Phạm Thị Thúy Ngọc Bộ môn Cơ Điện tử, Khoa Cơ khí Đại học Bách khoa Tp Hồ Chí Minh Email: nvgiap@dme.hcmut.edu.vn Tóm tắt Các hệ nhiều ngõ vào/nhiều ngõ ra MIMO- Multi Input Multi Out
Trang 1ĐIềU KHIểN PHÂN cặP
TS Nguyễn Văn Giáp
KS Phạm Thị Thúy Ngọc
Bộ môn Cơ Điện tử, Khoa Cơ khí
Đại học Bách khoa Tp Hồ Chí Minh Email: nvgiap@dme.hcmut.edu.vn
Tóm tắt
Các hệ nhiều ngõ vào/nhiều ngõ ra (MIMO- Multi Input Multi Output) rất khó có thể điều khiển chính xác vì chỉ cần một ngõ vào thay đổi sẽ tác động đến nhiều, nếu không muốn nói là tất cả các ngõ ra Bài báo này giới thiệu về kỹ thuật điều khiển phân cặp, một phương pháp điều khiển giúp hệ ban đầu hoạt động theo cách
dễ điều khiển hơn, trong đó tác động của các ngõ vào được phân cặp dẫn đến mỗi ngõ ra chỉ chịu ảnh hưởng duy nhất của một ngõ vào
Abstract
Multi-input/multi-output system are usually difficult for human operator to control directly, since changing any one input generally affects many, if not all, outputs of the system Decoupling is a control method that make the original system behave in the way easier to control manually where the input actions are decoupled, each output is therefore affected by only one input signal
1 giới thiệu
Trong lĩnh vực điều khiển, việc thiết kế bộ điều khiển cho các hệ MIMO đòi hỏi tốn nhiều thời gian và công sức Thêm vào đó, việc điều khiển các hệ này rất khó mang lại sự chính xác do các ngõ vào và ngõ ra có mối liên hệ phức tạp, chỉ cần một ngõ vào thay đổi cũng có thể dẫn đến sự thay đổi của nhiều ngõ ra Để đơn giản hơn trong việc điều khiển các hệ MIMO, người ta thiết kế các bộ bù nhằm làm cho hệ sau khi bù sẽ có khuynh hướng ở dạng
đường chéo Nếu hệ sau khi bù có dạng chéo thì có thể xem hệ là một tập hợp của các hệ một ngõ vào/ một ngõ ra (SISO), như vậy việc điều khiển sẽ trở nên đơn giản hơn Một phương pháp khác làm việc điều khiển đơn giản là phân cặp Phương pháp này đưa ma trận hàm truyền của hệ về chính xác dạng đường chéo Như vậy, một ngõ ra sẽ chỉ chịu tác
động của một ngõ vào, mỗi cặp ngõ vào/ ngõ ra sẽ được điều khiển bởi một bộ điều khiển SISO vốn đơn giản hơn trong việc thiết kế
Bài báo này đề cập đến vấn đề sử dụng điều khiển hồi tiếp (luật điều khiển hồi tiếp ngõ ra hằng số, hồi tiếp trạng thái, hồi tiếp trạng thái kết hợp với bù trước) để đưa ma trận hàm truyền về dạng chéo Điều kiện để phân cặp ổn định, thuật toán để xây dựng luật điều khiển này cũng sẽ được mô tả Trong trường hợp không thể thực hiện chéo hóa đầy đủ bằng các luật điều khiển trên, phương pháp phân cặp chéo hóa khối và tam giác sẽ được sử dụng Các phương pháp này cũng được đề cập đến trong bài báo này
2 ĐIềU KIệN phân cặp dạng đường chéo
Dạng đơn giản nhất của phân cặp đường chéo là phân cặp hệ có số ngõ vào và ngõ ra bằng nhau Để tiến hành phân cặp, ứng dụng một số luật điều khiển vào hệ thống nhằm làm cho
ngõ ra thứ i của hệ kín chỉ phụ thuộc vào tín hiệu ngõ vào thứ i của hệ Như vậy mỗi ngõ ra
có thể được điều khiển riêng biệt bởi một bộ điều khiển SISO đơn giản Thông thường, có
ba loại bộ điều khiển được sử dụng:
- Hồi tiếp ngõ ra hằng: u =Hy+Gr
