Để nhận được bài thi, thí sinh phải nộp lại.[r]
Trang 1TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH
TRƯỜNG THPT CHUYÊN
ĐỀ THI KHẢO SÁT CHẤT LƯỢNG LỚP 12 NĂM 2012
Môn: TOÁN; Khối: A; Thời gian làm bài: 180 phút
PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7,0 điểm)
Câu I (2,0 điểm) 1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (H của hàm số )
1
1 2 +
+
−
=
x
x y
2 Tìm m để đường thẳng d:y=−x+m cắt (H) tại hai điểm A, B thỏa mãn AB=2 2
Câu II (2,0 điểm) 1 Giải phương trình sin3x+sin2x+sinx+1=cos3x+cos2x−cosx
2 Giải bất phương trình +7−2 >4 + 4−2
x
x x
x x
x
2
2 ln
0
e e
x
Câu IV. (1,0 điểm) Cho hình lăng trụ ABC A B C 1 1 1 có M là trung điểm cạnh AB, BC=2a,∠ACB=900 và
,
600
=
∠ABC cạnh bên CC1 tạo với mặt phẳng )(ABC một góc 450, hình chiếu vuông góc của C1 lên mặt phẳng )(ABC là trung điểm của CM Tính thể tích khối lăng trụ đã cho và góc tạo bởi hai mặt phẳng
)
(ABC và (ACC1A1)
Câu V. (1,0 điểm) Cho các số thực dương x, y, z thỏa mãn x+y+z≤3 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu
x zx z z yz y y xy x z y x
P
+
−
+ +
−
+ +
− + + +
=
PHẦN RIÊNG (3,0 điểm) Thí sinh chỉ được làm một trong hai phần (phần a hoặc b)
a Theo chương trình Chuẩn
Câu VIa. (2,0 điểm) 1 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho elip ( ) : 2 2 1
E + = có các tiêu điểm F1, F2 (F1 có
hoành độ âm) Đường thẳng d đi qua F2 và song song với đường phân giác của góc phần tư thứ nhất cắt )
(E tại A và B Tính diện tích tam giác ABF 1
2 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng
1
1 1
1 1
2 :
−
+
=
+
=
x
:
2
3 1
1 1
3= + = +
x Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa d và tạo với Δ một góc 300
Câu VIIa (1,0 điểm) Tính hệ số của x4 trong khai triển biểu thức ⎢⎣⎡ x+3(1−1x)⎥⎦⎤ ,(x>0),
n
biết rằng n
là số nguyên dương thỏa mãn 3 8 3 3
1
2 2
1
C
b Theo chương trình Nâng cao
Câu VIb (2,0 điểm) 1 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho parabol , (P):y2=2x và điểm ).K(2;0 Đường
thẳng d đi qua K cắt (P) tại hai điểm phân biệt M, N Chứng minh rằng tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác OMN nằm trên đường thẳng d
2 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P):x+2y−z+5=0 và đường thẳng
1
3 1
1 2
3
:x+ = y+ = z−
