Nhưng về sau do thiết bị máy móc và nhân lực của các đội thay đổi nên kế hoạch đã được điều chỉnh, mỗi đội làm một đoạn đường có chiều dài tỉ lệ (thuận) với 6, 7, 8. Như vậy đội III phải[r]
Trang 1A Các bài tập về tính toán
1 Tính
1)
2
12 8 3
2)
1, 75 2
9 18
3)
6 8 10
4)
5)
12 15 10
6)
7)
.13 0, 25.6
9)
2.Tìm x biết:
1
2
a) x: 15 = 8: 24 b) 36 : x = 54 :
3
d) 1,56 : 2,88 = 2,6 : x
2,5 : 4x = 0,5 : 0,2
c)
1
3
2: 0,4 = x :
1 1 7
:3 :0, 25
5x 3
3 2 3 1
1 0, 5 2
3 a: Tìm x biết |x -1| = 2x – 5 b: Tìm x biết : ||x +5| - 4| = 3
c: Tìm x biết: * | 9 - 7x | = 5x -3; * 8x - |4x + 1| = x +2
* | 17x - 5| - | 17x + 5| = 0; * | 3x + 4| = 2 | 2x - 9|
d Tìm x biết:
* | 10x + 7| < 37 * | 3 - 8x| 19 * | x +3| - 2x = | x - 4|
3 Tìm x biết
a) (x -1)3 = 27; b) x2 + x = 0; c) (2x + 1)2 = 25; d) (2x - 3)2 = 36; e) 5x + 2 = 625; f) (x -1)x + 2 = (x -1)x + 4; g) (2x - 1)3 = -8
h)
1 2 3 4 5 30 31
.
4 6 8 10 12 62 64 = 2x;
4: Tìm số nguyên dương n biết
a) 32 < 2n 128; b) 2.16 ≥ 2n 4; c) 9.27 ≤ 3n ≤ 243
5 Cho P =
( 5) ( 6) ( 6)
( 5)
( 4)
x x x
x
x
6 So sánh
Trang 2a) 9920 và 999910; b) 321 và 231; c) 230 + 330 + 430 và 3.2410.
3 Tỡm x , y, z biết
a) 3x=y
4;
y
5=
z
7 và 2x + 3y – z = 186 b) y+ z+1 x =x+ z+ 2
x + y − 3
1
x+ y +z
c) 10x =y
6=
z
21 và 5x+y-2z=28 d) 3x=2y; 7x=5z, x-y+z=32
e) 3x=y
4;
y
3=
z
5 và 2x -3 y + z =6 g) 2 x3 =3 y
4 =
4 z
5 và x+y+z=49
h) x −12 =y − 2
3 =
z − 4
4 và 2x+3y-z=50 i) 2x=y
3=
z
5 và xyz = 810
4: Cho x và y là hai đại lợng tỉ lệ thuận: x1 và x2 là hai giá trị khác nhau của x; y1 và y2
là hai giá trị tơng ứng của y
a) Tính x1 biết x2 = 2; y1 = -3
4 và y2 = 1
7
b) Tính x1, y1 biết rằng: y1 – x1 = -2; x2 = - 4; y2 = 3
5: Cho x và y là hai đại lợng tỉ lệ thuận
a) Viết công thức liên hệ giữa y và x biết rằng tổng hai giá trị tơng ứng của x bằng
4k thì tổng hai giá trị tơng ứng của y bằng 3k2 ( k ≠ 0)
b) Với k = 4; y1 + x1 = 5, hãy tìm y1 và x1
6: (Toán đố)
a) Hai con gà trong 1,5 ngày đẻ 2 quả trứng Hỏi 4 con gà trong 1,5 tuần đẻ bao nhiêu quả trứng ? (Đáp số: 28 quả)
7: Mời chàng trai câu đợc 10 con cá trong 5 phút Hỏi với khả năng câu cá nh vậy thì 50 chàng trai câu đợc 50 con cá trong bao nhiêu phút ?
8: Tỡm ba phõn số tối giản biết tổng của chỳng bằng 525
63 tử của chỳng tỉ lệ nghịch với 20; 4; 5; mẫu của chỳng tỉ lệ thuận với 1; 3; 7
9: Chi vi một tam giỏc là 60cm Cỏc đường cao cú độ dài là 12cm; 15cm; 20cm Tớnh
độ dài mỗi cạnh của tam giỏc đú
10: Một xe ụtụ khởi hành từ A, dự định chạy với vận tốc 60km/h thỡ sẽ tới B lỳc 11giờ Sau khi chạy được nửa đường thỡ vỡ đường hẹp và xấu nờn vận tốc ụtụ giảm xuống cũn 40km/h do đú đến 11 giờ xe vẫn cũn cỏch B là 40km
a/ Tớnh khoảng cỏch AB
b/ Xe khởi hành lỳc mấy giờ?
