Bài giảng kinh tế lượng

1.2.1 Phân tích hồi quyChương 1 §1.2 Các KN cơ bản của kinh tế lượng Nghiên cứu mối liên hệ phụ thuộc giữa giá trị của một biến Y - gọi là biến phụ thuộc hay biến được giải thích với gi

Chương 1 MỞ ĐẦU

1.1.1 Khái niệm

Chương 1

§1.1 Kinh tế lượng là gì

Tiếng anh: econometrics – đo lường kinh tế

Là môn học được hình thành và phát triển trên

cơ sở 3 ngành khoa học khác: kinh tế học,thống kê học và toán học

1.1.2 Nội dung nghiên cứu của Kinh tế lượng

Chương 1

§1.1 Kinh tế lượng là gì

Đo lường mức độ ảnh hưởng của các biến kinh

tế này đến các biến kinh tế khác

Thiết lập các mô hình toán học mô tả mối quan

hệ giữa các đại lượng kinh tế (biến kinh tế)

Dựa vào các mô hình toán học để dự báo cáchiện tượng kinh tế

1.1.3 Phương pháp luận của Kinh tế lượng

Chương 1

§1.1 Kinh tế lượng là gì

2 Thiết lập các mô hình toán học để mô tả mốiquan hệ giữa các biến kinh tế

1 Dựa vào lý thuyết kinh tế để đưa ra giả thiết

về mối quan hệ giữa các biến kinh tế quan tâm

3 Ước lượng các tham số của mô hình đã đưa

Chương 1

§1.1 Kinh tế lượng là gì

4 Phân tích kết quả: đánh giá độ tin cậy vàkiểm định tính đúng đắn, chính xác của cácước lượng đã nhận được

Chương 1

§1.1 Kinh tế lượng là gì

5 Dự báo: sử dụng các mô hình đã xây dựngđược để dự báo các hiện tượng kinh tế hoặcgiá trị của các biến kinh tế mà ta quan tâm dướiảnh hưởng của các biến kinh tế khác

Chương 1

§1.1 Kinh tế lượng là gì

6 Đề ra các chính sách mới phù hợp nhằm đạtđược mục tiêu đã định

1.2.1 Phân tích hồi quy

Chương 1

§1.2 Các KN cơ bản của kinh tế lượng

Nghiên cứu mối liên hệ phụ thuộc giữa giá trị

của một biến Y - gọi là biến phụ thuộc hay biến

được giải thích với giá trị của một hoặc nhiều

biến khác X j (j=1, ,m) – các biến này gọi là các

biến độc lập hay biến giải thích

Ta thường giả thiết

Chương 1

§1.2 Các KN cơ bản của kinh tế lượng

Biến phụ thuộc Y là biến ngẫu nhiên, có quy

luật phân phối xác suất xác định

Các biến độc lập X j không phải là biến ngẫu nhiên, giá trị của chúng là xác định

Phân tích hồi quy giúp ta:

Chương 1

§1.2 Các KN cơ bản của kinh tế lượng

-Ước lượng giá trị của biến phụ thuộc Y khi đã biết giá trị của (các) biến độc lập Xj

- Kiểm định giả thiết về sự phụ thuộc

- Dự báo giá trị trung bình hoặc cá biệt của biến phụ thuộc khi đã biết giá trị của (các) biến độc

1.2.2 Mô hình hồi quy tổng thể và mô hình hồi quy mẫu

) /

Nếu (1.1) biểu diễn mối quan hệ giữa biến phụ

thuộc Y và một biến giải thích X thì (1.1) được

gọi là mô hình hồi quy đơn hay mô hình hồi quy

2 biến

Chương 1

§1.2 Các KN cơ bản của kinh tế lượng

Nếu số biến giải thích nhiều hơn 1 thì (1.1)được gọi là mô hình hồi quy bội (hồi quy nhiềubiến)

