HÌNH 11 PHẦN 1 PHÉP BIẾN HÌNH – PHÉP DỜI HÌNH

CHƯƠNG 1: PHÉP DỜI HÌNH VÀ PHÉP ĐỒNG DẠNG TRONG MẶT PHẲNGBÀI 1: PHÉP BIẾN HÌNH – PHÉP TỊNH TIẾN Mục tiêu  Kiến thức + Nắm được định nghĩa phép biến hình, một số thuật ngữ và kí hiệu liê

CHƯƠNG 1: PHÉP DỜI HÌNH VÀ PHÉP ĐỒNG DẠNG TRONG MẶT PHẲNG

BÀI 1: PHÉP BIẾN HÌNH – PHÉP TỊNH TIẾN Mục tiêu

 Kiến thức

+ Nắm được định nghĩa phép biến hình, một số thuật ngữ và kí hiệu liên quan

+ Nắm được định nghĩa phép tịnh tiến

+ Biết vẽ ảnh và xác định được ảnh của một hình qua phép tịnh tiến

+ Nắm được tính chất của phép tịnh tiến

I LÍ THUYẾT TRỌNG TÂM

1 Phép biến hình

Định nghĩa

Quy tắc đặt tương ứng mỗi điểm M của mặt phẳng với một

điểm xác định duy nhất M’ của mặt phẳng đó gọi là phép

biến hình trong mặt phẳng

thẳng d là điểm H Khi đó ta có phép biến hình biến điểm A thành H.

 

F A H được gọi là phép chiếu vuông

góc lên đường thẳng d.

Phép biến hình là F và viết F M  M' hay M'F M 

Khi đó M’ gọi là ảnh của M qua phép biến hình F.

Nếu  là một hình nào đó trong mặt phẳng thì ta kí hiệu

 

' F

   là tập hợp các điểm ảnh của M thuộc  Khi đó

ta nói F biến hình  thành hình ' hay ' từ ảnh của hình

độ dài của vectơ

 Phép tịnh tiến bảo toàn khoảng cách giữahai điểm bất kì

Trong mặt phẳng cho vectơ u Phép biến hình biến

mỗi điểm M thành điểm M’ sao cho MM  'u

phép tịnh tiến theo vectơ u.

Với mỗi điểm M x y ; , theo quy tắc trên thì luôn tồn tại điểm M’ sao cho F M  M y' ; x

Như vậy, với mọi điểm M thì luôn tồn tại ảnh là M’ (1)

Giả sử qua quy tắc trên, điểm M x y ;  có hai ảnh là M x y' '; ' và M''x''; ''y 

Từ (1) và (2), suy ra: quy tắc trên là một phép biến hình

Ví dụ 2 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, xét phép biến hình sau: F M x y  ;   M x y' '; ' với '

b) Xác định phương trình đường thẳng ' là ảnh của đường thẳng : x y 1 0 qua phép biến

C x y  x y  là ảnh của đường tròn  C

Bài tập tự luyện dạng 1

Câu 1: Quy tắc nào dưới đây là phép biến hình?

A Điểm O cho trước đặt tương ứng với O, còn nếu M khác O thì M ứng với M’ sao cho

' 0

OM OM    

B Điểm O cho trước ứng với điểm O, còn M khác O thì M ứng với M’ sao cho tam giác OMM’ là tam

giác vuông cân đỉnh O.

C Điểm O cho trước ứng với điểm O, còn M khác O thì M ứng với M’ sao cho tam giác MM’ là tam

giác đều

D Điểm O cho trước đặt tương ứng với O, còn M khác O thì M ứng với M’ sao cho OM'2OM

Câu 2: Cho phép biến hình F đặt tương ứng điểm M x M;y M, điểm M x y' '; ' theo công thức

Câu 3: Cho phép biến hình F đặt tương ứng điểm M x M;y M với điểm M x y' '; ' theo công thức'

v

x

A x y T A

y x

A y

Ví dụ 1 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho v1; 3  và đường thẳng d có phương trình 2 x 3y 5 0

Viết phương trình đường thẳng d’ là ảnh của d qua phép tịnh tiến T v

Hướng dẫn giải

Cách 1: Sử dụng biểu thức tọa độ của phép tịnh tiến.

