Bài giảng lý thuyết điều khiển tự động 1

43 ĐẶC TÍNH ĐỘNG HỌC CỦA CÁC KHÂU VÀ CỦA HỆ THỐNG ĐIỀU KHIỂN TỰ ĐỘNG.. Tín hiệu tác động vào của một khâu hay hệ thống tuyến tính.. - Một hệ thống điều khiển tự động gồm ba phần chủ yếu:

MỤC LỤC

CHƯƠNG I 18

MÔ TẢ TOÁN HỌC CỦA HỆ THỐNG ĐIỀU KHIỂN TỰ ĐỘNG 18

1.1 Khái niệm về điều khiển tự động 18

1.1.1 Khái niệm về điều khiển 18

1.1.2 Các phần tử cơ bản của hệ thống điều khiển tự động 19

1.1.3 Phân loại các hệ thống điều khiển 21

1.2 Phép biến đổi Laplace 22

1.3 Ma trận và các phép tính ma trận cơ bản 25

1.4 Phương trình trạng thái, không gian trạng thái, khảo sát hệ thống trong miền thời gian 29

1.4.1 Phương trình trạng thái dạng tổng quát 29

1.4.2 PTTT biểu diễn bằng sơ đồ cấu trúc theo dạng toán tử Laplace 32

1.4.3 Các quy tắc biến đổi sơ đồ khối:( Đại số sơ đồ khối) 37

1.4.3.1 Các phép biến đổi tương đương 38

1.4.3.2 Chuyển đổi vị trí các tín hiệu 39

CHƯƠNG II 43

ĐẶC TÍNH ĐỘNG HỌC CỦA CÁC KHÂU VÀ CỦA HỆ THỐNG ĐIỀU KHIỂN TỰ ĐỘNG 43

2.1 Tín hiệu tác động vào của một khâu hay hệ thống tuyến tính 43

2.1.1 Tín hiệu tác động vào của một khâu hay hệ thống 43

2.1.2 Phản ứng của một khâu hay hệ thống 44

2.2 Đặc tính tần số của một khâu: 45

2.2.1 Đặc tính tần số biên – pha: 45

2.2.2 Đặc tính tần số logarit 47

2.3 Phân loại các khâu động học điển hình 48

2.3.1 Các khâu bậc 1, bậc 2: 48

2.3.2 Các khâu vi phân: 48

2.3.3 Các khâu tích phân: 48

2.4 Đặc tính động học của các khâu bậc 1, bậc 2: 48

2.4.1 Khâu khuếch đại 48

2.4.2 Khâu quán tính bậc một 50

2.4.4 Khâu không ổn định bậc 1 53

2.5 Đặc tính động học của các khâu vi phân 54

2.5.1 Khâu vi phân lý tưởng 54

2.5.2 Khâu vi phân bậc một 55

2.6 Đặc tính động học của khâu tích phân 56

2.7 Đặc tính động học của khâu chậm trễ 57

CHƯƠNG III 59

TÍNH ỔN ĐỊNH CỦA HỆ THỐNG ĐIỀU KHIỂN TỰ ĐỘNG 59

3.1 Khái niệm chung 59

3.2 Tiêu chuẩn đại số 62

3.2.1 Điều kiện ổn định cần thiết của hệ thống ĐKTĐ 62

3.2.2 Tiêu chuẩn Routh (điều kiện đủ) 63

3.2.3 Tiêu chuẩn Hurwits (điều kiện đủ): 66

3.3 Tiêu chuẩn tần số 68

3.3.1 Tiêu chuẩn Mikhailov 68

3.3.2 Tiêu chuẩn Nyquist 70

3.3.2.1 Tiêu chuẩn Nyquist theo đặc tính tần số biên pha 70

3.3.3.2 Tiêu chuẩn Nyquist theo đặc tính tần số logarit 75

3.6 Phương pháp quỹ đạo nghiệm số 81

3.6.1 Phương pháp xây dựng quĩ đạo nghiệm số 81

CHƯƠNG IV 87

THIẾT KẾ BỘ ĐIỀU KHIỂN 87

4.1 Phân tích hệ thống 87

4.1.1 Tính sai số hệ thống ở trạng thái xác lập 87

4.1.2 Quá trình quá độ hệ thống 91

4.1.3 Quan hệ giữa chất lượng hệ thống với vị trí điểm cực và điểm không của hàm truyền đạt 98

4.1.4 Tính điều khiển và quan sát được của hệ thống 101

4.1.4.1 Tính điều khiển được của hệ thống 101

4.1.4.2 Tính quan sát được của hệ thống 103

4.2 Bộ điều khiển PID 106

4.2.1.Tiêu chuẩn thiết kế bộ điều khiển 106

4.2.2 Hệ thống điều khiển tự động với các quy luật điều chỉnh chuẩn 108

4.2.2.1.Quy luật tỷ lệ P( Proportional) 108

4.2.2.2.Quy luật tích phân I (Integral) 110

4.2.2.3.Quy luật tích phân tỷ lệ PI (Proportional - Integral) 112

4.2.2.4.Quy luật vi phân tỷ lệ PD (Proportional – Differential) 112

4.2.2.5.Quy luật vi -tích phân -tỷ lệ PID: 113

4.2.3 Xác định thông số của đối tượng điều khiển(ĐTĐK) 113

4.2.3.1 Xác định bằng phương trình toán học 113

4.2.3.2.Xác định bằng đặc tính quá độ h(t) 114

4.2.3.3.Phương pháp thực nghiệm chủ động áp dụng cho các khâu khác 115

4.2.4 Thiết kế bộ điều khiển PID 119

4.2.4.1 Phương pháp xác định tham số PID của Ziegler-Nichols 120

4.2.4.2 Phương pháp Chien-Hrones-Reswick 122

4.2.4.3 Phương pháp tối ưu độ lớn 124

4.2.4.4 Phương pháp tối ưu đối xứng 129