- Hồi tiếp trạng thái tuyến tính: u =Fx + Gr
Trang 2- Hồi tiếp trạng thái tuyến tính kết hợp với bù trước: một hệ điều khiển động feedforward
được thêm vào bộ điều khiển hồi tiếp trạng thái Trong trường hợp này, bộ bù tương ứng
với hồi tiếp ngõ ra động, tức là các vectơ ngõ vào r và ngõ ra y được nhân với các ma
trận độ lợi của hàm truyền động
ở đây u là tín hiệu điều khiển; y là ngõ ra; H, G, F là các ma trận độ lợi hằng; x là vectơ biến trạng thái nội
Hình 2.1: a) Hồi tiếp ngõ ra hằng
b)Hồi tiếp trạng thái tuyến tính
Đầu tiên, nghiên cứu việc phân cặp đường chéo một hệ vuông bằng cách sử dụng hồi tiếp trạng thái Cần tìm một ma trận truyền sao cho tích của nó với ma trận hàm truyền hở của
hệ là một ma trận truyền vòng kín có dạng đường chéo Bất kỳ một hệ vuông nào có ma trận hàm truyền hạng đầy đủ đều có thể được phân cặp đường chéo Hệ không thỏa mãn
điều kiện này, tức là không có các ngõ ra độc lập tuyến tính, thì không thể phân cặp bằng bất kỳ dạng điều khiển nào
Điều kiện cần và đủ để một hệ có thể phân cặp đường chéo bằng hồi tiếp trạng thái là tồn
tại ma trận hằng số B* không suy biến Ma trận này được thiết lập như sau:
Với hệ được biểu diễn bằng không gian trạng thái:
Xét hệ liên tục x&= Ax+Bu, y=Cx+Du,
hoặc hệ rời rạc x&(k+1)= Ax( )k +Bu( )k , y( )k =Cx( )k +Du( )k
Với A∈R nxn , B∈R nxp , C∈R pxn , D∈R pxp
Giả sử hệ đã cho có thể điều khiển và quan sát được Ma trận B* được xây dựng như sau:
- Nếu hàng i của D khác 0 thì sẽ thở thành hàng i của B*
- Nếu hàng i của D bằng 0 thì tìm số nguyên f i sao cho hàng i của ma trận CA f i B khác 0
Hàng i này sẽ trở thành hàng i của B*
Ví dụ 2.1 Cho hệ có
=
=
ư
=
ư
ư
ư
=
0 0
0 0 0
0 2
1 6 3 2
0 0 1 0 0 6
11 6
1 0 0
0 1 0
D C
B A
A H
A F
a)
r
b)
r
Trang 3Tất cả các hàng của D bằng 0 Do vậy tìm f i nhỏ nhất (i=1:2) sao cho hàng i của CA f i B
khác 0, ta có f1 = 1, f2 = 3 vàB*=ưư21 42 Ma trận B* suy biến nên hệ không thể phân
cặp bằng hồi tiếp trạng thái
Với hệ được biểu diễn bằng ma trận hàm truyền: Giả sử T(s) và T(z) là ma trận hàm
truyền của hệ liên tục và hệ rời rạc (s là biến của biến đổi Laplace, z là biến của biến đổi z)
D(s) là ma trận dường chéo, D(s) = diag( s f i ), {f i } là các số nguyên thỏa mãn tất cả các
hàng của D( ) ( )s T s
s→ ∞
∞
D(z) cũng được xác định tương tự
Ví dụ 2.2
( )
+ +
+
=
4
8 3
2 1
s
s s
s s s
T ⇒B*=01 82 vụựi f1 = 1, f2 = 0
Hệ này có thể phân cặp đương chéo
3 Phân cặp dạng đường chéo và độ ổn định
Hệ sau khi phân cặp có ổn định nội không, tức là có sự khử ẩn lẫn nhau giữa các cực và
zero không ổn định không? Những dạng mất ổn định như thế rất nguy hiểm cho hệ vì
không thể phát hiện tra khi kiểm tra hàm truyền Để có thể phân cặp đường chéo và đảm
bảo sự ổn định của hệ sau phân cặp, các hệ vuông hạng đầy đủ phải có ma trận B* không
suy biến và các zero ghép cặp đường chéo nằm ở phía trái mặt phẳng phức
Giả sử hệ có phương trình trạng thái x&= Ax+Bu, y=Cx+Du
Hàm truyền của hệ: T(s)
Thuật toán phân cặp đường chéo hệ dùng luật điều khiển hồi tiếp trạng thái tuyến tính
( ) ( ) ( )s T s T s
{A,B,Cˆ,Dˆ} Thực tế Dˆ = B*, nếu B đã được giả sử có hạng đầy đủ nghĩa là tồn tại ma *
