chuyen de boi duong toan7 2012

Tìm điểm M trên cạnh BC sao cho nếu vẽ các điểm D, E trong đó AB là đường trung trực của MD, AC là đường trung trực của ME thì DE có độ dài nhỏ nhất.. HD.[r]

CHUYỀN ĐỀ BỒI DƯỠNG HSG TOÁN 7

n n n

= n(n+ 1)(n+2) :3

1.2.3 + 2.3.4+ 3.4.5 + ….+ n(n+1)(n+2)

= [ 1.2.3(4 – 0) + 2.3.4( 5 -1) + 3.4.5.(6 -2) + ……+ n(n+1)(n+2)( (n+3) – (n-1))]: 4 = n(n+1)(n+2)(n+3) : 4

Bài 8: a) TÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc:

( 2012 ) ( 2012 )

( 2012 ) ( 2012 )

( )

( ) ( )

d biến đổi theo các

hướng làm xuất hiện

d +a b+c

d +a b+c = -4

d +a b+c = 4

z +t x+ y+

t +x y+ z

Hãy tính giá trị của biểu thức : B = 1 1 1

a

b  ;

11 13

c

d  ;

13 17

d +a b+c

Bài 12: Cho 3 số x , y , z, t khác 0 thỏa mãn điều kiện :



VËy x = 2, y =

1 15

- Quy tắc mở dấu ngoặc, quy tắc chuyển vế

- Tính chất về giá trị tuyệt đối : A 0 với mọi A ;

, 0 , 0

A A A

- Bất đẳng thức về giá trị tuyệt đối :

A B A B dấu ‘=’ xẩy ra khi AB 0; A B A B dấu ‘= ‘ xẩy ra A,B >0

- Tính chất lũy thừa của 1 số thực : A2n  0 với mọi A ; - A2n 0 với mọi A

Am = An  m = n; An = Bn  A = B (nếu n lẻ ) hoặc A =  B ( nếu n chẵn)

Khi giải cần tìm giá trị của x để các GTTĐ bằng không, rồi so sánh các giá trị

đó để chia ra các khoảng giá trị của x ( so sánh –a và –b)

Bài 1 : Tìm x biết :

Nếu x  2010 từ (1) suy ra : 2010 – x + 2011 – x = 2012  x = 2009 :2 (lấy)

Nếu 2010 < x < 2011 từ (1) suy ra : x – 2010 + 2011 – x = 2012 hay 1 = 2012 (loại) Nếu x  2011 từ (1) suy ra : x – 2010 + x – 2011 = 2012  x = 6033:2(lấy)

Vậy giá trị x là : 2009 :2 hoặc 6033:2

Dạng : Sử dụng BĐT giá trị tuyệt đối

Bài 1 : a) Tìm x ngyên biết : x1 x 3 x 5  x 7 8

HD : ta có x 2006y 0với mọi x,y và x  2012 0 với mọi x

Suy ra : x 2006y  x 2012 0 với mọi x,y mà x 2006y  x 2012 0

Dạng chứa lũy thừa của một số hữu tỉ

Bài 1: Tìm số tự nhiên x, biết :

+ Nếu m – n  2 thì 2m – n – 1 là 1 số lẻ lớn hơn 1, khi đó VT chứa TSNT khác 2, mà

VT chỉ chứa TSNT 2 suy ra TH này không xẩy ra : vậy n = 8 , m = 9

Bài 5 : Tìm x, y biết : x 2011y (y1)2012 0

HD : ta có x 2011y 0 với mọi x,y và (y – 1)2012  0 với mọi y

Suy ra : x 2011y (y1)20120 với mọi x,y Mà x 2011y (y1)20120

- Dấu hiệu chia hết cho 2, 3, 5, 9

- Phân tích ra TSNT, tính chất của số nguyên tố, hợp số , số chính phương

- Tính chất chia hết của một tổng , một tích

- ƯCLN, BCNN của các số

2 Bài tập vận dụng :

* Tìm x,y dưới dạng tìm nghiệm của đa thức

Bài 1: a) T×m c¸c sè nguyªn tè x, y sao cho: 51x + 26y = 2000

Bài 2 a) Tìm các số nguyên thỏa mãn : x – y + 2xy = 7

5

x xy

1 2

Do p nguyên tố nên 2013 q2252 và 2013 – q2 > 0 từ đó tìm được q

Bài 5 : T×m tÊt c¶ c¸c sè nguyªn d¬ng n sao cho: 2n − 1 chia hÕt cho 7

HD : Với n < 3 thì 2n không chia hết cho 7

Với n  3 khi đó n = 3k hoặc n = 3k + 1 hoặc n = 3k + 2 ( k N *)