d Gọi 'd là hình chiếu vuông góc của d lên (P) và E là giao điểm của d và (P) Tìm tọa độ điểm F thuộc (P) sao cho EF vuông góc với ' d và EF =5 3
Câu VIIb. (1,0 điểm) Giả sử z là số phức thỏa mãn z2− z2 +4=0 Tìm số phức
2
3
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛ +
− +
=
z
z w
- Hết -
Ghi chú: Ban tổ chức sẽ trả bài vào các ngày 23, 24/6/2012 Để nhận được bài thi, thí sinh phải nộp lại
www.VNMATH.com
Trang 2TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH
TRƯỜNG THPT CHUYÊN ĐÁP ÁN ĐỀ THI KHẢO SÁT CHẤT LƯỢNG LỚP 12 - NĂM 2012 Môn: TOÁN – Khối A; Thời gian làm bài: 180 phút
1 (1,0 điểm)
a) Tập xác định: R\{−1}
b) Sự biến thiên:
* Giới hạn, tiệm cận: Ta có
( )− =−∞
−
xlim1 và
lim
−
x Do đó đường thẳng x=−1 là
tiệm cận đứng của (H)
Vì lim = lim =−2
+∞
→
−∞
x
x nên đường thẳng y=−2 là tiệm cận ngang của đồ thị
* Chiều biến thiên: Ta có 0, 1
) 1 (
3 ' 2 < ∀ ≠− +
−
x
Suy ra hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng (−∞;−1) (, −1;+∞)
0,5
* Bảng biến thiên:
x − 1∞ − ∞+
'
y − −
y
+∞
2
− 2−
− ∞
c) Đồ thị: Đồ thị (H) cắt Ox tại ⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ ;0 2
1
, cắt Oy
tại ( )0;1. (H) nhận giao điểm I(−1;−2) của
hai đường tiệm cận làm tâm đối xứng
0,5
2 (1,0 điểm)
Hoành độ giao điểm của d và (H) là nghiệm của phương trình
x
x =− + +
+
− 1
1 2
) 1 ( 0
1 )
1 (
1 ), )(
1 ( 1 2
⇔
−
≠ +
− +
= +
−
⇔
m x m x
x m x x
x
Phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt ⇔Δ>0⇔(m+1)2−4(−m+1)>0
⎢
⎢
⎣
⎡
+
−
>
−
−
<
⇔
>
− +
⇔
3 2 3
3 2 3 0
3 6
2
m
m m
0,5
I
(2,0
điểm)
Khi đó A(x1;−x1+m),B(x2;−x2+m), với x1+x2=m+1, x1x2 =−m+1
1 2
2 1 2
2 1 2
AB
⎢
⎣
⎡
−
=
=
⇔
=
− +
⇔
= +
−
− +
⇔
=
− +
⇔
7
1 0
7 6 4
) 1 ( 4 ) 1 (
4 4
) (
2 2
2 1
2 2 1
m
m m
m m
m
x x x
x
Đối chiếu với (2), ta có các giá trị cần tìm của m là m = m1, =−7
0,5
1 (1,0 điểm)
II
(2,0
điểm)
Phương trình đã cho tương đương với
x x x
x x
x sin ) sin2 1 cos2 cos3 cos 3
⇔2sin2xcosx+2sinxcosx+2sin2x=−2sin2xcosx
0 ) sin )(cos 1 cos 2 ( sin
0 ) sin (cos sin ) sin (cos 2 sin
= +
+
⇔
= +
+ +
⇔
x x x
x
x x x x
x x
0,5
x
O
1
−
2 1
y
1
www.VNMATH.com
Trang 3Từ đó ta có các trường hợp sau
*) sinx=0⇔x=kπ,k∈Z
3
2 2
1 cos 0 1 cos
2 x+ = ⇔ x=− ⇔x=± π +k π k∈Z
4 0
sin cosx+ x= ⇔x=−π +kπ k∈Z
4 ,
2 3
2
0,5
2 (1,0 điểm)
0 2 4
0
>
⇔
⎪⎩
⎪
⎨
⎧
>
− +
>
x x
x x
Khi đó bpt đã cho tương đương với 2 7 2 4 2 4 2
x x
x