4.2.5 Phương pháp cho trước điểm cực 135

4.2.6 Phương pháp cân bằng mô hình 136

4.2.6.1 Thíêt kế bộ điều khiển cân bằng hàm truyền đạt hệ hở 136

4.2.6.2 Thiết kế bộ điều khiển cân bằng hàm truyền đạt hệ kín 137

4.2.8 Bộ điều khiển phản hồi trạng thái 139

CHƯƠNG I

MÔ TẢ TOÁN HỌC CỦA HỆ THỐNG ĐIỀU KHIỂN TỰ ĐỘNG

1.1 Khái niệm về điều khiển tự động

1.1.1 Khái niệm về điều khiển

* Trong mọi hoạt động của con người ở mọi nơi, mọi lúc, mọi lĩnh vực, vị trí đều liên

quan đến thuật ngữ: Điều khiển

* Điều khiển nói chung có thể hiểu là tập hợp tất cả các tác động mang tính tổ chức đến

một quá trình nào đó nhằm đạt được mục đích mong muốn về quá trình đó

- Điều khiển là nhân tố cuối cùng quyết định mọi thành bại của các hoạt động

* Điều khiển học (Cybernetic): Là khoa học nghiên cứu những quá trình điều khiển và

truyền thông trong máy móc, sự vật, kinh tế Nó mang tính tổng quát Trong đó, có thể

chia ra: Toán điều khiển, điều khiển học kỹ thuật, điều khiển học kinh tế

* Điều khiển học kỹ thuật: Là khoa học nghiên cứu về quá trình thu thập thông tin, xử lý

thông tin và tác động lên hệ thống để đáp ứng của hệ thống”gần” với các mục đích định trước

* Lý thuyết điều khiển tự động (LTĐKTĐ): Là cơ sở lí thuyết của điều khiển học kỹ

thuật

* Điều khiển tự động: Là thuật ngữ chỉ quá trình điều khiển một đối tượng trong kỹ thuật

mà không có sự tham gia trực tiếp của con người ( Automatic), ngược lại với quá trình điều khiển bằng tay ( Manual)

* Cơ sở lí thuyết điều khiển tự động (CSLTĐKTĐ): Là phần lí thuyết cơ bản của

LTĐKTĐ

* Khái niệm về điều chỉnh:

* Điều chỉnh: Là một khái niệm hẹp hơn điều khiển Điều chỉnh là tập hợp tất cả các tác

động nhằm giữ cho một tham số nào đó của quá trình ổn định hay thay đổi theo một quy luật nào đó ( Đó chính là tham số cần điều chỉnh)

*Cấu trúc của 1 hệ thống ĐCTĐ tương tự như của HTĐKTĐ (chỉ khác là ý nghĩa điều

khiển được thay bằng điều chỉnh)

* Cơ sở LTĐKTĐ chỉ nghiên cứu các quá trình trong hệ thống điều chỉnh tự động

- Phương pháp để TBĐC tạo ra tín hiệu điều chỉnh gọi là phương thức điều chỉnh Có ba phương thức điều chỉnh là: Phương thức điều chỉnh theo chương trình, phương thức bù nhiễu và phương thức điều chỉnh theo sai lệch:

+ Phương thức điều chỉnh theo chương trình:tín hiệu điều chỉnh được phát ra do một chương trình định sẵn trong TBĐC

+ Phương thức bù nhiễu: tín hiệu điều chỉnh được hình thành khi xuất hiện nhiễu loạn tác động lên hệ thống Tín hiệu điều chỉnh phát ra nhằm bù lại sự tác động của nhiễu loạn để

giữ cho giá trị ra của đại lượng cần điều chỉnh không đổi Do đó hệ thống bù nhiễu còn được gọi là hệ thống điều khiển bất biến

+ Phương thức điều chỉnh theo sai lệch hình thành có sự sai lệch giữa giá trị mong muốn

và giá trị đo được của đại lượng cần điều chỉnh

Trong kỹ thuật thường sử dụng phương thức điều chỉnh theo sai lệch (hình 1.1)

TBCĐ: thiết bị đặt giá trị chủ đạo x, là giá trị mong muốn của đại lượng cần điều chỉnh TBSS: thiết bị so sánh giá trị chủ đạo x và giá trị đo được y của đại lượng cần điều chỉnh

để xác định sai lệch e =x-y Giá trị x cũng được gọi là giá trị nhiễu đặt trước

KCN: là khối chức năng nhằm tạo ra tín hiệu điều chỉnh u theo giá trị sai lệch u=f(e) CCCH: cơ cấu chấp hành thực hiện tác động điều chỉnh u lên ĐTĐC

TBCN: thiết bị công nghệ có tín hiệu ra là đại lượng cần điều chỉnh

TBĐ: thiết bị đo để xác định giá trị y của đại lượng cần điều chỉnh

N: Tác động nhiễu phụ tải, là tác động không mong muốn từ bên ngoài lên hệ thống

1.1.2 Các phần tử cơ bản của hệ thống điều khiển tự động

- Một hệ thống điều khiển tự động gồm ba phần chủ yếu:

+ Thiết bị điều khiển (TBĐK) hay C (Controller): Tập hợp tất cả các phần tử của hệ thống nhằm tạo ra tín hiệu điều khiển tác động lên ĐTĐK, tín hiệu này gọi là tác động điều khiển

+ Đối tượng điều khiển (ĐTĐK) hay O (Object): Là phần tử tồn tại khách quan, tín hiệu ra

là đại lượng cần điều khiển

+ Thiết bị đo lường (TBĐL) hay M (Measuring Device): Đo lường và biến đổi tín hiệu ra

để đưa vào đầu vào của TBĐK

Hình 1.2

R: Tín hiệu chủ đạo (chuẩn, tham chiếu) ( Reference) thường gọi là tín hiệu vào ( Input) U: Tín hiệu điều khiển

N: Tín hiệu nhiễu tác động từ bên ngoài vào hệ thống

F: Tín hiệu phản hồi (hồi tiếp)

Y: Tín hiệu cần điều khiển (Tín hiệu ra)

* Hệ thống điều khiển kín (Closed loop control system): Là hệ thống điều khiển có

phản hồi ( feed back), nghĩa là tín hiệu ra được đo lường và đưa về thiết bị điều khiển

Tín hiệu phản hồi kết hợp với tín hiệu vào cho ra tín hiệu điều khiển Cơ sở lí thuyết

nghiên cứu hệ thống kín là Lí thuyết điều khiển tự động

Một ví dụ cơ bản về hệ thống điều khiển kín là hệ thống điều khiển nhiệt độ Nhiệt độ là đại lượng tham gia vào nhiều quá trình công nghệ: sản xuất xi măng, gạch men, nhựa ,cao

su ,hóa dầu ,thực phẩm… Mục tiêu điều khiển thường là giữ cho nhiệt độ ổn định.Tín hiệu

ra là nhiệt độ sẽ được đo lường và so sánh với tín hiệu đặt (tín hiệu vào mong muốn), bộ điều khiển có vai trò tác động lên đối tượng điều khiển (lò nhiệt) nhằm duy trì nhiệt độ như mong muốn

Sơ đồ khối hệ thống điều khiển nhiệt độ

Nhìn chung một hệ thống điều khiển kín có ưu điểm là phản ứng khá nhanh và chính xác với những thay đổi theo mệnh lệnh, nhưng nhược điểm là tương đối phức tạp (giá thành cao hơn)

* Hệ thống điều khiển hở (Open-loop control system ):

Những hệ thống điều khiển mà tín hiệu ra không được phản hồi và không có tác động lên tín hiệu điều khiển thì được gọi là hệ điều khiển hở Nói một cách khác, trong hệ thống điều khiển hở thì tín hiệu ra không được đo hoặc không được phản hồi để so sánh với tín hiệu vào

Trong hệ thống điều khiển hở, tín hiệu ra không được so sánh với tín hiệu vào dự định (reference input) Vì thế mỗi tín hiệu vào dự định sẽ tương ứng với một điều kiện hoạt động cố định, kết quả là độ chính xác của hệ thống phụ thuộc vào sự xác định trước Khi

có nhiễu thì hệ thống điều khiển hở sẽ không thực hiện được công việc theo ý muốn Trong thực tế hệ thống điều khiển hở chỉ được sử dụng khi đã biết mối quan hệ giữa tín hiệu vào,tín hiệu ra và khi không có tín hiệu nhiễu bên trong lẫn bên ngoài

Nói chung hệ thống điều khiển hở có ưu điểm là khá đơn giản, dễ vận hành, giá rẻ, tin cậy được, dễ bảo quản, nhưng có nhược điểm là phản ứng chậm với những thay đổi mệnh lệnh, thiếu chính xác

Cơ sở lý thuyết nghiên cứu hệ thống hở là lí thuyết về Rơle và lí thuyết ôtômát hữu hạn

* Các nguyên tắc điều khiển cơ bản

Bất kì hệ thống ĐKTĐ nào cũng bị tác động của nhiễu và gây ra sai số Hiện nay, có ba nguyên tắc điều khiển cơ bản

- Nguyên tắc điều khiển theo sai lệch

- Nguyên tắc điều khiển theo phương pháp bù nhiễu

- Nguyên tắc điều khiển hỗn hợp theo sai lệch và bù nhiễu

Trên hình 1.4 vẽ sơ đồ hệ thống điều khiển theo nguyên tắc hỗn hợp Trong hệ thống tín hiệu y(t) là tín hiệu ra , f(t) là nhiễu tác động vào đối tượng điều khiển

Hình 1.4.Nguyên tắc điều khiển hỗn hợp

Nhiễu f(t) tác động lên đối tượng điều khiển ví dụ theo chiều hướng làm tăng tín hiệu ra y(t) Trong hệ có đưa vào một số thiết bị bù K có tác dụng ngược dấu với f , nghĩa

là v tác dụng bù về phía trước TBĐK C để làm tín hiệu E giảm bớt Nếu f tác dụng nên ĐTĐK O để làm giảm tín hiệu ra y thì thiết bị bù K lại tạo ra tín hiệu bù v làm tăng E cuối

cùng làm tăng y

Ngoài các nguyên tắc điều khiển cơ bản như đã nói ở trên người ta còn nêu ra nguyên tắc khác như:

- Nguyên tắc điều khiển theo chương trình

- Nguyên tắc điều khiển thích nghi

1.1.3 Phân loại các hệ thống điều khiển

Việc phân loại hệ thống ĐKTĐ có thể thực hiện theo nhiều phương pháp khác nhau Người ta có thể chia thành các hệ thống điều khiển điển hình sau:

- Hệ thống ĐKTĐ tuyến tính: Là hệ thống khi tất cả các phần tử trong hệ thống đều là tuyến tính Đây là phần cơ bản nhất của lí thuyết điều khiển tự động Đặc trưng cơ bản nhất của các phần tử tuyến tính là chịu tác động của nguyên lý xếp chồng Nghĩa là khi có một tổ hợp tín hiệu tác động ở đầu vào của phần tử thì tín hiệu ra sẽ bằng tổ hợp tương ứng của các tín hiệu ra thành phần Hệ thống phi tuyến tính không chịu tác động của nguyên lý này

-

z

+ (-)

- Hệ thống phi tuyến: Là hệ thống chỉ cần một phần tử phi tuyến tính có trong hệ

- Hệ thống liên tục: Các tín hiệu tác động là các hàm liên tục theo thời gian

- Hệ thống rời rạc hay hệ thống xung số Trong đó chỉ cần có một tín hiệu là một hàm rời rạc theo thời gian

- Hệ thống tiền định: Là hệ thống trong đó tất cả các tín hiệu truyền đạt là các hàm theo thời gian xác định

- Hệ thống ngẫu nhiên: Là hệ thống trong đó có ít nhất một tín hiệu là hàm ngẫu nhiên

- Hệ thống tối ưu: Là hệ thống điều khiển phức tạp, trong đó thiết bị điều khiển có chức năng tổng hợp được một tín hiệu điều khiển u(t) tác động lên đối tượng nhằm chuyển trạng thái ĐKTĐ từ trạng thái đầu đến trạng thái cuối với khoảng thời gian ngắn nhất

- Hệ thống thích nghi (hay còn gọi là hệ thống tự chỉnh): Là hệ thống có khả năng thích ứng một cách tự động những biến đổi của điều kiện môi trường và đặc tính của đối tượng điều khiển bằng cách thay đổi tham số và cấu trúc sơ đồ của thiết bị điều khiển

1.2 Phép biến đổi Laplace

- Bài toán mở rộng tập hợp số: Tập hợp các số phức được xác định khi người ta tìm ra

nghiệm của phương trình: x2 1  0 và cùng với nó là lí thuyết về trường số phức, trong

đó có phép biến đổi Laplace

- Phép biến đổi Laplace được ứng dụng rất có hiệu quả trong việc giải các bài toán vi phân

tuyến tính, lí thuyết mạch điện, điện tử, cơ học, lí thuyết điều khiển tự động

Bản chất của phép biến đổi Laplace trong lý thuyết điều khiển tự động được dùng dể biến đổi tín hiệu của hệ thống từ miền thời gian sang miền tần số phức, các phương trình vi phân được chuyển đổi thành các phương trình đại số thông thường để thuận tiện cho việc tính toán

Nếu có một hàm gốc f(t) có đối số theo thời gian thì ảnh Laplace của nó kí hiệu là F(p) được tính theo công thức:

F(p) =   

0

dt t p e t

f pt

0

)(

- Mặt khác, để có được lời giải cho phương trình theo ẩn t, ta thực hiện phép biến đổi Laplace ngược:

f(t) = 





j c j c

dp t p e p F

Trong thực tế người ta đã tính sẵn một số hàm cơ bản và khi cần ta có thể tra bảng mà không phải tính toán trực tiếp bằng các tích phân trên nữa

1 2

3

) (

)(p a p

a



) 1 (

e at a







) (

2

a p p

a

 )

1 ( at

eat 

2

) (p a

) (p a c

a p







* Bổ túc về các tính chất của phép biến đổi Laplace:

Cho f1(t) và f2(t) là hai hàm theo thời gian có biến đổi Laplace là:

d ( )

 = pnF(p) - pn-1f(0+) - pn-2f’(0+) - … -fn-1(0+) Nếu các điều kiện đầu triệt tiêu thì: Lf(n)’(t) = pnF(p)

) ( 1 ) (

t

dt t f p p

0 0

2 1

0 0

) (

1

) (

1 )

( 1

)

(

t n t

n t

n

p dt

t f p

dt t f p

f( ) ( )

* Một số ví dụ minh họa :

p

C p

e C dt Ce C

L p F const C

a p a

p

e dt e e e

L p F e

t

f

t a p pt

at at

) (

0

a p dt e e e

L p F e

(

0

0 0 0

11

)()

(

p dt e e p

t dt e t t L p F t

a

vdu uv

5/ Viết phương trình Laplace mô tả mạch điện sau:

R

C

Ta có : u1 = iR + u2 ; u2 =   

dt

du C i idt C

Giả thiết : u1(t) = k = const

Biến đổi Laplace phương trình (*)  1( ) TpU2(p) U2(p)

p

k p

) 1 1

1 ( 1 1 )

(

2

p T p

k k p

k Tp

e p

e k

Trong đó : ij là các phần tử của ma trận A(m x n)

Hai ma trận A và B bằng nhau nếu các phần tử tương ứng bằng nhau: aij = bij

m1

cc

A +(B +C) = (A + B) +C

Trừ ma trận: D = A- B, hay là dij = aij – bij

1 (i=1m; j=1n ) Chú ý: Phép nhân này không có tính chất giao hoán

- Một ma trận nhân với một đại lượng vô hướng thì mỗi một phần tử của ma trận đều nhân với lượng vô hướng đó.( phép nhân này có tính chất giao hoán)

k. (1.5)

