a;. TRỤC TỌA ĐỘ VÀ HỆ TRỤC TỌA ĐỘ I.. Biểu thức tọa độ của các phép toán vectơ: 1.. GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC CỦA MỘT GÓC BẤT KỲ.. 1.. Giá trị lượng giác của các góc có liên quan:.[r]
Trang 1CHƯƠNG 1: VÉC TƠ
§1.CÁC ĐỊNH NGHĨA
1 Véc tơ :
+ Định nghĩa: ………
+ Ký hiệu: AB chỉ véc tơ có :
+ Véc tơ 0: Là véc tơ có điểm đầu và điểm cuối trùng nhau. AB AB 0 BB 0
AA Véc tơ 0 có độ dài bằng 0 và có phương bất kỳ 2 Véc tơ cùng phương:
3 Véc tơ bằng nhau: a) Định nghĩa:
Ký hiệu: b a *Nếu ABCD là hình bình hành thì: DC AB Đảo lại có đúng không?
b) Tính chất: a a
b b a a
b a và bc a c HĐ1: Các khẳng định sau đây có đúng không? Giải thích? a) Hai vectơ cùng phương với một vectơ thứ ba thì cùng phương b) Hai vectơ cùng phương với một vectơ thứ ba khác 0thì cùng phương. c) Hai vectơ cùng hướng với một vectơ thứ ba thì cùng hướng d) Hai vectơ cùng hướng với một vectơ thứ ba khác 0 thì cùng hướng. e) Điều kiện cần và đủ để hai vectơ bằng nhau là chúng có độ dài bằng nhau HĐ2 :Cho ABC trung tuyến AD, BE, CF Hãy chỉ ra các bộ ba véc tơ khác 0và đôi một bằng nhau ( các véc tơ này có điểm đầu và điểm cuối được lấy trong sáu điểm A, B, C, D, E, F)
Nếu G là trọng tâm ABC thì có thể viết GD AG hay không? Vì sao? B A
C D M N
.cùng phương cng hướng.
.cùng phương ngược hướng
A B
D C
1
Trang 2HĐ3: Cho a và điểm O bất kỳ Hãy xác định A sao cho OAa Có bao nhiêu điểm A như vậy?
§2 TỔNG CỦA CÁC VECTƠ 1.Định nghĩa: ………
………
a b ………
………
b c
………
Ký hiệu: a b AC 2.Tính chất: a) b a = ba b) b c a ) ( = a(bc) c) ( a) 0 a d) a a 0 3.Quy tắc cần nhớ: a) Quy tắc ba điểm: Với ba điểm A, B, C bất kỳ ta có: ………
b) Quy tắc hình bình hành: Trong hình bình hành ABCD, ta có: ………
………
………
………
………
HĐ1: Vẽ ABC, rồi xác định các véc tơ tổng sau a) a) CB AB = b) BC AC = HĐ 2: Vẽ hình bình hành ABCD với tâm O Hãy viết vectơ AB dưới dạng tổng của hai vectơ mà các điểm đầu mút của chúng được lấy trong năm điểm A, B, C, D, O HĐ 3: Cho 2 vectơ b a; Hãy dựng và so sánh hai vectơ: b a và ba HĐ 4: Cho 3 vectơ c b a ;; Hãy dựng a AB b OA ; BC c;Tìm và so sánh hai vectơ: b c a ) ( và a(bc) Bài toán 1:CMR với 4 điểm bất kỳA, B, C, D ta có: BD AD BC AC
Bài toán 2: a) Cho tam giác đều ABC có cạnh bằng a Tính độ dài của véc tơ tổng: AC AB
C A
2
Trang 3b) Cho ABC, vẽ các hình bình hành ABIJ, BCPQ, CARS CMR: RJIQPS O
Bài toán 3: a) Gọi M là trung điểm đoạn AB CMR: MB 0 MA
b)Nếu G là trọng tâm tam giác ABC, CMR : GB GC 0 GA
Bài toán 4: các hệ thức sau đúng hay sai? ( với mọi b a; ) a) b a b a ; b) b a b a ; c) b a b a Bài toán 5: ( B 12/14 SGK) Cho tam giác đều ABC nội tiếp đường tròn tâm 0 a) Xác định điểm M, N, P sao cho: OA OB OM OB OC ON ; OP OC OA