trận giả phải của Tˆ( )s Giả sử hệ đã cho là vuông, ta có:
* ,
ˆ
ư
áp dụng vào hệ x&= Ax+Bu, y=Cˆ +x B*u, thì TˆF,G( )s = D( ) ( )s T F,G s = I p vaứ
( )s D ( )s
,
ư
( )s
T F , G là ma trận với các phần tử trên đường chéo là s f i Ma trận hồi tiếp trạng thái F ấn
định n giá trị riêng vòng kín tại n zero của Tˆ( )s ; tức là zero của T(s) và D(s) Các vectơ
riêng của hệ vòng kín được gán giá trị tương ứng nhằm loại bỏ tất cả các zero để
( ) ( )s T F G s I p
D , = Thay D(s) bằng Dˆ( )s =diag{p i( )s}với p i( )s là các đa thức ổn định bậc
i
f
s ; tức là ( ) f i
i s s
∞
→ và hệ D( ) ( ) ( )s T s =Tˆ s được thực hiện bởi {A,B,Cˆ,B*} Với hồi tiếp
trạng thái, ta có hệ sau ổn định
( )s D ( )s diag{p ( )s}
,
ư
ư =
Trang 4Ví dụ 3.1
( )
ư
ư
ư
+
=
1
1 1 1
0
1
2
s s
s s
s s
1 0
0 1 ,
lim
s
ư
=
=
∞
→
∞
→
trạng thái u = Fx + Gr Hệ có một zero truyền tại -1 và không có zero ghép cặp đường chéo,
vì vậy có thể phân cặp với độ ổn định nội
+
+
==
2 0
0 1 ˆ
s
s s
D
( )s D( ) ( )s T s
Tˆ = ˆ được thực hiện bởi {A,B,Cˆ,B*} là
ư
=
=
ư
=
3 1 3
0 2 1 ˆ 1
0 0 0 1 0 0
0 1
0 0 0
0 1 0
C B
A
ư
ư
ư
=
=
ư
3 1 3
0 2 1 ˆ ˆ
B
ư
=
1 0
0 1
B G
+
+
=
2
1 0
0 1
1
,
s
s s
D s
T F G
Các giá trị riêng vòng kín được định vị tại zero truyền của hệ tại -1 và tại các vị trí được chọn -1, -2 là các cực của Dˆư 1( )s
Hình 3.1: Đáp ứng bước của hệ thống
Khảo sát đáp ứng của hệ trước và sau khi phân cặp bằng cách lần lượt đưa tín hiệu bước vào ngõ vào thứ nhất và ngõ vào thứ hai Có thể thấy rõ trên đáp ứng sau phân cặp, mỗi ngõ vào chỉ làm thay đổi một ngõ ra
4 PHâN Cặp KhốI
Trang 5Nếu không thể áp dụng phân cặp đường chéo bằng hồi tiếp trạng thái, có thể áp dụng phân cặp khối để đưa hệ về dạng một tập hợp các hệ dạng đường chéo nhỏ hơn, độc lập với nhau
và i ngõ ra sao cho ∑p i = p
Các hệ thỏa mãn điều kiện phân cặp đường chéo thì cũng có thể phân cặp khối, tuy nhiên
chỉ nên áp dụng phương pháp này khi không thể chéo hóa hoàn toàn, nghĩa là khi B* suy
biến Điều này tương tự với điều kiện là tất cả các hàng của D( ) ( )s T s
s→ ∞
khác 0, trong đó có một số hàng phụ thuộc tuyến tính vào các hàng trước đó Tức là có thể
cộng tích các hàng từ 1, 2, , i-1 vào i để kết quả bằng 0, tức là làm cho vectơ hệ số chính
hàng này của D( ) ( )s T s
s→ ∞
bậc s -k , nhân s k vào hàng để tạo ra giới hạn hữu hạn và khác 0 khi s tiến đến vô cực Nếu hàng này độc lập với các hàng trước, tức là hạng của ma trận B* sửa đổi đã được tăng; nếu
không tiếp tục quá trình cho đến khi đạt được điều này Quy trình này được biểu diễn bằng
bộ tác động X T (s)
( )s H( ) ( ),s s
số 1 nằm trên đường chéo và các thành phần nằm dưới đường chéo chính là số khác 0 chia
s X s T s = K
∞
→
trận hàm truyền hay không gian
Một hệ vuông chỉ có thể phân cặp khối nếu và chỉ nếu bộ tác động của nó có cùng dạng cấu trúc đường chéo
Ví dụ 4.1
( )
+ +
+
=
4
8 3
2 1
s
s s
s s s
T ⇒B*=01 82 vụựi f1 = 1, f2 = 0
B* không suy biến nên thỏa mãn định nghĩa của ma trận K T
=
=
1 0
0
s s diag s
Ví dụ 4.2
( )
+ +
+
=
4
8 3
2 1
s s
s s
s
T ⇒B*=41 82 vụựi f1 = 1, f2 = 1 B* suy biến
Trừ bốn lần hàng 1 của diag( )s f i T( )s
