Giáo trình vận trù học

MỤC LỤC Trang LỜI NÓI ðẦU 7 CHƯƠNG I. MỞ ðẦU 9 1. Giới thiệu vềVận trù học / Khoa học quản lí 9 1.1. Vai trò của Vận trù học 9 1.2. Các bước áp dụng Vận trù học 10 1.3. Quá trình phát triển của Vận trù học 11 2. Các ứng dụng và phương pháp ñịnh lượng cơbản của Vận trù học 12 2.1. Một số ứng dụng 12 2.2. Các phương pháp ñịnh lượng 14 2.3. Hệthông tin quản lí 14 CHƯƠNG II. MỘT SỐMÔ HÌNH VÀ PHƯƠNG PHÁP TỐI ƯU 16 1. Mô hình quy hoạch tuyến tính 16 1.1. Phát biểu mô hình quy hoạch tuyến tính 16 1.2. Phương pháp ñơn hình giải BTQHTT dạng chính tắc 19 1.3. Phương pháp ñơn hình hai pha giải BTQHTT dạng tổng quát 23 1.4. Phương pháp cắt Gomory giải BTQHTT nguyên 29 1.5. Một số ứng dụng của phương pháp ñơn hình 33 2. Mô hình quy hoạch tuyến tính ña mục tiêu 35 2.1. Các khái niệm cơbản 35 2.2. Phương pháp tổng quát giải BTQHTT ña mục tiêu 37 2.3. Phương pháp thoảdụng mờtương tác giải BTQHTT ña mục tiêu 39 2.4. Một ứng dụng của mô hình quy hoạch tuyến tính ña mục tiêu 44 3. Mô hình tối ưu phi tuyến ñơn và ña mục tiêu 45 3.1. Một sốkhái niệm cơbản 45 3.2. Một sốphương pháp giải bài toán tối ưu phi tuyến ñơn mục tiêu và ứng dụng 47 3.3. Một số phương pháp giải bài toán tối ưu phi tuyến ña mục tiêu và ứng dụng 51 BÀI TẬP CHƯƠNG II 54 CHƯƠNG III. CÁC MÔ HÌNH MẠNG 57 1. Mô hình mạng vận tải 57 1.1. Phát biểu bài toán vận tải 57 1.2. Tạo phương án vận tải xuất phát 58 1.3. Phương pháp phân phối giải bài toán vận tải 60 1.4. Phương pháp phân phối cải biên giải bài toán vận tải 62 2. Mô hình mạng PERT 66 2.1. Các khái niệm cơbản vềPERT 66 2.2. Sơ ñồPERT với sốliệu ngẫu nhiên 71 2.3. ðiều chỉnh dựán khi kếhoạch một sốhoạt ñộng bịphá vỡ 73 2.4. Tính thời gian rút gọn tối ưu bằng phương pháp ñơn hình 74 2.5. Áp dụng mạng PERT trong phân tích chi phí và quản lí tài chính dựán 75 3. Một sốmô hình mạng khác 77 3.1. Bài toán cây khung tối thiểu 77 3.2. Bài toán tìm ñường ñi ngắn nhất và quy hoạch ñộng 79 3.3. Mô hình mạng trung chuyển hàng 86 3.4. Bài toán tìm luồng cực ñại 88 BÀI TẬP CHƯƠNG III 90 CHƯƠNG IV. GIỚI THIỆU LÍ THUYẾT MÔ PHỎNG VÀ MÔ HÌNH HÀNG CHỜ 96 1. Mục ñích và các công cụcủa mô phỏng 96 1.1. Khái niệm vềmô phỏng ngẫu nhiên 96 1.2. Các công cụchủyếu của mô phỏng 97 1.3. Mô phỏng một sốphân phối xác suất 98 2. Áp dụng mô phỏng ngẫu nhiên 101 2.1. Vai trò của phương pháp mô phỏng 101 2.2. Các bước cần tiến hành khi áp dụng mô phỏng 102 2.3. Một sốví dụvềáp dụng phương pháp mô phỏng 102 3. Một sốvấn ñềvềmô hình hàng chờ 112 3.1. Một sốyếu tốcơbản của hệthống hàng chờ 112 Trường ðại học Nông nghiệp Hà Nội – Giáo trình Vận trù học ………………………………..........4 3.2. Các chỉsốcần khảo sát 115 3.3. Tính toán các chỉsố 116 3.4. Áp dụng mô phỏng cho một sốhệthống hàng chờ 118 BÀI TẬP CHƯƠNG IV 127 CHƯƠNG V. PHÂN TÍCH MARKOV VÀ ỨNG DỤNG 131 1. Các khái niệm cơbản vềxích Markov 131 1.1. Một số ñịnh nghĩa 131 1.2. Ma trận xác suất chuyển trạng thái và phân phối dừng 132 1.3. Các tính chất và ñịnh lí 137 2. Một số ứng dụng của phân tích Markov 138 2.1. Tìm cân bằng thịphần 138 2.2. Chính sách thay thếvật tưthiết bị 138 2.3. Phân tích Markov trong dựbáo thất thu cho các hợp ñồng thực hiện trước 140 2.4. Tìm phân phối giới hạn cho một hệthống kĩthuật 142 2.5. 2.5. Một ứng dụng của quá trình sinh−tửcho hệthống hàngchờ 147 3. Mô phỏng xích Markov 149 3.1. Mô phỏng xích Markov thời gian rời rạc 149 3.2. Mô phỏng xích Markov thời gian liên tục 151 BÀI TẬP CHƯƠNG V 152 CHƯƠNG VI. MỘT SỐMÔ HÌNH RA QUYẾT ðỊNH VÀ ỨNG DỤNG 158 1. Ra quyết ñịnh trong môi trường bất ñịnh 158 1.1. Một sốkhái niệm cơbản 158 1.2. Ra quyết ñịnh trong môi trường bất ñịnh nghiêm ngặt 160 1.3. Ra quyết ñịnh trong môi trường rủi ro 163 2. Phân tích quyết ñịnh Bayes 167 2.1. Phân tích quyết ñịnh Bayes dựa trên xác suất tiên nghiệm 167 2.2. Phân tích quyết ñịnh Bayes dựa trên xác suất hậu nghiệm 167 3. Cây quyết ñịnh và các bài toán quyết ñịnh nhiều giai ñoạn 169 3.1. Bài toán quyết ñịnh nhiều giai ñoạn 169 3.2. Phân tích Bayes sửdụng cây quyết ñịnh 171 4. Ra quyết ñịnh dựa trên tiêu chuẩn kì vọng thỏa dụng tối ña 174 4.1. Khái niệm hàm thỏa dụng 174 4.2. Tiêu chuẩn kì vọng thỏa dụng tối ña 175 5. Lí thuyết trò chơi và ứng dụng 179 5.1. Một sốkhái niệm cơbản của lí thuyết trò chơi 179 5.2. Trò chơi hai người – tổng không với chiến lược thuần nhất 181 5.3. Trò chơi hai người – tổng không với chiến lược hỗn hợp 182 5.4. Lời giải bằng ñồthịcho các trò chơi cỡ2×N hoặc M×2 186 5.5. Giới thiệu vềtrò chơi nhiều người 188 BÀI TẬP CHƯƠNG VI 190 CHƯƠNG VII. CÁC MÔ HÌNH QUẢN LÍ HÀNG DỰTRỮ 193 1. Các khái niệm cơbản 193 1.1. Các chức năng của việc dựtrữhàng 193 1.2. Hệthống quản lí hàng dựtrữtheo phân loại giá trịABC 193 1.3. Mô hình quản lí hàng dựtrữtổng quát 194 2. Một sốmô hình tất ñịnh trong quản lí hàng dựtrữ 196 2.1. Mô hình tĩnh Wilson với một mặt hàng 196 2.2. Mô hình tĩnh một mặt hàng với dựtrữ ñệm 199 2.3. Mô hình tĩnh một mặt hàng với giá chiết khấu 200 2.4. Mô hình tĩnh nhiều mặt hàng với diện tích kho hạn chế 202 2.5. Mô hình ñộng một mặt hàng N chu kì 204 3. Mô hình lập kếhoạch sản xuất N chu kì 207 3.1. Mô hình lập kếhoạch không cho phép nợhàng 208 3.2. Mô hình lập kếhoạch cho phép nợhàng 209 4. Một sốmô hình xác suất trong quản lí hàng dựtrữ 210 4.1. Mô hình xác suất với chế ñộbáo cáo theo dõi thường xuyên 210 4.2. Mô hình xác suất một chu kì 213 4.3. Mô hình xác suất nhiều chu kì 218 BÀI TẬP CHƯƠNG VII 224 PHẦN PHỤLỤC 229 TÀI LIỆU THAM KHẢO 234