Xét n = 3k , khi đó 2n -1 = 23k – 1 = 8k – 1 = ( 7 + 1)k -1 = 7.A + 1 -1 = 7.A  7

Xét n = 3k +1 khi đó 2n – 1 = 23k+1 – 1 = 2.83k – 1 = 2.(7A+1) -1 = 7A + 1 khôngchia hết cho 7

Xét n = 3k+2 khi đó 2n – 1 = 23k +2 -1 = 4.83k – 1 = 4( 7A + 1) – 1 = 7 A + 3 khôngchia hết cho 7 Vậy n = 3k với k N *

* Tìm x , y để biểu thức có giá trị nguyên, hay chia hết:

Bài 2 a) Tìm x nguyên để 6 √x+1 chia hết cho 2 √x −3

* a 2 + 2.ab + b 2 = ( a + b) 2  0 với mọi a,b

* a 2 – 2 ab + b 2 = ( a – b) 2  0 với mọi a,b

*A 2n  0 với mọi A, - A 2n  0 với mọi A

* Dạng vận dụng đẳng thức : a 2 + 2.ab + b 2 = ( a + b) 2  0 với mọi a,b

Và a 2 – 2 ab + b 2 = ( a – b) 2  0 với mọi a,b

Bài 1: Tỡm giỏ trị nhỏ nhất của cỏc đa thức sau:

ac b a



khi x = 2

b a



Bài 2 : Tìm giá trị nhỏ nhất của các biểu thức sau:

c) B = 2x x 2 (x2 2 .1 1 ) 1x  2  (x1)21 Do (x1) 0,  x B 1, x

Vậy Max B = 1 khi x = 1

Bài 3 : Tìm giá trị lớn nhất của các biểu thức sau:

2013 2011

a a





* Dạng vận dụng A 2n  0 với mọi A, - A 2n  0 với mọi A

Bài 1 : Tìm GTNN của biểu thức :

1 ( 2 ) 0

Bài 5 :

a) Chứng minh rằng: 3n+ 2 −2 n +4+ 3n+ 2n chia hết cho 30 với mọi n nguyên dơng

b) Chứng minh rằng: 2a - 5b + 6c ⋮ 17 nếu a - 11b + 3c ⋮ 17 (a, b, c  Z)

Bài 6 : a) Chứng minh rằng: 3 a+2 b ⋮17⇔10a+b⋮17 (a, b  Z )

b) Cho đa thức f (x)=ax2+bx+c (a, b, c nguyên)

CMR nếu f(x) chia hết cho 3 với mọi giá trị của x thì a, b, c đều chia hết cho 3

HD a) ta cú 17a – 34 b  17 và 3a + 2b 17 17a 34b3a2 17b  2(10a16 ) 17b 

 10a 16 17b vỡ (2, 7) = 1  10a 17b 16 17b  10a b  17

b) Ta cú f(0) = c do f(0)  3  c 3

f(1) - f(-1) = (a + b + c) - ( a – b + c) = 2b , do f(1) và f(-1) chia hếtcho 3  2 3b  b 3 vì ( 2, 3) = 1



lµ mét sè tù nhiên b) Cho 2n+ 1 lµ sè nguyªn tè (n > 2) Chøng minh 2n − 1 lµ hîp sè

HD : b) ta có (2n +1)( 2n – 1) = 22n -1 = 4n -1 (1) Do 4n- 1 chia hêt cho 3 và 2n+1 lµ

sè nguyªn tè (n > 2) suy ra 2n -1 chia hết cho 3 hay 2n -1 là hợp số

c c+a kh«ng lµ sè nguyªn.

