a) BEFI lµ tø gi¸c néi tiÕp ®êng trßn. M lµ mét ®iÓm thuéc cangh AC.. Tõ mét ®iÓm M trªn Ax kÎ tiÕp tuyÕn thø hai MC víi nöa ®êng trßn. Tõ B kÎ tiÕp tuyÕn Bx víi ®êng trßn. Gäi E lµ trun[r]
Trang 112
2
x
x x
x x
x
có nghĩa
Dạng 2 Rút gọn biểu thức vận dụng hằng đẳng thức A2 ; đa thừa số vào
trong, ra ngoài dấu căn; trực căn và khử mẫu cuả các biểu thức chứa số.
63
22
332.13
332
153
11115
575
; a) Rút gọn A b) C/M A- B = 7
Trang 220 1a
225
51
152
280202
552.15
552
TÝnh 48 2 75 108
Mét sè bµi to¸n kh¸c Bµi 1: TÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc: A = (3−1√5−
13+√5):√5 −5
2+
D¹ng 3 Rót gän biÓu thøc chøa ch÷ vµ mét sè bµi to¸n phô
Trang 31 2
11
x x
2.44
14
a ab
a a
63
x x
1
2
x
x x x
a
a a
1
11
a a
1
11
a a a a
a a
x x
22
1:
x x
víi x > 0
Trang 4x x
x x
2
1
a a a
a a a
x x
1
11
a a
13
2
4259
1:1
21
a a a a
a a
12
12
2
x
x x
x x
víi x ≠ -3
a a
a a
13
1
2 2
x
x x x
x
x x
víi x ≥ 0
Trang 538 1
x x x
11
1
Một số bài toán khác Bài 1: Cho biểu thức: P = (2+4√ √x x+
5 1b Trong hệ trục tọa độ Oxy, đờng thẳng y = ax + b đi qua điểm A(2;3) và điểm B(-2;1)
Tìm hệ số a, b
Biết đờng thẳng y = ax + b đi qua điểm M(2; 1
2 ) và song song với đờng thẳng 2x + y
= 3 Tìm các hệ số a và b
9 1b Tìm m để đờng thẳng y = 2x -1 và đờng thẳng y = 3x + m cắt nhau tại một điểm nằm
trên trục hoành
11 2a Với giá trị nào của K, hàm số y =(3- k)x + 2 nghịch biến trên R
13 2a Cho đờng thẳng d có phơng trình: ax +(2a -1)y +3 = 0 Tìm a để đờng thẳng d đi qua
điểm M(1; -1) Khi đó hãy tìm hệ số góc của đờng thẳng d
Trang 614 2 Cho đờng thẳng d có phơng trình y = (m -1)x +n.
1, Với giá trị nào của m, n thì d song song với trục Ox
2, Xác định Pt của d, biết d đi qua điểm A(1;-1) và có hệ số góc bằng -3
16 2 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, đờng thẳng y = ax + b đi qua điểm M(-1;2) và song song
với đờng thẳng y = 3x + 1 Tìm hệ số a và b
17 3 Cho hai đờng thẳng (d): y = -x + m + 2 và (d’): y = (m2- 2)x + 1
a) Khi m = -2 hãy tìm tọa độ giao điểm của chúng
b) Tìm m để (d) song song với (d’)
22 1a Trong hệ tọa độ Oxy, biết đờng thẳng y = ax - 1 đi qua điểm M(-1;1) tìm a
Tìm m để đờng thẳng y = -3x + 6 và đờng thẳng y = 5
2 x – 2m + 1 cắt nhau tại một
điểm trên trục tung
31 2 Tìm m để đờng thẳng y =(2m -1)x - m + 2 vuông góc với đờng thẳng y = - x
32 1b Tìm m để đờng thẳng d: y = (m2 -1)x + 1 song song với d’: y = 3x + m - 1
33 1b Với giá trị nào của M thì y = (m + 2)x – 3 đồng biến trên tập xác định
35 2 Viét PT đờng thẳng đi qua A(1;2) và B(2; 0)
37 2b Với giá trị nào của a,b thì đờng thẳng d:y = ax + 2 –b và d’:(3-a)x + b song song
39 2a Tìm các hệ số của đờng thẳng y = ax + b đi qua 2 điểm M(3;2) và N(4;-1)
53
y x
y x
3 2
1
x y x
Trang 7y x
y x
123
m y x
m y x
a) Giải pt khi m= 1b) Tìm m để hệ có nghiệm (x, y) thỏa mãn x2 + y2 = 10
3)
1(2
y x
y x
3
54
y x
y x
1874
y x
y x
623
y x
y x
53
y mx
my x
a) Giải hệ khi m = 2; b) chứng minh hệ có nghiệm duy nhất
4
x
y x
93
y x
y x
x
y y
x
33
212
72
y x
y x
123
y x
y x
103
y x
y x
185
3
y x
y x
5 6 6
y x
xy y x
Trang 8y x