BỘ GIÁO DỤC VÀ ðÀO TẠO TRƯỜNG ðẠI HỌC NÔNG NGHIỆP HÀ NỘI

PGS TS NGUYỄN HẢI THANH

VẬN TRÙ HỌC

Giáo trình cho ngành Tin học và Công nghệ thông tin

Hà Nội −−−− 2008

Trường ðại học Nông nghiệp Hà Nội – Giáo trình Vận trù học ……… 2

1.3 Quá trình phát triển của Vận trù học 11

2 Các ứng dụng và phương pháp ñịnh lượng cơ bản của Vận trù học 12

1.1 Phát biểu mô hình quy hoạch tuyến tính 16 1.2 Phương pháp ñơn hình giải BTQHTT dạng chính tắc 19 1.3 Phương pháp ñơn hình hai pha giải BTQHTT

1.4 Phương pháp cắt Gomory giải BTQHTT nguyên 29

1.5 Một số ứng dụng của phương pháp ñơn hình 33

2.2 Phương pháp tổng quát giải BTQHTT ña mục tiêu 37 2.3 Phương pháp thoả dụng mờ tương tác giải BTQHTT

2.4 Một ứng dụng của mô hình quy hoạch tuyến tính ña mục tiêu 44

3.2 Một số phương pháp giải bài toán tối ưu phi tuyến

3.3 Một số phương pháp giải bài toán tối ưu phi tuyến

BÀI TẬP CHƯƠNG II 54

1.3 Phương pháp phân phối giải bài toán vận tải 60 1.4 Phương pháp phân phối cải biên giải bài toán vận tải 62

2.2 Sơ ñồ PERT với số liệu ngẫu nhiên 71 2.3 ðiều chỉnh dự án khi kế hoạch một số hoạt ñộng bị phá vỡ 73 2.4 Tính thời gian rút gọn tối ưu bằng phương pháp ñơn hình 74 2.5 Áp dụng mạng PERT trong phân tích chi phí và