Chương 1

§1.2 Các KN cơ bản của kinh tế lượng

( 1.2 )

là ước lượng của E(Y / X ji )

là ước lượng của f

Mô hình hồi quy mẫu (hàm hồi quy mẫu - SRF)

có thể được biểu diễn như sau

)(

1.2.3 Sai số ngẫu nhiên

1.2.3 Sai số ngẫu nhiên

Chương 2

MÔ HÌNH HỒI QUY HAI BIẾN

2.2 Các giả thiết cơ bản của MHHQ hai biến

Chương 2

MÔ HÌNH HỒI QUY HAI BIẾN

2.1 Phương pháp bình phương nhỏ nhất

2.3 Ước lượng và kiểm định GT về hệ số HQ

2.4 Phân tích phương sai và sự phù hợp của MH

2.5 Phân tích hồi quy và dự báo

2.1.1 Mô hình hồi quy hai biến

Chương 2

§2.1 Mô hình hồi quy hai biến và

phương pháp bình phương nhỏ nhất

)1.2

hệ số góc của biến giải thích

U : sai số ngẫu nhiên

Mô hình hồi quy mẫu xây dựng dựa trên mẫu ngẫu nhiên kích thước n:

Chương 2

§2.1 Mô hình hồi quy hai biến và

phương pháp bình phương nhỏ nhất

Trong đó:

ước lượng của Yi hoặc E(Y/Xi) ( )

ước lượng của hệ số hồi quy tổng thể ( j = 1,2 )

n

i  1 ,

)2.2(ˆ

2.1.2 Phương pháp bình phương nhỏ nhất (OLS)

Phương pháp OLS đòi hỏi các hệ số hồi quiđược xác định sao cho:

Chương 2

§2.1 Mô hình hồi quy hai biến và

phương pháp bình phương nhỏ nhất

Các hệ số , nhận được từ (2.3) gọi là cácước lượng bình phương nhỏ nhất của ,

) 3 2 ( min

Khai triển tổng bình phương các phần dư ta có:

Khi đó nhỏ nhất khi , là nghiệmcủa hệ phương trình sau:

ˆ(1  2

f

)4.2(0

ˆ

0ˆ

Đạo hàm và khai triển ta được:

( ˆ

ˆ 2

0 )

1 ( ˆ

ˆ 2

2 1

2 1

i i

i

i i

X X

Y

X Y

( ˆ

ˆ

ˆ ˆ

2 2

1

2 1

i i

Y X X

X

Y X

Hệ (2.5) có nghiệm:

2 2

i i

i i

X X

n

X Y

X Y

Chương 2

§2.1 Mô hình hồi quy hai biến và

phương pháp bình phương nhỏ nhấtĐặt

Ta được:

) 7 2 ( ˆ

ˆ

2 2

x y



VÍ DỤ 2.1

Theo dõi thu nhập hàng tháng và mức chi

về hàng thực phẩm của 8 gia đình có số thành viên như nhau, ta có số liệu sau (đơn vị: triệu đồng)

Trong đó:

đình thứ i.

VÍ DỤ 2.1

ˆˆ

ˆ

Dựa vào bảng số liệu trên và phương pháp OLS hãy xây dựng hàm hồi qui mẫu:

95 ,

8 8

6 , 71

34 ,

2 8

7 , 18

Theo công thức (2.6), (2.7) ta thu được:

169 ,

0 42

, 244

35 , 41 ˆ

0 95

, 8

* 169 , 0 34 , 2 ˆ

ˆ

2

1  Y   X   



Ta có hàm hồi qui mẫu:

0

ˆ

2 

1 triệu đồng thì mức chi trung bình hàng tháng cho hàng thực phẩm của gia đình tăng lên khoảng 169 ngàn đồng.

2.1.3 Các tính chất của ước lượng BPNN

(Y X

1 Đường hồi quy mẫu đi qua điểm trung bìnhmẫu , tức là:

theo hàm hồi quy mẫu bằng giá trị trung bình của biến phụ thuộc, tức là:

i

Yˆ

3 Tổng các phần dư của hàm hồi quy mẫu bằng 0

4 Các phần dư ei không tương quan với

5 Các phần dư ei không tương quan với Xi

Chương 2

§2.2 Các giả thiết cơ bản của mô hình

hồi quy hai biến

Giả thiết 1 Biến giải thích X là phi ngẫu nhiên,

giá trị của nó là xác định

Giả thiết 2 Kỳ vọng toán của các sai số ngẫu

nghiên Ui bằng không

)(

0)

/(

) /

( )

)(

)/

Var i i   

Từ GT3 ta thấy :

