[r]
Trang 1đáp án toán hsg - môn toán 10
Câu1
2đ
Giả sử (x,y,z) là một nghiệm của phơng trình Cộng theo vế các phơng trình trên ta có: (a+b+c)(x+y)=a+b+c 0,5 Nếu a+b+c=0 thì: a3+b3+c3=(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-bc-ca)+3abc
nên a3+b3+c3=3abc Nếu x+y= 1 ta có: a3+b3+c3=(ax+by)3+(bx+cy)3+(cx+ay)3=
a3+b3+c3-3xy(3abc- a3-b3-c3) 0,5 Nếu x=0 hoạc y=0 thoả mãn hệ khi a=b=c suy ra a3+b3+c3=3abc 0,5
Câu2 a
Viết lại hàm số: y= {x2−4 x+3 ; x ≥1
x2−1 ;x <1
1,0
1,0
1,0
b
2đ
Viết lại phơng trình:
x − 2¿2=3 −2 m; x ≥ m
¿
¿
¿
¿
1,0
Phơng trình có 3 nghiệm thì : m=3/2 hoạc m=1/2 0,5 Thay m=3/2 và m=1/2 thì phơng trình đã cho có 3 nghiệm 0.5 Câu3 a
Giải hệ: { x2− 4 xy + x +2 y=0
x4− 8 x2y +3 x2
+4 y2 =0
Nhận xét: Nếu x=0 thay vào hệ phơng trình ta có: y=0 nên (0;0)
Nếu x 0 chia cả 2 vế của (1) cho x và chia cả 2 vế của (2) cho
x2 ta đợc: { x+ 2 y
x =4 y − 1
x2
+4 y2
x2 =8 y −3( y ≥
3
8)
⇔
x + 2 y
x =4 y −1
¿
x+ 2 y
x ¿
2 =12 y −3
¿
¿
1,0
Suy ra: (4y-1)2= 12y-3 ⇔ y=1 hoạc y= 1/4 (loại) 0,5
Trang 2Với y=1 suy ra: x2-3x+2=0 ⇔ x=1 hoacx=2 0,5 Vởy, hệ có 2 nghiệm: (1,1); (2,1)
b
2đ
Giải phơng trình: x4+2x3+2x2-2x+1=(x3+x) √1 − x2
x
Phơng trình đã cho tơng với:
(x2+1)2+2x(x2-1)=x(x2+1) √1 − x2
x (*)
Với 0<x ≤1 : (*) ⇔ (x2+1)2-2x(-x2+1)= (x2+1) √x(1 − x2)
Đặt u=x2+1, v= √x(1 − x2
) (u>1,v 0 ) ta có: u2-uv-2v2=0
↔ u=2v hoac u=-v (loại)
1,0
Với u=2v suy ra: (x2+1)2=2 √x(1 − x2
) ⇔ x4+4x3+2x2-4x+1=0
⇔ (x- 1
x )2
+4(x-1
x )+4=0 ⇔ x- 1
x =-2 ⇔ x=−1 −√2(loai)
x=− 1+√2
¿
Với x −1 (*) ⇔ (x2+1)2-2x(-x2+1)= -(x2+1) √x(1 − x2)
suy ra u2+uv-2v2=0 ↔ u=v hoac u=-2v (loại) Với u=v suy ra ⇔ (x- 1
x )2
+(x-1
x )+4=0 (vô nghiệm)
0,5
Đs: x= -1+ √2
c
2đ
(4x-3) √x2−3 x+ 4 ≥ 8 x − 6
⇔(4 x −3)(√x2−3 x +4 −2)≥ 0
⇔{ √x 4 x −3 ≥ 02−3 x +4 ≥ 2hoac{ √x 4 x −3 ≤ 02−3 x +4 ≤ 0
1,5
⇔ 0 ≤ x ≤3
4 hoacx ≥ 3
0,5
Câu4 Chứng minh rằng: xyz 15
Tacó:
(3x)(5y)(15z) 3 x +5 y +15 z
3
= ¿
¿
3 (x+ y+z )+2(z + y )+10 z
3
¿
45
3 ¿ 3
¿
1,0
Suy ra : xyz ≤ 15 ⇔{x=5 y=3
z=1
0,5
Câu5 a Viết phơng trình các cạnh của tam giá ABC
Trang 3{4 x +3 y − 10=0 x+2 y −5=0 ⇔{x=1 y =2 hay A(1;2)