Bài 2 Chứng minh rằng : a b 2 ab (1) , a b c  33 abc (2) với a, b, c  0

HD : a b 2 ab  (a b )2  4ab a2 2ab b 2  4ab a2 2ab b 2  0 (a b )2  0(*)

Do (*) đúng với mọi a,b nên (1) đúng

Bài 3 : Với a, b, c là các số dương Chứng minh rằng

a)

1 1 (a b)( ) 4

a b

(1) b)

1 1 1 (a b c)( ) 9

b) Cho a, b, c tho¶ m·n: a + b + c = 0 Chøng minh r»ng: ab+bc+ca ≤ 0

 ( 4a – 2b + c ) = - ( 9a + 3b + c)

Vậy f(-2).f(3) = - ( 4a – 2b + c).( 4a – 2b + c) = - ( 4a -2b + c)2  0

Bài 3 Cho ®a thøc f (x)=ax2

+bx+ c víi a, b, c lµ c¸c sè thùc BiÕt r»ng f(0); f(1);f(2) cã gi¸ trÞ nguyªn Chøng minh r»ng 2a, 2b cã gi¸ trÞ nguyªn

HD : f(0) = c , f(1) = a + b + c , f(2) = 4a + 2b + c

Bài 5 : Tìm tổng các hệ số của đa thức nhận đợc sau khi bỏ dấu ngoặc trong biểu thức:

- Tớnh chất đại lượng tỉ lệ thuận :

Đại lượng y tỉ lệ thuận với đại lượng x khi và chỉ khi :

- Đọc kỹ đề bài , từ đú xỏc định cỏc đại lượng trong bài toỏn

- Chỉ ra cỏc đại lượng đó biết , đại lượng cần tỡm

- Chỉ rừ mối quan hệ giữa cỏc đại lượng ( tỉ lệ thuận hay tỉ lệ nghịch)

- Áp dụng tớnh chất về đại lượng tỉ lệ và tớnh chất dóy tỉ số bằng nhau để giải

Bài 1 : Một vật chuyển động trờn cỏc cạnh hỡnh vuụng Trờn hai cạnh đầu vật

chuyển động với vận tốc 5m/s, trờn cạnh thứ ba với vận tốc 4m/s, trờn cạnh thứ tư với vận tốc 3m/s Hỏi độ dài cạnh hỡnh vuụng biết rằng tổng thời gian vật chuyển động trờnbốn cạnh là 59 giõy

Bài 2 : Ba lớp 7A,7B,7C có 94 học sinh tham gia trồng cây Mỗi học sinh lớp 7A

trồng đợc 3 cây, Mỗi học sinh lớp 7B trồng đợc 4 cây, Mỗi học sinh lớp 7C trồng đợc 5 cây, Hỏi mỗi lớp có bao nhiêu học sinh Biết rằng số cây mỗi lớp trồng đợc đều nh nhau

Bài 3 : Một ô tô phải đi từ A đến B trong thời gian dự định Sau khi đi đợc nửa quãng

đờng ô tô tăng vận tốc lên 20 % do đó đến B sớm hơn dự định 10 phút

Tính thời gian ô tô đi từ A đến B

Bài 4 : Trên quãng đờng AB dài 31,5 km An đi từ A đến B, Bình đi từ B đến A Vận

tốc An so với Bình là 2: 3 Đến lúc gặp nhau, thời gian An đi so với Bình đi là 3: 4

Tính quãng đờng mỗi ngời đi tới lúc gặp nhau ?

Bài 5 : Ba đội cụng nhõn làm 3 cụng việc cú khối lượng như nhau Thời gian hoàn

thành cụng việc của đội І, ІІ, ІІІ lần lượt là 3, 5, 6 ngày Biờt đội ІІ nhiều hơn đội ІІІ

là 2 người và năng suất của mỗi cụng nhõn là bằng nhau Hỏi mỗi đội cú bao nhiờucụng nhõn ?