b) Chứng minh rằng: OB OC O OA
§3 HIỆU CỦA HAI VECTƠ 1.Véc tơ đối của một vectơ: a) Định nghĩa: ………
………
………
Ký hiệu: CD AB b) Tính chất: BA AB HĐ1: Cho hình bình hành ABCD , tâm O a) Tìm các véc tơ đối của AB; BC b) Tìm các cặp véc tơ đối nhau mà có điểm đầu là O và điểm cuối là cácđỉnh của hbh đó B A C D A B
D C
3
Trang 4I là trung điểm AB IA IB
( AB) AB Véc tơ đối của 0 là: ………
2 Hiệu của hai vectơ: a) Định nghĩa: Hỏi: Giải thích vì sao ta có a b BA b) Quy tắc ba điểm: HĐ2: Cho 4 điểm bất kỳ A, B, C, D Dùng quy tắc về hiệu vec tơ CMR: CD AD CB AB §4 TÍCH C A M T VECT V I MÔT S Ủ Ộ Ơ Ớ Ố 1.Định nghĩa: ………
………
………
………
………
Quy ước: 0 0 0 a k Vd: SGK/19 2 Tính chất: a) ………
b) ………
c) ………
d) ………
HĐ1:a) Nếu K là trung điểm AB thì: AB b) G là trọng tâm ABC và AM là trung tuyến thì: GA AG AM GM ;
c) Trên đoạn BC lấy I sao cho: IB12IC thì IB IC
HĐ2: Vẽ hbh ABCD a) Xác định điểm E sao cho BC AE 2 b) Xác định điểm F sao cho CA AF 2 1 HĐ3: Vẽ ABC với a AB và BC b a) Xác định điểm A’ sao cho a B A' 3 điểm C’ sao cho b BC' 3 b) Có nhận xét gì về hai vectơ: AC và A'C' Bài toán 1: Chứng minh rằng: I là trung điểm của đoạn thẳng AB khi và chỉ khi với M bất kỳ, ta có: MB MI MA 2 Bài toán 2: Cho ABC trọng tâm G CMR với M bất kỳ ta có: MB MC MG MA 3 3 Điều kiện để 2 vectơ cùng phương: * Btoán: Cho ABC có trực tâm H, trọng tâm G và tâm đường tròn ngoại tiếp O A a
O
b
B
a b
4
Trang 5* Ba điểm A, B, C thẳng hàng
AB; AC cùng phương hay
0
;
k
AC
k
AB
4 Biểu thị một vectơ qua hai vectơ
không cùng phương:
Định lý: Cho hai vectơ không cùng
phương
b
a; Khi đó mọi vectơ xđều
có thể biểu thị được một cách duy nhất
qua hai vectơ
b a; , nghĩa là có duy
nhất cặp số m, n sao cho
m a n b x a) I là trung điểm BC CMR: AH 2OI; ………
………
………
………
………
b) Chứng minh: OB OC OH OA ………
………
c)CMR: O, G, H thẳng hàng.( Đường thẳng qua O, G, H gọi là đường thẳng Ơle.) ………
………
………
………
………
§5 TRỤC TỌA ĐỘ VÀ HỆ TRỤC TỌA ĐỘ I Trục tọa độ: 1) Định nghĩa:
………
………
2) Tọa độ của vectơ, tọa độ của điểm trên trục: Cho u nằm trên trục ( ; )o i Khi u a i . thì : ………
Cho M nằm trên trục ( ; )o i Khi OM m i thì : ………
3 Độ dài đại số của vectơ trên trục: A, B nằm trên trục 0x thì tọa độ của vectơ AB được ký hiệu là AB và gọi là độ dài đại số của vectơ AB trên trục 0x Ta có: ………
Hai vectơ bằng nhau khi và chỉ khi: AB CD Hệ thức Sa-lơ: AB BC AC ( Quy tắc 3 điểm) II Hệ trục tọa độ: ………
………
………
………
………
………
………
………
………….………
0 I
x
O y x
5
Trang 6III Tọa độ của vectơ đối với hệ trục tọa độ:
………
………
………
………
………
………
………
………
………
………
………
………
………
………
Nhận xét: ( , ) ( , ) x x a x y b x y y y IV Biểu thức tọa độ của các phép tốn vectơ: 1 Tổng quát: Cho a x y và b x y( , ) ( , ) Khi đĩ:
2 Ví dụ: VD1: Cho a( 3;2) (4;5) và b a) Hãy biểu thị các vectơ a b ; qua hai vectơ ;i j.
b) Tìm tọa độ của các vectơ: c a b d ; 4 ; a u4a b
VD2: Tìm cặp vectơ cùng phương: a)a(0;5) và b ( 1;7); b) u(2003;0) và v(1;0); c) e (4; 8) và f ( 0,5;1); d) m( 2;3) và n(3; 2); V.Tọa độ của điểm : 1) Định nghĩa:
Nhận xét: ………
x y
O
6
Trang 7………
………
………
2) Tọa độ MN = ………
3) Tọa độ trung điểm M của đoạn AB:………
………
4) Tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC:………
………
………
Ví dụ: Trong mặt phẳng tọa độ 0xy, cho các điểm A(2 ; 0), B(0 ; 4), C(1 ; 3) a) Chứng minh A, B, C là ba đỉnh của một tam giác b) Tìm tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC ………
………
………
………
CHƯƠNG II: TÍCH VÔ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ VÀ ỨNG DỤNG §1 GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC CỦA MỘT GÓC BẤT KỲ 1 Định nghĩa:
………
………
Ví dụ 1: Tìm giá trị lượng giác của góc: 1350 ; 00 ; 1800 ; 900;
………
………
………
………
………
y
x 0
M
7
Trang 8………
………
………
2 Dấu của các giá trị lượng giác: Góc I ( 00< < 900) II ( 900< < 1800) Sin Cos Tan cot 3 Giá trị lượng giác của các góc có liên quan: a) Hai góc bù nhau:
b) Hai góc phụ nhau:
4 Giá tr l ng giác c a m t s góc đ c bi t:ị ượ ủ ộ ố ặ ệ Góc 00 300 450 600 900 1200 1350 1500 1800 Sin Cos Tan Cot 5 Chú ý: Các hệ thức lượng giác cơ bản:
Ví dụ 2: a) Cho 2 cos 5 x Tính các giá trị lượng giác còn lại?
8
Trang 9
b) Chứng minh rằng: tan2x sin2 xsin tan2x 2x
+ CMR: A = 2 cos4x sin4xsin cos2 x 2x3sin2 x độc lập với x
c) Cho A, B, C là ba góc của một tam giác CMR: tan tan( ) 1 2 2 A B C
§2 TÍCH VÔ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ 1 Góc giữa hai vectơ: .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
HĐ1: Cho ABC vuông tại A, có góc B = 500 Tính các góc: ( ,BA BC) ……….
(AB BC, ) ………
( ,CA CB) ………
(AC BC, ) ………
(AC CB, ) ………
b
a a
b
O
A
B
C
500
9
Trang 10(AC BA, )
………
2 Tích vô hướng của hai vectơ: .
.
.
Ví dụ: : Cho ABC đều có cạnh bằng a vàtrọng tâm G Tính: AB AC
AC CB
AG AB
GB GC
BG GA
GA BC
? Trong trường hợp nào thì a b 0 Bình phưong vô hướng: .
.
.
3 Tính chất của tích vô hướng: ) Định lý:
) Các bài toán: Bài toán 1: Cho tứ giác ABCD: a) CMR: AB2 CD2 BC2AD2 2 CA BD b) Từ đó suy ra: Điều kiện cần và đủ để tứ giác có hai đường chéo vuông góc là tổng bình phương các cặp cạnh đối diện bằng nhau
Bài toán 2: Cho đoạn thẳng AB có độ dài 2a và số k2 Tìm tập hợp các điểm M sao cho: MA MBk2
A
G
A
B
C
D
1
Trang 11
Bài tốn 3: Chohai vectơ OA, OB Gọi B là hình chiếu của B trên đường thẳng OA. CMR: OA OBOA OB
Tổng quát:
Bài tốn 4: Cho đường trịn tâm O và điểm M cố định Một đường thẳng thay đổi, luơn đi qua M, cắt đường trịn tại hai điểm A và B CMR: MA MBMO2 R2
Chú ý:
4 Biểu thức tọa độ của tích vơ hướng: a) Các hệthức quan trọng:
b) Ví dụ: Trong mặt phẳng tọa độ cho hai điểm M(-2; 2) và N(4; 1) 1) Tìm trên 0x các điểm P cách đều hai điểm M, N 2) Tính cos MON
1
Trang 12
Bài tập ơn 1) Cho ABC vuơng tại A và BC = a, gĩc B = 600 Tính tích vơ hướng CB BA . 2) Cho ABC vuơng cân tại A và BC = a Tính tích vơ hướng BC CA . 3) Cho ABC, trên BC lấy 2 điểm E, F sao cho BE = EF = FC với AE a EB b , a) Biểu thị AB BC và AC theo a và b,
b) Tính 0 2, 5, ( , ) 120 AB AC nếu b a a b 4) Tính 0 , ( , ) 60 5, 8 a b a b nếu a b và a b 5) Tính a b nếu a 13, b 19 và a b 24 6) Cho 4 điểm A, B, C, D CMR: AB CD AC DB AD BC 0 7) Cho ABC vuơng tại A cĩ AB = 6cm, AC = 8cm Gọi M, N là hai điểm sao cho 2 ; 1 3 3 AM AB CN CB a) Biểu diễn AN theo AB AC Tính AN , b) Tính AM AN Suy ra độ dài cạnh MN. 8) Cho ABC với AB = 5cm, AC = 7cm, BC = 8cm a) Tính giá trị gĩc B b) Goi M, N là hai điểm sao cho 2 ; 3 3 4 BM BA BN BC Tính độ dài MN c) Tìm D trên AC sao cho BD MN 9) Cho ABC cĩ gĩc A = 1200 , AB = 3cm, AC = 5cm a) Tính độ dài cạnh BC và trung tuyến BM b) N là điểm sao cho BN kBC Tính AN theo AB và AC
Xác định k để AN BM 10) Cho A(1,2); ( 2,1); ( 1, 2).B C
a) Tìm tọa độ AB AC , .