5-Vết của ma trận: Là tổng tất cả các phần tử trên đường chéo chính của ma trận vuông:

6- Phần phụ đại số : Nếu định thức A, ta bỏ đi hàng thứ i và bỏ đi cột thứ j và giữ lại

(n -1) hàng và (n -1) cột và lấy dấu bằng (-1)ij, đó là phần phụ đại số của phần tử của

ma trận A, kí hiệu Aij Đây là cơ sở để tính ma trận nghịch đảo

31

23 22

21

13 12

11

a a

a

a a

a

a a

a

; Ta tính các phần phụ đại số:

23 32 33 22 33 32

23 22

1 1

a a

a a

21

12 11

3 3 ) 1 ( 33

) 13 32 33 12 ( 33 32

13 12

1 2 ) 1 ( 21

22 31 32 21 32

31

22 21

3 1 ) 1 ( 13

) 23 31 33 21 ( 33 31

23 21

2 1 ) 1 ( 12

a a a a a

a

a a

A

a a a a a

a

a a

A

a a a a a

a

a a

A

a a a a a

a

a a

12 11

a a

a a

, định thức của nó là det(A) hay A

12 11

a a

a a

= a11.a22a21.a12 (1.8)

9- Phép nghịch đảo ma trận

Cho ma trận vuông A(aij) , i = 1, 2, 3…., m ; j= 1, 2, 3…, n, trong đó aij là những

số thực hoặc phức, nói cách khác AR mn Nếu tồn tại một ma trận B thoả mãn:

AB = BA = I thì ma trận B được gọi là ma trận nghịch đảo của ma trận A và kí hiệu là B = A 1

- Công thức tính ma trận nghịch đảo:

A

)det(

)(

1

A

A Adj



 (1.9)

- Chuyển vị của ma trận nghịch đảo và nghịch đảo của nghịch đảo:

10- Trị riêng và vectơ riêng

Ta xét phương trình véc tơ: y A.x (1.10)

   

 A  A

A A

với x và y là các véc tơ cột , còn A là ma trận vuông Ý nghĩa của phương trình này là có một véc tơ x, qua phép biến đổi ma trận A nó sẽ thành vec tơ y có cùng một hướng với vec

tơ x Nếu tồn tại một véc tơ x như vậy thì ta nói y tỉ lệ với x hay là quan hệ của x và y là một phép tỉ lệ tuyến tính với hệ số  Lúc đó ta có thể viết:

x x A

y . (1.11) với  là một đại lượng vô hướng, là hệ số tỉ lệ

Đây chính là bài toán về trị riêng hay là số đặc trưng của ma trận A mà với giá trị của , ví dụ i để cho phương trình y = Ax có nghiệm x i  0 được gọi là véc tơ riêng hay véc tơ đặc trưng

Ta có: y = Ax hay là : (A.I).x 0 (1.12) Phương trình này có nghiệm không tầm thường khi và chỉ khi :

Det(A - I) = 0 (1.13) Phương trình (1.13) gọi là phương trình đặc trưng

1.4 Phương trình trạng thái, không gian trạng thái, khảo sát hệ thống trong miền thời gian

1.4.1 Phương trình trạng thái dạng tổng quát

Trước hết, ta xét ví dụ về mạch điện gồm ba phần tử : R, L, C:

1 2 1

2

u L

u L

i L

R dt

12

2

11

u L

x L

R x L x

x C

121

12

1.02

11.01

u L

x L

R x L x

u x C x x

1

/10

Khi đó ta có phương trình:

u B X A

X   (1.20) gọi là phương trình trạng thái

Không gian hai chiều gồm trạng thái dòng điện i = x2 và điện áp trên tụ C là u2 = x1được gọi là không gian trạng thái Vì giữa x1 và x2 có mối liên hệ: x2 = C.x1 và không gian

có hai toạ độ x1 , x2 cũng là x1 và x1 được gọi là không gian pha

*Một cách tổng quát , đặc tính động học của hệ thống điều khiển tự động thường được mô

tả bằng hàm truyền đạt , xác định từ hàm truyền đạt của các phần tử trong hệ thống bằng các phép biến đổi đại số sơ đồ khối:

hoặc nếu thay p = j vào hàm truyền đạt , ta có hàm truyền tần số , từ đó, nghiên cứu đặc tính động học trong miền tần số qua các đặc tính tần số

Mặt khác, đặc tính động học của hệ thống cũng có thể nghiên cứu trong miền thời gian qua phương trình vi phân dạng tổng quát:

x b dt

dx b dt

x d b dt

x d b y a dt

dy a dt

y d a dt

y

d

m m

m n

n n

n n

1 1

1

1 0

Tuy nhiên, ý nghĩa hàm truyền đạt chỉ tồn tại ở hệ tuyến tính có một tín hiệu vào một tín hiệu ra (Single Input – Single Output: SISO) hoặc nhiều tín hiệu vào một tín hiệu

ra (Multi Input – Single Output: MISO), không có ý nghĩa ở hệ MIMO Trong trường hợp đó, người ta thay thế hàm truyền đạt bằng hệ phương trình trạng thái

n n

n n

m m

m m

a p

a p a p a

b p

b p b p b p X

p Y p W

.)(

)()

2 1 1 0

2 2 1 1 0

* Hệ phương trình trạng thái dạng tổng quát:

Nếu mô tả đặc tính động học của hệ thống điều chỉnh tự động dạng phương trình vi phân (PTVP):

)(

y d a dt

y

d

n n

dy y dt

dy dt

3 1 2

1 0

3 2

2 1

) (

y A y A y

A y A t x K dt

dy

y dt

dy

y dt

dy

n n

n n

n

(1-21)

Với:

0 0 0 0

2 2 0

1

a

K K a

a A a

a A a

y1, y2, , yn: Các biến trạng thái của hệ thống

Hệ (1-21) gọi là hệ phương trình trạng thái của hệ thống Nghĩa là, nếu biết (1-21) và trạng thái của hệ thống tại một thời điểm nào đó, ta sẽ biết được trạng thái của hệ thống tại các thời điểm tiếp theo

0.100

0.010

A A

A y

y y

n n n

2 1

K

.x(t)

1 0 0

)(t 

2 1

Các phương trình ma trận vectơ viết gọn:

t

y

t x B y

A

y

.)