3.2 Bài toán tìm ñường ñi ngắn nhất và quy hoạch ñộng 79

CHƯƠNG IV GIỚI THIỆU LÍ THUYẾT MÔ PHỎNG VÀ

1.3 Mô phỏng một số phân phối xác suất 98

2.1 Vai trò của phương pháp mô phỏng 101 2.2 Các bước cần tiến hành khi áp dụng mô phỏng 102 2.3 Một số ví dụ về áp dụng phương pháp mô phỏng 102

3.1 Một số yếu tố cơ bản của hệ thống hàng chờ 112

Trường ðại học Nông nghiệp Hà Nội – Giáo trình Vận trù học ……… 4

3.4 Áp dụng mô phỏng cho một số hệ thống hàng chờ 118

CHƯƠNG VI MỘT SỐ MÔ HÌNH RA QUYẾT ðỊNH VÀ ỨNG DỤNG 158

1.2 Ra quyết ñịnh trong môi trường bất ñịnh nghiêm ngặt 160 1.3 Ra quyết ñịnh trong môi trường rủi ro 163

2.1 Phân tích quyết ñịnh Bayes dựa trên xác suất tiên nghiệm 167 2.2 Phân tích quyết ñịnh Bayes dựa trên xác suất hậu nghiệm 167

3 Cây quyết ñịnh và các bài toán quyết ñịnh nhiều giai ñoạn 169

3.1 Bài toán quyết ñịnh nhiều giai ñoạn 169 3.2 Phân tích Bayes sử dụng cây quyết ñịnh 171

4 Ra quyết ñịnh dựa trên tiêu chuẩn kì vọng thỏa dụng tối ña 174

4.1 Khái niệm hàm thỏa dụng 174 4.2 Tiêu chuẩn kì vọng thỏa dụng tối ña 175

5.1 Một số khái niệm cơ bản của lí thuyết trò chơi 179 5.2 Trò chơi hai người – tổng không với chiến lược thuần nhất 181 5.3 Trò chơi hai người – tổng không với chiến lược hỗn hợp 182 5.4 Lời giải bằng ñồ thị cho các trò chơi cỡ 2×N hoặc M×2 186 5.5 Giới thiệu về trò chơi nhiều người 188

1.1 Các chức năng của việc dự trữ hàng 193 1.2 Hệ thống quản lí hàng dự trữ theo phân loại giá trị ABC 193 1.3 Mô hình quản lí hàng dự trữ tổng quát 194

2 Một số mô hình tất ñịnh trong quản lí hàng dự trữ 196

2.1 Mô hình tĩnh Wilson với một mặt hàng 196 2.2 Mô hình tĩnh một mặt hàng với dự trữ ñệm 199 2.3 Mô hình tĩnh một mặt hàng với giá chiết khấu 200 2.4 Mô hình tĩnh nhiều mặt hàng với diện tích kho hạn chế 202 2.5 Mô hình ñộng một mặt hàng N chu kì 204

3.1 Mô hình lập kế hoạch không cho phép nợ hàng 208 3.2 Mô hình lập kế hoạch cho phép nợ hàng 209

4 Một số mô hình xác suất trong quản lí hàng dự trữ 210

4.1 Mô hình xác suất với chế ñộ báo cáo theo dõi thường xuyên 210

Trường ðại học Nông nghiệp Hà Nội – Giáo trình Vận trù học ……… 6

LỜI NÓI ðẦU

Vận trù học (Operations Research) ñược xem là một công cụ ñịnh lượng nền tảng của Khoa học quản lí mà trong ñó các phương pháp và kĩ thuật của Toán học và các công cụ tính toán, lưu trữ và xử lí dữ liệu của Tin học ñược áp dụng ñể mô hình hóa, phân tích và tìm ra lời giải cho các bài toán quyết ñịnh, nhằm hỗ trợ bộ máy quản lí

ñưa ra các quyết ñịnh hợp lí nhất Trên thế giới việc nghiên cứu và ứng dụng Vận trù

học ngày càng phát triển sâu rộng với nhiều tạp chí chuyên ngành nổi tiếng, môn Vận trù học ñược giảng dạy với thời lượng khá lớn bao gồm nhiều nội dung phong phú và cấp thiết trong nhiều chương trình ñào tạo ñại học và cao học

Hiện nay, những môn học trang bị kiến thức cơ sở về kinh tế - quản lí nói chung

và các phương pháp toán - tin ứng dụng trong mô hình hóa và phân tích các bài toán quyết ñịnh nói riêng ñược ñưa vào giảng dạy trong các chương trình ñào tạo ñại học trong và ngoài nước ðối với sinh viên các ngành Tin học, Công nghệ thông tin và Toán - Tin ứng dụng, khối kiến thức về kinh tế - quản lí là thực sự cần thiết cho các cương vị làm việc sau này, ñặc biệt là cương vị CIO (Chief Information Officer - Giám ñốc Thông tin) Trong chương trình ñào tạo ngành Tin học của Khoa Công nghệ thông tin, Trường ðại học Nông nghiệp Hà Nội, khối kiến thức trên bao gồm Tối