y x
3
ay bx
by ax
có nghiệm x = 3; y = -1
Một số bài toán khác Bài 1: Giải các hệ phơng trình sau:
2 1b,2a 1) Giải phơng trình: x2 – 7x + 3 = 0
2)Tìm tọa độ giao điểm của đờng thẳng d: y = -x + 2 và parabol y = x2
3 1a,3 1) Giải phơng trình: x4 + 3x2 – 4 = 0
2)Vẽ đồ thị hàm số y = -x2 và y = x - 2 trên cùng một hệ trục tọa độ và tìm giao điểm
4 1b,3 1) Tìm hệ số a của hàm số y = ax2 biết đồ thị hàm số di qua điểm M(-2;1/4)
2) Cho phơng trình x2 – 2mx + 4 = 0a) Giải phơng trình khi m = 3
b) Tìm m để phơng trình trên có hai nghiệm x1, x2 thỏa mãn (x1 +1)2 +(x2 + 1)2 = 2
x
x
2) Cho phơng trình x2 – x + m + 1 = 0a) Giải phơng trình khi m = 0
Trang 9b) Tìm m để phơng trình có hai nghiệm x1, x2 thỏa mãn x1x2(x1x2 -2) = 3(x1 + x2)
1)3)(
2(
53
x
x x
Giải phơng trình x + 3 x – 4 = 0
11 1b,3 1) Giải phơng trình 2x2 – 5x + 3 = 0
2) Cho phơng trình x2 – 6x + m = 0a) Tìm m để phơng trình có hai nghiệm trái dấub) Tìm m để phơng trình có hai nghiệm x1, x2 thỏa mãn x1 – x2 = 4
12 2 1) Cho hàm số y = ax2 Tìm a biết đồ thị hàm số đi qua điểm A(-2;-12)
2) Cho phơng trình x2 +2(m+1) x + m2 = 0a) Giải phơng trình khi m = 5
b) Tìm m để phơng trình có hai nghiệm phân biệt trong đó cóa một nghiệm bằng 2
13 2a Cho phơng trình: (m-1) x2 – 2mx + m + 1 = 0
a) Tìm m biết phơng trình có nghiệm x = 0b) Tìm m để pt có hai nghiệm sao cho tích của chứng bằng 5, tính tổng của chúng
14 3 Cho phơng trình x2 – 2(m-1)x - m - 3 = 0
a) Giải phơng trình khi m = -3b) Tìm m để phơng trình có hai nghiệm x1, x2 thỏa mãn x12 +x2 = 10c) Tìm hệ thức liên hệ giữa các nghiệm không phụ thuộc vào m
18 3 Cho phơng trình x2 – 4x+ m + 1 = 0
a) Giải phơng trình khi m = 2b) Tìm m để phơng trình có hai nghiệm x1, x2 thỏa mãn x12 +x2 = 5(x1 + x2)
20 2 Cho phơng trình x2 – (m + 5)x - m +6 = 0
a) Giải phơng trình khi m = 1b) Tìm m để phơng trình có nghiệm x = -2
21 2,3 Cho phơng trình 2x2 + (2m-1)x +m - 1 = 0
a) Giải phơng trình khi m = 2b) Tìm m để phơng trình có hai nghiệm x1, x2 thỏa mãn 4x1 + 2x1x2 + 4x2 = 1
22 1a Giỉ phơng trình x2 – 2x – 15 = 0
23 1b,3 1) Giải phơng trình 4x4 +7x2 – 2 = 0
2) Cho phơng trình x2 – 2x + m - 3 = 0a) Giải phơng trình khi m = 3
b) Tìm m để phơng trình có hai nghiệm x1, x2 thỏa mãn x1 – 2x2 + x1x2 = -12
24 2 Cho phơng trình x2 + (3-m)x+ 2(m – 5) = 0
Trang 10a) CMR phơng trình luôn có nghiệm x = 2b) Tìm m để phơng trình có nghiệm x = 5 - 2 √2
32 2 Cho phơng trình x2 + (2m +1)x + m2 +1 = 0
a) Giải phơng trình khi m = 1b) Tìm m để phơng trình có hai nghiệm âm
33 3 Cho phơng trình: k( x2 - 4x + 3) + 2(x-1) = 0
a) Giải phơng trình với k = − 1
2
b) Chứng tỏ rằng phơng trình có nghiệm với mọi k
34 3 Cho phơng trình x2 + 2(m -1) |x| + m + 1 = 0 Tìm tất cả các giá trị m để phơng trình
có hai nghiệm phân biệt
35 2a Tìm m để phơng trình (x2 – x – m)(x – 1) = 0 có đúng hai nghiệm phân biệt
36 1b,3 1) Giải phơng trình: x2 + 2x – 24 = 0
2) Cho phơng trình x4 – 5x2 + m = 0a) giải phơng trình khi m = 4
b) Tìm m để phơng trình có 4 nghiệm phân biệt
37 3 Cho phơng trình x2 – 2x + m = 0