11: Một đơn vị làm đường, lỳc đầu đặt kế hoạch giao cho ba đội I, II, III , mỗi đội làm một đoạn đường cú chiều dài tỉ lệ (thuận) với 7, 8, 9 Nhưng về sau do thiết bị mỏy múc và nhõn lực của cỏc đội thay đổi nờn kế hoạch đó được điều chỉnh, mỗi đội làm một đoạn đường cú chiều dài tỉ lệ (thuận) với 6, 7, 8 Như vậy đội III phải làm hơn so với kế hoạch ban đầu là 0,5km đường Tớnh chiều dài đoạn đường mà mỗi đội phải làm theo kế hoạch mới
B Cỏc bài toỏn liờn quan đến Hàm số :
1: Cho hàm số y = f(x) = 4x2 - 9
Trang 3a Tính f(-2); f (−1
2)
b Tìm x để f(x) = -1
c Chứng tỏ rằng với x R thì f(x) = f(-x)
2: Viết công thức của hàm số y = f(x) biết rằng y tỷ lệ thuận với x theo hệ số tỷ lệ
1 4
a Tìm x để f(x) = -5
b Chứng tỏ rằng nếu x1> x2 thì f(x1) > f(x2)
3: Viết công thức của hàm số y = f(x) biết rằng y tỉ lệ nghịch với x theo hệ số a =12 a.Tìm x để f(x) = 4 ; f(x) = 0
b.Chứng tỏ rằng f(-x) = -f(x)
4: Cho hàm số y = f(x) = kx (k là hằng số, k 0) Chứng minh rằng:
a/ f(10x) = 10f(x)
b/ f(x1 + x2) = f(x1) + f(x2)
c/ f(x1 - x2) = f(x1) - f(x2)
MẶT PHẲNG TỌA ĐỘ
1: Đồ thị hàm số y = ax đi qua điểm A (4; 2)
a Xác định hệ số a và vẽ đồ thị của hàm số đó
b Cho B (-2, -1); C ( 5; 3) Không cần biểu diễn B và C trên mặt phẳng tọa độ, hãy cho biết ba điểm A, B, C có thẳng hàng không?
2 Cho các hàm số y = f(x) = 2x và y=g (x)=18
x Không vẽ đồ thị của chúng em hãy tính tọa độ giao điểm của hai đồ thị
3 Cho hàm số: y=−1
3x
a Vẽ đồ thị của hàm số
b Trong các điểm M (-3; 1); N (6; 2); P (9; -3) điểm nào thuộc đồ thị (không vẽ các điểm đó)
4: Vẽ đồ thị của hàm số y=2
3(2 x+|x|)
C BIỂU THỨC ĐẠI SỐ - ĐƠN THỨC – ĐA THỨC - ĐA THỨC MỘT BIẾN
CỘNG VÀ TRỪ ĐA THỨC MỘT BIẾN
1 BIỂU THỨC ĐẠI SỐ
1: Tính giá trị của biểu thức: A = x2 + (- 2xy) - 13y3 với |x| = 5; |y| = 1
2 : Cho x - y = 9, tính giá trị của biểu thức : B= 4 x −9
3 x+ y −
4 y+ 9
3 y + x ( x -3y; y -3x)
3 : Xác định giá trị của biểu thức để các biểu thức sau có nghĩa:
a x+1
x2−2 ; b x −1
x2+1; c ax +by+c xy −3 y d 2 x +1 x − y
4 : Tính giá trị của biểu thức M=2 x2+3 x − 2
x +2
tại: a x = -1; b |x| = 3
5 : Cho đa thức P = 2x(x + y - 1) + y2 + 1
a Tính giá trị của P với x = -5; y = 3
Trang 4b Chứng minh rằng P luôn luôn nhận giá trị không âm với mọi x, y
6: a Tìm GTNN của biểu thứcC=¿
b.Tìm GTLN của biểu thức D= 5
¿ ¿ 7: Cho biểu thức E= 3 − x
x −1 Tìm các giá trị nguyên của x để:
a E có giá trị nguyên b E có giá trị nhỏ nhất
2 ĐƠN THỨC - TÍCH CÁC ĐƠN THỨC -
Bài 1: Cho các đơn thức A=− 4
15 x
3y; B=3
7x
5 y3
Có các cặp giá trị nào của x và y làm cho A và B cùng có giá trị âm không?