Bài 6 : Ba ụ tụ cựng khởi hành đi từ A về phớa B Vận tốc ụ tụ thứ nhất kộm ụ tụ thứ

hai là 3 Km/h Biết thơi gian ụ tụ thứ nhất, thứ hai và thứ ba đi hết quóng đường ABlần lượt là : 40 phỳt,

I Một số phương phỏp chứng minh hỡnh hoc

1.Chứng minh hai đoạn thẳng bằng nhau:

P 2 : - Chứng minh hai tam giỏc bằng nhau chứa hai đoạn thẳng đú

- Chứng minh hai đoạn thẳng đú là hai cạnh bờn của một tam giỏc cõn

- Dựa vào tớnh chất đường trung tuyến, đường trung trực của đoạn thẳng

- Dựa vào định lớ Py-ta- go để tớnh độ dài đoạn thẳng

2.Chứng minh hai gúc bằng nhau:

P 2 : - Chứng minh hai tam giỏc bằng nhau chứa hai gúc đú

- Chứng minh hai gúc đú là hai gúc ở đỏy của một tam giỏc cõn

- Chứng minh hai đường thẳng song song mà hai gúc đú là cặp gúc so le trong ,đồng vị

- Dựa vào tớnh chất đường phõn giỏc của tam giỏc

3 Chứng minh ba điểm thẳng hàng:

P 2 : - Dựa vào số đo của gúc bẹt ( Hai tia đối nhau)

- Hai đường thẳng cựng vuụng gúc với đường thẳng thứ 3 tại một điểm

- Hai đường thẳng đi qua một điểm và song song với đường thẳng thứ 3

- Dựa vào tớnh chất 3 đường trung tuyến, phõn giỏc, trung trực, đường cao

4 Chứng minh hai đường thẳng vuụng gúc

P 2 : - Tớnh chất của tam giỏc vuụng, định lớ Py – ta – go đảo

- Qua hệ giữa đường thẳng song song và đường thẳng vuụng gúc

- Tớnh chất 3 đường trung trực, ba đường cao

5 Chứng minh 3 đường thẳng đồng quy( đi qua một điểm )

P 2 : - Dựa vào tớnh chất của cỏc đường trong tam giỏc

6 So sỏnh hai đoạn thẳng, hai gúc :

P 2 : - Gắn hai đoạn thẳng , hai gúc vào một tam giỏc từ đú vận định lớ về quan

hệ giữa cạnh và gúc đối diện trong một tam giỏc , BĐT tam giỏc

- Dựa vào định lớ về quan hệ giữa đường xiờn và hỡnh chiếu, đường xiờn

Cú : BAE 900BAC DAC 

* Gọi I là giao điểm của AB và CD

b) Gọi I là giao điểm của AB và CD

Ta cú I1 I2( Hai gúc đối đỉnh) , I1 D 1  900( ∆ ADI vuụng tại A) và B1 D1 ( vỡ

∆ABE = ∆ ADC)  I2 B1  900  DC BC

*Khai thỏc bài 1:

Từ bài 1 ta thấy : DC = BE và DC BE khi ∆ABD và ∆ ACE vuụng cõn, vậy nếu cú

Ta cú bài toỏn 1.2

Bài 1 1: Cho tam giác ABC có Â < 900 Vẽ ra phía ngoài tam giác đó hai đoạn thẳng AD vuông góc và bằng AB; AE vuông góc và bằng AC Từ B kẻ BK CD tại K Chứng minh rằng ba điểm E, K, B thẳng hàng

HD : Từ bài 1 chứng minh được DC BE mà BK CD tại K suy ra ba điểm E, K, B

thẳng hàng

*Khai thỏc bài 1.1

Từ bài 1.1 nếu gọi M là trung điểm của DE kẻ tia M A thỡ MA BC từ đú ta cú bài

toỏn 1.2

Bài 1.2: Cho tam giác ABC có Â < 900 Vẽ ra phía ngoài tam giác đó hai đoạn thẳng AD vuông góc và bằng AB; AE vuông góc và bằng AC Gọi M là trung điểm của