a) Giải phơng trình khi m = - 3b) Tìm m để pt có hai nghiệm x1, x2 thỏa mãn 1
Trang 11b) Tìm m để pt có hai nghiệm x1, x2 thỏa mãn: x2
40 3 Cho phơng trình ( 1+√3 )x2 – 2x + 1−√3 = 0
a) Chứng tỏ rằng phơng trình luôn có hai nghiệm phân biệt
b) Gọi hai nghiệm là x1, x2 Lập một phơng trình bậc hai có hai nghiệm là 1/x1; 1/x2
Phần 5: Giải bài toán bằng cách lập Pt, HPT
2 3 Một xe lửa cần vận chuyển một lợng hàng Ngời lái xe tính rằng nếu xếp mỗi toa 15 tấn
hàng thì còn thừa lại 5 tấn Nếu xếp mỗi toa 6 tấn thì có thể chở thêm 3 tấn nữa Hỏi xe lửa
có mấy toa và phải chở bao nhiêu tấn hàng
5 3 Hai Ô tô khởi hành cùng một lúc từ A đến B dài 120km Mỗi giờ ô tô thứ nhất chạy nhanh
hơn ô tô thứ hai là 10 km nên đến B trớc ô tô thứ hai là 4 giờ Tính vận tốc mỗi xe
6 3b Tính các kích thớc hình chữ nhật có diện tích bằng 40cm2, biết rằng nếu tăng mỗi kích thớc
thêm 3cm thì diện tích tăng thêm 48cm2
10 3 Một xí nghiệp sản xuất đợc 120sản phẩm loại I và 120sản phẩm loại II trong thời gian 7 giờ
Mỗi giờ sản xuất đợc số sản phẩm loại I ít hơn loại II là 10 sản phẩm Mỗi giờ xí nghệp sảnxuất đợc bao nhiêu sản phẩm mỗi loại
12 3 Một thửa ruộng hình chữ nhật, nếu tăng chiều dài thêm 2m, chiều rộng thêm 3m thì diện
tích tăng thêm 100m2 Nếu giảm chiều dài và chiều rộng 2m thì diện tích giảm 68m2 Tínhdiện tích thửa ruộng đó
15 3 Một đoàn xe chở 480 tấn hàng Khi sắp khởi hành có thêm 3 xe nữa nên mỗi xe chở ít hơn 8
tấn Hỏi lúc đầu có bao nhiêu chiếc
16 3 Một đội xe nhận chuyển 96 tấn hàng Khi sắp khởi hành có thêm 3 xe nữa nên mỗi xe xhở
ít hơn 1,6 tấn hàng Hỏi lúc đầu có bao nhiêu chiếc
18 2 Một thửa vờn hình chữ nhật có chu vi bằng 72m Nếu tăng chiều rộng lên gấp đôi và chiều
dài lên gấp 3 thì chu vi thửa vờn mới là 194m Tính diện tích lúc đầu
19 3 Một tam giác vuông có cạnh huyền dài 10m, hai cạnh góc vuông hơn kém nhau 2m Tính
các cạnh góc vuông
20 3 Một phòng họp có 360 chổ và đợc chia thành các dãy có số chổ ngồi bằng nhau Nếu thêm
cho mỗi dãy 4 chổ ngồi và bớt đi 3 dãy thì số chổ ngồi trong phòng không thay đổi Hỏi ban
đầu số chổ ngồi trong phòng họp đợc chia thành bao nhiêu dãy
22 3 Tháng giêng hai tổ sản xuất đợc 900 chi tiết máy tháng hai do cải tiến kỹ thuật tổ I vợt mức
15% và tổ II vợt mức 10% so với tháng giêng nên hai tổ đã sản xuất đợc 1010 chi tiết máy.Hỏi tháng giêng mỗi tổ sản xuất đợc bao nhiêu chi tiết máy
Trang 1223 2b Một mảnh đất hình chữ nhật có độ dài đờng chéo là 13m và chiều dài lớn hơn chiều rộng là
7m Tính diện tích hình chữ nhật đó
24 3 Một xe ô tô chạy trên quảng đờng 80km trong thời gian đã dự định Vì trời ma nên một
phần t quảng đờng đầu xe phải chạy chậm hơn vận tốc dự định là 15 km/h nên quảng đờngcòn lại xe phải chạy nhanh hơn vận tóc dự định là 10km/h Tính thời gian dự định
25 3 Một chiếc thuyền chạy xuôi dòng từ bến sông A đến bến sông B cách nhau 24km Cùng lúc
đó, từ A một chiêchs bè trôi về B với vận tốc dòng nớc là 4km/h khi về đến B thì chiếcthuyền quay lại ngay và gặp chiếc bè tại C cách A là 8km Tính vận tốc thực của thuyền
