Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình chữ nhật ABCD... Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình chữ nhật ABCD.[r]
Trang 1BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
ĐỀ CHÍNH THỨC
ĐỀ THI TUYỂN SINH ĐẠI HỌC NĂM 2012
Môn Toán; Khối: D
Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian phát đề
I PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7,0 điểm)
Câu 1: (2,0 điểm) Cho hàm số y =
2
3x3 – mx2 – 2(3m2 – 1)x +
2
3 (1), m là tham số thực a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1) khi m = 1
b) Tìm m để hàm số (1) có hai điểm cực trị x1 và x2 sao cho x1.x2 + 2(x1 + x2) = 1
Câu 2: (1,0 điểm) Giải phương trình sin3x + cos3x – sinx + cosx = 2cos2x
Câu 3: (1,0 điểm) Giải hệ phương trình 3 2 2 2
2 0
xy x
Câu 4 :(1,0 điểm) Tính tích phân
/ 4
0
I x(1 sin 2x)dx
Câu 5: (1,0 điểm) Cho hình hộp đứng ABCD.A’B’C’D’ có đáy là hình vuông, tam giác
A’AC vuông cân, A’C = a Tính thể tích khối tứ diện ABB’C’ và khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (BCD’) theo a
Câu 6 (1,0 điểm) Cho các số thực x, y thỏa mãn (x – 4)2 + (y – 4)2 + 2xy 32 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A = x3 + y3 + 3(xy – 1)(x + y – 2)
II PHẦN RIÊNG (3,0 điểm): Thí sinh chỉ được làm một trong hai phần riêng (phần A hoặc phần B)
A Theo chương trình Chuẩn
Câu 7.a: (1,0 điểm) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình chữ nhật ABCD Các
đường thẳng AC và AD lần lượt có phương trình là x + 3y = 0 và x – y + 4 = 0; đường thẳng BD đi qua điểm M (
1 3
; 1) Tìm tọa độ các đỉnh của hình chữ nhật ABCD
Câu 8.a:(1,0 điểm) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P):
2x+y–2z+10=0 và điểm I (2; 1; 3) Viết phương trình mặt cầu tâm I cắt (P) theo một đường tròn có bán kính bằng 4
Câu 9.a: (1,0 điểm) Cho số phức z thỏa mãn (2 + i)z +
2(1 2 )
7 8 1
i
i i
Tìm môđun của số phức w = z + 1 + i
B Theo chương trình Nâng cao
Câu 7.b (1,0 điểm) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường thẳng d: 2x – y + 3 =
0 Viết phương trình đường tròn có tâm thuộc d, cắt trục Ox tại A và B, cắt trục Oy tại C
và D sao cho AB = CD = 2
Câu 8.b:(1,0 điểm) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d:
và hai điểm A (1; -1; 2), B (2; -1; 0) Xác định tọa độ điểm M thuộc d sao cho tam giác AMB vuông tại M
Câu 9.b: (1,0 điểm) Giải phương trình z2 + 3(1 + i)z + 5i = 0 trên tập hợp các số phức
Trang 2BÀI GIẢI ĐỀ TOÁN KHỐI D NĂM 2012
( Th.GV Toán :TT luyenthichuyentoanbh - Biên Hoà – Đồng Nai)
I PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7,0 điểm)
Câu 1: (2,0 điểm) Cho hàm số y =
2
3x 3 – mx 2 – 2(3m 2 – 1)x +
2
3 (1), m là tham số thực a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1) khi m = 1.
