De thi Toan vong 2 Tin chuyen Vinh Phuc

- Trong mỗi câu, nếu ở một bước nào đó bị sai thì các bước sau có liên quan không được điểm.. - Câu hình học bắt buộc phải vẽ đúng hình mới chấm điểm, nếu thí sinh không có hình vẽ đúng [r]

SỞ GD&ĐT VĨNH PHÚC

————

ĐỀ CHÍNH THỨC

KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 CHUYÊN NĂM HỌC 2012-2013

ĐỀ THI MÔN: TOÁN (Dành cho học sinh thi vào lớp chuyên Tin học)

Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian giao đề

——————————

Câu 1 (2,0 điểm)

Giải phương trình: x3x23x 3 2x  x2 3 2x22x

Câu 2 (2,0 điểm)

Cho x, y là các số thực thỏa mãn x2y2 xy Chứng minh rằng:1.

1

1

1

3 xy

2

9

x y  x y 

Câu 3 (2,0 điểm)

Tìm tất cả các bộ ba số nguyên dương ( ; ; )x y z thỏa mãn: 3( xy yz zx  ) 4 xyz

Câu 4 (3,0 điểm)

Cho tam giác ABC nhọn, nội tiếp trong đường tròn (O) Lấy điểm P trên cung AB không chứa C của đường tròn (O) (P khác A và B) Đường thẳng qua P vuông góc với OA cắt các đường thẳng AB,

AC theo thứ tự tại Q, R; đường thẳng qua P vuông góc với OB cắt các đường thẳng AB, BC theo thứ

tự tại S, T.

1 Chứng minh rằng tam giác PQS cân.

2 Chứng minh rằng PQ2 QR ST.

Câu 5 (1,0 điểm)

Hai bạn Vĩnh và Phúc được cho 2012 chiếc kẹo Họ chia kẹo cho nhau theo quy tắc: luân phiên nhau, mỗi người ở một lần chỉ được lấy ít nhất là 1 chiếc kẹo và nhiều nhất là 4 chiếc kẹo Vĩnh là người được lấy đầu tiên Người nào lấy được chiếc kẹo cuối cùng thì người đó thắng cuộc Hỏi ai là người có thể luôn thắng cuộc?

—Hết—

Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm!

Họ tên thí sinh: ……… Số báo danh: …………

SỞ GD&ĐT VĨNH PHÚC

————

KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 CHUYÊN NĂM HỌC 2012-2013

HƯỚNG DẪN CHẤM MÔN: TOÁN (Dành cho học sinh thi vào lớp chuyên Tin học)

——————————

1 Hướng dẫn chung.

- HDC chỉ trình bày một cách giải với các ý cơ bản mà HS phải trình bày, nếu HS giải theo cách khác đúng và đủ các bước vẫn cho điểm tối đa.

- Trong mỗi câu, nếu ở một bước nào đó bị sai thì các bước sau có liên quan không được điểm.

- Câu hình học bắt buộc phải vẽ đúng hình mới chấm điểm, nếu thí sinh không có hình vẽ đúng ở phần nào thì giám khảo không cho điểm phần lời giải liên quan đến hình phần đó.

- Điểm toàn bài là tổng điểm của các ý, các câu, tính đến 0,25 điểm và không làm tròn.

2 Đáp án và thang điểm

Câu 1 (2 điểm).

Biến đổi phương trình về dạng

x

 

   



0.25

Phương trình (1) tương đương với x2  3 2x  x2 2x 3 0,vô nghiệm 0.25 Phương trình (2) tương đương với x  1 1 x  1 1 x0 0.50

Câu 2 (2.0 điểm).

1

Do x y 2  0 x y,

nên x2y2 2 xy dấu " "  xy 0.25 Suy ra 1x2y2 xy2xy xy xy  , dấu " "  xy 0.25 Mặt khác 1x2y2 xyx y 2 3xy3xy

, dấu " "  x y 0.25 Suy ra

1

1

3 xy

;

xy  x y xy  x y

2

Đặt

1

3

xy t   t

Theo giả thiết x2y2   1 t x2y22  1 t2 0.25

ta được P x 4y4 x y2 2 (x2y2 2)  3x y2 2 2t22t với 1,

1

;1 3

t  

2

P  t  t    t   t

Do

1

1

3 t

  

nên

1

0, 4 3 0

3

t   t

Suy ra 1 2 1 4 3  1

P  t   t 

Dấu “=” xảy ra

1 3

0.25

Câu 3 (2.0 điểm)

Viết lại phương trình về dạng

1 1 1 4

3

x yz  (1) 0.50

Không mất tính tổng quát, giả sử x y z  Khi đó, từ (1) suy ra .

3  x y z  x x4

Do đó x 1 hoặc x 2

0.50

Với x 1ta được

y  y z     Thử trực tiếp từng giá trị của y từ 4 đến 6, được

( ; ; ) (1; 4; 12), (1; 6; 6)x y z  .

0.50

Với x 2 ta được

y  y z    Do x y , nên y  Từ đó tìm được 2 z 3. 0.25 Vậy: Phương trình có 12 nghiệm gồm(1; 4; 12), (1; 6 ; 6), (2 ; 2; 3) và các hoán vị của chúng 0.25

Câu 4 (3 điểm).

R Q

T

A

P

1

Do tam giác OAB cân, nên OABOBA (1) 0.25

Do PROA nên PQSAQR900 OAB (2)

Tương tự, cũng có PSQ900 OBA (3) 0.5

2

Theo chứng minh trên, AQR900 OABBCA và

0 90

Suy ra

(4) 0.25

Do APB1800 BCA SPQ, 1800 AOB1800 2 BCA nên

mà APQ  PAQPQSBCAPAQ PBS suy ra PBS APQ

Do đó

(5) 0.25

Từ (4) và (5) suy ra

Từ đó, do PQ PS nên ta được

PS QR ST

QR SP   điều phải chứng minh. 0.5

Câu 5 (1,0 điểm).

Trả lời: Vĩnh lấy kẹo trước, thì Vĩnh luôn có chiến lược để đến lượt Phúc lấy kẹo thì trên bàn

Lần đầu tiên Vĩnh lấy 02 kẹo, trên bàn còn 2010 kẹo; đến lượt Phúc, nếu Phúc lấy k chiếc kẹo

(k 1, 2,3, 4) thì Vĩnh lấy 5 k chiếc kẹo Khi đó số kẹo còn lại là 2010 k (5 k) 2005

0.25

là một bội của 5.

Theo quy luật trên, sau mỗi lần Vĩnh lấy kẹo, số kẹo còn lại trên bàn luôn là bội của 5 0.25 Bởi vậy, cho đến khi trên bàn còn 5 chiếc kẹo và đến lượt Phúc lấy Khi đó, cho dù Phúc lấy

bao nhiêu kẹo, thì Vĩnh vẫn luôn lấy được chiếc kẹo cuối cùng 0.25

—HẾT—