27 3 Một xe ô tô tứ Huế ra Hà nội Sau đó 1 giờ 40 phút, một xe lửa khác đi từ Hà nội vào Huế
với vận tốc lớn hơn vận tốc của xe lửa thứ nhất là 5km/h Hai xe gặp nhau cách ga Hà Nội300km Tìm vận tốc của mỗi xe, biết rằng đờng sắt HUế – Hà Nội dài 645km
29 3 Hai ngời cùng làm chung một công việc thì hoàn thành trong 4 giờ Nếu mỗi ngời làm
riêng, để hoàn thanh công việc thì thời gian ngời thứa nhất ít hơn thời gian ngời thứ hai là 6giờ Hỏi nếu làm riêng thì mỗi ngời phải làm trong bao lâu để hoàn thành công việc
30 2 Khoảng cách gia hai bến sông A và B là 48km Một ca nô xuôi dòng từ A đến B rồi quay lại
bến A Thời gian cả đi và về là 5 giờ Tính vận tốc của ca nô trong nớc yên lặng biết vận tốcdòng nớc là 4km/h
31 3 Hai ngời thợ cùng làm công việc trong 16 giờ thì xong Nếu ngời thứ I làm 3 giờ và ngời thứ
II làm 6 giừ thì họ làm 1/4 công việc Hỏi nếu làm riêng thì mỗi ngời phải làm trong bao lâu
để hoàn thành công việc
Phần 6: Vẽ hình, chứng minh tứ giác nội tiếp
1 4 Cho đờng tròn tâm O đờng kính AB Vễ dây cung Cd vuong góc với AB tại I(I nằm giữa A và
O) lấy E trên cung nhỏ BC, AE cắt CD tại F Chứng minh:
a) BEFI là tứ giác nội tiếp đờng tròn b) AE.AF = AC2
c)Khi E chạy trên cung nhỏ BC thì tâm đờng tròn ngoại tiếp CEF thuộc đờng thẳng cố định
2 4 Từ một điểm A nằm ngoài đờng tròn (O;R) ta vẽ hai tiếp tuyến AB, AC với đờng tròn(B,C là
tiếp điểm) Trên cung nhỏ Bc lấy một điểm M, vẽ MI BC, MK AC ( I AB, K AC)a) Chứng minh AIMK là tứ giác nội tiếp đờng tròn
b) Vẽ MP BC (P BC) Chứng minh MPK = MBC
c) Xác định vị trí của điểm M trên cung nhỏ Bc để tích MI.MK.MP nhỏ nhất
3 4 Cho ABC có ba góc nhọn nội tiếp đờng tròn (O;R) Các đờng cao BE, CF cắt nhau tại H
a) C/m AEHF, BCEF là tứ giác nội tiếp đờng tròn
b) Gọi M, N lần lợt là giao điểm thứ hai của đờng tròn (O) với BE và CF C/m MN// EF
c) C/m OA EF
4 4 Cho hình vuông ABCD có hai đờng chéo cắt nhau tại E Lấy điểm I trên AB, M trên BC saocho IEM = 900.
a) Chứng minh rằng BIEM là tứ giác nội tiếp
b) Tính số đo IME
c) Gọi N là gieo điểm của AM và DC; K là giao điểm của BN và EM C/m CK BN
5 4 Cho đờng tròn (O; R) AB và CD là hai đờng kính khác nhau của đờng tròn Tiếp tuyến tại Bcủa đờng tròn cắt các đờng thẳng AC và AD tại E và F.
a) Chứng minh ACBD là hình chữ nhật
b) Chứng minh ACD CBE
c) Chứng minh rằng CDEF là tứ giác nội tiếp
d) Gọi S1, S2, S3 thứ tự là diện tíc của AEF, BCE, BDF C/m S1 S2 S
6 4 Cho ABC vuông tại A M là một điểm thuộc cangh AC đờng tròn đờng kính MC cắt BC tạiN và cắt BM tại I CMR:
a) ABMN, ABCI là tứ giác nội tiếp
b) NM là tia phân giác của góc ANI
Trang 13c) BM.BI + CM.CA = AB2 + AC2
7 4 Cho đờng tròn (O;R) có đờng kính AB, vẽ dây CD AB Trên tia đối của tia BA lấy điểm S,SC cắt (O) tại điểm thứ hai M.
a) CMR SMA đồng dạng với SBC
b) Gọi H là giao điểm của MA với BC; K là giao điểm của MD với AB Chứng minh BMHK
là tứ giác nội tiếp và HK// CD
c) Chứng minh OK.OS = R2
8 4 Cho nửa đờng tròn O đờng kính AB = 2R và tia Ax nằm cìng phía với nửa đờng tròn đối vớiAb Từ một điểm M trên Ax kẻ tiếp tuyến thứ hai MC với nửa đờng tròn AC cắt OM tại E.
