Chú ý: Câu này không cho điểm hình vẽ nhưng chỉ chấm khi học sinh vẽ hình đúng, phù hợp với phần chứng minh.. Câu 5: (3 điểm).[r]
Trang 1KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 ĐỀ SỐ 01 Năm học 2006 – 2007-Thời gian làm bài 120 phút Câu 1: (1 điểm).
Rút gọn biểu thức: A =
1 1
3 3 .
Câu 2: (2 điểm)
Cho hệ phương trình:
x y
mx y
3
a) Tìm các giá trị của m để hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất.
b) Giải hệ phương trình khi m = 1.
Câu 3:(2 điểm).
Hai vòi nước cùng chảy vào một bể sau 6 giờ thì đầy bể Nếu mỗi vòi chảy một mình cho đầy bể thì vòi thứ hai cần nhiều hơn vòi thứ nhất là 5 giờ Tính thời gian
để mỗi vòi chảy một mình đầy bể
Câu 4:(1 điểm).
Cho tam giác ABC vuông tại A có I là trung điểm của AC Vẽ ID vuông góc với cạnh huyền BC, (D BC) Chứng minh AB2 = BD2 – CD2
Câu 5:(3 điểm).
Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn tâm O Các đường cao AD,
BK của tam giác gặp nhau tại H Gọi E và F theo thứ tự là giao điểm thứ hai của BO
và BK kéo dài với đường tròn (O)
a) Chứng minh EF // AC
b) Gọi I là trung điểm của AC Chứng minh ba điểm H, I, E thẳng hàng và OI =
1 2 BH
Câu 6:(1 điểm).
Cho a, b, c là các số dương và a2b2c2 1 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
bc ac ab P
HƯỚNG DẪN CHẤM TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT: MÔN TOÁN—ĐỀ SỐ 01
Trang 2
-Câu 1: (1 điểm).
A = 3√1
3−
1
3√27+2√3 = √32
3−
1
3√9 3+2√3 (0,5 điểm)
= √3−3
3√3+2√3 = √3−√3+2√3 (0,25 điểm)
Câu 2: (2 điểm)
a) Ta có
¿
3 x −2 y=6 mx+ y =3
¿ {
¿
⇔
¿
y =3
2x − 3
y=− mx+3
¿ {
¿
(0,25
điểm)
Gọi (d) là đường thẳng có phương trình y=3
2x −3 (d’) là đường thẳng có phương trình y=− mx+3
Hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất khi và chỉ khi (d) cắt (d’) (0,5 điểm) Tức là: 32≠− m ⇔m ≠−3
điểm)
b) Với m = 1, hệ phương trình đã cho trở thành
¿
3 x −2 y=6
x + y=3
¿ {
¿
(*) (0,25
điểm)
Nhân hai vế của phương trình dưới với 2 rồi cộng với phương trình trên theo vế với
vế ta được 5x = 12 ⇔ x=12
điểm)
Vậy hệ phương trình (*) tương đương với:
¿
x=12
5
x+ y=3
¿ {
¿
⇔
¿
x=12
5
y=3 − x
¿ {
¿
⇔
¿
x=12
5
y=3 −12
5
¿ {
¿
⇔
¿
x=12
5
y=3
5
¿ {
¿
(0,25
điểm)
Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất là (125 ;
3
điểm)
Câu 3: (2 điểm).
Gọi thời gian để vòi thứ nhất chảy một mình đầy bể là x giờ (x > 6) (0,25 điểm) Khi đó thời gian để vòi thứ hai chảy một mình đầy bể là (x + 5) giờ (0,25 điểm).