Lấy điểm M x y ;  tùy ý thuộc d, ta có: 2x 3y 5 0 * 

Thay vào (*) ta được phương trình: 2x' 1  3y' 3   5 0 2 ' 3 ' 6x y 0

Vậy ảnh của d là đường thẳng ' : 2 d x 3y 60

Vậy ảnh của d là đường thẳng ' : 2 d x 3y 60

Cách 3: Để viết phương trình d’ ta lấy hai điểm phân biệt M, N thuộc d, tìm tọa độ các ảnh M’, N’ tương

ứng của chúng qua T v

Khi đó d’ đi qua hai điểm M’ và N’.

Ví dụ 2 Trong mặt phẳng Oxy, cho đường tròn  C có phương trình 2 2

x y  x y  Tìm ảnhcủa  C qua phép tịnh tiến theo vectơ   

2; 3

Ví dụ 3 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường thẳng : 3 d x y 90 Tìm phép tịnh tiến theo vectơ

Thay vào (*), ta có 3 'x y' k 90 hay T d v d' : 3x y k 90

Mà d’ đi qua A1;1 nên k 5

Vậy v  0; 5 

Ví dụ 4 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai đường thẳng : 2 d x 3y 3 0 và ' : 2d x 3y 50 Tìm

tọa độ v có phương vuông góc với d để T d v d'

 thay vào d’ ta được phương trình 2a 3b8

Vectơ pháp tuyến của đường thẳng d là n  2; 3 

Suy ra vectơ chỉ phương của d là u 3;2

A N' 0;3  B N ' 3;7 C N' 3;7  D N' 3;0 

Câu 3: Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy, cho điểm M  10;1 và M' 3;8  Phép tịnh tiến theo

vectơ v biến điểm M thành điểm M’, khi đó tọa độ của vectơ v là:

A 13;7 B 13; 7  C 13;7 D 13; 7 

Câu 4: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai điểm M0;2 , N  2;1 và vectơ v1;2

 Phép tịnh tiến theo

vectơ v biến M, N thành hai điểm M’, N’ tương ứng Tính độ dài M’N’.

A M N ' ' 5 B M N ' ' 7 C M N ' ' 1 D M N ' ' 3

Câu 5: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho ABC biết A2;4 , B5;1 , C  1; 2  Phép tịnh tiến theo

vectơ BC biến ABC thành A B C' ' ' tương ứng các điểm Trọng tâm G’ của A B C' ' ' là:

Câu 7: Trong mặt phẳng Oxy, cho hai đường thẳng song song d và d’ lần lượt có phương trình là

3x 2y0 và 3x 2y 1 0 Phép tịnh tiến theo vectơ nào sau đây biến đường thẳng d thành d’?

Câu 10: Cho hình vuông ABCD trong đó A1;1 , C3;5 Phương trình ảnh của đường tròn nội tiếp

hình vuông ABCD qua phép tịnh tiến theo vectơ 1

Câu 1:

Ta có OM OM    '  0  MM' 0 M'M

Quy tắc đặt này là phép đồng nhất Do đó chọn A

Các quy tắc còn lại không là phép biến hình

+ Đáp án B, C do không nói góc vuông là góc lượng giác nên luôn tồn tại hai ảnh của M.

+ Yếu tố thẳng hàng hay không thẳng hàng đủ để thấy rõ ảnh của M không duy nhất.

Gọi N x y' '; ' là ảnh của N  4;1 qua phép tịnh tiến theo vectơ MP

Áp dụng biểu thức tọa độ của phép tịnh tiến '

Đường thẳng ' chính là đường thẳng A’B’.

Đường thẳng ' qua A' 2;1  và có một vec tơ pháp tuyến n  1;2 có phương trình là

Vậy đường tròn  C' có tâm I' 2;0 , bán kính 'R  R 6 có phương trình  2 2

I LÍ THUYẾT TRỌNG TÂM

Định nghĩa phép quay

+ Chiều dương của phép quay là chiều dương của

đường tròn lượng giác nghĩa là chiều ngược vớichiều quay của kim đồng hồ

+ Khi  2k1,k  thì QO; là phép đối

xứng tâm O.

+ Khi  2k,k  thì QO; là phép đồng nhất

Cho điểm O và góc lượng giác  Phép biến hình

biến điểm O thành chính nó, biến mỗi điểm M khác

O thành điểm M’ sao cho OM'OM và góc lượng

giác OM OM; ' bằng  được gọi là phép quay

tâm O góc 

Điểm O được gọi là tâm quay, còn  được gọi là

góc quay của phép quay đó.