MB cắt nửa đờng tròn tại D
a) CMR: AMCO và MADE là các tứ giác nội tiếp
b) Chứng minh ADE = ACO
c) Vẽ CH AB CMR MB đi qua trung điểm CH
9 4 Cho nữa đờng tròn tâm O đờng kính AB Lờy điểm M thuộc đoạn thẳng OA, N thuộc nửa đ-ờng tròn Từ A và B vẽ các tiếp tuyến Ax và By Đờng thẳng qua N và vuông góc với NM cắt
Ax, By thứ tự tại C và D
a) Chứng minh ACMN và BDNM là các tứ giác nội tiếp đờng tròn
b) Chứng minh ANB đồng dạng với CMD
c) Gọi I là giao điểm của AN và CM, K là giao điểm của BN và DM CMR IK //AB
10 4 Cho hai đờng tròn (O) và (O’) cắt nhau tại A và B Vẽ AC và AD thứ tự là hai đờng kính của(O) và (O’).
a) Chứng minh C, B, D thẳng hàng
b) AC cắt (O’) tại E AD cắt (O) tại F CMR C, D, E F thuộc một đờng tròn
c) Một đờng thẳng d thay đổi luôn đi qua A cắt (O) và (O’) tại M và Xác định vị trí của d để
CM + DN đạt giá trị lơna nhất
11 4 Cho đờng tròn (O;R) đờng kính AB Dây CD = R Từ B kẻ tiếp tuyến Bx với đờng tròn Tia Axcắt Bx tại M Gọi E là trung điểm của AC.
a) Chứng minh rằng OBME là tứ giác nội tiếp
b) Gọi I là giaođiểm của BE với OM CMR IB.IE = IM.IO
12 4 Cho ABC vuông ở A Trên cạnh AC lấy điểm M Dựng đờnd tròn tâm O đờng kính MC Đ-ờng thẳng MB cắt đờng tròn tâm O tại D, đờng thẳng AD cắt đờng tròn tâm O tại S.
a) Chứng minh rằng ABCD là tứ giác nội tiếp và CA là phân giác BCS
b) Gọi E là giao điểm BC và (O) CMR AB, EM, CD đồng quy
c) CMR M là tâm đờng tròn nội tiếp ADE
13 4 Cho ABC cân tại A I là tâm đờng tròn nội tiếp, K là tâm đờng tròn bàng tiếp góc A, O làtrung điểm của IK.
a) chứng minh 4 điểm B, I, C, K thuộc một đờng tròn tâm O
b) Chứng minh AC là tiếp tuyến của (O)
c) Tính bán kính của đờng tròn tâm O biết AB = AC = 20cm, BC = 24cm
14 4 Cho ABC vuông ở A(AB > AC), đờng cao AH Trên nửa mặt phẳng bờ BC chứa điểm A Vẽnữa đờng tròn đờng kính BH cắt AB tại E nửa đờng tròn đờng kính CH cắt AC tại F CMR:
a) Tứ giác AFHE là hình chữ nhật
b) Chứng minh rằng BEFC là tứ giác nội tiếp
c) EF là tiếp tuyến chung của hai đờng tròn đờng kình BH và HC
15 4 Cho đờng tròn (O) đờng kính AB = 2R Điểm M thuộc đờng tròn sao cho MA < MB Tiếptuyến tại B và M cắt nhau ở N Mn cắt AB tại K, Tia MO cắt tia NB tại H.