ưu hóa, Phân tích số liệu, Quản trị học, Các phương pháp toán kinh tế và Vận trù

học Giáo trình “Vận trù học” với thời lượng 60 tiết ñược biên soạn lần ñầu nhằm trước hết phục vụ việc dạy và học môn học này cho sinh viên năm thứ ba hoặc năm thứ tư ngành Tin học Hi vọng rằng, sau khi ra trường các kĩ sư Tin học sẽ áp dụng và triển khai các phương pháp vận trù học ñược một cách rộng rãi với nhiều hiệu quả thiết thực trong việc xây dựng các hệ thống thông tin quản lí và các phần mềm tính toán cho các bài toán quản lí, quản trị kinh doanh và kinh tế - công nghệ khác Qua giáo trình này, sinh viên cần nắm ñược một số mô hình vận trù học cơ bản, biết cách vận dụng các phương pháp và kĩ thuật toán học, các quy trình tính toán khoa học thích hợp ñể phân tích và xử lí các mô hình ñó Các chủ ñề trong giáo trình bao gồm: Một số mô hình tối ưu (Optimization Model) như các mô hình quy hoạch tuyến tính cũng như phi tuyến ñơn và ña mục tiêu ñược ñề cập tới trong Chương II Chương III giới thiệu về các mô hình mạng (Network Model) với các bài toán về mạng vận tải, mạng PERT, về quy hoạch ñộng áp dụng trong tìm ñường ñi ngắn nhất và bài toán tìm luồng cực ñại Một số ứng dụng của mô hình hàng chờ (Waiting Line Model)

và mô phỏng ngẫu nhiên (Stochastic Simulation) ñược trình bày trong Chương IV Chương V giới thiệu các khái niệm cơ bản và ứng dụng của xích Markov (Markov Chain) Chương VI là các kiến thức cơ sở của lí thuyết quyết ñịnh (Decision Theory) như các quy tắc ra quyết ñịnh trong các môi trường bất ñịnh và rủi ro, phân tích quyết

ñịnh Bayes, cây quyết ñịnh và lí thuyết trò chơi Chương VII trình bày về mô hình

quản lí hàng dự trữ (Inventory Management Model), một vấn ñề quan trọng phát sinh trong quản lí tài nguyên và nguồn lực của các doanh nghiệp ðây là các chủ ñề chủ yếu nhất của môn Vận trù học mà sinh viên các ngành Tin học, Công nghệ thông tin

và Toán - Tin ứng dụng tại các trường ñại học nước ngoài bắt buộc phải học Phần bài tập sau từng chương giúp sinh viên củng cố các kiến thức ñã học và thực hành áp dụng các quy trình tính toán khoa học Những sinh viên khá có thể tự học sâu thêm bằng cách thu thập tài liệu liên quan qua nhiều nguồn, ñặc biệt trên Internet và viết các phần mềm nhỏ

Giáo trình cũng có thể ñược lấy làm tài liệu tham khảo hay dạy và học các phương pháp toán ứng dụng hay mô hình hóa cho các chuyên ngành như: Quản lí ñất

ñai, Kinh tế nông nghiệp, Cơ ñiện và một số chuyên ngành quản lí − kinh tế − công nghệ khác ở bậc ñại học hoặc cao học

Một số tài liệu người học có thể tham khảo thêm là: Gillet B E., Introduction to Operations Research, McGraw Hill, New York, 1990; Taha H A., Operations Research, MacMillan Publishing Company, New York, 1989; Levin R I., Rubin D S

and Stinson J P. , Quantitative approaches to management, McGraw Hill, New York,

1986; Phan Quốc Khánh, Vận trù học, Nxb Giáo dục, 2004; Tạp chí Ứng dụng Toán học, Hội Ứng dụng Toán học Việt Nam, 2003 - 2007

Trong quá trình biên soạn, tuy tác giả rất cố gắng nhưng có lẽ không tránh khỏi sai sót Tác giả xin chân thành cảm ơn các ý kiến ñóng góp chỉnh sửa bản thảo bài giảng môn học của các ñồng nghiệp trong Khoa Công nghệ thông tin và sinh viên ngành Tin học các khóa K47, K48, K49, K50 của Trường ðại học Nông nghiệp Hà Nội và luôn mong muốn tiếp tục nhận ñược nhiều góp ý của các nhà khoa học, các giảng viên và sinh viên ñể cho giáo trình ñược hoàn chỉnh hơn, chính xác hơn và sinh

ñộng hơn

Hà Nội, ngày 10 tháng 10 năm 2008

Tác giả

Trường ðại học Nơng nghiệp Hà Nội – Giáo trình Vận trù học ……… 8

Chương I

MỞ ðẦU

1 GIỚI THIỆU VỀ VẬN TRÙ HỌC VÀ KHOA HỌC QUẢN LÍ

1.1 Vai trị của Vận trù học

Vận trù học (Operations Research − OR) là ngành học nghiên cứu về các hoạt động

hợp lí Việc tổ chức và tiến hành các hoạt động trong nhiều lĩnh vực như kinh tế, xã hội,

quốc phịng, kinh doanh, sản xuất, dịch vụ địi hỏi các nhà quản lí phải vận dụng một cách thích hợp các điều kiện cho phép để trù tính và đưa ra các quyết định

ðối với bộ máy quản lí các cấp trong các doanh nghiệp, tập đồn, cơng ti , ra quyết định chính là trách nhiệm then chốt nhất Quá trình ra quyết định được bắt đầu khi bộ máy quản lí phát hiện một vấn đề nào đĩ cần quan tâm tới Sau đĩ, cần xác định rõ vấn

