0,25 Tô Minh Hùng GV Trường THPT Phan Chu Trinh Đăk Lăk... Mặt khác ∆ ABC vuông cân đỉnh B nên H là trung điểm của AC..[r]
Trang 1SỞ GD – ĐT ĐĂK LĂK
TRƯỜNG THPT PHAN CHU TRINH
ĐỀ KHẢO SÁT CHẤT LƯỢNG MÔN TOÁN
Lớp: 12TK2 Lần thứ nhất – Năm học 2011-2012 Thời gian: 90 phút (không kể thời gian phát đề)
Câu 1: (3,0 điểm) Cho hàm số 3 2
y = x + m − x + mx + có đồ thị là (Cm) a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số trên khi m = 5
b) Cho M(1; 3) và đường thẳng (∆) có phương trình y= +x 4 Tìm m để (∆) cắt (Cm) tại
ba điểm phân biệt A(0; 4), B, C sao cho tam giác MBC có diện tích bằng 4
Câu 2: (2,0 điểm) Giải các phương trình:
a) 24x x− 2 − = 6 2(x−2)2
2log ( x − 3) = log 1 + 2 x − 5 − 1 log ( x − 3)
Câu 3: (1,0 điểm) Cho phương trình: ( ) 2 ( )
2
3 log ( 4) 2 1 log ( 4) 2 0
Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x1, x2 sao cho 4 < x1 < x2 < 6
Câu 4: (4,0 điểm) Cho tứ diện SABC có đáy ABC là tam giác vuông cân đỉnh B, cạnh AB = a; các cạnh bên SA = SB = SC = 3 a Trên các cạnh SA, SB ta lần lượt lấy các điểm E, F sao cho
SE = BF = a
a) Tính thể tích khối chóp C.ABFE theo a
b) Gọi I, J lần lượt là trung điểm của AB, BC Tính khoảng cách từ điểm I đến mp(SAJ)
Tô Minh Hùng GV Trường THPT Phan Chu Trinh Đăk Lăk
Trang 2Trường THPT Phan Chu Trinh
Năm học: 2011 - 2012
LỚP 12 TK2 (Đáp án – Thang điểm này gồm 4 trang)
Câu 1:
( 3,0 điểm)
Khi m = 5, hàm số trở thành: y = x3 + 4 x2 + 5 x + 4 đồ thị (C)
i) Tập xác định: D = R
ii) Sự biến thiên:
+) Chiều biến thiên: y ' 3 = x2 + 8 x + 5 ⇔ x = −1 hoặc x = −5 / 3
• Hàm số đồng biến trên các khoảng (−∞ −; 5 / 3)và (− +∞1; )
• Hàm số nghịch biến trên khoảng (−5 / 3; 1− )
+) Cực trị:
• Hàm số đạt cực tiểu tại x = −1 ; yCT = 2
• Hàm số đạt cực đại tại x = −5/3 ; yCD = 58/27 +) Giới hạn: lim
x y
→−∞ = −∞; lim
x y
→+∞ = +∞
+) Bảng biến thiên:
x −∞ −5/3 −1 +∞
y + 0 − 0 +
y’
58
27 +∞
−∞ 2 iii) Đồ thị:
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
Phương trình hồnh độ giao điểm:
x + m − x + mx + = + x
⇔ 2
0 2( 3) 1 0 (*)
x
=
Để đường thẳng (∆) cắt đồ thị hàm số tại 3 điểm phân biệt thì pt (*) phải cĩ
2 nghiệm phân biệt khác 0, tức là:
{ 2
' 0
0 2( m 3).0 m 1 0
∆ >
1
m
< >
≠ hoặc Gọi B(x1 , y1); C(x2 , y2) là 2 giao điểm khác điểm A(0 ; 4) của đường thẳng (∆) và đồ thị đã cho Khi đĩ x1 , x2 là 2 nghiệm của pt (*)
0,25
0,25
x
y
Giao điểm của đồ thị với trục Oy: (0; 4)
Giao điểm của đồ thị với trục Ox: (−2,7;0)
Vẽ đồ thị đúng được 0,25 đ
Trang 3Câu Đáp án Điểm
Theo định lý Viet: x1+x2 = −2(m−3) ; x x1 2 = −m 1
Ta cĩ: BC = ( x2 − x1)2 + ( y2 − y1)2 = 2( x1 + x2)2 − 8 x x1 2 = 8( m2 − 7 m + 10)
Lại cĩ:
1 3 4
1 ( 1)
+ − Khi đĩ:
4
MBC
S = ⇔1 ( ,( )) 4
2 8( 7 10) 4
⇔ m = 6 hoặc m = 1 loại
Vậy với m = 6
0,25