cho hàng 2 để loại các vectơ hệ số phụ thuộc tuyến
tính Sau đó nhân kết quả hàng đa thức bậc thấp hơn với s để có giới hạn hữu hạn khi s tiến
đến vô cực
ư
=
s
s s
s
T
0
0 0 4
0 1 0
0 1 ˆ
+ +
ư +
=
4 1
24 3
2 1
2
s s
s s
s s
T
Trang 6Tuy nhiên lim của Tˆ1( )s là ư112 ư224 lại suy biến Lập lại quá trình, lần này lấy 12 lần
hàng 1 cộng với hàng 2 để loại các hệ số chính và nhân kết quả với s để có giới hạn hữu
hạn Kết quả là:
( )
+ + +
+
=
4 1
96 3
2 1
ˆ 1 12
0 1 0
0
1
2 1
s s
s s
s s
T
Giới hạn này không suy biến, suy ra K T =361 962
Bộ tác động là:
( )
+
ư
=
+
ư
=
ư
=
3 2
2 3
0
0 1
12 4
0 1
12 4
0 0
0 0 4
0 1 0
0 1 1 12
0 1 0
0
1
s
s s s
s s s
s s
s s
s
s
X T
5 PHÂN CặP CáC Hệ KHÔNG VUÔNG
Nếu hệ có số ngõ ra nhiều hơn ngõ vào ( p>m) hay ngược lại (p<m) sẽ được phân cặp theo
hướng khác nhau
Đối với hệ có p<m: bất kỳ hệ nào có tính nghịch đảo phải (tức là có ma trận hàm truyền
hạng đầy đủ p) có thể phân cặp bằng hồi tiếp trạng thái kết hợp với bù trước Có hai điều kiện đủ để có thể phân cặp đường chéo hệ thống Đầu tiên ma trận B* phải có hạng đầy đủ
là p Điều kiện thứ hai, chặt hơn, là tồn tại ma trận hằng số G(mxn) sao cho ma trận B* của
ma trận truyền được chuyển về dạng vuông T(s)G(s) không suy biến Nếu muốn phân cặp
khối thì cần thêm điều kiện ma trận bộ tác động của nó có dạng cấu trúc khối đường chéo
Nghĩa là tồn tại ma trận hằng số G(mxn) để T(s)G(s) có bộ bù dạng khối đường chéo
Đối với hệ có p>m: phân cặp hệ thành m hệ con một ngõ vào và nhiều ngõ ra độc lập, trong
đó mỗi ngõ vào ảnh hưởng đến một bộ ngõ ra của cùng hệ con và không ảnh hưởng đến hệ con khác Như vậy, các hệ con sẽ không cùng có số lượng ngõ vào và ngõ ra Mỗi hệ có
kích thước p i xm i có hạng m i. ứng với tất cả các i thì hệ có thể phân cặp thành các hệ con
bằng phương pháp biến trạng thái
6 PhâN CặP TAM GIáC
Phân cặp từng phần có vai trò đặc biệt với một số hệ trong thực tế Dạng tam giác có các phần tử của ma trận hàm truyền vòng kín phía trên đường chéo chính bằng 0 (dạng tam
giác trên) Ngõ ra đầu tiên y1 chịu ảnh hưởng của ngõ vào thứ nhất r1; ngõ ra y2 chịu ảnh
hưởng của r1, r2; Dạng ma trận truyền này có thể dùng trong các sơ đồ điều khiển tuần
tự Khi sử dụng, trước tiên người vận hành điều chỉnh r1 để đạt giá trị y1 mong muốn và
ngừng lại Sau đó cố định r1 và điều chỉnh r2 để đạt được y2 mong muốn, tiếp tục như thế cho các ngõ ra còn lại Dạng phân cặp này không hiệu quả bằng phân cặp đường chéo do các ngõ ra được điều khiển tuần tự, không phải là độc lập Tuy nhiên điểm mạnh của phương pháp này là bất kỳ hệ nào có nghịch đảo phải đều có thể tam giác hóa chỉ bằng cách sử dụng hồi tiếp trạng thái
Trang 77 kết luận
Bài báo này giới thiệu về điều khiển phân cặp Kỹ thuật điều khiển này giúp đơn giản hóa quá trình điều khiển bằng cách tách rời các tác động của các ngõ vào Trong phân cặp
đường chéo, mỗi ngõ ra chỉ chịu tác động của một ngõ vào Hệ MIMO lúc này được xem là tập hợp của nhiều hệ con SISO Hệ phân cặp không chỉ đơn giản hơn cho người vận hành
mà còn đơn giản hơn cho người thiết kế khi thiết kế các bộ điều khiển SISO
TàI LIệU THAM KHảO
Wien, 1991
1995
Son, 1988