Bài 2: Thu gọn các đơn thức trong biểu thức đại số
a C=7
9x
3y2 (116 axy
3
)+(−5 bx2y4
)(−1
2axz)+ ax(x2y)3
b D=(3 x
4y4
)2.(161 x
3 y).(8 x n − 7
).(− 2 x7 −n
)
15 x3 y2.(0,4 ax2y2z2)2
(với axyz 0)
Bài 3: Tính tích các đơn thức rồi cho biết hệ số và bậc của đơn thức đối với tập hợp các biến số (a, b, c là hằng)
a [−1
2(a− 1) x
3
y3z4]5;
b (a2b2xy2zn-1) (-b3cx4z7-n)
c (− 8
15 a
3
x3y).(−5
4ax
5
y2z)3
Bài 4: Cho ba đơn thức: M = -5xy; N = 11xy2; P= 75x2y3 Chứng minh rằng ba đơn thức này không thể cùng có giá trị dương
3 ĐƠN THỨC ĐỒNG DẠNG TỔNG VÀ HIỆU CÁC ĐƠN THỨC ĐỒNG DẠNG Bài 1: Cho đơn thức A = 5m (x2y3)3; B=−2
m x
6
y9trong đó m là hằng số dương
a Hai đơn thức A và B có đồng dạng không ?
b Tính hiệu A - B
c Tính GTNN của hiệu A – B
Bài 2: Cho A = 8x5y3; B = -2x6y3; C = -6x7y3
Chứng minh rằng Ax2 + Bx + C = 0
Bài 3: Chứng minh rằng với nN*
a/ 8.2n + 2n+1 có tận cùng bằng chữ số 0
b/ 3n+3 - 2.3n + 2n+5 - 7.2n chia hết cho 25
c/ 4n+3 + 4n+2 - 4n+1 - 4n chia hết cho 300
Trang 5Bài 4: Viết tích 31.52 thành tổng của ba lũy thừa cơ số 5 với số mũ là ba số tự nhiên liên tiếp
Bài 5: Cho A = (-3x5y3)4; B = (2x2z4) Tìm x, y, z biết A + B = 0
1 Chứng minh rằng nếu đa thức f(x) = ax2 + bx + c chia hết cho 3 với mọi x thì các hệ
số a, b, c đều chia hết cho 3
Bài 2: Cho f(x) + g(x) = 6x4 - 3x2 - 5 f(x) - g(x) = 4x4 - 6x3 + 7x2 + 8x - 9
Hãy tìm các đa thức f(x) ; g(x)
Bài 3: Cho f(x) = x2n - x2n-1 + + x2 - x + 1 ( xN)
g(x) = -x2n+1 + x2n - x2n-1 + +x2 - x + 1 (x N) Tính giá trị của hiệu f(x) - g(x) tạix= 1
10
Bài 4: Cho f(x) = x8 - 101x7 + 101x6 - 101x5 + + 101x2 - 101x + 25.Tính f(100)
Bài 5: Cho f(x) = ax2 + bx + c Biết 7a + b = 0, hỏi f(10) f(-3) có thể là số âm không? Bài 6: Tam thức bậc hai là đa thức có dạng f(x) = ax + b với a, b, c là hằng, a 0 Hãy xác định các hệ số a, b biết f(1) = 2; f(3) = 8
Bài 7: Cho f(x) = ax3 + 4x(x2 - 1) + 8 g(x) = x3 - 4x(bx +1) + c- 3 trong đó a, b, c là hằng.Xác định a, b, c để f(x) = g(x)
Bài 8: Cho f(x) = 2x2 + ax + 4 (a là hằng) g(x) = x2 - 5x - b ( b là hằng) Tìm các hệ số a, b sao cho f(1) = g(2) và f(-1) = g(5)
NGHIỆM CỦA ĐA THỨC MỘT BIẾN
Bài 1: Cho hai đa thức f(x) = 5x - 7 ; g(x) = 3x +1
a/ Tìm nghiệm của f(x); g(x) b/ Tìm nghiệm của đa thức h(x) = f(x) - g(x) c/ Từ kết quả câu b suy ra với giá trị nào của x thì f(x) = g(x) ?