Chương 2

§2.2 Các giả thiết cơ bản của mô hình

hồi quy hai biến

Giả thiết 4 Các sai số Ui không tương quan với nhau

) (

0 )

,

Giả thiết 5 Các sai số Ui và Xi không tương

quan với nhau

) (

) ,

Cov i i  0 

Với các giả thiết cơ bản 1-5 của OLS được thỏa mãn, ta có:

Chương 2

§2.2 Các giả thiết cơ bản của mô hình

hồi quy hai biến

Với :

) 8 2 ( )

ˆ

2 2

ˆ

2 2

X



) (

)

Độ lệch chuẩn của các hê số hồi qui mẫu :

Chương 2

§2.2 Các giả thiết cơ bản của mô hình hồi quy hai biến

) 10 2 ( )

ˆ (

2 2

2 2

ˆ

2 2

2 2

i

x n

X x

n

X

( 2 ˆ

2 2

Định lý Gauss – Markov: Với các giả thiết củaphương pháp bình phương nhỏ nhất thì các ướclượng bình phương nhỏ nhất là các ước lượngtuyến tính, không chệch và có phương sai nhỏnhất trong lớp các ước lượng tuyến tính, không

Chương 2

§2.2 Các giả thiết cơ bản của mô hình

hồi quy hai biến

j

ˆ

) 2 , 1 ( j

j



i n



2

2 

ˆ )  (

E

) (

) ˆ



2



~ N  2

U i

Với các giả thiết 1-6 mô hình hồi qui 2

biến (2.1) được gọi là MHHQTT cổ điển

Chương 2

§2.2 Các giả thiết cơ bản của mô hình

hồi quy hai biến

Với giả thiết 1-6 của MHHQTT cổ điển, ta có:

)) ˆ ( ,

(

~ ˆ

1 1 N 1 Var 1

)) ˆ ( ,

(

~ ˆ

.

2 2 N 2 Var 2

) 2 (

~

ˆ ) 2

(

2 2

(

~

4 Y i N 1  2X i  2

lượng hiệu quả

2

1 

ˆ, ˆ 1,2

Xét MHHQTT cổ điển và hàm hồi quy mẫu :

Chương 2

§2.3 Khoảng tin cậy và kiểm định giả

thuyết về các hệ số hồi quy

) 1 2

Từ giả thiết 6 về phân phối chuẩn của sai số

ngẫu nhiên, có thể suy ra:

) 2 , 1 (

)) ˆ ( ,

(

~

j j



2.3.1 Khoảng tin cậy của các hệ số hồi quy

Chương 2

§2.3 Khoảng tin cậy và kiểm định giả

thuyết về các hệ số hồi quy

) 2 , 1 (

) 2 (

~ ) ˆ (

( )

ˆ (

ˆ

2

n

t se

P

j

j j

2 2

j j

j j

2 2

j j

2.3.2 Kiểm định giả thuyết về các hệ số HQ

Chương 2

§2.3 Khoảng tin cậy và kiểm định giả

thuyết về các hệ số hồi quy

Giả sử với mức ý nghĩa  cho trước ta cần kiểm định giả thuyết:

( :

:

*

*

* 1

* 0

j j

j j

j j

j j

j j

2.3.3 Khoảng tin cậy và kiểm định giả thuyết

về phương sai của sai số ngẫu nhiên

Chương 2

§2.3 Khoảng tin cậy và kiểm định giả

thuyết về các hệ số hồi quy

Ta có: ( 22) ˆ ~ 2( 2 )

2 2

2

2 2

2 2

2 2

2

ˆ ) 2 (

ˆ ) 2

P

Khoảng tin cậy của σ2 :

2 2

2

2

2 2

Với mức ý nghĩa  ta cần kiểm định bài toán:

( :

:

2 0

2 2

0

2 2

0

2 1

2 0

2 0

2 0

2

2 0

Chương 2

§2.3 Khoảng tin cậy và kiểm định giả

thuyết về các hệ số hồi quy

2 2 1

2 2

Xét hàm hồi quy tổng thể và hàm hồi quy mẫu :

) 2 2 ( ˆ

2 1

2 ˆ)

2

)(

Định nghĩa: Hệ số xác định r2 được định nghĩa như sau:

Tính chất: 0  r2  1

Chương 2

§2.4 Phân tích phương sai và sự phù

hợp của mô hình

- Nếu r2 = 1, hàm HQ có thể coi là hoàn hảo

- Nếu r2 = 0, hàm HQ đưa ra là không phù hợp

Vì thế r2 được dùng làm thước đo mức độ phù hợpcủa hàm hồi quy

2 2

2 2

2

i

i i

i i i

i

y

x x

y x y

x TSS

ESS

 

) 14 2

(

2 2

2 2

i i

y x

y x r

Định nghĩa 2: Hệ số tương quan r được xác định:

ESS r

r  2   1 

Tính chất của hệ số tương quan :

Chương 2

§2.4 Phân tích phương sai và sự phù

hợp của mô hình

1 -1≤ r ≤ 1 (dấu của r chính là dấu của β2 )

2 r(X,Y) = r(Y,X) (tính đối xứng)

4 Nếu X,Y độc lập thì r(X,Y) = 0

Y

b aX

X

*

*

3 Nếu ac>0 và thì r(X*,Y*) = r(X,Y)

5 Hệ số tương quan chỉ mức độ phụ thuộc

tuyến tính giữa X và Y

2.4.2 Kiểm định sự phù hợp của mô hình

0 :

2 1

2 0



 H

0 :

2 1

2 0

r H

r H

Để kiểm định giả thuyết này ta chọn TCKĐ:

1

2

Theo nguyên lý xác suất nhỏ ta có :

Xét MHHQTT cổ điển và hàm hồi quy mẫu :

) 2 2 ( ˆ

§2.5 Phân tích hồi quy và dự báo

Vấn đề đặt ra: cần dự báo giá trị trung bình E(Y/X0) xà giá trị cá biệt Y0 khi X=X0

Khi X = X0 ta có:

Chương 2

§2.5 Phân tích hồi quy và dự báo

0 2 1

2 2

2 0

2 0

) (

1 ˆ

) (

1 )

ˆ (

i

X X

n x

X X

2 2

2 0

2 0

0

) (

1 1

ˆ

) (

1 1

)

ˆ (

i

X X

n x

X X

n

Y Y

2.5.1 Dự báo giá trị trung bình :

Chương 2

§2.5 Phân tích hồi quy và dự báo

) (

~ )

ˆ (

) /





Y se

X Y E

Y T

Xây dựng thống kê:

Chương 2

§2.5 Phân tích hồi quy và dự báo

Ta có khoảng tin cậy (1-) của E(Y/X0):

Yˆ0  t  /2(n  2).se(Yˆ0) ; Yˆ0  t  /2(n  2).se(Yˆ0 )

P

Chọn phân vị t  /2(n  2 )

2.5.2 Dự báo giá trị cá biệt :

Chương 2

§2.5 Phân tích hồi quy và dự báo

) 2 (

~ ) ˆ (

ˆ

0 0

0 0

se

Y

Y T

Xây dựng thống kê:

Chương 2

§2.5 Phân tích hồi quy và dự báo

Ta có khoảng tin cậy (1-) của Y0:

Yˆ0  t  /2(n  2).se(Y0 Yˆ0 ) ; Yˆ0  t  /2 (n  2).se(Y0 Yˆ0 )

P

Chọn phân vị t  /2(n  2 )

Chương 3

MÔ HÌNH HỒI QUY NHIỀU BIẾN

3.1 Mô hình hồi quy nhiều biến

3.2 Phương pháp bình phương nhỏ nhất

3.3 Ước lượng và kiểm định giả thiết

3.4 Phân tích hồi quy và dự báo

Chương 3

MÔ HÌNH HỒI QUY NHIỀU BIẾN

3.1.1 Mô hình hồi quy nhiều biến

Chương 3

§3.1 Mô hình hồi quy nhiều biến và

phương pháp bình phương nhỏ nhất

)1.3(

3 3 2

Mô hình hồi quy mẫu xây dựng dựa trên mẫu

ngẫu nhiên kích thước n

n

i  1 ,

)2.3(

ˆ

ˆˆ

ˆ

ˆ

3 3 2

k k

X X

X

X X

X

X X

X X

1

2 32

22

1 31

21

) 3 3 ( X

Y    U

Tương tự, nếu ta ký hiệu

ˆ

ˆ X

Y ˆ  

3.1.2 Các giả thiết cơ bản của MHHQ nhiều biến

)