(

)(

,

(**) (**) là hệ phương trình trạng thái

y: Vectơ trạng thái của hệ thống; x(t): Tín hiệu vào; y(t): Tín hiệu ra; A, B, C: Các ma

0.100

0.010

A A

K

; C= 1 0 0

Các biến trạng thái cũng có thể chọn theo những cách khác nhau Chẳng hạn, một cách

phổ biến là lập mô hình hệ thống (sơ đồ cấu trúc hệ thống) sử dụng phần tử tích phân

p

1

1.4.2 PTTT biểu diễn bằng sơ đồ cấu trúc theo dạng toán tử Laplace

* Chuyển đổi phương trình trạng thái về hàm truyền đạt

Ví dụ: Vẫn với mạch điện R, L, C như hình 1.5 ta đã có phương trình (1.17):

R x L x

x C x

121

12

2

11

R p X L p pX

p X C p pX

)(1)(2)

(1

1)(2

)(2

1)(

(11)(1.1)(2

)(2

1

1)(1

p X L

R p X L L

p U p p X

p X p C p X

(1.23)

Ta thế X2(p) pCX1(p) từ (1.22) vào vế trái phương trình (1.23) và ta có phương trình

2)

(11)(1(1)(

R p X L L

p U p p

2)

(11)(1.(

1

1

1)(

R p X L L

p U p C p p

1)(1)12

22.1(T T p T p X p U p Trong đó, đặt:

221

1)

(1

)(1

p T p T T p U

p X

W(p) được gọi là hàm truyền đạt của mạch

Vậy ta có định nghĩa: Hàm truyền đạt của hệ thống là tỷ số của tín hiệu ra với tín

hiệu vào của hệ thống đó biểu diễn theo biến đổi laplace với điều kiện ban đầu triệt tiêu

Hàm truyền đạt có thể có nhiều dạng, nhưng tổng quát ta viết được:

W(p) =

) (

) ( 1

1 1 0

1

1 1 0

p A

p B n a p n a n

p a n p

a

m b p m b m

p b m p

Kết luận: Các bước xác định hàm truyền đạt từ PTTT:

- Từ hệ phương trình trạng thái, hoặc sơ đồ khối cấu trúc

- Chuyển sang phép biến đổi Laplace

- Tìm cách thế các biến để cuối cùng đưa về dạng : Y(p) Y(p)

*) Định nghĩa hàm truyền đạt từ đặc tính động học: Đặc tính động học mô tả sự thay

đổi của tín hiệu ra theo (t) khi có tác động ở đầu vào Người ta thường mô tả quá trình động học xảy ra trong các phần tử bằng các phương trình vi phân tuyến tính có dạng tổng

dt

dx b dt

x d b dt

x d b y a dt

dy a dt

y d a dt

y

d

m m

m n

n n

n n

1 1

1

n n

m m

a p

a

b p

b p X

p Y p

)()(

0

0 (1-28)

(1-28) được gọi là hàm truyền đạt của phần tử hay hệ thống

* Vậy, hàm truyền đạt của 1 phần tử hay hệ thống là tỉ số giữa chuyển đổi Laplace của tín hiệu ra chia cho chuyển đổi Laplace của tín hiệu vào với điều kiện ban đầu triệt tiêu

- Phương trình ở mẫu : a0pn + a1pn-1 + +an-1p +an = 0 gọi là phương trình đặc tính của phần tử hay hệ thống

* Chú ý: Khái niệm hàm truyền chỉ có ở hệ tuyến tính và không phụ thuộc vào kích thích

hay sơ kiện

- Nếu biết W(p) sẽ tìm được đáp ứng Y(p) với một kích thích X(p) bằng cách: y(t) = L

-1Y(p), với Y(p) = W(p).X(p)

* Chuyển đổi hàm truyền đạt về phương trình trạng thái

Nếu hệ thống đang được mô tả động học bằng hàm truyền đạt , cũng có thể chuyển đổi sang mô tả bằng hệ phương trình trạng thái

Ví dụ: Xét hệ thống bậc 3, tƣ̉ số bậc 1, mẫu số bậc 3:

3 2 2 1 3 0

3 2 2 3

0.0)(

b p b p p p

dx b y a dt

dy a dt

y d

dy a dt

y d a x b dt

2

2

1 3 2

b

y

y a u b

y

y

y a

y

y

0

1

3 3

3

'

1 2 2

3

2

'

1 1

A 3 A 2

(-)

1/p

A 1 (-)

- Xác định hàm truyền

n n

m m

a p

a

b p

b p X

p Y p W

)()(

0

0

)(

)(

p X

p Y

x d b dt

x d b y a dt

dy a dt

y d a dt

y d

m m

m n

n n

n n

y d A x b dt

dx B dt

x d B dt

x d B dt

y d

n n

n n m

m m

m m

m n

n

m m

m

A p

A p

B p

B p B p X

p Y p

)()