đề, phát biểu mục tiêu phải hướng tới và các điều kiện hạn chế (cịn gọi là các điều kiện ràng buộc) cũng như tìm kiếm và đánh giá các phương án Cuối cùng, phải chọn ra một phương án hành động được coi là hợp lí hơn cả nhằm giải quyết vấn đề một cách tốt nhất Năng lực của bộ máy quản lí được thể hiện ở khả năng phát hiện vấn đề và giải quyết bài tốn quyết định phát sinh

Một quá trình ra quyết định chính là một quá trình phân tích và tổng hợp thơng tin,

cĩ thể cĩ hình thức định tính hay định lượng Với cách tiếp cận định tính, người quản lí

cĩ thể dựa vào các nhận định chủ quan và kinh nghiệm sẵn cĩ của mình để đưa ra quyết định Trong một số trường hợp, cách tiếp cận này cĩ tính “trực giác” nhưng cũng giúp đưa ra được quyết định đủ tốt Tuy nhiên, trong rất nhiều trường hợp khác, cách tiếp cận định lượng sẽ cĩ hiệu quả thật sự trong việc trợ giúp quá trình ra quyết định Cách tiếp cận định lượng thường được nhà quản lí thực hiện trong các trường hợp sau:

- Vấn đề đặt ra khá phức tạp bao gồm nhiều biến và do đĩ cần phải thiết lập mơ hình tốn học và sử dụng các cơng cụ định lượng để tìm ra được phương án giải quyết

- Các dữ liệu liên quan tới vấn đề cần khảo sát cĩ dạng dữ liệu số và mục tiêu cần hướng tới cĩ tính chất định lượng, chẳng hạn như cần nâng cao hay hạ thấp một chỉ số nào đấy

- Vấn đề đặt ra cĩ tính chất “lặp”, tức là quá trình giải quyết vấn đề cĩ thể bao gồm một số cơng đoạn/thủ tục lặp đi lặp lại nhiều lần và vì vậy, tiếp cận định lượng sẽ giúp người quản lí tiết kiệm thời gian cũng như chi phí

- Tiếp cận định lượng đã tỏ ra hữu hiệu trong một số tình huống tương tự hoặc khi người quản lí đã cĩ kinh nghiệm và thành cơng trong việc giải quyết các vấn đề tương

tự dựa trên tiếp cận định lượng

Có thể nói, Vận trù học là một công cụ ñịnh lượng nền tảng của Khoa học quản lí

(Management Science − MS), mà trong ñó các phương pháp và kĩ thuật của Toán học

cũng như các công cụ tính toán, lưu trữ và xử lí dữ liệu của Tin học ñược áp dụng ñể

mô hình hóa, phân tích và tìm ra lời giải cho các bài toán quyết ñịnh, nhằm hỗ trợ bộ máy quản lí ñưa ra ñưa ra ñược quyết ñịnh ñúng ñắn trong ñiều kiện nguồn lực và tài nguyên hạn chế Vì vậy, Vận trù học có một vai trò rất quan trọng trong việc thiết lập các kế hoạch dài hạn, phát triển các chiến lược chủ ñạo cũng như trong việc hỗ trợ các hoạt ñộng diễn ra hàng ngày trong nhiều lĩnh vực

Vận trù học là một ngành học vừa có tính khoa học vừa có tính nghệ thuật Với tư cách là một khoa học, Vận trù học nghiên cứu và thiết lập các mô hình toán học của các vấn ñề phát sinh từ thực tế cũng như các phương pháp toán học/các thuật giải ñể giải quyết mô hình ñặt ra Tuy nhiên, Vận trù học cũng là một nghệ thuật, vì rằng sự thành công của quá trình ra quyết ñịnh phụ thuộc phần lớn vào tính sáng tạo và năng lực của các nhà phân tích quyết ñịnh Việc thu thập số liệu, thiết lập mô hình và triển khai phương án tìm ñược trên thực tế phụ thuộc vào khả năng của chuyên gia hay nhóm chuyên gia làm Vận trù học trong việc khai thác ñược thông tin xác thực cũng như xây dựng ñược sự giao tiếp tin cậy với bộ máy quản lí

1.2 Các bước áp dụng Vận trù học

Các bước cơ bản khi áp dụng Vận trù học ñể thiết lập và giải quyết một mô hình phát sinh từ thực tế có thể ñược tóm lược như sau:

− Khảo sát thực tế và phát hiện vấn ñề Tại bước này, cần áp dụng và hoàn thiện

các kĩ năng như: biết lắng nghe, ñiều tra và khảo sát dữ liệu, biết phân tích các hoạt ñộng thực tế cũng như phân biệt ñược các yếu tố quan trọng với các chi tiết thứ yếu

− Phân tích vấn ñề và xây dựng mô hình Trước hết cần xác ñịnh rõ mục tiêu

nghiên cứu và ñịnh dạng rõ bài toán phát sinh và phương án giải quyết, từ ñó xác ñịnh các yếu tố liên quan mà nhà quản lí có thể kiểm soát ñược Nói cách khác, cần xác ñịnh mục tiêu và các ñiều kiện hạn chế/ñiều kiện ràng buộc dưới dạng ñịnh tính Sau

ñó lựa chọn các biến quyết ñịnh và xây dựng mô hình toán học phù hợp, phản ánh ñược thực tế khách quan

− Thu thập số liệu ñầu vào và xác ñịnh phương pháp giải quyết Căn cứ mô hình ñã

xây dựng ñược cần thu thập các số liệu ñầu vào cần thiết, ñộ tin cậy của số liệu ñầu vào ảnh hưởng rất ñáng kể tới kết quả ñầu ra của mô hình Với mô hình ñã xây dựng ñược cần tìm ra một phương pháp giải quyết thích hợp dựa trên các phương pháp ñã biết hoặc phát triển phương pháp mới

− Xác ñịnh quy trình giải/thuật giải và chọn lựa phương án hợp lí Có thể giải mô

hình bằng cách tính toán thông thường nhằm lựa chọn trong các phương án khả thi một hoặc một số phương án hợp lí hơn cả ðối với các mô hình lớn, gồm nhiều biến quyết ñịnh và nhiều ñiều kiện ràng buộc cần lập trình và giải mô hình trên máy tính

Trường đại học Nông nghiệp Hà Nội Ờ Giáo trình Vận trù học ẦẦẦ 10

− Kiểm thử mô hình và ựánh giá phương án tìm ựược Trong trường hợp phương án

tìm ựược kéo theo các kết quả bất thường về mặt tắnh toán hoặc không phù hợp với thực

tế, cần kiểm tra và chỉnh sửa lại mô hình, rà soát lại các số liệu ựầu vào cũng như các bước tắnh toán hay chọn lựa phương án Sau ựó giải lại mô hình ựể tìm ra phương án phù hợp hơn

− Triển khai phương án tìm ựược trên thực tế Trong toàn bộ quá trình ra quyết

ựịnh, chuyên gia Vận trù học cần quan hệ chặt chẽ với nhà quản lắ, giải thắch rõ ràng về tác dụng của mô hình ựã ựặt ra để phương án cuối cùng ựược triển khai trên thực tế, cần có báo cáo chi tiết giúp bộ máy quản lắ hiểu rõ các hiệu quả thiết thực mà phương

án có thể mang lại Tuy nhiên, cũng cần nêu rõ các ựiều kiện ựảm bảo cần thiết cũng như phân tắch rõ các yếu tố lợi nhuận/chi phắ/rủi ro của phương án

1.3 Quá trình phát triển của Vận trù học

Những tiến bộ nhân loại ựạt ựược trong vài thế kỉ vừa qua và trong giai ựoạn hiện tại có phần ựóng góp quan trọng của các phương pháp khoa học trong việc giải quyết các vấn ựề kinh tế, xã hội Phương pháp luận khoa học, trước ựây thường ựược biết tới trong các vấn ựề của Khoa học tự nhiên, ngày nay ngày càng ựược ứng dụng rộng rãi trong các lĩnh vực của Khoa học quản lắ như: lập kế hoạch, tổ chức và kiểm soát các hoạt ựộng

Từ hàng vài nghìn năm trước, các hoạt ựộng chế tạo và lắp ráp tàu biển tại Venice

ựã ựược tổ chức một cách khá khoa học Vào cuối thế kỉ XIX, Frederick W Taylor ựã

giải quyết thành công bài toán quan trọng của Kĩ nghệ công nghiệp (Industrial Engineering) lúc ựó là chế tạo ra các loại xẻng ựể khai thác các loại quặng khác nhau

với năng suất cao nhất Cũng vào thời gian này, Henry L Gantt giải quyết thành công

bài toán lập tiến trình sản xuất (Production Scheduling) khi sản phẩm ựược chế tạo và

hoàn thiện qua nhiều công ựoạn Dần dần, các nhà quản lắ mở rộng các bài toán trong một số hoạt ựộng kĩ nghệ công nghiệp sang các hoạt ựộng khác của công ti như: khai thác và sử dụng các nguồn nguyên liệu, thuê và phát triển nhân lực, chắnh sách tài chắnh, bất ựộng sản Các nhà khoa học tự nhiên, xã hội cũng bắt ựầu quan tâm tới các bài toán quản lắ và nhận thức ựược tầm quan trọng của việc giải quyết vấn ựề một cách

hệ thống, tầm quan trọng của các nghiên cứu liên ngành bao gồm khoa học cơ bản, kĩ nghệ và quản lắ đó cũng là khởi nguồn của Khoa học quản lắ

Từ ựầu thế kỉ XX, Vận trù học/Khoa học quản lắ ựã ựược áp dụng khá rộng rãi trong nhiều lĩnh vực Tại nước Anh vào năm 1914 - 1915 F W Lanchester ựã xem xét các hoạt ựộng quân sự một cách ựịnh lượng khi ựưa ra phương pháp ựánh giá sức mạnh quân sự thông qua số lượng bộ binh và hỏa lực Còn tại Mĩ lúc ựó, T A Edison nghiên cứu và mô phỏng các hoạt ựộng hợp lắ của tàu chiến trong tấn công và tiêu diệt các tàu ngầm Vào năm 1917, nhà bác học người đan Mạch A K Erlang cho công bố các công trình về các hoạt ựộng hợp lắ trong hệ dịch vụ ựiện thoại và bưu ựiện, có tên gọi tổng

quát là hệ thống hàng chờ (Waiting Line System) Năm 1915, Ford W Harris công bố về cách xác ựịnh dung lượng lô hàng tối ưu trong bài toán quản lắ hàng dự trữ (Inventory Management) Sau ựó một loạt công trình ựược các tác giả khác tiếp tục công bố về các

mô hình kiểm soát hàng dự trữ Các ứng dụng của lắ thuyết xác suất trong kiểm ựịnh

chất lượng (Quality Control) cũng ựược ựề cập tới trong các bài báo của Walter Shewhart Mô hình quy hoạch tuyến tắnh (Linear Programming) ựược giáo sư đại học