x + − > + − Đặt x2−2x+4=t,t≥0 ta được
⎢
⎣
⎡
>
<
⇔
>
+
−
⇔
>
+
3
1 0
3 4 4
2
t
t t
t t t
0,5
*) Với t<1 ta có x2− x2 +4<1, bpt này vô nghiệm
*) Với t>3 ta có
⎢
⎢
⎣
⎡
−
<
+
>
⇔
>
−
−
⇔
>
+
−
6 1
6 1 0
5 2 3
4
2
x
x x
x x
x
Đối chiếu điều kiện, ta có nghiệm x>1+ 6
0,5
) 1 (
2 ln
0
2
e
xe
x
1
1 d
) 1 (
+
−
=
⇒ +
e v x e
e v
Theo công thức tích phân từng phần ta có
∫
+
+ +
−
0
2 ln
0 0
2 ln
1
d 3
2 ln 1
d
x e
x e
x
0,5
III
(1,0
điểm)
1 d
2 ln
0
e
x
I Đặt e x =t ta có x=0⇒t=1;x=ln2⇒t=2 và d d
t
t
x=
1
1 1 ) 1 (
d
1
2
1
2 2
1
2
1
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ +
−
= +
t t t
t
t I
Thay vào (1) ta được ln2 ln3
3
=
I
0,5
45 )) (
; ( )
1 1
*) Từ tam giác vuông ABC với
3 2 60
,
a AC ABC
a
a CH a AB CM
a
2
1 ,
4
45 tan 0
⇒
3 2 3 2
1
V ABC B C = ABC = =
0,5
IV
(1,0
điểm
*) Kẻ HK ⊥ AC⇒ đường xiên C1K ⊥AC⇒∠((ABC);(ACC1A1))=∠C1KH
Tam giác MCA cân tại M
2 30 sin
HC HK MAC
∠
⇒
2 arctan ))
( );
((
2 )
HK
CH KH C
0,5
C
A
M
H
K
1
C
1
B
1
A
2a
B
www.VNMATH.com
Trang 4Ta có 13 13 1 3 ; 13 13 1 3 ; 13 13 1 3
zx x
z yz z
y xy y
Suy ra 23 23 23 3 3 3 3
zx yz xy z
y
x + + + ≥ + +
x zx z z yz y y xy x zx yz xy P
+
−
+ +
−
+ +
− + + +
≥ +
0,5
V
(1,0
điểm
Mặt khác, áp dụng BĐT 1 1 4 ,
b a b
a+ ≥ + với a,b>0 ta có
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+
− + +
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
+
− + +
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
+
− + + + +
≥
x zx z zx z
yz y yz y
xy x xy zx yz xy P
12 3 4
9 3 16 ) 2 2 2 (
9 3
16
) ( ) ( ) (
3
16 ) (
16 )
(
16 )
( 16
1 2
1 4
1 2
1 4
1 2
1 4
4 4
4 2
2 2
2 2
2 2
2
2 2 2
2 2
2
2 2 2 2 2 2
=
≥ + +
≥
+ +
+
≥ +
+ +
+ +
≥
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+ + +
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
+ + +
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
+ +
=
+
+ +
+ + + + +
≥
z y x
x z z y y x x
z z y y x
x z zx z
y yz y
x xy
x z z y y x zx yz xy
Do đó P≥9 Dấu đẳng thức xảy ra khi x=y=z=1
Vậy giá trị nhỏ nhất của P là 9, đạt được khi x= y=z=1
0,5
1 (1,0 điểm)
1 4 8
:
)
(
2 2
= + y
x
E có c= 8−4=2⇒F1(−2;0),F2(2;0)
Từ giả thiết ⇒d:y=x−2 hay x − y−2=0
0,5
3
2
; 3
8 ), 2
; 0 ( 1 4 8
2
2
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−
⇒
⎪⎩
⎪
⎨
⎧
= +
−
=
B A
y x
x y
3
16 2 2 2 3
8 2
1 )
; ( 2
1
1
S F AB
0,5
2 (1,0 điểm)