Mỗi giờ vòi thứ nhất chảy được 1x bể, vòi thứ hai chảy được x +51 bể
và cả hai vòi chảy được 61 bể (0,25 điểm) Theo bài ra ta có phương trình:
1
điểm)
Biến đổi phương trình (1) về phương trình: x2 7x 30 0 (2) (0,25 điểm)
Trang 3Giải phương trình (2) ta được hai nghiệm x1=10 , x2=−3 (0,25 điểm)
Đối chiếu với điều kiện x > 6 ta được nghiệm x1 thỏa mãn, nghiệm x2 bị loại
Vậy thời gian vòi thứ nhất chảy một mình đầy bể là 10 giờ,
vòi thứ hai chảy một mình đầy bể là 10 + 5 = 15 (giờ) (0,25 điểm)
Chú ý: Nếu ngay từ đầu học sinh không đặt điều kiện x > 6 hoặc đặt điều kiện sai thì trừ 0,25 điểm của phần này và vẫn chấm các phần sau
A
I
//
//
Câu 4: (1 điểm)
Kẻ đường cao AH của tam giác ABC
Do I là trung điểm của AC, ID BC
nên ID là đường trung bình của Δ AHC HD = CD
(0.25đ)
Ta có: BD2 – CD2 = (BD + CD).(BD – CD) = BC.BH (1) (0,25đ) Mặt khác, Δ ABC vuông tại A có AH là đường cao nên AB2 = BC.BH (2)
(0,25đ)
Từ (1) và (2) suy ra AB2 = BD2 – CD2 (đpcm) (0,25đ)
Chú ý: Câu này không cho điểm hình vẽ nhưng chỉ chấm khi học sinh vẽ hình đúng, phù hợp với phần chứng minh.
Câu 5: (3 điểm)
A
O H
F K
Hình vẽ đúng: (chưa cần vẽ điểm I và đoạn IO) (0,5đ)
a) Ta có: ∠ BFE = 1v (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)
EF BK (0,5đ)
Ta cũng có AC BK (do BK là đường cao của Δ ABC)
(0,25đ) Vậy EF // AC (đpcm) (0,25đ) b) Ta có ∠ BCE = 1v (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) EC BC
Ta lại có AD BC (do AD là đường cao của Δ ABC) Suy ra EC // AH (1) (0,25đ) Tương tự ta cũng có EA // CH (2) (0,25đ)
Từ (1) và (2) suy ra tứ giác AHCE là hình bình hành (0,25đ) Trong hình bình hành AHCE có I là trung điểm của đường chéo AC
thì đường chéo thứ hai HE phải đi qua I Vậy ba điểm H, I, E thẳng hàng (0,25đ) Theo chứng minh trên thì I là trung điểm của HE (0,25đ) Kết hợp với điều kiện O là trung điểm của BE
(do BE là đường kính của đường tròn (O))
Trang 4ta suy ra IO là đường trung bình của Δ HEB Vậy OI = 12 BH (0,25đ) Câu 6:(1 điểm) Dễ thấy P > 0
Ta có: P2
=(bca +
ac
b +
ab
c )2= 1
2(b a2c22+
a2c2
b2 +
b2c2
a2 +
a2c2
b2 +
a2b2
c2 +
a2b2
c2 )+2
= 12[c2(a b22+
b2
a2)+b2(c a22+
a2
c2)+a2(b c22+
c2
b2) ]+2 1
2(2 a
2 +2 b2+2 c2)+2 = 12.2(a2+b2+c2)+2=3 (0,25đ) Vậy P2≥ 3 ⇒ P≥√3
(0,25đ)
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi a=b=c= 1
Do đó giá trị nhỏ nhất của P là √3 , đạt được khi và chỉ khi a=b=c= 1
√3 (0,25đ)
-Hết -Ghi chú:
- Nếu học sinh làm bài không theo cách nêu trong hướng dẫn chấm trên đây mà vẫn đúng và phù hợp với chương trình thì cho đủ điểm như hướng dẫn quy định đối với từng phần.
- Việc chi tiết hóa thang điểm (nếu có) so với thang điểm trong hướng dẫn chấm phải đảm bảo không sai lệch với hướng dẫn chấm và được thống nhất thực hiện trong Hội đồng chấm thi.
- Điểm bài thi là tổng điểm thành phần của từng câu trong đề thi Điểm bài thi được cho theo thang điểm từ điểm 0 đến điểm 10 và được cho lẻ đến 0,25.