Havard Wassily Leontieff áp dụng vào những năm 1930 ựể mô tả và phân tắch toàn bộ nền kinh tế Mĩ Các ứng dụng của Vận trù học trong kinh doanh lần ựầu tiên ựược Horace C Levinson phát triển trong giai ựoạn 1920 - 1930 ựể nghiên cứu các mối quan

hệ giữa doanh thu và quảng cáo, giữa thu nhập và ựịa ựiểm sinh sống của người tiêu dùng và các mặt hàng mua sắm Sau năm 1945, Vận trù học tiếp tục ựược ứng dụng ngày càng rộng rãi trong nhiều lĩnh vực Rất nhiều bài toán quản lắ ựược giải quyết bằng

phương pháp ựơn hình (Simplex Method) do George B Danzig ựưa ra vào năm 1947 Các mô hình mạng (Network Model) ựược phát triển lần ựầu vào năm 1958 với sự trợ

giúp của công ti tư vấn Booz, Allen và Hamilton

Tại Việt Nam, từ nhiều năm trước ựây các hoạt ựộng giảng dạy và nghiên cứu về Vận trù học ựã ựược tiến hành tại một số cơ sở ựào tạo và nghiên cứu như đại học Tổng hợp Hà Nội, Viện Toán học, Viện điều khiển kinh tếẦ Vận trù học ựược ựưa vào ứng dụng thành công trong một số lĩnh vực như giao thông, thủy lợi, sản xuất nông nghiệp và công nghiệp, dịch vụ, quốc phòng, với các ựóng góp của các giáo sư Hoàng Tụy, Trần Vũ

Thiệu, Nguyễn đình Ngọc, Nguyễn Quý Hỷ được thành lập vào năm 2002, Tạp chắ Ứng dụng Toán học ựã và ựang công bố nhiều bài báo trong lĩnh vực Vận trù học

Ngày nay, tại nhiều nước trên thế giới, các Hội Vận trù học và các Viện Khoa học quản lắ ựược thành lập, với nhiều tạp chắ chuyên khảo nổi tiếng Có thể giới thiệu ở ựây

một số tạp chắ quốc tế như: Operations Research, Management Science, A.I.E.E Transactions, C.O.R.S Journal, Industrial Engineering, European Journal of Operational Research, Asia-Pacific Journal of Operational Research, Decision Sciences, Decision Support Systems

2 CÁC ỨNG DỤNG VÀ PHƯƠNG PHÁP đỊNH LƯỢNG CƠ BẢN CỦA VẬN TRÙ HỌC

Trường ðại học Nông nghiệp Hà Nội – Giáo trình Vận trù học ……… 12

- Chế tạo, sản xuất: kiểm soát hàng dự trữ, cân bằng sản xuất và tiếp thị, lập tiến trình sản xuất, ñảm bảo ổn ñịnh sản xuất

- Xây dựng: phân phối các dự trữ tài nguyên cho các dự án, xác ñịnh số thành viên của các ñội công tác, duy trì tiến trình công tác, lập tiến trình dự án

- ðặt hàng, mua nguyên liệu: chuyển giao vật liệu, chính sách mua hàng và ñặt lại hàng tối ưu

- Tiếp thị: xác ñịnh chi phí tiếp thị, thời ñiểm giới thiệu sản phẩm mới, chọn lựa danh mục sản phẩm hỗn hợp

- Tài chính: chính sách cổ tức, phân tích ñầu tư và chọn lựa danh mục ñầu tư

- Kế toán: lập kế hoạch luồng tiền, chính sách tín dụng, lập kế hoạch cho chiến lược

- Bài toán lập kế hoạch nhân lực Một công ti cần thường xuyên duy trì 1000 nhân

viên, trong số ñó có 70% nhân viên “cũ” (ñã làm việc tại công ti từ một năm trở lên) và 30% nhân viên “mới” (làm việc dưới một năm) Theo các kết quả thống kê có ñược, trong số nhân viên mới thông thường 50% bỏ việc trong vòng 4 tháng ñầu, 20% bỏ việc trong vòng 4 tháng tiếp theo, 10% bỏ việc trong 4 tháng kế tiếp và chỉ có 20 % không

bỏ việc trong năm ñầu tiên vào làm việc Trong số nhân viên cũ, thông thường hàng năm có 30% bỏ việc (tức là khoảng 10% cho mỗi kì 4 tháng) Vậy công ti cần xác ñịnh

tỉ lệ tuyển nhân viên mới hàng năm như thế nào ñể: i) duy trì ổn ñịnh ñược lượng lao ñộng, ii) giảm lượng lao ñộng hàng năm theo một tỉ lệ ñịnh trước, iii) tăng lượng lao ñộng hàng năm theo một tỉ lệ ñịnh trước