Phép quay tâm O góc  thường được kí hiệu là

Tính chất 1: Phép quay bảo toàn khoảng cách giữa

hai điểm bất kỳ (hay phép quay là một phép dời

hình)

Tính chất 2: Phép quay biến đường thẳng thành

đường thẳng, biến đoạn thẳng thành đoạn thẳng

bằng nó, biến tam giác thành tam giác bằng nó,

biến đường tròn thành đường tròn cùng bán kính

Tính chất 3: QO;  M M' QO;M'M

(sử dụng cho các bài toán ngược: tìm tạo ảnh)

+ Sử dụng định nghĩa hoặc tính chất của phép quay.

+ Xác định ảnh của một điểm, một hình qua phép quay

+ Tìm quỹ tích điểm thông qua phép quay

+ Các yếu tố liên quan đến phép quay là tam giác đều, tam giác cân, tam giác vuông Từ đó ứng dụngphép quay để giải bài toán hình học khác

Ví dụ mẫu

Ví dụ 1 Có bao nhiêu điểm biến thành chính nó qua phép quay tâm O, góc quay    k2 , k ?

Ví dụ 3 Cho tam giác đều ABC có tâm O Phép quay tâm O góc quay  biến tam giác đều thành chính

nó thì góc quay  là góc nào sau đây?

Ví dụ 4 Chọn 12 giờ làm mốc, kim giờ chỉ một giờ đúng thì kim phút đã quay được một góc bao nhiêu

độ?

Hướng dẫn giải

Khi kim giờ chỉ đến một giờ đúng thì kim phút quay được đúng một vòng theo

chiều âm và được một góc là 360

Chọn B

Chú ý: Chiều “dương” của góc quay là chiều ngược chiều quay của kim đồng hồ, chiều “âm” của góc

quay là chiều cùng chiều quay của kim đồng hồ

Bài tập tự luyện dạng 1

Câu 1: Cho hai điểm phân biệt A, B và QA;30 B C Mệnh đề nào sau đây đúng?

A ABC 30 B ABC 90 C ABC 45 D ABC 75

Câu 2: Cho hình vuông tâm O Hỏi có bao nhiêu phép quay tâm O góc quay 0  2 biến hìnhvuông thành chính nó?

Câu 6: Cho hình lục giác đều ABCDEF tâm O Ảnh của AOF qua phép quay tâm O góc quay 120 là:

Câu 7: Chọn 12 giờ làm mốc, khi kim đồng hồ chỉ 5 giờ đúng thì kim giờ đã quay được một góc bao

nhiêu độ?

Câu 8: Cho hai điểm phân biệt I, M và QI; 32  M N Mệnh đề nào sau đây đúng?

A M là trung điểm của đoạn IN B N là trung điểm của đoạn IM.

C I là trung điểm của đoạn MN. D MN

Câu 9: Cho hình thoi ABCD có góc  ABC 60 (các đỉnh của hình thoi ghi theo chiều kim đồng hồ) Ảnh

của cạnh CD qua phép quay QO;60 là:

Dạng 2: Xác định ảnh của điểm, đường thẳng qua phép quay

Phương pháp giải

1 Xác định ảnh của một điểm qua phép quay: Sử

dụng biểu thức tọa độ của phép quay

Ví dụ 1 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, phép quay

tâm O góc quay 90 biến điểm M1;2 thànhđiểm nào?

2 Xác định ảnh ' của đường thẳng  qua phép

quay

Ví dụ 2 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho

đường thẳng ' : 5d x 3y150 Tìm ảnh d’ của

d qua phép quay QO;90 với O là gốc tọa độ?

Hướng dẫn giải

Cách 1: Chọn hai điểm A, B phân biệt trên  Xác

định ảnh A’, B’ tương ứng Đường thẳng ' cần tìm

là đường thẳng qua hai điểm A’, B’.

