết 1 hệ thức liên hệ giữa 2 nghiệm độc lập với tham số

Bước 1 : Tính tổng và tích 2 nghiệm theo Viét

Bước 2 : Rút tham số từ tổng thay vào tích hoặc ngược lại

Chú ý : Nếu bậc của tham số ở tổng và tích đều là 2 trở lên ta phải khử bậc cao trước bẳng cách

như phương pháp cộng trong giải HPT

Dạng 4 ; Tìm tham số biết 1 hệ thức liên hệ giữa 2 nghiệm

Bước1 : Tìm ĐK có nghiệm Tính tổng và tích 2 nghiệm theo Viét

Bước 2 : Biến đổi tương đương hệ thức về dạng toàn Tổng ,Tích 2 nghiệm Nếu không được thìgiải hệ ( Hệ thức có bậc 1 )

Chú ý : -Phải đối chiếu với ĐK có nghiệm - Nếu hệ thức chứa Hiệu ,căn thì có thể bình

phương ,chứa dấu giả trị tuyệt đối thì có thể thành 2 phần

Dạng 5 : Lập phương trình bậc 2 biết 2 nghiệm

Khi lập PT B2 cần biết 2 nghiệm và ẩn

- Muốn lập PTB2 có 2 nghiệm x x1 , 2 ta làm như sau :

Ruộng vườn chăm bón doanh thu lớn Sách vở dùi

Tính x1 x2 S x x, 1 2 P Vậy PTB2 cần lập là : x2- Sx+ P =0

Dạng6 :Tìm 2 số biết tổng và tích :Dủng phương pháp thế đưa về PTB2

Dạng7 :Xét dấu các nghiệm của PT

x1 2 

b x

x1  2  Trong nhiều trường hợp ta cần so sánh nghiệm của phương trình bậc hai với một số cho trước hoặc xét dấu các nghiệm của phương trình bậc hai mà không cần giải phương trình đó, ta

S P

2 Phương trình có 2 nghiệm âm  

S P

3 Phương trình có 2 nghiệm trái dấu: P0

Nhiều bài toán đòi hỏi tìm điều kiện để phương trình bậc 2 có ít nhất 1 nghiệm không âm Thường có 2 cách giải:

Cách 1: Có P 0 ( Trường hợp này có 1 nghiệm dương 1 nghiệm không âm)

Hoặc P = 0 Trường hợp này tồn tại 1 nghiệm bằng 0

S ( Trường hợp này tồn tại nghiệm dương)

Hoặc S = 0 ( Trường hợp này tồn tại nghiệm không âm)

Hoặc S0,P0 ( Trường hợp này có 1 nghiệm không âm 1 nghiệm âm)

Tuỳ theo đầu bài mà chọn cách xét biểu thức P hay S

Dạng 8: Nghiệm chung của 2 phương trình

Dạng 9:Hai phương trình tương đương

Học sinh hay nhầm lẫn vấn đề sau: Khi tìm ra hai phương trình vô nghiệm thường vội kết luận

ngay là hai phương trình đó không tương đương với nhau:

VD3: Tìm m để hai phương trình x2 – mx + 2m -3 = 0 (1); x2 – (m2 + m - 4)x + 1= 0

(2) tương đương

Hướng dẫn: Hai phương trình trên tương đương trong hai trường hợp

* Trường hợp 1: PT(1) và PT(2) vô nghiệm 

0 12 8

2 2

2

m m

m m

2 3

6 2

m m m

(không xảy ra)

* Trường hợp 2: PT(1) và PT(2) cùng có nghiệm x1; x2 thì theo định lý Vi-ét ta có:

2 0

4 2

0 4 1

3 2

m m

x

x

m m m

x

x

Thử lại với m = 2 thì hai phương trình tương đương vì chỉ có một nghiệm x = 1 Vậy m = 2

Với loại toán này ta cần lưu ý học sinh: Khi cả hai phương trình vô nghiệm thì hai phương

trình đó cũng là hai phương trình tương đương Cho nên với một số bài toán ta phải xét haitrường hợp, trường hợp cả hai phương trình vô nghiệm và trường hợp cả hai phương trình cócùng một tập hợp nghiệm

VD4: Tìm m, n để phương trình x2 – (m + n)x -3 = 0 (1)

và phương trình x2 – 2x + 3m – n – 5 = 0 (2) tương đương

Hướng dẫn:

PT(1) có  mn2 120m,n nên PT(1) luôn có hai nghiệm phân biệt x1; x2

Do đó PT(1) và PT(2) tương đương khi hai phương trình này có cùng tập hợp nghiệm nghĩa là:

3

2 5

3 3

m

n m n

m x

x

n m

B BÀI TẬP

Bài 1:Cho phương trình mx2+(2m-1)x+(m-2)=0

1 Giải phương trình với m = 3

2 Tìm m để phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt x1,x2 thoả mãn x12+x22=2006

3 Tìm hệ thức liên hệ giữa các nghiệm không phụ thuộc vào m

Bài 2: Cho phương trình (m-1)x2 + 2mx + m – 2 = 0

a) Giải phương trình khi m = 1

a) Tìm m để phương trình có 2 nghiệm phân biệt

b) Tìm m để phương trình có một nghiệm x = 16, và tìm nghiệm còn lại