Gọi C1 là điểm đối xứng của C qua (d1) ta có: C1(2;-1) Đơng
thẳng AB chính là đờng thẳng AC1 có phơng trình: 3x+y-5=0
Gọi M là trung điểm của BC suy ra M thuộc đờng thẳng (d2) nên M(a; 10 −4 a
3 ) suy ra B(2a-4;
11−8 a
Toạ độ điểm B thoả mãn phơng trình đờng thẳng AB nên ta có:
3(2a-4)+ 11−8 a
3 -5=0 suy ra a=4 nên B(4;-7)
2,0
Từ đó: (AC): x-3y+5= 0
b Tìm điểm M trên đờng tròn sao cho P= MA2+ MB2 nhỏ nhất
Gọi K là trung điểm của AB ,suy ra K(5;-4) Khi đó:
P=
⃗MK −⃗KA ¿2
⃗ MK+⃗ KA ¿2+ ¿
⃗ MB+⃗ KB¿2=¿
⃗ MK+⃗ KA ¿2+ ¿
⃗ MA 2
+⃗ MB 2
=¿
=2MK2 + KA2 +KB2
Nên P nhỏ nnhất khi và chỉ khi MK nhỏ nhất hay I, M, Kthẳng
hàng( I là tâm đờng tròn)
1,0
Ta có (IK):4x+3y-8=0 Toạ độ điểm M là nghiệm của hệ :
{x2+4 x − 3 y −8=0 y2− x − 4 y −2=0
Hệ này có 2 nghiệm (2;0) và (-1;4), tơng ứng với 2 điểm :
M1(2,0), M2(-1;4)
Nhận thấy M1K<M2K nên điểm M thoã mãn bài toán là: M(2;0)
1,0
đề thi chọn học sinh giỏi trờng thpt lê văn hu
Môn: Toán- khối 10
Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề)
Câu1:(2điểm) Giả sử hệ phơng trình sau có nghiệm
{ax + by=c bx +cy=a
cx +ay=b
Chứng minh rằng: a3+b3+c3= 3abc
Trang 4Câu 2:(5điểm) Cho hàm số: y= x2−2 x − 2|x −m| + 1
a Lập bảng biến thiên và vẽ đồ thị hàm số ứng với m=1
b Tìm m để phơng trình: x2−2 x − 2|x −m| +1 =0 có ba nghiệm phân biệt
Câu3: (6 điểm) Giải các phơng trình, hệ phơng trình và bất phơng trình sau
a { x2− 4 xy +x +2 y=0
x4− 8 x2 y +3 x2
+4 y2 =0
b x4+2x3+2x2-2x+1=(x3+x) √1 − x2
x
c (4x-3) √x2−3 x+ 4 ≥ 8 x − 6
Câu 4: (2 điểm) Cho x, y, z >0 thoả mãn: {x + y +z=9 x ≥ 5
x + y ≥ 8
Chứng minh rằng: xyz 15
Câu5: (5 điểm)
a Trong mặt phẳng toạ độ (0xy) Viết phơng trình các cạnh của tam giác ABC biết C(4; 3) , đờng phân giác trong và đờng trung tuyến kẻ từ A của tam giác
có phơng trình lần lợt là: x+2y-5=0 và 4x+3y-10=0
b Trong mặt phẳng toạ độ cho đờng tròn (C) có phơng trình :
x2+y2-x-4y-2=0
Và các điểm A(3; -5), B(7; -3) Tìm toạ độ các diểm M trên đờng tròn (C) sao choP= MA2+MB2 đạt giá trị nhỏ nhất
Hết
(Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm)