2) Tìm tất cả các giá trị của tham số m để đồ thị hàm số cắt trục hoành tại một điểm duy nhất.. Xác định tâm và tính thể tích của khối cầu ngoại tiếp của tứ diện ABCD.[r]
Trang 1Câu I (2 điểm)
Cho hàm số: y = x3 +mx +2
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi m = 3
2) Tìm tất cả các giá trị của tham số m để đồ thị hàm số cắt trục hoành tại một điểm duy nhất Câu II (2 điểm)
1) Giải phương trình: x2 +3(x −1) x2 + + −x 1 2x + = 3 0
2) Giải hệ phương trình:
2
1 log 16 4 log log 2 xy
x
y
Câu III (1 điểm)
Tính tích phân:
3 0
1
dx x
+
Câu IV (1 điểm)
Cho tứ diện ABCD có AB vuông góc với mặt phẳng (BCD) và AB =a 2 Biết tam giác BCD
có BC =a BD, =a 3 và trung tuyến 7
2
a
BM = Xác định tâm và tính thể tích của khối cầu ngoại tiếp của tứ diện ABCD
Câu V (1 điểm)
Cho các số thực dương a b c thỏa: , , 1 9 4
1
a + + = Đặt b c Pmin là giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
P = a+ +b c Tìm nghiệm của phương trình: ( ) min
121 1 tan
1 cot
2 sin
x P x x
+
=
Câu VI (2 điểm)
1) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho điểm , A(2; 1− và đường thẳng ) ( )d : 3x +5y− = 7 0 Viết phương trình đường thẳng qua A và tạo với ( )d một góc bằng 45 0
2) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho điểm , M(1;1;2) và mặt phẳng
( )P :x + + + = Một mặt phẳng song song với y z 1 0 ( )P và cắt hai tia Ox Oy tại , B C sao , cho tam giác ABC có diện tích bằng 3
2 (đvdt) Viết phương trình mặt phẳng đó
Câu VII (1 điểm)
Tìm hệ số lớn nhất trong các hệ số của khai triển (2 )
n
x +
************************************** ***************************************
Ghi chú: Học sinh phải trình bày rõ ràng, sạch sẽ
Không được dùng bút xóa, bút chì trong bài làm
Giáo viên soạn: Kiều Hòa Luân_luankieu@ymail.com
SỞ GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO TP HỒ CHÍ MINH
TRƯỜNG THCS & THPT NGUYỄN KHUYẾN (CƠ SỞ IV)
MÔN: TOÁN Thời gian làm bài: 180 phút
luankieu@ymail.com sent to www.laisac.page.tl
Trang 2ĐÁP ÁN THAM KHẢO
Câu I (2 điểm)
Cho hàm số: y = x3 +mx+2
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi m = (học sinh tự giải) 3
2) Tìm tất cả các giá trị của tham số m để đồ thị hàm số cắt trục hoành tại một điểm duy nhất
Hàm số: y = x3 +mx+2
Miền xác định: D =
Đạo hàm: y' = 3x2 +m có ' = −3a
Đồ thị hàm số cắt trục hoành tại một điểm duy nhất khi và chỉ khi hàm số đã cho đơn điệu trên
hoặc đạt hai cực trị y y cùng phía với trục hoành1, 2
( )
( )
1 2
' 0 1 ' 0
2
y y
∆ ≤
∆ >
⇔ >
Giải ( )1 : ∆ ≤ ⇔ −' 0 3m ≤ ⇔0 m ≥ 0
Giải ( )2 : Gọi ;
− là hai nghiệm của y' = 0
Ta có :
1 2
' 0
m
− >
∆ >
0
4
27
m
m m
<
⇔ + > ⇔ − < < Vậy đồ thị hàm số cắt trục hoành tại một điểm duy nhất khi:
0
3
m
m m
≥
− < <
Cách khác:
Phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số với trục hoành là: x3 +mx+ = 2 0
( )
3
x
+
⇔ + = − ⇔ = − (do x = không là nghiệm) 0
Xét hàm số:
3
2
x
+
Miền xác định: D = \ 0{ }
Đạo hàm: 22
' 2
x
Cho y' 0 x 12 x 1 y( )1 3
x
Bảng biến thiên :
Số nghiệm của phương trình ( )* là số giao điểm của đồ thị hàm số
x y
x
+
= với đường thẳng
y = − m
Từ bảng biến thiên ta suy ra đồ thị hàm số y = x3 +mx+ cắt trục hoành tại một điểm duy nhất 2 khi − < ⇔m 3 m > − 3
Vậy m ∈ − ∞ thỏa yêu cầu bài toán ( 3; )
Câu II (2 điểm)
1) Giải phương trình: x2 +3(x−1) x2 + + −x 1 2x + = 3 0
' y
x
y
−∞
1
0
−
3
Trang 3Phương trình đã cho viết lại: (x2 + +x 1)+3(x −1) x2 + + −x 1 3x + =2 0
Đặt: t = x2 + +x 1;t ≥ 0
2 3
t
=
Với t = ta có: 1 x2 + + = ⇔x 1 1 x x( +1)= 0 ⇔x = ∨ = − 0 x 1
Với t = −2 3x ta có:
2
2 2
x
+ + = − ⇔
2
2 3
x
≤
⇔
2 3
16 16
16
x
x x
x
≤
⇔ = ⇔ =
Vậy phương trình đã cho có nghiệm là: 13 73
16
=
2) Giải phương trình:
( )
2
1
log 2 xy x
y
Điều kiện:
xy
> < ≠
⇔ < ≠
Ta có phương trình: ( )
4
2
1
log
xy
2
Phương trình( )1 ⇔x3 +2x y2 +2xy2−5y3 = 0
Hệ phương trình đã cho tương đương: 3 42 2 3 ( )*
xy
=
Khi y = thì hệ phương trình ( )0 * vô nghiệm
Khi y ≠ ta có: 0
+ + − = ⇔ + + − = Đặt: x
t
y
= , phương trình trên được viết lại: t3 +2t2 +2t− =5 0 ⇔(t−1)(t2 +3t+5)= 0
2
1
t
=
Với t = ta có: 1 x 1 x y
Thay x = vào y ( )* ta được: x2 = 4 ⇔ x = ± 2
So với điều kiện ta suy ra: x = = y 2
Vậy hệ phương trình đã cho có một cặp nghiệm là: (2;2 )
Câu III (1 điểm)
Tính tích phân:
3
1
dx x
+
Trang 4Ta biến đổi:
3
2
1
x
=
+ Đồng nhất đẳng thức, ta được:
0 2
C
Khi đó:
2
2
dx
0
0
x
− +
Câu IV (1 điểm)
Cho tứ diện ABCD có AB vuông góc với mặt phẳng (BCD và ) AB =a 2 Biết tam giác BCD
có BC =a BD, =a 3 và trung tuyến 7
2
a
BM = Xác định tâm và tính thể tích của khối cầu ngoại tiếp của tứ diện ABCD
Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác BCD , qua O dựng đường thẳng ( )d vuông góc với mặt phẳng(BCD , khi đó ) ( )d là trục của đường tròn ngoại tiếp tam giác BCD và ( )d song song với AB
Trong mặt (AB d dựng đường trung trực ; ) ( của đoạn AB , ) ( cắt ) ( )d tại I
Ta có:
Vậy I là tâm của mặt cầu ngoại tiếp của tứ diện ABCD
Trong tam giác BCD , ta có:
4
cos
CBD
• Theo định lý hàm sin, ta có:
1
2
Gọi E là trung điểm của AB , khi đó tứ giác OAEI là hình chữ nhật, suy ra bán kính của mặt cầu ( )S là:
2
R = IB = OB +BE = a + =
Thể tích của khối cầu ( )S là: ( )
3
S
a
B
A
C
D
E
M
O
d
I
30 sin
2
Trang 5Câu V (1 điểm)
Cho các số thực dương a b c thỏa: , , 1 9 4
1
a + + = Đặt b c Pmin là giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
P = a+ +b c Tìm nghiệm của phương trình: ( ) min
121 1 tan
1 cot
2 sin
x P x x
Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopsky ta có:
2
min
121
+ +
121
P
( )
1 tan
2 s in *
1 cot
x
x x
+
+
Điều kiện:
x x x
Phương trình: ( )* cos sin sin 2 sin
x
+
+
sin
2 sin cos
x
x x
2
x
=
(do sinx ≠ ) 0
x = ⇔ x = ± +π k π k ∈
So với điều kiện suy ra: 2 ;( )
4
x = π+k π k ∈
Vậy họ ngihệm của phương trình đã cho là: 2 ;( )
4
x = π+k π k ∈
Câu VI (2 điểm)
1) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho điểm , A(2; 1− và đường thẳng ) ( )d : 3x +5y− = 7 0 Viết phương trình đường thẳng qua A và tạo với ( )d một góc bằng 45 0
Gọi k k theo thứ tự là hệ số góc của 1, 2 (d') và ( )d , ta có: 2 3
5
k = −
Đường thẳng (d') hợp với ( )d một góc bằng 0 2 1 0 2 1
1
1
1
1
k
k
= −
1
2; 1
4
qua A
hsg k
−
Trang 6Với 1 1
4
k = − ta có ( )
( )
1
2; 1
4
qua A
hsg k
−
Vậy qua A có thể kẻ được hai đường thẳng thỏa mãn đầu bài là:
( ) ( )
' :
2) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho điểm , M(1;1;2) và mặt phẳng ( )P :x + + + = y z 1 0 Một mặt phẳng song song với ( )P và cắt hai tia Ox Oy tại , B C sao cho tam giác ABC có diện , tích bằng 3
2 (đvdt) Viết phương trình mặt phẳng đó
Mặt phẳng cần tìm song song với ( )P nên có phương trình dạng ( )Q :x + + +y z m = 0
Để ( )Q cắt hai tia Ox Oy tại hai điểm , B C thì , m < , khi đó: 0 B(−m; 0; 0 ,) C(0;−m; 0)
Ta có: BA =(1+m;1;2 ,) CA =(1;1+m;2)⇒(BA CA ; )= −( 2 ; 2 ;m − m m2 +2m)
Diện tích của tam giác ABC là: 1 ( ) 1 2 2 ( 2 )2
ABC
S∆ = BA CA = m + m + m + m
2
1
m
= −
Xét hàm số: f m( )=m3 +3m2 +9m− với 9 m < 0
Ta có: f'(m)= 3m2 +6m+ > 9 0
⇒ hàm số f m luôn tăng ( ) ∀m ∈ −∞( ; 0)
Vì f( )0 = − < ⇒9 0 f m( )< 0;∀m ∈ −∞( ; 0)
⇒ phương trình: m3 +3m2 +9m− = không có nghiệm trên 9 0 (−∞; 0)
Do đó trên (−∞; 0) thì phương trình ( )* có một nghiệm duy nhất là: m = − 1
Vậy phương trình mặt phẳng cần tìm là ( )Q :x + + − = y z 1 0
Câu VII (1 điểm)
Tìm hệ số lớn nhất trong các hệ số của khai triển của (2 )40
x
40 40
40
40
0
k k k k
x
=
Hệ số tổng quát: 140 40
2 7
k k k k
a = C x với 0 ≤ ≤k 40
Ta lập tỉ số:
40
k
k k k k
1
k
k
k
Do đó:
{ }ak tăng khi 0≤ ≤k 26⇒(ak)max =a26
{ }ak giảm khi 27≤ ≤k 40 ⇒(ak)max =a27
Mà: 27
26
40 26
27
a
a
−
1 2 7
********************************* ************************************