a) Tứ giác OAMN là hình gì
b) Chứng minh KH // MB
16 4 Cho đờng tròn (O) với dây BC cố định và một điểm A thay đổi trên cung lớn BC sao cho AC >AB, AC > BC Gọi D là điểm chính giữa cung nhỏ BC Các tiếp tuyến của (O) tại D và C cắt
nhau tại E Gọi P, Q lần lợt là giao điểm của các cặp đờng thẳng AB với Cd; AD với CE.a) CMR: DE//BC
b) Chứng minh rằng PACQ là tứ giác nội tiếp
c) AD cắt BC tại F Chứng minh CF
1 CQ
1 CE
1
17 4 Cho 3 điểm A, B, C thẳng hàng(B nằm giữa A và C) Vẽ đờng tròn tâm O đờng kính BC; At là
tiếp tuyến vẽ từ A Từ tiếp điểm T vẽ đờng thẳng vuông góc với BC, đờng thẳng này cắt BC tại
H và cắt đờng tròn tại K(K ≠ T) Đạt OB = R
Trang 14a) Chứng minh OA.OH = R2 ; b) TB là phân giác ATH
c) Từ B vẽ đờng thẳng song song với Gọi D, E lần lợt là giao điểm của đờng thẳng vừa vẽvới TK và TA CMR TED cân
d) Chứng minh AC
AB HC
HB
18 4 Cho hai đờng tròn (O) và (O’) cắt nhau tại hai điểm phân biệt A và B Đờng thẳng OA cắt (O),
(O’) lần lợt tại điểm thứ hai C, D O’A cắt (O), (O’) lần lợt tại điểm thứ hai E,F
a) Chứng minh ba đờng thẳng AB, CE và DF đồng quy
b) Chứng minh tứ giác BEIF nội tiếp đờng tròn
c) Cho PQ là tiếp tuyến chung của (O) và (O’) ( P (O), Q (O’)
Chứng minh đờng thẳng AB đie qua trung điểm của đoạn thẳng PQ
19 4 Cho nửa đờng tròn(O) đờng kính AB Điểm M thuộc nửa đờng tròn, điểm C thuộc đoạn OA
Trên nửa mặt phẳng bờ là đờng thẳng AB chứa điểm M vẽ tiếp tuyến Ax, By Đờng thẳng qua
M vuông góc với MC cắt Ax, By tại P và Q AM cắt CP tại E, BM cắt CQ tại F
a) Chứng minh tứ giác APMC nội tiếp đờng tròn b) Chứng minh PCQ = 900
c) Chứng minh AB // EF
20 4 Cho (O,R) và một điểm S nằm ngoài đờng tròn Vẽ hai tiếp tuyến SA và SB Vẽ đờng thẳng a
(không đi qua O) đi qua S và cắt (O) tại M,N với M nằm giữa S và N
a) Chứng minh SO AB
b) Gọi H là giao điểm cảu SO và AB; I là trung điểm của MN OI và AB cắt nhau tại E Chứngminh tứ giác nội IHSE tiếp đờng tròn
c) Chứng minh IO.OE = R2
21 4 Cho đờng tròn (O) đờng kính AB và điểm C thuộc đờng tròn ( C khác A và B) Lấy điểm D
thuộc dây BC Tia AD cắt cung nhỏ BC tại E, Tia AC cắt tia BE tại F
a) Chứng minh tứ giác FCDE nội tiếp đờng tròn; b) Chứng minh DA.DE = DB.DC.c) Gọi I là tâm đờng tròn ngoại tiếp tứ giác FCDE Chứng minh IC là tiếp tuyến của (O)
22 4 Cho điểm C thuốc đoạn thẳng AB Trên cùng một nữa mặt phẳng bờ AB vẽ tia Ax, By vuông
góc với AB Trên tia Ax lấy điểm I, tia vuông góc với CI tại C cắt By tại K Đờng tròn đờngkính IC cắt IK tại P
a) Chứng minh tứ giác CPKB nội tiếp đờng tròn; b) Chứng minh AI BK = AC.BC
c) Tính APB
23 4 Cho hai đờng tròn (O, R) và (O’, R’) với R> R’ cắt nhau tại A và B Kẻ tiếp tuyến chung DE
của hai đờng tròn với D (O) và E (O’) sao cho B gần tiếp tuyến đó hơn so với A
a) Chứng minh DAB = BDE; b) AB cắt DE tại M Chứng minh M là trung điểm của DE.c) Đờng thẳng EB cắt DA tại P DB cắt AE tại Q Chứng minh PQ // AB
24 4 Cho nửa đờng tròn tâm O đờng kính AB Điểm C thuộc nửa đờng tròn và điểm D nằm trên
đoạn OA Vẽ các tiếp tuyến Ax, By của nửa đờng tròn đờng thẳng qua C, vuông góc với CDcắt Ax, By lần lợt tại M và N
a) Chứng minh tứ giác ADCM và BDCN nội tiếp đờng tròn; b) Chứng minh MDN = 900c) Gọi P là giao điểm của AC và DM Q là giao điểm của BC và DN Chứng minh PQ//AB