Khi m= 1, ta có : y =
2
3x3 – x2 – 4x +
2
3
*Tập xác định : D = R
* Sự biến thiên :
- Chiều biến thiên : y, 2x2 2x 4 y, 0 x2 x 2 0 x = -1 hoặc x = 2
- Các khoảng đồng biến trên (∞; -1) và (2; +∞); khoảng nghịch biến trên (-1; 2)
- Cực trị : Hàm số đạt cực đại tại x1,y CD 3; đạt cực tiểu tại x2,y CT 6
- Giới hạn : limx
y
và limx
y
- Bảng biến thiên :
x -1 2 +
y’ + 0 0 +
y 3 +
-6
- Đồ thị cắt trục Oy tại y =
2
3; y" = 4x – 2; y” = 0 x =
1
2 Điểm uốn I (
1
2;
3 2
)
*Đồ thị :
b) Tìm m để hàm số (1) có hai điểm cực trị x 1 và x 2 sao cho x 1 x 2 + 2(x 1 + x 2 ) = 1
Ta có y’ = 2x2 – 2mx – 2(3m2 – 1) Hàm số y có 2 cực trị khi y’ = 0 có hai nghiệm
phân biệt ’ = m2 + 4(3m2 – 1) > 0 13m2 – 4 > 0 m <
2 13
hoặc m >
2 13 Gọi x1, x2 là 2 nghiệm của y’ =0 với x1x2 + 2(x1 + x2) = 1
y
x 0
3
-6
Trang 3 -(3m2 – 1) + 2m = 1 m(3m – 2) = 0 m = 0 (loại) hay m =
2
3 (nhận) Vậy giá trị m cần tìm là m =
2 3
Câu 2: (1,0 điểm) Giải phương trình sin3x + cos3x – sinx + cosx = 2cos2x
Phương trình đã cho sin3x – sinx + cos3x + cosx = 2cos2x
2sinxcos2x + 2cos2xcosx = 2cos2x
cos2x ( 2sinx + 2cosx - 2) = 0
cos2x = 0 x = 4 k 2
(với k Z)
2sinx + 2cosx - 2 = 0
1 sin( )
4 2
x
x = 12 k2
hoặc x =
7 2
12 k
(với k Z)
Câu 3: (1,0 điểm) Giải hệ phương trình 3 2 2 2
2 0
xy x
Hệ phương trình đã cho 2
2 0
2 1 0
xy x
3
2
2 0 0
2
x y
Với 2
2 0
xy x
1 1
x y
Với
2 0
2 1
xy x
1 5 2 5
x y
1 5 2 5
x y
Vậy hệ đã cho có ba nghiệm (x; y) :
(1;1);( ; 5)( ; 5)
Câu 4 :(1,0 điểm) Tính tích phân
/ 4
0
I x(1 sin 2x)dx
.
Đặt u = x du = dx; dv = (1 + sin2x)dx, chọn v = x –
1
2cos2x
I =
/ 4
0
1
( cos 2 )
2
/ 4
0
1 ( cos 2 ) 2
=
/ 4
0
Vậy I
2 1
32 4
Trang 4Câu 5: (1,0 điểm) Cho hình hộp đứng ABCD.A’B’C’D’ có đáy là hình vuông, tam giác A’AC vuông cân, A’C = a Tính thể tích khối tứ diện ABB’C’ và khoảng cách từ điểm
A đến mặt phẳng (BCD’) theo a.
*Vì A’C = a :
Tam giác A’AC vuông cân tại A
=> A’A = 2
a
AC
= B’B Tam giác ABC vuông cân tại B
=> AB = 2 2 2
= B’C’
=> , ,
2
4 2
B BC
a
Thể tích khối tứ diện ABB’C’là
1
3 4 2 2 24 2
* Hạ AH vuông góc A’B
Vì (A’AB)( BCD’) => d(A,BCD/) = AH = h
Trong tam giác vuông A’AB ta có :
2
6 2
2
a h
Câu 6 (1,0 điểm) Cho các số thực x, y thỏa mãn (x – 4) 2 + (y – 4) 2 + 2xy 32 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A = x 3 + y 3 + 3(xy – 1)(x + y – 2).
* (x 4)2(y 4)22xy32(x y )2 8(x y ) 0 0 x y8 (1)
(x y )2 0 (x y )24xy
2 3
2
(2)
A = x3y33(xy1)(x y 2)= (x y )3 6xy 3(x y ) 6
Từ (2) => A
2
* Đặt t = x + y với (0 t 8), xét f(t) =
3 3 2
3 6 2
t t t
f’(t) = 3t2 3t 3 f’(t) = 0
1 0
2
> 0 ( nhận); t =
1 5 2
< 0 ( loại);
Ta có : f(0) = 6, f(8) = 398, f(
1 5 2
) =
17 5 5 4
Vậy giá trị nhỏ nhất của f(t) =
17 5 5 4
xảy ra khi t =
1 5 2
A f(t)
17 5 5
4
Dấu bằng xảy ra khi x = y và x + y =
1 5 2
Vậy giái trị nhỏ nhất của A =
17 5 5 4
xảy ra khi x = y =
1 5 4
II - PHẦN RIÊNG
A Theo chương trình Chuẩn
H
D,
D
C,
C B,
B A,
A
Trang 5Câu 7.a: (1,0 điểm) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình chữ nhật ABCD Các đường thẳng AC và AD lần lượt có phương trình là x + 3y = 0 và x – y + 4 = 0; đường thẳng BD đi qua điểm M (
1 3
; 1) Tìm tọa độ các đỉnh của hình chữ nhật ABCD.
