Tìm xác suất để chọn ra 4 học sinh đi lao động sao cho trong đó có không quá 2 nữ.. Câu 4..[r]
Trang 1ĐỀ THI THỬ CHỌN LỚP 12 NĂM 2012 – 2013
Thời gian: 120 phút Câu 1 (2,0đ) Giải phương trình
9 cos2x 3sin 2x 5 2(x ) 3
4
Câu 2: (2,0đ) Khai triển biểu thức ( ) 1 2
n
P x x ta được ( ) 0 1 2 2 n
n
P x a a x a x a x
Tìm hệ số a6 biết a0 a1 a2 71
Câu 3: (4,0đ)
1) Từ 8 chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 có thể lập được bao nhiêu số gồm 6 chữ số khác nhau trong đó nhất thiết phải có mặt chữ số 4
2) Một tổ học sinh có 6 nam và 5 nữ Tìm xác suất để chọn ra 4 học sinh đi lao động sao cho trong đó có không quá 2 nữ
Câu 4 (6,0đ)
1) Tính giới hạn sau: L =
3 2 0
lim
x
x
2) Cho n
3) Cho hàm số y x 3 3 x Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số kẻ từ điểm
( 1; 2)
M
Câu 5 (2,0đ) Cho tứ diện ABCD Tìm M trong không gian sao cho
MA MB MC MD đạt giá trị nhỏ nhất
Câu 6 (4,0đ) Cho tứ diện ABCD có tam giác ABC đều cạnh bằng a ( a 0) và tam giác
BCD cân tại D với DC
5 2
a
1) Chứng minh AD BC
2) Gọi G là trọng tâm của tam giác BCD Tính góc giữa hai đường thẳng AG và CD
theo a biết góc giữa hai mặt phẳng (ABC) và (BCD) bằng 300
Trang 2ĐÁP ÁN ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN
KHỐI 11 NĂM 2011 – 2012
1
PT cos2x 3sin 2x 5(cos x sinx) 3
(cos x sin x) 3(1 2sin x.cos x) 5(cos x sinx) 0
(cos x sinx)( 2cos x 4sin x 5) 0
cos x sinx 0 ( 2cos x 4sin x 5 0 VN)
t anx 1 x k (k Z)
4
0,5đ
0,5đ 0,5đ
0,5đ
2
Khi đó a0 C n0, a1 C1n.( 2) , a2 C n2.( 2) 2 và a6 C n6.( 2) 6
Mặt khác a0 a1 a2 71 C n0 2C1n 4C n2 71
2
7 ( / )
5 ( )
n t m
Vậy a6 C76.( 2) 6 448
0,5đ 0,5đ
0,5đ
0,5đ
3.1
Xét 2 trường hợp
TH1: Chữ số đầu là số 4 Khi đó 5 chữ số đằng sau có A75 cách
chọn
TH2: chữ số 4 không đứng ở vị trí đầu Khi đó có 5 vị trí cho số 4
Chữ số đầu có 6 cách chọn và 4 chữ số còn lại có A64 cách chọn
Vậy TH2 có 5.6.A64cách chọn
Vật số các số tự nhiên TMYC đầu bài là: A75 5.6.A64 13320
0,5đ
0,5đ
0,5đ 0,5đ
3.2
Phép thử: ‘‘lấy ngẫu nhiên 4 sinh viên trong tổ” n C114 330
Gọi A: ‘‘Lấy 4 HS trong đó có không quá 2 nữ”
Có 3 trường hợp xảy ra
TH1: Lấy cả 4 HS nam có C64 cách chọn
TH2: Lấy 4 HS trong đó có 1 nữ và 3 nam có C51.C63 cách
TH3: Lấy 4 HS trong đó có 2nữ và 2 nam có C52.C62 cách
n A C64C C51 63C C52 62 265
Vậy xác suất xuất hiện biến cố A là:
n A
P A
n
0,5đ 0,5đ
0,5đ
0,5đ
1,0đ
Trang 32 3 2
3
1
0,5đ
4.2
n
Suy ra : n
limS lim
2
2 n
1,0đ
1,0đ
4.3
Đường thẳng d đi qua điểm M(- 1; 2), hệ số góc k có phương trình
là: y k x ( 1) 2