25 4 Cho đờng tròn (O,R) và đờng thẳng d không qua O cắt đờng tròn tại hai điểm A và B Điểm M
trên tia đối của tia BA kẻ hai tiếp tuyến MC, MD với đờng tròn H là trung điểm AB
a) Chứng minh M, D, O, H cùng thuộc một đờng tròn
b) Đoạn Om cắt đờng tròn tại I Chứng minh I là tâm đờng tròn nội tiếp MCD
c) Đờng thẳng qua O vuông góc với OM cắt các tia MC, MD thứ tự tại P và Q Tìm vị trí của
M trên d để diện tích MPQ bé nhất
26 4 Cho tứ giác ABCD có hai đỉnh B và C nằm trên nửa đờng tròn đờng kính AD, tâm O Hai
đ-ờng chéo AC và BD cắt nhau tại E Gọi H là hình chiếu vuông góc của E xuống AD và I là
Trang 15trung điểm của DE Chứng minh
a) Các tứ giác ABEH, DCEH nội tiếp đờng tròn
b) E là tâm đờng tròn nội tiếp BCH
c) Năm điểm B,C,I,O,H cùng thuộc một đờng tròn
27 4 Cho nửa đờng tròn tâm O đờng kính Ab C là một điểm nằm giữa O và A Đờng thẳng vuông
góc với AB tại C cắt nửa đờng tròn trên tại I K là một điểm bất kỳ nằm trên đoạn thẳng CI( K khác C và I), Tia AK cắt nửa đờng tròn tại M, Tia BM cắt tia CI tại D
a) ACMD là tứ giác nội tiếp đờng tròn
b) ABD MBC
c) Tâm đờng tròn ngoại tiếp AKD nằm trên một đờng thẳng cố định khi K đi động trên CI
28 4 Cho nửa đờng tròn tâm O đờng kính AB = 2R và tia tiếp tuyến Ax cùng phí với nửa đờng tròn
đối với AB Từ điểm M trên Ax kẻ tiếp tuyến thứ hai MC với nửa đờng tròn AC cắt OM tại E,
MB cắt nửa đờng tròn tại D
a) Chứng minh ADHE là tứ giác nội tiếp đờng tròn
b) MA2 = MD.MB
c) Vẽ CH AB Chứng minh MB đi qua trung điểm của CH
29 4 Cho nửa đờng tròn đờng kính BC = 2R Từ điểm A trên nửa đờng tròn vẽ AH BC Nửa đờng
tròn đờng đờng kính BH, CH lần lợt có tâm O1, O2 cắt AB, AC thứ tự tại D và E
a) Chứng minh ADHE là hình chữ nhật, từ đó tính DE biết R = 25, BH = 10
b) Chứng minh BDEC là tứ giác nội tiếp đờng tròn
c) Xác định vị trí điểm A để diện tích tứ giác DEO1O2 đạt giá trị lớn nhất Tính giá trị đó
30 4 Cho Tam giác vuông ABC nội tiếp (O) đờng kính AB Trên tia đối tia CA lấy điểm D sao cho
CD = AC
a) Chứng minh ABD cân
b) Đờng thẳng vuông góc với AC tại A cắt đờng tròn tại E Trên tia đối tia EA lấy điểm F saocho EF = AF Chứng minh D, B, F nằm trên một đờng thẳng
c) Chứng minh đờng tròn đi qua b ađiểm A, D, F tiếp xúc với (O)
31 4 Cho ba điểm A, B, C ccố định thẳng hàng theo thứ tự đó Vẽ đ ờng tròn (O; R) bất kỳ đi qia
BC( BC ≠ 2R) Từ A ke các tiếp tuyến AM, AN đến O Gọi I, K lần lợt là trung điểm của BC và
MN MN cắt BC tại D Chứng minh
a) AM2 = AB.AC; b) AMON, AMOI là các tứ giác nội tiếp đờng tròn
c) Khi đờng tròn (O) thay đổi, tâm đờng tròn ngoại tiếp OID luôn thuộc một đờng thẳng cố
định
32 4 Qua điểm A cho trớc nằm ngoài đờng tròn (O) vẽ hai tiếp tuyến AB, AC, Lấy M trên cung nhỏ
BC, vẽ MH BC; MI AC, MK AB
a) Chứng minh BHMK, CHMI là các tứ giác nội tiếp đờng tròn; b) MH2 = MK.MI
c) Qua M vẽ tiếp tuyến với (O) cắt AB,AC tại P, Q Chứng minh chu vi APQ không phụthuộc vào vị trí điểm M
33 4 Cho hai đờng tròn (O;R) và (O;R’) tiếp xúc ngoài tại A Vẽ tiếp tuyến chung ngoài BC (B
(O), C (O’))
a) Chứng minh BAC = 900; b) Tính BC theo R, R’
c) Gọi D là giao điểm của AC với (O) vẽ tiếp tuyến DE với (O’) Chứng minh BD = DE