1

1 1

- Xây dựng sơ đồ khối cấu trúc của hệ thống theo nguyên tắc sau :

+ Số khâu tích phân bằng max (m,n), tín hiệu vào trước khâu tích phân là đạo hàm tín hiệu

ra của khâu đó

+ Các hệ số A1, A2, …, An nằm ở các khối phản hồi âm phía dưới

+ Các hệ số B0, B1, B2,…., Bm nằm ở các khối bù phía trên

+ Các hệ số Ai, Bj với các chỉ số đều tăng từ phải sang trái Các hệ số gắn với p bậc bao

nhiêu thì tương ứng sẽ nối với bộ cộng nằm cách đúng từng đó khâu tích phân

p

1 trong sơ đồ cấu trúc tính từ trái qua phải Hệ số nào bằng không thì khâu đó không có trong sơ đồ

Sơ đồ khối cấu trúc dạng tổng quát như sau:

y1

y’1 (-)

)()

(

)()

(

'

2 2

3

'

2

1 1

2

'

1

0 1

t y A t x

B

y

t x B t y A y

y

t x B t y A y

y

t x B y

t

y

n m

) ( ) (

) ( )

(

0 1

'

0 2 1 1 2 3 ' 2

1 0 1 1 2 ' 1

0 1

t x B A B y A y

t x B A B y A y y

t x B B y A y y

t x B y t y

n m n

n

(1-33)

Hay rút gọn:

Hệ SISO tuyến tính có hệ phương trình trạng thái rút gọn dạng tổng quát :

(1-34)

( Ma trận B là vectơ cột b, ma trận C thành vectơ hàng cT, ma trận D thành số thực d)

Ví dụ 1: Xét hệ thống có m=n=3, a0=1:

3 2 2 1 3 0

3 2 2 1 3 0

.)(

)()(

a p a p a p a

b p b p b p b p U

p Y p W

y

u b a y a u b y a u b y

u b a y a u b y y a u b y y

u b a y a u b y y a u b y y

0 1

0 3 1 3 3 3 3 3

'

0 2 1 2 2 3 2

2 3 2

'

0 1 1 1 1 2 1 1 2 1

y y

u b a b

b a b

b a b

y y y

0

0

1

00

10

01

0 3 2 1

0 3 3

0 2 2

0 1 1

3 2 1

3 2 1

)(

'

t u D y C t y

t u B y A y

)

(

) (

'

t x D y

C

t

y

t x B

y

A

y

01

0 2 2

0 1 1

b a b

b a b

b a b

1 ; D b0

Ví dụ 2: Chuyển hàm truyền sau sang phương trình trạng thái:

2 2 3

4 2 )

(

) (

p p

4.2.0.0)(

)()

2 3

p p p p

U

p Y p W

Sơ đồ cấu trúc tương đương:

'

1 3

3

2

'

1 2 2

1

'

.2.4.2

4

.2.2

2

2

.3

3

y

y

y u y u

y

y u y y u y

y

y y y y

y

y y

u y

y y

y

y

y

.0

0

0

1

.42

0

002

102

013

3 2 1 3 2 1

(

)(

'

t u D y C t

y

t u B y A

y

1.4.3 Các quy tắc biến đổi sơ đồ khối:( Đại số sơ đồ khối)

(-)4

* Đại số sơ đồ khối là thuật toán để xác định hàm truyền đạt của hệ thống khi biết được hàm truyền đạt của các phần tử thành phần Nó bao gồm: Thuật toán để xác định hàm truyền đạt của các phần tử mắc nối tiếp, mắc song song, mạch phản hồi và nguyên lí chuyển đổi tín hiệu

1.4.3.1 Các phép biến đổi tương đương

* Hệ thống gồm các phần tử mắc nối tiếp

Hệ thống gồm các phần tử được gọi là mắc nối tiếp nếu: Tín hiệu ra của phần tử trước là tín hiệu vào của phần tử sau Do đó, tín hiệu vào của hệ thống là tín hiệu vào của phần tử đầu tiên, tín hiệu ra của phần tử cuối cùng là tín hiệu ra của hệ thống



 1

) (

) ( ) (

1

p W p

X

p Y p W

n i i

Hình 1-10

Ta có: Y1 = W1X1 = W1X

Y2 = W2X2 = W2X Suy ra: Y = Y W X

n i i n

) ( )

(

1

p W p

X

p Y p

W

n i i

W



W W

W p

X

p Y p W







1)(

)()

Mạch phản hồi dương:

Dễ dàng chứng minh được:

n t

t

W W

W p

X

p Y p W







1)(

)()

1.4.3.2 Chuyển đổi vị trí các tín hiệu

- Chuyển đổi vị trí tín hiệu nhằm đơn giản hóa sơ đồ khối, chuyển đổi các mạch liên kết (các mối liên hệ) phức tạp thành các mạch liên kết (các mối liên hệ) đơn giản trong sơ đồ khối, chẳng hạn: Mạch mắc song song, mạch mắc nối tiếp, mạch mắc phản hồi Dựa vào

đó để xác định hàm truyền đạt của hệ thống

- Nguyên tắc: Không làm thay đổi đường truyền tín hiệu trong hệ thống

* Chuyển đổi tín hiệu vào

- Chuyển đổi tín hiệu vào từ trước 1 khối ra sau khối đó:

* Chuyển đổi tín hiệu ra

- Chuyển đổi tín hiệu ra từ trước 1 khối ra sau khối đó:

X 1

X 2

Khi N =0, sơ đồ khối của hệ nhƣ sau:

Dựa vào đại số sơ đồ khối, ta dễ dàng xác định đƣợc:

1 2 1 2 2

2 1

1 G H G G H

G G

Vậy,

1 2 1 2 2 2

1 2 1 2 2

2 1

1

G N

H G G H G

G G X

Giải

- Cộng tín hiệu vào ba bộ cộng ghép liên tiếp

- Chuyển tín hiệu ra từ sau G3 về trước G3

Khi đó, ta có sơ đồ khối tương đương:

Biến đổi tương đương sơ đồ khối trên, ta được:

H2 (-)

H1 (-)

CHƯƠNG II ĐẶC TÍNH ĐỘNG HỌC CỦA CÁC KHÂU VÀ CỦA HỆ THỐNG ĐIỀU KHIỂN

TỰ ĐỘNG

2.1 Tín hiệu tác động vào của một khâu hay hệ thống tuyến tính

2.1.1 Tín hiệu tác động vào của một khâu hay hệ thống

Đối với một khâu hay hệ thống thường có hai loại tín hiệu tác động vào: Tín hiệu tiền định và tín hiệu ngẫu nhiên

Bất cứ một tín hiệu phức tạp nào cũng có thể phân tích thành các tín hiệu đơn giản điển hình

1-Tín hiệu bậc thang đơn vị:

00

)

(

1

t khi

t khi

)(1)

(

t khi

t khi t

dt

d t

0)

(1.)

(

t khi

t khi t t t t

Mô tả bởi hàm 1(t) hoặc (t)

- Biểu diễn x(t) qua 1(t) : phân tích hàm x(t) theo tích phân Duyhamen

x( ) ( ) khi   0

Thật vậy, theo tính chất (2-2) ta có:

0 ) (  

x d t t x d

t t

k t x

1

))(

()

(10)

2.1.2 Phản ứng của một khâu hay hệ thống

Hình 2.1

1- Hàm quá độ của một khâu: Là phản ứng của khâu đó khi tín hiệu tác động vào là một

hàm bậc thang đơn vị 1(t) Kí hiệu hàm quá độ là h(t)

Nếu x(t) = 1(t)

p p

X ( )  1

p

1 W(p).

) ( )

Nhƣ vậy, giữa hàm h(t) và (t) có mối liên hệ:

h(t) = t  t dt

0

) (

 (2.11)

Hoặc là:

dt

t dh

m

x dt

x d

t j e m x j t

m x dt dx

t j e m x t m x t x

22

2

.)

2sin(

sin)

.2.2

2

)( )

2.1sin(

)(.)

sin(

)(

m

y dt

y d

t j e m y j t

m y dt dy

t j e m y t

m y t y

20

21

20

bW(p)

a p a p a

b p b p

)W(j   j  (2.18) Trong đó A() là biên độ của W(j) còn () là pha của W(j) Nếu W(j) có dạng (2.16) thì:

202

(

2)1(2)

202

a

b b

1





b b

b

02

1





a a

a

 (2.20)

- Nếu W(j) viết dạng phần thực và phần ảo thì: W(j) = P() + jQ() (2.21)

* Hàm truyền đạt tần số được xây dựng thành một đường cong trên mặt phẳng phức, ta gọi là đặc tính tần số biên- pha, khi  biến đổi từ - đến +

Trên hình 2.2a và 2.2b xây dựng đặc tính tần số biên độ A() và đặc tính tần số pha ()Trên hình 2.2c và 2.2d xây dựng đặc tính tần số phần thực P() và ảo Q()

Vì A() và P() là hàm chẵn nên đặc tính đối xứng qua trục tung còn () và Q() là hàm lẻ nên đặc tính đối xứng qua gốc toạ độ

)(2)(

)(

)W(j

A A

L  (2.26) Trục tung đặt L() đo theo đơn vị db, còn trục hoành đo theo lg() Nhƣ vậy thì đơn vị

đo tần số  tính theo decac, viết tắt là dec, tức là logarit của độ tăng tần số 10 lần:





3 , 0

12

2.3.2 Các khâu vi phân:

)(

dt

t d k dt

t dh

W(

Biên độ:

2)(1

)(

T

k A

)(

20)

Đường tiệm cận khi  0: L1()20lgk khi 0    1 / T

Đường tiệm cận khi : L2()20lgk20lgT khi   1 / T

Hai đặc tính L1(),L2() cắt nhau tại điểm b Tại đó tần số gãy được tính như sau:

T g k

k L

2)

1)

()

k p

p W p

Y

Vậy nên: h(t)= k(1-e t / T ) (2.32)

b Hàm trọng lượng:

) ( 1 / ) ( )

T

k dt

t dh

1W(p)

k)

)(

T T

k A

)(

221

b Đặc tính tần số logarit

2224)221(lg20lg20)(lg20)

)(1)(

L

L ch L L

p  1 2  

Trong đó: 0;  10;0 1/T

b Hàm trọng lượng

t t e t

k dt

t dh

()

2 2 0

2 1

Tương tự như khâu quán tính bậc một ta có

đặc tính tần số biên pha là một nửa vòng

tròn nằm ở góc phần tư thứ ba có bán kính

k/2 và tâm O1 (-k/2, 0) Vì p() <0; Q()

<0 nên: () arctgT 

Hình 2.11

b.Đặc tính tần số logarit

Biên độ của khâu (2.42) :

12)(

)(





T

k A

T

k dt

t dh