*) (P) chứa d⇒(P) đi qua M(2;−1;−1)⇒ pt (P) có dạng
)
0 (
0
− +
Ax
0 0
)
*)
2
1
6
| 2
| 2
1 )) (
; sin(
30 )) (
; (
2 2 2
+ +
+ +
⇔
= Δ
⇔
= Δ
∠
C B A
C B A P
P
2( 2 )2 3( 2 2 2)
C B A C
B
0,5
VIa
(2,0
điểm)
*) Từ (1) có C= A+B thay vào (2): ⎢⎢
⎣
⎡
−
=
−
=
⇔
= + +
2
2 0
2 5
B A
B A B
AB A
+ Khi A=−2B Chọn B=−1, A=2,C=1⇒(P):2x−y+z−4=0
2
B
A=− Chọn B=−2, A=1,C =−1⇒(P):x−2y−z−5=0
0,5
VIIa
(1,0
điểm)
6
) 1 ( ) 1 ( 3 2
) 1 )(
2 ( 8 ) 1 (
3 n+ + n+ n+ = n+ n n− n≥
2
11 0
22 9 )
1 ( ) 2 ( 8
⎣
⎡
−
=
=
⇔
=
−
−
⇔
−
= + +
n
n n
n n
n n
0,5
www.VNMATH.com
Trang 5Theo khai triển nhị thức Newton ta có
∑
∑
∑
=
−
=
−
=
−
=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ −
=
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ −
i
i
i i k k k
k k k
k k k
k
x C x
C x
x C x
x
0 11 11
0 11 11
11 0 11
11
) 1 ( ) ( 3
1 1 3 ) (
1 1 3
3 ( 1) 2
11 0
11 0 11
i k i k
i
i k k k
k
x C
−
=
=
−
2
⎣
⎡
=
=
=
=
⇔
≤
≤
≤
= +
⇔
0 , 3
1 , 1 11
0 , 3 2
i k
i k k
i i
k
Suy ra hệ số của 4
x là 3 .( 1) 3.33 4422
11 1 1 1
1
C
0,5
1 (1,0 điểm)
) 2
; 2 (
) 2
; 2 ( 2
2
⎩
⎨
⎧
−
⇒
⎩
⎨
⎧
=
=
ON OM N
M x y
x
– TH2: d ⊥/Ox⇒d:y=kx−2k. Tọa độ M, N là nghiệm của
⎩
⎨
⎧
=
−
=
x y
k kx y
2
2
2
⎪
⎪
⎩
⎪⎪
⎨
⎧
−
=
=
⇔
k y k y
y x
2 2
2
2 2
0 4 2
0,5
Để d cắt (P) tại M, N phân biệt thì (2) phải có 2 nghiệm phân biệt ⇔ k≠0
Gọi ⎜⎜⎝⎛ ⎟⎟⎠⎞ ⎜⎜⎝⎛ 2⎟⎟⎠⎞
2 2 1
2
2 ,
;
y N y
y
M trong đó y1, y2 là nghiệm của (2)
2
2 1
2 2
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
ON
Từ (1) và (3) suy ra ∠MON=900⇒ΔOMN vuông tại O Suy ra tâm I của đường tròn ngoại tiếp OMNΔ là trung điểm MN ⇒I∈d
0,5
2 (1,0 điểm)
d cắt (P) tại E(−1;0;4)
Giả sử F(x0; y0;z0),F∈(P)⇒x0+2y0−z0+5=0 (1)
Vì EF⊥ nên d' EF⊥ (định lí 3 đường vuông góc) d ⇒u d.EF =0
0 2
2 0+ 0+ 0− =
0,5
VIb
(2,0
điểm)
75 ) 4 ( )
1 ( 3
0
2 0
2
⇔
Từ (1), (2) và (3) suy ra F(4;−5;−1), hoặc F(−6;5;9) 0,5
Từ giả thiết 0z2− z2 +4= ta có (z−1)2 =−3⇔z=1± 3i 0,5 VIIb
(1,0
điểm) *) Với z=1+ 3i ta có
7
7 7
7 7
) 6
sin 6 (cos
) 4
sin 4
(cos 2 8
1 ) 3 (
) 1 ( 3
3
3 3
π π
π π
i
i i
i i
i w
+
− +
−
= +
−
=
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛ +
−
=
i
i
i i
i
+ +
*) Với z=1− 3i ta có
7
7 7
7
) 6
sin 6 (cos
) 4
sin 4
(cos 2 8
1 ) 3 (
) 1 (
π π
π π
− +
−
+
=
−
+
=
i
i i
i w
32
1 3 32
1 3 3
1 8 1 6
7 sin 6
7 cos
4
7 sin 4
7 cos 2 8
1
i i
i i
+
−
−
=
− +
−
+
π π
0,5
www.VNMATH.com