34 4 Cho đờng tròn (O), đờng kính AB, d1, d2 là các đờng thẳng lần lợt qua A, B và cùng vuông góc
với AB M, N là các điểm lần lợt thuộc d1, d2 sao cho MON = 900
a) Chứng minh đờng thẳng Mn là tiếp tuyến của (O)
b) Chứng minh AM.AN = AB2/4
c) Xác định vị trí cảu M, N để diện tích tam giác MON đạt giá trị nhỏ nhất
Trang 1635 4 Từ điểm M nằm bên ngoài đờng tròn (O;R) vẽ hai tiếp tuyến MA, MB và cát tuyến cắt đờng
tròn tại hai điểm C, D không đi qua O Gọi I là trung điểm của CD
a) Chứng minh 5 điểm M, A, I, O, B cùng thuộc một đờng tròn
Chứng minh IM là phân giác của AIB
36 4 Cho đờng tròn(O), từ một điểm A ở bên ngoài đờng trònvẽ đờng thẳng AO cắt (O) tại B và C
( AB < AC) Qua A vẽ đờng thẳng không đi qua O cắt (O) tại D và E( AD < AE) Đờng vuônggóc với AB tại A cắt đờng thẳng CE tại F
a) Chứng minh ABEF là tứ giác nội tiếp đờng tròn
b) Gọi M là giao điểm thứ hai của FB với đờng tròn (O) Chứng minh DM AC
C) Chứng minh CE.CF + AD.AE = AC2
37 4 Cho ABC có ba góc nhọn, trực tâm H và nội tiếp (O), vẽ đờng kính AK
a) Chứng minh BHCK là hình bình hành
b) Vẽ OM BC, Chứng minh H< M, K thẳng hàng và AH = 2OM
c) Gọi A’, B’, C’ là chân các đờng cao thuộc cạnh Bc, CA, AB của ABC Khi BC cố định hãyxác định vị trí điểm A để tổng S = A’B’ + B’C’+ C’A’ đạt giá trị lớn nhất
38 4 Cho ABC cân tại A Vẽ (O;R) tiếp xúc với AB, AC tại B và C Đờng thẳng qua điểm M trên
BC vuông góc với OM cắt AB, AC tại D và E
a) Chứng minh 4 điểm O, B, D, M cùng thuộc một đờng tròn
b) MD = ME
39 4 Cho đờng tròn (O) đờng kính AB cố định, điểm I nằm giữa A và O sao cho AI = 2/3AO kẻ
dây Mn vuông góc với AB tại I Gọi C là điểm tùy ý thuộc cung lớn MN sao cho C khôngtrùng với M,N và B Nối AC cắt MN tại E
a) Chứng minh IECB là tứ giác nội tiếp đờng tròn
b) Chứng minh AM2 = AE.AC
c) Hãy xác định vị trí của điểm C sao cho khoảng cách từ N đến tâm đờng tròn ngoại tiếp
CME nhỏ nhất
40 4 Bên trong hình vuông ABCD vẽ tam giác đều ABF Vẽ tia Bx thuộc nửa mặt phẳng chứa điểm
E, có bờ là đờng thẳng Ab sao cho Bx BE Trên tia Bx lấy điểm F sao cho BF = BE
a) Tính số đo các góc của ADE, b) Chứng minh D, F, E thẳng hàng
c) Đờng tròn tâm (O) ngoại tiếp AEB cắt AD tại M Chứng minh ME // BF
Phần 7: Một số bài toán nâng cao đại số
Trang 1833 5 Cho hai phơng trình x2 + a1x + b1 = 0 và x2 + a2x + b2 = 0 cho biết a1a2 ≥ 2(b1 + b2) Chứng minh
ít nhất một trong hai phơng trình đã cho có nghiệm
9 Chứng minh x có giá trị nguyên.
Câu 3: Cho các số dơng x, y, z thỏa mãn: x + y + z ≤ 3 Tìm GTLN của biểu thức
Trang 19Câu 3: Tìm tất cả các số hữu tỉ x sao cho giá trị của biểu thức x2 + x + 6 là số chính phơng.
Câu 5: Tìm GTLN và GTNN cuả P = 2x2 – xy – y2 với x2 + 2xy + 3y2 = 4
Câu 2: a) Cho a,b,c là độ dài ba cạnh của tam giác , Chứng minh
Trang 20Câu 3: a) Chứng minh rằng nếu √x2+√3 x4y2+√y2+√3 x2y4=a thì √3 x2+√3 y2=√3 a2
b) Chứng minh rằng nếu phơng trình x4+ ax3 + bx2 +ax +1 = 0 có nghiệm thì 5(a2 + b2) ≥4
c) Chứng minh √aA+√bB+√cC+√dD=√(a+b+c +d )( A+B+C +D)
Một số bài toán khác
Bài 1: Hãy tìm cặp số (x, y) sao cho y nhỏ nhất thỏa mãn x2 + 5xy + 2y – 4xy – 3 = 0
Bài 2: Chứng minh rằng nếu x, y là các số dơng thì 1
Bài 5: Chứng minh nếu a,b,c là ba cạnh của một tam giác thì (a+b-c)(b+c-a)(c+a-b)≤ abc
Bài 6: Tìm giá trị của x để A = 1