Nếu tăng chiều dài lên 3 lần và giảm chiều rộng một nửa thì chu vi hình chữ nhật mới là 128m. Các đường cao BD, CE của tam giác ABC cắt nhau tại H... a) Chứng minh tứ giác AEHD nội tiế[r]
Trang 1ĐỀ THI VÀO LỚP 10 THPT NĂM HỌC 2012-2013
Môn: Toán
(Thời gian làm bài 120 phút)
Bài 1 (2 điểm):
Cho biểu thức: M =(a−1√a+
1
√a −1): √a+1
a −2√a+1
a) Tìm điều kiện của a để M có nghĩa và rút gọn M
b) So sánh M với 1
Bài 2 (2 điểm):
Cho phương trình: x2 -3x + m = 0 (x là ẩn, m là tham số)
a) Giải phương trình với m = -10
b) Tìm giá trị của m để phương trình trên có 2 nghiệm x1; x2 thỏa mãn
2 1 23 11
3
1 x x x
Bài 3 (2 điểm):
Một mảnh vườn hình chữ nhật có chu vi là 66m Nếu tăng chiều dài lên 3 lần và giảm chiều rộng một nửa thì chu vi hình chữ nhật mới là 128m Tính chiều dài, chiều rộng của mảnh vườn ban đầu
Bài 4 (3,5 điểm):
Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường tròn tâm (O;R) có cạnh BC cố định còn điểm A thay đổi trên đường tròn (O) Các đường cao BD, CE của tam giác ABC cắt nhau tại H
a) Chứng minh tứ giác AEHD nội tiếp được đường tròn
b) Kéo dài AO cắt đường tròn tại F Chứng minh BF//CE và ∠ FAC = ∠ BCE c) Chứng minh rằng khi A thay đổi trên đường tròn (O) thì độ dài đoạn AH không đổi
Bài 5 (0,5 điểm):
Cho a + b = 2 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức A = ab (a2 + b2)
ĐÁP ÁN CHẤM THI VÀO LỚP 10 NĂM HỌC 2012-2013
Môn: Toán lớp
Trang 2H O
A
D E
F I
Bài1
2 điểm
√a − 1¿2
¿
√a − 1¿2
¿
¿
¿
M=(√a (√1a −1)+
1
√a− 1):√a+1¿
a
Do a>0 với mọi giá trị a>0 nên a
1
>0 ⇒ 1- a
1
<1
1đ 0,5 đ
Bài 2:
2 điểm
a)Với m=-10 ta có phương trình: x2-3x-10=0
Δ = (-3)2-4.1.(-10) = 49, phương trình có hai nghiệm phân biệt:
x1 = 5; x2= - 2
b)Ta có Δ = 9 - 4m
Phương trình có hai nghiệm x1; x2 khi Δ 0⇔9 − 4 m ≥ 0⇔ m≤9
4
Khi đó theo hệ thức Viet ta có:
x1+ x2 = 3
x1. x2 = m
Do đó 2 1 23 11
3
1 x x x
x ⇔ x1x2(x12 + x22) = -11 ⇔
x1 +x2 ¿2− 2 x1x2
¿ = ¿
x1x2¿
-11 ⇔ m (9 - 2m) = -11
⇔ 2m2 - 9m - 11=0 ⇔ m1= -1 ; m2 = 112
Ta thấy m= 112 không thỏa đk, còn m=-1 thỏa mãn điều kiện
Vậy với m=-1 thì phương trình trên có 2 nghiệm x1; x2 thỏa
mãn 2 1 23 11
3
1 x x x
x
1 đ
0,5đ
0,5đ
Bài 3
2 điểm
Gọi chiều dài mảnh vườn là x(m), chiều rộng là y (m) (đk x,y>0)
Theo bài ra ta có phương trình 2(x + y) = 66 ⇔ x+ y = 33 (1)
Tăng chiều dài gấp 3 ta được 3x ; giảm chiều rộng một nửa ta
được 0,5y Ta có phương trình : 2(3x + 0,5y) = 128 (2)
Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình :
¿
x+ y=33
6 x+ y=128
¿ {
¿
Giải ra ta được x=19 ; y=14 (thỏa mãn đk bài toán)
Vậy mảnh vườn ban đầu có chiều dài là 19m ; chiều rộng là 14 m
1đ 1đ
Hình
Trang 3Bài 4:
3,5
điểm
a)Ta có CE AB (gt) ⇒ ∠ HAE = 900
BD AC(gt) ⇒ ∠ HDA=900
⇒ ∠ HAE+ ∠ HDA =1800 ⇒ Tứ giác AEHD có tổng số
đo hai góc đối diện bằng 1800 nên nội tiếp được đường tròn
b)Ta có ∠ ABF = 900 (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) ⇒
FB AB ⇒ BF//CE (cùng vuông góc với AB)
Do BF//CE ⇒ ∠ FBC= ∠ BCE (so le trong)
Mặt khác ∠ FBC = ∠ FAC (hai góc nội tiếp cùng chắn 1
cung)
Từ đó suy ra ∠ FAC = ∠ BCE
d) Ta có tứ giác BHCF là hình bình hành (có hai cặp cạnh đối
song song)
Gọi I là giao điểm của BC và HF thì I là trung điểm của BC và HF
Do I là trung điểm BC nên OI BC (quan hệ vuông góc giữa
đường kính và dây) ⇒ OI là khoảng cách từ tâm O đến dây BC
cố định nên OI không đổi
Mặt khác OI là đường trung bình của tam giác FAH nên AH=2OI
do đó khi A thay đổi trên đường tròn thì độ dài AH không đổi
vẽ 0,5đ
1đ
0,5đ 0,5đ
1đ
Bài 5:
0,5đ
A=ab(a2+b2)= a+b¿
2− 2ab
¿
ab ¿
=ab(4-2ab) Đặt ab = t ta có A = t(4-2t) = -2t2 + 4t = 2 - 2(t-1)2 2
Dấu « = » xẩy ra khi t -1=0 ⇔ t =1 ⇒ ab=1
¿
ab=1
a+b=2
⇔
b=1
¿ {
¿
Vậy giá trị lớn nhất của A là 2, đạt được khi a=1; b=1