k
P
O I N M
B A
Điểm A có các toạ độ là nghiệm của hệ
3 0
4 0
x y
=> A(-3; 1) Đường thẳng qua M và // AD cắt AD tại (N AC) MN : 3x – 3y + 4 = 0
=> N có toạ độ là nghiệm của hệ
3 0
1
3)
Gọi I là trung điểm của MN => I (
2 2
;
3 3
)
* (PQ) qua I và // AB có phương trình :
(PQ): x + y = 0
* (PQ) giao với (AD) tại P có toạ độ :
0
4 0
x y
x y
=> P(-2; 2)
*(PQ) giao với (AC) tại O có toạ độ :
3 0 0
x y
=> O(0; 0) đó là gốc toạ độ
=> O(0;0) là tâm đối xứng của hình chữ nhật ABCD
- Vì P là trung điểm của AD => D(-1; 3)
- C đối xứng với A(-3; 1) qua O => C(3; -1)
- B đối xứng với D(-1; 3) qua O => B(1;-3)
Câu 8.a:(1,0 điểm) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P): 2x+y–2z+10=0 và điểm I (2; 1; 3) Viết phương trình mặt cầu tâm I cắt (P) theo một đường tròn có bán kính bằng 4.
Mặt phẳng (Q) qua I và vuông góc với (P), cắt mặt cầu và (P) theo tiết diện như hình vẽ :
Tam giác vuông IOA có: IA = R và OA = r
IO = d(I, (P)) =
4 1 6 10
3 9
;
IA2 = IO2 + OA2 = 9 + 16 = 25 R = 5 Vậy phương trình mặt cầu cấn viết : (S) : (x – 2)2 + (y – 1)2 + (z – 3)2 = 25
B
I
Trang 6Câu 9.a: (1,0 điểm) Cho số phức z thỏa mãn (2 + i)z +
2(1 2 )
7 8 1
i
i i
Tìm môđun của
số phức w = z + 1 + i.
Số phức z thoã mãn: (2 + i)z + (1 + 2i)(1 – i) = 7 + 8i
(2 + i)z + 1 + i – 2i2 = 7 + 8i (2 + i)z = 7i + 4
z =
(7 4)(2 )
3 2 (2 )(2 )
i
=> w = 4 + 3i Vậy mô đun số phức w cần tìm : w 16 9 5
B Theo chương trình Nâng cao
Câu 7.b (1,0 điểm) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường thẳng d: 2x – y + 3 =
0 Viết phương trình đường tròn có tâm thuộc d, cắt trục Ox tại A và B, cắt trục Oy tại
C và D sao cho AB = CD = 2.
Đường tròn ( C) cần viết có tâm I (d): y = 2x – y + 3 = 0 I (t; 2t + 3)
Theo bài ra ( C) cắt Ox tại A, B và cắt Oy tại C,D => AB và CD là hai dây cung
Vì AB = CD = 2 khoảng cách từ I đến Ox và Oy bằng nhau => t = 2t + 3
t24t 3 0 t = -1 hoặc t = -3
Với t = -1 I (-1; 1) R = t 2 12 2 (C): (x + 1)2 + (y – 1)2 = 2
Với t = -3 I (-3; -3) R = t 2 12 10 (C) : (x + 3)2 + (y + 3)2 = 10
Câu 8.b:(1,0 điểm) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d:
và hai điểm A (1; -1; 2), B (2; -1; 0) Xác định tọa độ điểm M thuộc d sao cho tam giác AMB vuông tại M.
Điểm M (d) => M (2t + 1; - t - 1; t) => AM
= (2t; -t; t – 2) và BM = (2t – 1; -t; t) Tam giác AMB vuông tại M => AM BM = 0 6t2 – 4t = 0 t = 0 hoặc t =
2
3 Với t = 0 => M (1; -1; 0)
Với t =
2
3 => M (
7 5 2
; ;
3 3 3)
Câu 9.b: (1,0 điểm) Giải phương trình z 2 + 3(1 + i)z + 5i = 0 trên tập hợp các số phức.
Phương trình z2 + 3(1 + i)z + 5i = 0 có = 9(1 + i)2 – 20i = -2i = (1 – i)2
z1 =
3(1 ) (1 ) 2
= - 1 – 2i; z2 =
3(1 ) (1 ) 2
= - 2 - i Vậy phương trình có hai nghiệm : z = -1 – 2i ; z = -2 – i