  , '  hoặc  a (đơn vị rađian)

Cách 2: Vì góc quay là 90 nên dd' Khi đó

d’ có phương trình là 3 x5y c 0Chọn A0;5d

Khi đó QO;90 A A'5;0d' c15Vậy ' : 3d x5y150

Cách 3: Sử dụng quỹ tích:

+ Với mọi điểm M x y ;  :QO;  M M x y' '; '

thì M  ' '

+ Từ biểu thức tọa độ rút x, y thế vào phương trình

đường thẳng  ta được phương trình đường thẳng

+ Với đường tròn áp dụng tính chất của phép quay

biến đường tròn thành đường tròn có cùng bán kính

hoặc sử dụng quỹ tích

Ví dụ 3 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho

đường tròn   C : x12y 22 4.Tìm ảnh  C' của đường tròn  C qua QO;90

Ví dụ mẫu

Ví dụ 1 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, phép quay tâm O góc quay 90 biến điểm M  3;5 thành điểmnào?

Xét OIO' vuông cân tại I Khi đó QI;90  O   O'

Vậy có một phép quay thỏa mãn

x x

A y

Với mọi điểm M x y ; d ta có QI;45 M M x y' '; 'd'

Với I2;1, ta có biểu thức tọa độ

O

x x

Đường thẳng AC qua A và B’ có phương trình là 3 x y 1 0

Tương tự Đặt ABC  Khi đó sin 1 cos2 1

Suy ra

4' 3

Đường thẳng BC qua B và A’ có phương trình là x 2y 5 0

BÀI 3: KHÁI NIỆM PHÉP DỜI HÌNH – HAI HÌNH BẰNG NHAU Mục tiêu

 Kiến thức

+ Nắm được định nghĩa phép dời hình

+ Nắm được định nghĩa hai hình bằng nhau

+ Nắm được tính chất của phép dời hình

 Kĩ năng

+ Phân biệt phép biến hình, phép dời hình

+ Biết vận dụng định nghĩa và tính chất của phép dời hình để vẽ và xác định ảnh của một điểm,một đường thẳng, một hình cho trước

I LÍ THUYẾT TRỌNG TÂM

Các phép đồng nhất, tịnh tiến, đốixứng trục, đối xứng tâm và phép quayđều là những phép dời hình

Phép biến hình có được bằng cáchthực hiện liên tiếp hai phép dời hìnhcũng là một phép dời hình

Phép dời hình là phép biến hình bảo toàn khoảng cách giữa hai

điểm bất kì

a) Nếu một phép dời hình biến ABC

thành A B C' ' ' thì nó cũng biếntrọng tâm, trực tâm, tâm đường trònngoại tiếp, nội tiếp ABC tương ứngthành trọng tâm, trực tâm, tâm đườngtròn ngoại tiếp, nội tiếp A B C' ' '.b) Phép biến hình biến đa giác n cạnhthành đa giác n cạnh, biến đỉnh thànhđỉnh, cạnh thành cạnh

Phép dời hình

 Biến ba điểm thẳng hàng thành ba điểm thẳng hàng và

bảo toàn thứ tự giữa các điểm

 Biến đường thẳng thành đường thẳng, biến tia thành tia,

biến đoạn thẳng thành đoạn thẳng bằng nó

 Biến tam giác thành tam giác bằng nó, biến góc thành

góc bằng nó

 Biến đường tròn thành đường tròn có cùng bán kính

Khái niệm hai hình bằng nhau

Hai hình được gọi là bằng nhau nếu có một phép dời hình biến

hình này thành hình kia

II CÁC DẠNG BÀI TẬP

Dạng 1: Phân biệt phép biến hình, phép dời hình

Phương pháp giải

Để chứng minh một phép biến hình là phép dời hình thì cần nắm chắc tính chất “bảo toàn khoảng cách

giữa hai điểm bất kỳ”, tức là phải chỉ rõ  

Ví dụ 1 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, phép biến hình nào sau đây là phép dời hình?

a) Phép biến hình F1 biến mỗi điểm M x y ;  thành điểm M y' ; x

b) Phép biến hình F2 biến mỗi điểm M x y ;  thành điểm M' 2 ; x y

c) Phép biến hình F3 biến mỗi điểm M x y ;  thành điểm M' 3 x1;y1

Hướng dẫn giải

Lấy hai điểm M x y 1; 1,N x y 2; 2, ta có MN x2 x12y2 y12

a) Ảnh của M, N qua phép biến hình F1 lần lượt được M y' 1;x1,N y' 2;x2

Ta có M N' ' y2 y1 x1 x2 MN.