Đường thẳng d là tiếp tuyến của đồ thị hàm số hệ phương trình
sau có nghiệm:
3 2
x x k x
Giải hệ tìm được : x1,k 0 hoặc
,
x k
Vậy các phương trình tiếp tuyến cần lập là:
2
y
0,5đ
0,5đ
0,5đ
0,5đ
5
Gọi G là trọng tâm của tứ diện ta có:
2
4
MG MG GA GB GC GD GA GB GC GD
MG GA GB GC GD
GA GB
GC GD
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi M G
MA MB MC MD đạt giá trị nhỏ nhất khi M là trọng tâm của tứ diện
0.5đ
0.5đ
0.5đ
0.5đ
6 1) CM : ADBC
Gọi M là trung điểm BC, ta có :
ABC
đều nên AM BC
BCD
cân nên DM BC
1,5đ
Trang 4N G
B
A
M
2) Tính góc giữa AG và CD
-Ta có MA và MD cùng BCnên góc giữa 2 mp (ABC) và
(BCD) bằng góc giữa MA và MD Góc giữa MA và MD bằng
300
-Trong MCDkẻ GN / /CD, nối AN
Thì góc giữa AG và CD bằng góc giữa AG và GN
*TH1 : Góc AMD bằng 300
-BCD cân tại D nên tính được MD a
1
a
-ABCđều cạnh a nên
3 2
a
MA
-Áp dụng định lí cosin cho AMG, ta tính được
13 6
a
AG
-MCDcó
a
GN CD
ANCcó
NC AC a C AN
Áp dụng hệ quả định lí cosin tính được
5 cos
65
G
Gọi góc(AG CD; ) thì
5 os
65
c
* TH2 : Góc AMD bằng 1500
Hoàn toàn tương tự tính được : góc(AG CD; ) thì
26 os
7 6
c
Vậy góc(AG CD; ) t/m :
5 os
65
c
hoặc
26 os
7 6
c
0,5đ
0,5đ
0,5đ
0,5đ
0,5đ
Trang 5đề thi Thử chọn lớp 12 NĂM HọC 2012 -2013
(Thời gian 120 phút ,không kể thời gian giao đề)
Bài 1:(2 điểm)
1.cho hàm số y =
m
x x
(Cm) Gọi M là điểm thuộc (Cm) có hoành độ bằng -1 Tìm m để tiếp tuyến của (Cm) tại điểm M song song với đờng thẳng 5x – y = 0
2 Tính giới hạn
2 3 1
3 2 lim
1
x
x x
Bài 2:(3 điểm) Giải các phơng trình
1 2sin3x - cos2x = 8sinx.cos2x + 3
2 (x + 5)(2 – x) = 3 x2 3x
Bài 3:(1 điểm) Một hộp đựng 11 tấm thẻ ghi số từ 1 đến 11 Rút ngẫu nhiên trong hộp ra 6
tấm thẻ Tính xác suất để tổng số ghi trên 6 tấm thẻ rút ra là 1 số lẻ
Bài 4:(1 điểm) Cho 3 số dơng a,b,c thoả mãn : a + b + c =
3 4
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = 3 3 3
a b b c c a
Bài 5:(2 điểm)
1 Trong mặt phẳng Oxy cho A(1;1) B(3;2) và đờng thẳng d: x – y + 2 = 0
Tìm tọa độ điểm C trên d sao cho diện tích tam giác ABC bằng
3 2
2 Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy cho M(2; 0) và N(6; 4) Viết phơng trình đờng tròn (C) tiếp xúc với trục hoành tại M và khoảng cách từ tâm của (C) đến điểm N bằng 5
Bài 6:(1 điểm)
Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại A , góc ABC bằng 300, SBC là tam giác đều cạnh a Mặt phẳng (SAB) vuông góc với mặt phẳng (ABC)
Xác định đoạn vuông góc chung của SB và AC, tính côsin của góc giữa mp(SAC) và (ABC)
Hết
-( Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm)
Đáp án
Bài 1 1 Ta có y’ = x2 - mx
Hệ số góc của tiếp tuyến tại điểm M là k =
' ( 1)
y
= 1 + m Mặt khác tt song song với đt 5x – y = 0 nên k = 5
1 + m = 5 m = 4
0,5 0,5
Trang 62
=
2 3 2 3
2 1
lim
x
=
3 2 3 2 1
lim
x
x
=
0,25 0,25
0,25 0,25
Bµi 2 1 2sin3x - cos2x = 8sinx.cos2x + 3
2sin3x – cos2x = 4sinx(1 + cos2x) + 3
2sin3x – cos2x = 4sinx + 2(sin3x- sinx) + 3
2sin2x – 1 = 2sinx + 3
sin2x – sinx – 2 = 0
sinx = -1 hoÆc sinx = 2 (lo¹i)
x = 2
(k Z)
0 5
0 5
0 5
2 (x + 5)(2 – x) = 3 x2 3x
-x2 – 3x + 10 = 3 x2 3x (1)
§Æt x2 3x = t (t 0)
(1) t2 +3t – 10 = 0
t = 2 hoÆc t = -5 (lo¹i)
Víi t = 2 x2 3x= 2 x2 + 3x = 4
x = 1 ; x = -4
KL: Pt cã 2 nghiÖm x =1 vµ x = -4
0.25
0.5 0.5 0.25
Bµi 3
Ta cã : = C116
§Ó tæng sè ghi trªn 6 tÊm thÎ rót ra lµ 1 sè lÎ th× sè tÊm thÎ ghi sè lÎ
rót ra ph¶i lµ 1 sè lÎ
TH1 : 1 thÎ ghi sè lÎ 5 thÎ ghi sè ch½n : cã C C16 55 c¸ch
TH2 : 3 thÎ ghi sè lÎ 3 thÎ ghi sè ch½n : cã C C63 53 c¸ch
TH3 : 5 thÎ ghi sè lÎ 1 thÎ ghi sè ch½n : cã
5 1
6 5
C C c¸ch
Cã C C16 55 + 3 3
6 5
C C + 5 1
6 5
C C c¸ch
Gäi A lµ biÕn cè ‘tæng sè ghi trªn 6 tÊm thÎ rót ra lµ 1 sè lÎ’
P(A) =
1 5 3 3 5 1
6 5 6 5 6 5
6 11
C C C C. C C.
C
0.25
0.5
0.25
Bµi 4 ¸p dông b®t C«si cho 3 sè d¬ng ta cã
(x + y + z)(
3 3
xyz xyz
Trang 71 1 1 9
x y z x y z
(*)
¸p dông (*) ta cã P = 3 3 3
a b b c c a
9
¸p dông b®t C« si cho 3 sè d¬ng ta cã
3
3
3
a b
b c
c a
3
3
P
DÊu = x¶y ra khi vµ chØ khi
3 4
a b c
a b b c c a
1 4
a b c
VËy minP = 3
0.25
0.25
0.25
0.25
Bµi 5
1 AB = 5
§êng th¼ng AB : x – 2y +1 = 0
Do C d nªn C(t ;t + 2)
ABC
( ; )
5
d C d
t t
| t 3 | 3 0
6
t t
Víi t = 0 C(0;2)
Víi t = -6 C(-6; -4)
0.25
0.25
0.25
0.25
2 §t d ®i qua M vµ vu«ng gãc víi trôc hoµnh cã pt: x =2
Gäi I (a ;b) lµ t©m cña (C)
Do (C) tiÕp xóc víi trôc hoµnh t¹i M nªn I thuéc d I(2;b) vµ R = IM
MÆt kh¸c theo gt IN = 5 (6 2) 2 (4 b)2 5
2
b b
1 7
b b
Víi b = 1 I( 2;1) vµ R = 1
(C1) : (x – 2)2 + ( y – 1)2 = 1
Víi b = 7 I(2; 7) vµ R = 7
(C2) : (x – 2)2 + ( y – 7)2 = 49
0.25
0.25 0.25 0.25 Bµi 6
Trang 8
*Gọi M là trung điểm của SB
ta có
SAB ABC AB
CA AB
CA AM
(1)
CA SA SAC
vuông tại A
xét 2 tam giác vuông SAC và BAC có SC = BC = a
AC chung
BAC SAC
SA AB
ASB
cân tại A AM SB (2)
Từ (1) và (2) suy ra AM là đờng vuông góc chung của SB và AC
*Ta có CA (SAB) nên CASA
Do
( )
SAC ABC AC
AB AC gt
SA AC
nên góc giữa (SAC) và (ABC) là góc SAB Tính cosSAB
SA = AB = BC.cos300 =
3 2
a
cos
2
SA AB SB
SAB
SA AB
2 2
2
a
=
1 3
1 3
0.25
0.25
0.25
0.25