b) Tính 2AB 3AC
c) Tính độ dài trung tuyến AM của ABC
11) Cho A(1,1); (1,5); (4,1).B C
a) Tìm tính chất ABC suy ra tọa độ tâm và bán kính đường trịn ngoại tiếp ABC
b) Tính AB BC CA AB BC CA
và cos2 Acos2Bcos2C 12) Cho A( 1,2); (2,0); (3,4). B C
a) Tìmtrọng tâm G của ABC
b) Tìm trực tâm H của ABC
1
Trang 13c) Tìm tâm I của đường trịn ngoại tiếp ABC Và CMR: G, I, H thẳng hàng.
13) Cho A(1,5); ( 4, 5); (4, 1).B C
a) Tìm tọa độ chân đường phân giác trong gĩc A
b) Tìm tọa độ tâm đường trịn nội tiếp ABC
14) Cho hình vuơng ABCD, E là trung điểm BC Kéo dài AB về phía B lấy G sao cho
AB = BG Kéo dài DC về phía C lấy F sao cho CF = CE
a) CMR: DG AB AC 2AD
b) CMR: DE BF
§3 HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC
1 Định lý cơsin trong tam giác:
Hệ quả:
Ví dụ 1: ( Sgk trang 54)
Ví dụ 2: ABC có a = 7, b = 24, c = 23 Tính góc A
2 Định lý sin trong tam giác:
A
c b B a C
B
30
600
A 40 C
1
Trang 14
Ví dụ 3: ( Sgk trang 56)
Ví dụ 4: ABC có a = 4, b = 5, c = 6 CMR: sinA 2sinB sinC 0
3 Tổng bình phương hai cạnh và độ dài đường trung tuyến của tam giác:
4 Diện tích tam giác:
Ví dụ:
C B
300
A H
15030’
A
B M C
A
B M C
1
Trang 15CHƯƠNG III: PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MẶT PHẲNG
§1 PHƯƠNG TRÌNH TỔNG QUÁT CỦA ĐƯỜNG THẲNG.
1 Phương trình tổng qut của đường thẳng:
a) Định nghĩa:
b) Bi tốn: Trong mp tọa độ, cho I(x0, y0) và vectơ n a b ( , ) 0 là đường thẳng đi qua I và có vec tơ pháp tuyến là n Tìm điều kiện của x và y để M(x, y) nằm trên ?
Tổng qut:
b) Ví dụ: Cho ABC cĩ A(-1;-1), B(-1; 3), C( 2; -4) Viết phương trình tổng qut của đường cao kẻ từ B
Viết phương trình tổng qut của đường trung trực của AB
d) Các dạng đặc biệt của phương trình tổng qut: :ax by c 0
n M n 0 x
y o x
y o x
y o x
y a o x
y b n y I 0 x
1
Trang 16
VD: Phương trình tổng qut của đường thẳng qua A(-2; 0) và B(0; 4) là: ………
Ch ý:
Ý nghỉa hình học của hệ số gĩc:
Ví dụ: 1: 3x3y 2 0 cĩ hệ số gĩc l: ………
2:x 3y 5 0 cĩ hệ số gĩc l: ………
2 Vị trí tương đối của hai đường thẳng: 1 1 1 1 2 1 2 2 : 0 : 0
Cho a x b y c a x b y c
Ví dụ: Xét vị trí tương đối của hai đường thẳng: 1 2 ) : 2 3 5 0 : 3 3 0 a x y và x y ………
1 2 ) : 3 2 0 : 2 6 3 0 b x y và x y ………
1 2 ) : 0,7 12 5 0 :1,4 24 10 0 c x y và x y ………
§1 PHƯƠNG TRÌNH THAM SỐ CỦA ĐƯỜNG THẲNG. 1 Vectơ chỉ phương của đương thẳng: a) Định nghĩa: ………
………
………
………
….………
………
2 Phương trình tham số của đương thẳng: Bi tốn:……………
o x
y
1
u
2
u
1
u 1
u
2
u
y
1