Vậy phép biến hình F1 là phép dời hình

b) Xét ảnh của M, N qua phép biến hình F2 lần lượt là M' 2 ; x y1 1,N' 2 x y2; 2

Ta có M N' ' 4x2 x12y2  y12

Để ý rằng, nếu x1 x2 thì M N' 'MN

Vậy phép biến hình F2 không là phép dời hình (vì có một số điểm không bảo toàn khoảng cách)

c) Xét ảnh của M, N qua phép biến hình F3 lần lượt được M' 3 x11;y11 , N' 3 x2 1;y21

Ta có M N' ' 9x2 x12y1 y22

Nếu x1x2 thì M N' 'MN

Vậy phép biến hình F3 không là phép dời hình (vì có một số điểm không bảo toàn khoảng cách)

Ví dụ 2 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, xét phép biến hình F biến mỗi điểm M x y ;  thành điểm

Câu 1: Phép biến hình F là phép dời hình thì:

A F biến đường thẳng thành đường thẳng song song với nó.

B F biến đường thẳng thành chính nó.

C F biến đường thẳng thành đường thẳng cắt nó.

D F biến tam giác thành tam giác bằng nó.

Câu 2: Giả sử phép biến hình F biến ABC thành A B C' ' ' Xét các mệnh đề sau:

(1) Trọng tâm ABC biến thành trọng tâm A B C' ' '

(2) Trực tâm ABC biến thành trực tâm A B C' ' '

(3) Tâm đường tròn ngoại tiếp, nội tiếp ABC lần lượt biến thành tâm đường tròn ngoại tiếp, nội tiếp

Câu 3: Hãy tìm khẳng định sai trong các khẳng định sau:

A Phép tịnh tiến là phép dời hình B Phép đồng nhất là phép dời hình.

C Phép quay là phép dời hình D Phép vị tự là phép dời hình.

Câu 4: Xét hai phép biến hình sau:

(1) Phép biến hình F1 biến mỗi điểm M x y ;  thành điểm M'y x; 

(2) Phép biến hình F2 biến mỗi điểm M x y ;  thành điểm M' 2 ;2 x y

Phép biến hình nào trong hai phép biến hình trên là phép dời hình?

a) Xác định ảnh của điểm M1;2 qua phép biến hình F.

b) Xác định phương trình đường thẳng ' là ảnh của đường thẳng : x y 1 0 qua phép biến

b) Cách 1: Chọn 2 điểm M, N bất kỳ trên , xác định ảnh tương ứng là M’, N’ Đường thẳng ' cần tìm

là đường thẳng qua hai điểm M’, N’.

Vậy đường thẳng ' cần tìm là đường thẳng M’N’.

Đường thẳng M’N’ đi qua M ' 1;3 và nhận vectơ chỉ phương M N  ' ' 1; 1 

F I I  là tâm của đường tròn ảnh  C'

Vì phép biến hình F là phép dời hình nên bán kính của  C' là 2

Bài tập tự luyện dạng 2

Câu 1: Cho biến hình F đặt tương ứng điểm M x M;y M với điểm M x y' '; ' theo công thức

Lấy hai điểm A x y 1; 1,B x y 2; 2 bất kì trong mặt phẳng.

M

M

x x

Cho điểm I và một số thực k 0 Phép biến hình biến mỗi điểm

M thành M’ sao cho IM'k IM. được gọi là phép vị tự tâm I, tỉ

+ Khi k 1 thì phép vị tự là phépđồng nhất.

+ Khi k 1, phép vị tự là phép đốixứng qua tâm vị tự

+ Biến một đường thẳng thành một đường thẳng song song hoặc

trùng với đường thẳng đã cho, biến tia thành tia, biến đoạn thẳng

Tâm vị tự của hai đường tròn

Định lí: Với hai đường tròn bất kì luôn có một phép vị tự biến

đường tròn này thành đường tròn kia

Tâm của phép vị tự này được gọi là tâm vị tự của hai đường tròn

Cho hai đường tròn I R;  và I R'; '

+ Nếu I I' thì các phép vị tự '

; R

I R

V 



 

  biến I R;  thành I R'; '

+ Nếu II' và RR' thì các phép vị tự '

;R

O R

V 



 

  biến

I R;  thành I R'; ' Ta gọi O là tâm vị tự ngoài còn O1 là tâm vị

tự trong của hai đường tròn