Gọi AH là đường cao tam giác ABC.[r]
Trang 1Đáp án sơ lược
Câu1
1 (1.0đ)
• TXĐ: R
• Sự biến thiên
- Giới hạn: lim ; lim
→+∞ = +∞ →−∞ = −∞
2
x
x
=
- Bảng biến thiên:
'
y
−∞
0
-4
+∞
Hàm số đồng biến trên ( −∞ ;0 , 2; ) ( +∞ ), nghịch biến trên ( ) 0; 2
Hàm số đạt cực đại tại xCD = 0; yCD = 0 Hàm số đạt cực tiểu tại xCT = 2; yCT = − 4
• Đồ thị
- Điểm uốn: y '' = 6 x − = ⇔ = ⇒ 6 0 x 1 điểm uốn U ( 1; 2 − )
- Giao Ox y : = ⇒ = 0 x 0; x = 3 Giao Oy x : = ⇒ = 0 y 0
- Đồ thị hàm số nhận điểm uốn U ( 1; 2 − ) làm tâm đối xứng
-5 -4 -3 -2 -1
1
x y
0.25
0.25
0.25
0.25
2.(1.0đ) x= ⇒ = −2 y 4, y'(2)=0
Pt tiếp tuyến của (C) tại M(2;-4) là: y = - 4
Pt hoành độ giao điểm của tiếp tuyến và (C) là: 3 2 1
2
x
x
= −
Vậy diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C) và tiếp tuyến là:
2
1
27
4
−
0.25 0.25
0.5
Câu2
1.(1.0đ)
f x = − x+ x+ x ⇒ f''( )x = −4 cos 2x−4 sinx+4
2
sinx
2
⇔
=
0.25
0.5
Trang 2; ;
π
2.(1.0đ)
3 : 3
x DK
x
>
≤ −
5
3
3
x
x
≥ −
3 0
3
x
x x
x
+ =
2
3
x
= −
⇔
3 11
1 (loai) 3
x x x
= −
=
0.5
0.5
Câu 3
(1.0đ)
Nhận thấy x = 0 không là nghiệm của hệ
Hệ
2 2
2 2
2
1
6 6
y
x x
y
Đặt:
1
y u x
y v x
+ =
=
Ta có hệ: 2
6
6
v
u
v
u
Khi đó:
2
1
3
1
2 2
y
x
x
x
=
0.5
0.25
0.25
Câu 4
ABC
∆ đều ⇒ H ∈ AI
( )
MBC
⇒ ∆ cân⇒ ∈ O MI
+ Có MA ⊥ BC AI , ⊥ BC ⇒ BC ⊥ ( MAI )
( ) 1
+ Có CH ⊥ AB CH , ⊥ MA ⇒ CH ⊥ ( MAB )
mà CO ⊥ MB ⇒ MB ⊥ ( CHO )
( ) 2
Từ (1) và (2) ⇒ OH ⊥ ( MBC )
b)
2
2
Do OH ⊥ MI ⇒ Anằm giữa M và N
2
a
AM = AN =
Vậy MN nhỏ nhất khi M nằm trên d và 2
2
a
AM =
0.25
0.25
0.25
0.25
N
H O
I
C
B M
A
Trang 3Câu 5
(1.0đ) Gọi C(a, b)
⇒
Vì G thuộc đường thẳng: 3x – y – 8 = 0 nên: 5
3
b
Có: AB = 2 và phương trình đường thẳng AB là: x – y – 5 = 0
ABC
a b
Từ (1) và (2) ⇒ C ( − − 2, 10 )hoặc C ( 1, 1 − )
0.5
0.5 Câu 6
(1.0đ)
Xét:
1
2 khi x -2,x 0 1
1
2 khi x<-2
x x
x x x
= + + =
− − +
2 2 2 2
1 khi x > -2, x 0 '( )
1 khi x < -2
x x
f x
x x
≠
=
+
−
'( ) 0
1
x
f x
x
= −
x
→ = +∞ → = −∞ = +∞
Ta có bảng biến thiên x −∞ -2 -1 0 1 +∞
f’(x) - + 0 - - 0 +
f(x) +∞ 0 +∞
+∞
1
2 − −∞ 4
Từ bbt ta có pt có ba nghiệm phân biệt khi:
1
2
1
2
1
2
m m
m m
⇔
< <
16 1 2
1 0
2
m
m
< <
⇔
< <
0.5
0.25
0.25
Câu 7a
(đề AB)
(1.0đ)
Có: ( ) (2 ) (2 )2
( ) (2 ) (2 )2
Gọi D(x;y;z) là chân đường phân giác trong kẻ từ B, ta có:
− − = −
2 3 11 3 1
x
y
z
= −
=
Khi đó đt BD qua B(2;-1;3) và có vectơ chỉ phương 8 14; ; 2 2(4; 7;3)
BD= − − = − −
Vậy pt đt BD là: 2 1 3
x− y+ z−
−
0.25
0.5
0.25
Trang 4Câu 7b
(đề AB)
(1.0đ)
Với x y ≥, 1ta có: 1 2 1 2 2
Thật vậy (1)
1
xy
+ + + ⇔(2+x2+y2) (1+xy)≥ +2 2x2+2y2+2x y2 2
( ) (2 )
x y xy
⇔ − − ≥ (đúng do x y ≥, 1) Đẳng thức xảy ra khi: 1
x y
x y xy
x y
=
Áp dụng (1) ta có:
3 4
Tương tự có:
,
Từ đó suy ra:
Đẳng thức xảy ra khi a = b = c
0.5
0.5
Câu 7a
(đề D)
(1.0đ)
Đường thẳng a đi qua A chia đôi tam giác ABC nên nó cắt BC tại điểm M nằm giữa B và C
Gọi AH là đường cao tam giác ABC
Vậy M là trung điểm BC 3 1 3
, ,
2 2 2
Khi đó a qua A(3,0,0) và có vectơ cp
nên a có pt: 3
x− = y = z
−
0.5
0.5
Câu 7b
(đề D)
(1.0đ)
Xét ( ) ( 1)n 0 1 2 2 n n
f x = x+ =C +C x C x+ + +C x
( ) ( ) 1 1 2 2
Trong (1) cho x = 1 ta có đẳng thức cần chứng minh
0.5
0.5
Chú ý: Học sinh làm cách khác mà đúng vẫn cho điểm tối đa!