DE kẻ tia M A Chứng minh rằng : MA BC

Phõn tớch tỡm hướng giải

HD: Gọi H là giao điểm của tia MA và BC

Để CM MA BC  ta cần CM ∆AHC vuụng tại H

 Để CM ∆AHC vuụng tại H ta cần tạo ra 1 tam giỏc

AM = MN ; MD = ME (gt) và EMA DMN ( hai gúc đối đỉnh)

 DN = AE ( = AC) và AE // DN vỡ N1 MAE ( cặp gúc so le trong )

 EAD ADN  1800( cặp gúc trong cựng phớa) mà EAD BAC  1800  BACADN

Xột ∆ABC và ∆DNA cú : AB = AD (gt) , AC = DN và BACADN ( chứng minh trờn )  ∆ABC = ∆DNA (c.g.c)  N 1 ACB

Xột ∆AHC và ∆DQN cú : AC = DN , BACADN và N 1 ACB

 ∆AHC = ∆DQN (g.c.g)  ∆AHC vuụng tại H hay MA BC

* Khai thỏc bài toỏn 1.3

Bài 1.3 : Cho tam giác ABC có Â < 900 Vẽ ra phía ngoài tam giác đó hai đoạn thẳng AD vuông góc và bằng AB; AE vuông góc và bằng AC Gọi H là chõn đường vuụng gúc kẻ từ A đến BC Chứng minh rằng tia HA đi qua trung điểm của đoạn thẳng DE

HD : Từ bài 1.2 ta cú định hướng giải như sau:

Kẻ DQ  AM tại Q, ERAM tại R

Ta cú : + DAQ HBH  ( Cựng phụ BAH )

AD = AB (gt)  ∆AHB = ∆DQA ( Cạnh huyền – gúc nhọn)

 DQ = AH (1)

+ACH EAR ( cựng phụ CAH )

AC = AE (gt)  ∆AHB = ∆DQA ( Cạnh huyền – gúc nhọn)

 ER = AH ( 1) Từ (1) và (2)  ER = DQ

Lại cú M 1 M 2 ( hai gúc đối đỉnh )

 ∆QDM = ∆REM ( g.c.g)  MD = ME hay M là trung

điểm của DE

nếu H là trung điểm của BC thỡ tia KA sẽ vuụng gúc với DE, ta cú bài toỏn 1.4

Bài 1.4: Cho tam giác ABC có Â < 900 Vẽ ra phía ngoài tam giác đó hai đoạn thẳng AD vuông góc và bằng AB; AE vuông góc và bằng AC Gọi H trung điểm của

BC

Chứng minh rằng tia HA vuụng gúc với DE

HD : Từ bài 1.3 ta dễ dạng giải bài toỏn 1.4

Trờn tia AH lấy điểm A’ sao cho AH = HA’

Dễ CM được ∆AHC = ∆A’HB ( g.c.g)

 A’B = AC ( = AE) và HAC HA B'

 AC // A’B  BAC ABA ' 180  0 ( cặp gúc trong cựng phớa)

Mà DAE BAC   1800  DAE ABA'

Xột ∆DAE và ∆ABA’ cú : AE = A’B , AD = AB (gt)

  '

DAEABA  ∆DAE = ∆ABA’(c.g.c)

 ADE  AA 'B mà ADE BAA ' 90  0  ADE MDA  900

Suy ra HA vuụng gúc với DE

Bài 2 : Cho tam giác cân ABC (AB = AC) Trên cạnh BC lấy điểm D, trên tia

đối của tia CB lấy điểm E sao cho BD = CE Các đờng thẳng vuông góc với BC kẻ từ D

và E cắt AB, AC lần lợt ở M, N Chứng minh rằng:

a) DM = EN

b) Đờng thẳng BC cắt MN tại trung điểm I của MN

c) Đờng thẳng vuông góc với MN tại I luôn đi qua một điểm cố định khi D thay

BCA CBA ( ∆ABC cõn tại A)

b) Để Cm Đờng thẳng BC cắt MN tại trung

Từ bài 2 ta thấy BM = CN , vậy ta cú thể phỏt biểu lại bài toỏn như sau:

Bài 2.1 Cho tam giác cân ABC (AB = AC) Trên cạnh AB lấy điểm M, trên tia

AC lấy điểm N sao cho BM = CN Đường thẳng BC cắt MN tại I

Chứng minh rằng:

a) I là trung điểm của MN

b) Đờng thẳng vuông góc với MN tại I luôn đi qua một điểm cố định khi D thay đổi

Bài 3 : Cho ∆ABC vuụng tại A, K là trung điểm của cạnh BC Qua K kẻ đường

thẳng vuụng gúc với AK , đường thẳng này cắt cỏc đường thẳng AB và AC lần lượt ở

D và E Gọi I là trung điểm của DE

a) Chứng minh rằng : AI  BC

b) Cú thể núi DE nhỏ hơn BC được khụng ? vỡ sao?

*Phõn tớch tỡm lời giải

a) Gọi H là giao điểm của BC và AI

ACK CAK mà AEK EAK  900  A1 ACK  900  AI  BC

b) ta cú BC = 2 CK = 2AK ( CK = AK) , DE = 2IE = 2.AI ( AI = IE)

Mà AI  AK  DE BC , DE = BC khi K trựng với I khi đú ∆ABC vuụng cõn tại A

Bài 4: Cho tam giỏc ABC (AB > AC ) , M là trung điểm của BC Đường thẳng đi

qua M và vuụng gúc với tia phõn giỏc của gúc A tại H cắt hai tia AB, AC lần lượt tại E

và F Chứng minh rằng:

Tõ AEH AFH Suy ra E1 F

XÐt CMF cã ACB lµ gãc ngoµi suy ra CMF  ACB F 

BME cã E1 lµ gãc ngoµi suy ra BME E 1 B

vËy CMF BME   (ACB F  ) (  E1  B)

hay 2BME ACB B  (®pcm)

Từ AHEAHF Suy ra AE = AF và E1 F

Từ C vẽ CD // AB ( D  EF ) => BMECMD g c g(   ) BE CD (1)

Lại có: E1 CDF (cặp góc đồng vị) Do đó CDF F  CDFcân CF = CD ( 2)

Từ (1) và (2) suy ra BE = CF

Bài 5 : Cho tam giác ABC có góc B và góc C là hai góc nhọn Trên tia đối của tia

AB lấy điểm D sao cho AD = AB , trên tia đối của tia AC lấy điểm E sao cho AE =

AC

a) Chứng minh rằng : BE = CD

b) Gọi M là trung điểm của BE , N là trung điểm của CB Chứng minh M,A,N thẳng

hàng

c)Ax là tia bất kỳ nằm giữa hai tia AB và AC Gọi H,K lần lượt là hình chiếu của B

và C trên tia Ax Chứng minh BH + CK  BC

d) Xác định vị trí của tia Ax để tổng BH + CK có giá trị lớn nhất

M E

D B

H

K

N M

khi đú K,H trựng với I , do đú Ax vuụng gúc với BC

Bài 6 Cho tam giác ABC có ba góc nhọn, đờng cao AH ở miền ngoài của tam giác

ABC ta vẽ các tam giác vuông cân ABE và ACF đều nhận A làm đỉnh góc vuông Kẻ

EM, FN cùng vuông góc với AH (M, N thuộc AH)

+ Để cm EM = AH  cần cm ∆AEM =∆BAH ( cạnh huyền – gúc nhon)

+ Để cm HC = AN  cần cm ∆AFN =∆CAH ( cạnh huyền – gúc nhon) b) Để cm EN // FM



AEF EFN ( cặp gúc so le trong)

Gọi I là giao điểm của AN và EF

 để cm AEF EFN



Cần cm ∆MEI = ∆NFI ( g.c.g)

Bài 7 : Cho tam ABC vuụng tại A , đờng cao AH, trung tuyến AM Trên tia đối tia

MA lấy điểm D sao cho DM = MA Trên tia đối tia CD lấy điểm I sao cho CI = CA,qua I vẽ đờng thẳng song song với AC cắt đờng thẳng AH tại E

Chứng minh: AE = BC

*Phõn tớch tỡm lời giải

Gọi F là giao điểm của BA và IE

 để Cm AE = BC cần cm : ∆AFE = ∆ CAB

Để cm : ∆AFE = ∆ CAB