0,25
Câu 2:
( 2,0 điểm) Biến đổi :
2 2
4 4 4
1
6 2 2
x x
x x
− +
− − = Đặt t=2x2−4x ; đk: t > 0 Phương trình đã cho trở thành: 1
6 16t
t − =
⇔ 2
16 t + 6 t − = 1 0⇔ 1
8
t = hoặc 1
2
t = − (loại)
Với 1
8
t = , ta được: 2 4 1
2
8
x − x = ⇔ 2 4 1
2
8
x − x = ⇔ 1
3
x x
=
=
Vậy phương trình cĩ hai nghiệm x = 1 hoặc x = 3
0,25
0,25
0,25
0,25 Đk: { 3 0
x x
− >
− ≥ ⇔x > 3
1 log ( 3) log 1 2 5 1 log ( 3)
⇔ 2 2 2( )
log ( 3) 0 (a) 1
log ( 3) log 1 2 5 1 (b) 2
x
Giải pt (a): log (2 x −3)=0 ⇔ x = 4 Giải pt (b): 2 x − = − 5 x 4 ⇔ { 2
4 0
x
− ≥
− = − ⇔ x = 7 (thỏa điều kiện) Vậy phương trình đã cho cĩ hai nghiệm x = 4 ; x = 7
0,25
0,25
0,25
0,25 Câu 3:
( 1,0 điểm)
Đk: x > 4 Đặt t =log (2 x−4) Vì 4 < x1 < x2 < 6 nên t < 1 Yêu cầu bài tốn trở thành tìm m sao cho phương trình:
(3t − −t 2)=(t +2t+1).m (*) cĩ 2 nghiệm t1 , t2 sao cho t1 < <t2 1
Nhận xét t = −1 khơng phải là nghiệm của pt (*) Biến đổi pt (*) về dạng:
2
2
m
− −
=
Bài tốn trở thành: Tìm m để pt:
2
2
( )
− −
+ + cĩ hai nghiệm
phân biệt t1 < t2 < 1
0,25
Tơ Minh Hùng GV Trường THPT Phan Chu Trinh Đăk Lăk
Trang 43 4
7 3 (7 3)( 1) '( )
f t
3 '( ) 0
7
f t = ⇔ = − t
'( )
f t không xác định tại x = −1 Bảng biến thiên:
t −∞ −1 3
7
− 1 f’(t) + − 0 +
f(t)
+∞ +∞ 0
3 25
8
−
Từ đó để pt (*) có hai nghiệm phân biệt t1 < t2 < 1, suy ra:
25
0
− < < hoặc m > 3
0,25
0,25
0,25 Câu 4:
( 4,0 điểm)
Gọi H là hình chiếu vuông góc của điểm S lên trên mặt phẳng (ABC)
Vì SA = SB = SC nên HA = HB = HC
Mặt khác ∆ ABC vuông cân đỉnh B nên H là trung điểm của AC Tính
2
AC =a ; 2
2
a
2
a
SH = SA − AH = Thể tích khối chóp S.ABC
.
1 3
S ABC ABC
2
.
a a
=
3 34 12
a
= Xét tỉ số thể tích
.EFC
.
. S
S ABC
V = SA SB SC
1 2 2
3 3 9
Suy ra:
EF EFC
.
Vậy thể tích khối chóp C.ABFE là:
3
C ABF S ABC S C S ABC
a
0,25
0,25 0,25
0,25
0,25 0,25
0,25
0,25
Vì IH là đường trung bình trong tam giác ABC nên mặt phẳng (SAJ) đi qua trung điểm của IH, do đó
( ,( AJ)) ( ,( AJ))
d I S = d H S Gọi M là hình chiếu vuông góc của H lên AJ, (SAJ) ⊥ (SHM) và có chung
0,25
Hình vẽ đúng được 0,5 điểm
Trang 5Câu Đáp án Điểm
giao tuyến SM; do đó trong tam giác SHM kẻ HK ⊥ SM tại K thì HK ⊥
(SAJ) , suy ra HK là khoảng cách từ H đến mặt phẳng (SAJ)
Ta giả thiết ta suy ra:
1 4 AHJ ABC
2
8 a
5 2
a
Trong tam giác SHM, ta có:
S
342
a
HK = Vậy khoảng cách từ điểm I đến mặt phẳng (SAJ) là :
17 ( ,( AJ)) ( ,( AJ))
3 38
a
d I S = d H S = HK =
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25 Chú ý: Hướng dẫn chấm này chỉ trình bày sơ lược một cách giải , trong bài làm học sinh
phải trình bày chặt chẽ mới đạt điểm tối đa Nếu học sinh có cách giải khác với đáp án mà
đúng vẫn đạt được điểm tối đa Điểm toàn bài phải làm tròn đến 0,5
Tô Minh Hùng GV Trường THPT Phan Chu Trinh Đăk Lăk