Bài 2: Cho đa thức f(x) = x2 + 4x - 5
a/ Số -5 có phải là nghiệm của f(x) không?
b/ Viết tập hợp S tất cả các nghiệm của f(x)
Bài 3: Thu gọn rồi tìm nghiệm của các đa thức sau:
a/ f(x) = x(1-2x) + (2x2 -x + 4)
b/ g(x) = x (x - 5) - x ( x +2) + 7x
c/ h(x) = x (x -1) + 1
Bài 4: Tìm đa thức f(x) rồi tìm nghiệm của f(x) biết rằng:
x3 + 2x2 (4y -1) - 4xy2 - 9y3 - f(x) = - 5x3 + 8x2y - 4xy2 - 9y3
Bài 5: Cho đa thức P = 2x(x + y - 1) + y2 + 1
a/ Tính giá trị của P với x = -5; y = 3
b/ Chứng minh rằng P luôn luôn nhận giá trị không âm với mọi x, y
Bài 6: Cho g(x) = 4x2 + 3x +1; h(x) = 3x2 - 2x - 3
a/ Tính f(x) = g(x) - h(x);
b/ Chứng tỏ rằng -4 là nghiệm của f(x)
c/ Tìm tập hợp nghiệm của f(x)
Bµi 7: Rót gän biÓu thøc sau
a/ (3x +y -z) – (4x -2y + 6z)
Trang 6b )K= 2x.(-3x + 5) + 3x(2x – 12) + 26x c) M=−2 x
3 +3 x(6x −
− 2
9 −
7
5)− 5 x
2 (5x −
4
5)
Bài 8: Tỡm x biết: a) x +2x+3x+4x+ + 100x = -213
b) 1
2x −
1
3=
1
4 x −
1
6 c) 3(x-2)+ 2(x-1)=10 d)
x+1
3 =
x − 2
4
e)x −6
7 +
x − 7
8 +
x − 8
9 =
x − 9
10 +
x − 10
11 +
x − 11
12 f)
x+32
11 +
x +23
12 =
x +38
13 +
x +27
14
g) |x −2| = 13 h) 3|x − 2|+|4 x − 8|=|−2|−|13| i) |3 x − 2|+ 5− 1=3+|x −2
3| k) |x +2|+|x −2| =3 m) (2x-1)2 – 5 =20 n) ( x+2)2 = 1
2−
1
3 p) ( x-1)3 = (x-1)
q*) (x-1)x+2 = (x-1)2 r*) (x+3)y+1 = (2x-1)y+1 với y là một số tự nhiờn Bài 9 Cho ủa thửực A(x) = -x3 -5x2 +7x +2 vaứ B(x) = x3 + 6x2 -3x -7
a) Tớnh A(x) +B(x) vaứ A(x) – B(x)
b) Chửựng toỷ x = 1 laứ nghieọm cuỷa A(x) +B(x) nhửng khoõng phaỷi laứ nghieọm cuỷa A(x)
Bài 10: Cho đa thức M(x) = 5x3 + 2x4 – x2 + 3x2 – x3 – x4 + 1 – 4x3
a) Tính M(1) và M(- 1)
b) Chứng tỏ đa thức M(x) không có nghiệm
8: Cho hai đa thức: f(x) = 2x2(x - 1) - 5(x + 2) - 2x(x - 2) ;
g(x) = x2(2x - 3) - x(x + 1) - (3x - 2)
a Thu gọn và sắp xếp f(x) và g(x) theo luỹ thừa giảm dần của biến
b Tính h(x) = f(x) - g(x) và tìm nghiệm của h(x)
Bài 11: Cho các đa thức
F(x) = 4x2 + 3x -2 G(x) = 3x2 - 2x +5 H(x) = x(5x-2) +3
a) Tính giá trị của đa thức F(x) tại x = -1
2 b.Tìm x để F(x) + G(x) - H(x) = 0
c.Chứng tỏ F(x) - 3x + 5 luôn dơng với mọi x
Bài 12: Cho các đa thức
A(x) = -1 + 5x6 - 6x2 - 5 - 9x6 + 4x4 - 3x2 B(x) = 2 - 5x2 + 3x4 - 4x2 + 3x + x4 - 4x6 - 7x a) Thu gọn và sắp xếp các số hạng theo thứ tự giảm dần của biến
b) Tìm bậc và các hệ số của mỗi đa thức
c) Tìm nghiệm của đa thức C(x) = A(x) - B(x)
d) Tìm x để đa thức M(x) = C(x) + x2 có giá trị nhỏ nhất Tìm giá trị nhỏ nhất đó
Bài 13: Chứng minh rằng với nN*
a/ 8.2n + 2n+1 cú tận cựng bằng chữ số 0
b/ 3n+3 - 2.3n + 2n+5 - 7.2n chia hết cho 25
c/ 4n+3 + 4n+2 - 4n+1 - 4n chia hết cho 300
Một số bài toỏn tổng hợp hỡnh học
1 Cho ABC, cỏc trung tuyến BM, CN Trờn tia đối của tia MB lấy điểm I sao cho
MB = MI Trờn tia đối của tia NC lấy điểm K sao cho NC = NK Chứng minh rằng
a, AMI = CMB b, AI // BC; AK // BC c, A là trung điểm của KI
2 Cho ABC , điểm S nằm ngoài ABC và thuộc nửa mặt phẳng bờ là đường thẳng AC khụng chứa điểm B; trờn cỏc tia đối của cỏc tia SA; SB; SC theo thứ tự lấy điểm D; E; F sao cho SD = SA; SE = SB;
Trang 7SF = SC Nối D với E, E với F, F với D a, Chứng minh ABC = DEF.