()

.(

),

cov(

2

j i

j

i U

U E U

)(

0)

/(

)

3 3 2

ˆ

ˆ ˆ

ˆ

ˆ

3 3 2

Y    U

)4.3(

ˆX

ˆ ˆ

1 2

1 2

1

n n

Y Y

Y

Y Y

e e e

Theo phương pháp bình phương nhỏ nhất, khi xây dựng hàm hồi quy mẫu, các hệ số hồi quy mẫu phải được xác định sao cho tổng bình phương các phần dư đạt giá trị nhỏ nhất, tức là:

ˆ

e i  T

 2

0 ˆ

)

( min

T i





Công thức (3.5) là công thức xác định hệ số hồiquy mẫu theo phương pháp bình phương nhỏnhất và các ước lượng được xác định theocông thức (3.5) được gọi là các ước lượng bìnhphương nhỏ nhất.

Ma trận XTX được xác định như sau:

k k

kn k

k

n

X X

X X

X X

X X

X

X X

1 1

X X

2

2 22

1 21

2 1

2 22

21 T

2

2 3

2

2 2 2

3 2

ki i

ki ki

ki i i

i i

i

ki i

i

X X

X X

X X

X X X

X X

X

X X

X n

i i i

n kn

k k

n

X Y

X Y Y

Y

Y Y

X X

X

X X

1 1

Y

1

2 1

2 22

21 T

Nghiên cứu mối quan hệ phụ thuộc giữa doanh

số bán ra với chi phí dành cho quảng cáo và

giá bán, người ta thu thập được các số liệu sau đây tại 10 cửa hàng cùng kinh doanh một loại mặt hàng:

VÍ DỤ 3.1

Xi 8 9 10 9 10 12 13 14 14 15

Trong đó:

Yi: doanh số bán ra trong một tháng của cửa

hàng thứ i (triệu đồng)

Xi: chi phí dành cho quảng cáo trong một tháng

của cửa hàng thứ i (triệu đồng)

Zi: giá bán của cửa hàng thứ i

(ngàn đồng/1 đv sp)Bằng phương pháp bình phương nhỏ nhất và dựa vào số liệu trên, hãy xây dựng hàm hồi quy mẫu dưới dạng sau:

Đáp số:

1082 12746 7766

  1

67740 2106 5964

2106 81 162 1944

2106 81 162 12746 6 08333 1944

: Khi giá bán không đổi, chi phí dành cho quảng cáo tăng lên 1 triệu đồng, thì doanh số bán ra trung bình của cửa hàng tăng lên 6.08333 triệu đồng.

: Khi chi phí dành cho quảng cáo không đổi, giá bán tăng lên 1ngàn đồng/ 1 đv sản phẩm, thì doanh số bán ra trung bình của cửa hàng giảm xuống 4.2037 triệu đồng.

Ý nghĩa của các hệ số hồi quy

3.1.4 Các tính chất của ước lượng BPNN

1 Đường hồi quy mẫu đi qua điểm trung bình mẫu , tức là:

, (Y X 2 X k



) , 2 (

1

k j

X

2 Giá trị trung bình của các giá trị được xác định theo hàm hồi quy mẫu bằng giá trị trung bình của biến phụ thuộc, tức là:

3 Tổng các phần dư của hàm hồi quy mẫu bằng 0:

4 Các phần dư ei không tương quan với :

5 Các phần dư ei không tương quan với :

X



6 Với các giả thiết của mô hình hồi quy tuyến

tính cổ điển thì các ước lượng bình phương nhỏ nhất là các ước lượng hiệu quả của

Xét hàm hồi quy tổng thể và hàm hồi quy mẫu

Chương 3

§3.2 Khoảng tin cậy và kiểm định giả

thuyết về các hệ số hồi quy

) 1 3 (

3 3 2

ˆ

ˆ ˆ

ˆ

ˆ

3 3 2

2

Y         

3.2.1 Ma trận hiệp phương sai của hệ số hồi quy mẫu

Chương 3

§3.2 Khoảng tin cậy và kiểm định giả

thuyết về các hệ số hồi quy

Ma trận hiệp phương sai của hệ số hồi quy

mẫu, kí hiệu , là ma trận được xác định như sau:

) 6 3 ( ]

)

ˆ )(

ˆ [(

)

ˆ

) ˆ

Chương 3

§3.2 Khoảng tin cậy và kiểm định giả

thuyết về các hệ số hồi quy

) 7 3 ( )

ˆ (

) ˆ , ˆ cov(

) ˆ , ˆ cov(

) ˆ ( )

ˆ , ˆ cov(

) ˆ , ˆ cov(

) ˆ , ˆ cov(

) ˆ ( )

ˆ cov(

2 1

2 2

1 2

1 2

1 1

k

k k

Var

Var Var

Chương 3

§3.2 Khoảng tin cậy và kiểm định giả

thuyết về các hệ số hồi quy

Có thể chứng minh được rằng:

Do vậy ta có:

) 9 3 ( )

ˆ (

2

jj T

X X

) 8 3 ( )

( )

ˆ cov(    2 X T X 1

Chương 3

§3.2 Khoảng tin cậy và kiểm định giả

thuyết về các hệ số hồi quy

Trong thực hành khi sử dụng công thức (3.8) và(3.9), do phương sai chưa biết, nên người tathường thay bằng ước lượng không chệchcủa nó là:

) 10 3 ( ˆ

2 2

k n

Chương 3

§3.2 Khoảng tin cậy và kiểm định giả

thuyết về các hệ số hồi quy

Trong thực hành người ta thường sử dụng

công thức sau đây để xác định :

Nếu khai triển công thức (3.11) ta được:

) 11 3 ( ˆ

2

Y X Y

Y e

3.2.2 Khoảng tin cậy của các hệ số hồi quy

Chương 3

§3.2 Khoảng tin cậy và kiểm định giả

thuyết về các hệ số hồi quy

Từ giả thiết 5 về phân phối chuẩn của sai số

ngẫu nhiên, có thể suy ra:

Do ta chưa biết mà phải thay bằng ước lượng không chệch của nó là , nên

) , 1 (

))

ˆ ( ,

(

~

j j

Chương 3

§3.2 Khoảng tin cậy và kiểm định giả

thuyết về các hệ số hồi quy

) , 1 (

) (

~ ) ˆ (

ˆ

k j

k n

T se

T

j

j j

( )

ˆ (

ˆ

2

k n

t se

P

j

j j

2 2

j j

j j

2 2

j j

j

3.2.3 Kiểm định giả thuyết về các hệ số HQ

Chương 3

§3.2 Khoảng tin cậy và kiểm định giả

thuyết về các hệ số hồi quy

Giả sử với mức ý nghĩa  cho trước ta cần kiểm định giả thuyết:

( :

:

*

*

* 1

* 0

j j

j j

j j

j j

Chương 3

§3.2 Khoảng tin cậy và kiểm định giả

thuyết về các hệ số hồi quy

Ta xây dựng tiêu chuẩn kiểm định

)

ˆ (

j

j j

Chương 3

§3.2 Khoảng tin cậy và kiểm định giả

thuyết về các hệ số hồi quy

3.3.1 Hệ số xác định bội

Chương 3

§3.3 Phân tích phương sai và kiểm định

giả thuyết đồng thời

Xét hàm hồi quy tổng thể và hàm hồi quy mẫu:

) 1 3 (

3 3 2

ˆ

ˆ ˆ

ˆ

ˆ

3 3 2

2

Y         

Tương tự trường hợp hồi quy 2 biến ta có hệ thức sau:

Chương 3

§3.3 Phân tích phương sai và kiểm định

giả thuyết đồng thời

Định nghĩa 1: Hệ số xác định bội R2

được định nghĩa như sau:

R2 =

Chương 3

§3.3 Phân tích phương sai và kiểm định

giả thuyết đồng thời

1

Trong thực hành ta có thể sử dụng công thức:

Chương 3

§3.3 Phân tích phương sai và kiểm định

giả thuyết đồng thời

2 T

2 T

T 2

Y n Y

Y

Y n Y

X

ˆ R

2 1

2 ˆ Y ˆ Y X ˆ Y X n Y

R    i    i i   k  i ki 

Nếu khai triển ta được