b, Gọi M là điểm bất kỳ thuộc đoạn thẳng BC; trên tia đối của tia SM lấy N sao cho SN
= SM Chứng minh ba điểm E, F, N thẳng hàng
3 Cho tam giác ABC , vẽ về phía ngồi tam giác các tam giác vuơng cân đỉnh A là BAE và CAF
1) Nếu I là trung điểm của BC thì AI vuơng gĩc với EF và ngược lại nếu I thuộc BC và
AI vuơng gĩc với EF thì I là trung điểm của BC
2) chứng tỏ rằng AI = EF/ 2 ( với I là trung điểm của BC )
3) Gỉa sử H là trung điểm của EF ,hãy xét quan hệ của AH và BC
4 Cho Δ ABC, gọi M là trung điểm của cạnh BC Từ A kẻ
AD // BM sao cho AD = BM ( điểm D và điểm M nằm khác phía so với cạnh AB)
a CMR: DI=IM từ đĩ suy ra M,I,D thẳng hàng
b Chứng minh BD// AM
5 Cho tam giác ABC ( AB < AC) cĩ AM l phân giác c a gĩc A.(M thu c BC).Trênà phân giác của gĩc A.(M thuộc BC).Trên ủa gĩc A.(M thuộc BC).Trên ộc BC).Trên
AC lấy D sao cho AD = AB a Chứng minh: BM = MD
b Gọi K là giao điểm của AB và DM Chứng minh: DAK = BAC
c Chứng minh : AKC cân d So sánh : BM và CM
6: Cho ABC cân tại A, cạnh đáy nhỏ hơn cạnh bên Đường trung trực của AC cắt
đường thẳng BC tạiM Trên tia đĩi của tia AM lấy điểm N sao cho AN = BM
a/ Chứng minh rằng gĩc AMC = gĩc BAC
b/ Chứng minh rằng CM = CN
c/ Muốn cho CM CN thì tam giác cân ABC cho trước phải cĩ thêm điều kiện gì? HD:c/ Ta cĩ CM = CN ,để CM CN thì tam giác CMN vuơng cân tại C
Suy ra gĩc M = 450 Tam giác ACM cân tại M nên đường cao xuất phát từ M (MK)cũng
là đường phân giác
Nên gĩc CMK = 450 : 2 = 27,50.mà tam giác CMK vuơng tại K suy ra gĩc KCM = 900 -27,50=62,50
Vậy tam giác cân ABC phải cĩ gĩc ở đáy = 62,50
7:Tam giác ABC cĩ AB > AC Từ trung điểm M của BC vẽ một đường thẳng vuơng
gĩc với tia phân giác của gĩc A, cắt tia phân giác tại H, cắt AB, AC lầm lượt tại E và F Chứng minh rằng: a/ BE = CF
AC AB
AC AB
Bˆ B Cˆ A E
Mˆ
8 Cho tam giác ABC vuơng tại A Kẻ AH BC Kẻ HP vuơng gĩc với AB và kéo dài
để cĩ PE = PH Kẻ HQ vuơng gĩc với AC và kéo dài để cĩ QF = QH
1/Chứng minh APE APH, AQH AQF
2/Chứng minh E, A, F thẳng hàng và A là trung điểm của EF
3/Chứng minh BE//CF 4/Cho AH = 3cm, AC = 4cm Tính HC, EF
Bài 36 Cho ABC cân tại A (A 900), vẽ BD