- Bài toán phân công nhiệm vụ Một nhóm 3 kĩ sư A, B và C ñược phân công hoàn

thành 3 nhiệm vụ 1, 2 và 3 Cần giao cho mỗi kĩ sư một nhiệm vụ sao cho tổng số ngày công thực hiện 3 nhiệm vụ trên là thấp nhất, biết rằng kĩ sư A có thể hoàn thành các nhiệm cụ 1, 2, 3 theo thứ tự trong vòng 2, 6 và 3 ngày, còn số ngày như vậy cho các kĩ

sư B và C là 8,4, 9 và 5, 7, 8 Bằng cách liệt kê các phương án phân công nhiệm vụ (có tất cả 3! = 6 phương án phân công), có thể tìm ñược ngay phương án phân công tối ưu là: phân công cho kĩ sư A nhiệm vụ 3, kĩ sư B nhiệm vụ 2 và kĩ sư C nhiệm vụ 1 Tuy nhiên, nếu bài toán ñược mở rộng khi cần phân công 20 nhiệm vụ cho 20 kĩ sư thì phương pháp liệt kê (với tất cả là 20! ≈ 2,433×1018 phương án phân công) tỏ ra rất kém

tác dụng Như vậy cần phải nghiên cứu một phương pháp khác ñể giải quyết bài toán phân công nghiệm vụ tổng quát

- Kĩ thuật mô phỏng giải các mô hình hàng chờ/dịch vụ công cộng

- Phân tích Markov ứng dụng trong kinh doanh và quản lí

- Các phương pháp chọn lựa quyết ñịnh dựa trên Lí thuyết quyết ñịnh và Lí thuyết trò chơi

- Các mô hình quản lí hàng dự trữ

Do thời lượng có hạn, một số phương pháp khác của Vận trù học như các phương pháp dự báo, hệ chuyên gia, khai phá dữ liệu và tri thức không ñược ñề cập tới trong giáo trình này

2.3 Hệ thông tin quản lí

Các tiêu chuẩn về số liệu Các phương pháp ñịnh lượng hay kĩ thuật tính toán ñược

ñề cập trên ñây thường ñòi hỏi các số liệu ñầu vào phải ñảm bảo các tiêu chuẩn sau:

- Chính xác: số liệu phải không có sai sót

- Chi phí hiệu quả: chi phí thu thập số liệu thấp hơn giá trị chúng có thể mang lại

- Cập nhật: số liệu phản ánh ñúng các ñiều kiện hiện tại

- Tin cậy: số liệu phát sinh kết quả không có gì bất thường

- Dễ sử dụng: số liệu có thể ñược sử dụng thân thiện mà không phải sửa ñổi

gì thêm

Các tiêu chuẩn trên ñây có thể có tính chất “thỏa hiệp”, có nghĩa là nếu một tiêu chuẩn nào ñó trở nên tốt hơn thì cũng dẫn tới một tiêu chuẩn khác xấu ñi Chẳng hạn, chi phí lấy số liệu thấp thường ảnh hưởng tới tính chính xác và ñộ tin cậy của số liệu Tuy nhiên, năm tiêu chuẩn này luôn là mục tiêu cần “cực ñại hóa” khi thu thập số liệu

Khái niệm hệ thông tin quản lí Có thể coi hệ thông tin quản lí là một hệ thống các

số liệu/dữ liệu ñược thu thập, tổ chức, phân tích, xử lí và lưu trữ trên máy tính/mạng máy tính dưới dạng thông tin hỗ trợ các quyết ñịnh quản lí ðể ứng dụng thành công các phương pháp ñịnh lượng của Vận trù học, chúng ta luôn cần thiết lập ñược một hệ thông tin quản lí ñủ tốt nhằm cung cấp các số liệu cần thiết cho mô hình toán học của vấn ñề

Trường ðại học Nông nghiệp Hà Nội – Giáo trình Vận trù học ……… 14

cần giải quyết Rõ ràng rằng, các số liệu thô thu thập ñược trong bước khảo sát thực tế

và phát hiện vấn ñề ñược biến ñổi một cách thích hợp thành thông tin hỗ trợ ra quyết ñịnh Chẳng hạn, các số liệu thô về hệ số lợi nhuận của một loại sản phẩm ñược biến ñổi thành hệ số lợi nhuận (trung bình)/ñơn vị sản phẩm, là một dạng thông tin hỗ trợ việc lập kế hoạch sản xuất sản phẩm này

Máy tính/mạng máy tính có rất nhiều ñiểm mạnh như: tính chính xác, tính nhất quán, bộ nhớ lớn, xử lí ñược nhiều số liệu và phép toán phức tạp, làm việc theo các quy tắc và chương trình ñịnh sẵn Tuy nhiên, ñể thiết lập một hệ thông tin quản lí hiệu quả, cần xác ñịnh ñược các dạng thông tin hỗ trợ cần thiết giúp phát huy tốt nhất các ưu ñiểm suy luận sáng tạo và linh hoạt của người ra quyết ñịnh Một hệ thông tin quản lí “nhiều máy tính quá” thường dẫn ñến phương án có tính cơ giới, sự phản ứng thiếu linh hoạt và quyết ñịnh ở phạm vi hẹp Trái lại, một hệ thông tin quản lí “nhiều tính người quá” thường dẫn ñến sự phản ứng chậm chạp và sự hạn chế trong việc sử dụng số liệu cũng như khả năng tìm kiếm và ñánh giá các phương án thay thế ðây chính là các vấn ñề cần chú trọng khi các chuyên gia Vận trù học và Công nghệ thông tin cùng nhau xem xét và xây dựng một hệ thông tin quản lí

Hệ thông tin quản lí có thể ñược phân ra ba loại cơ bản: hệ thống cho ñầu ra là các kiểu báo cáo, hệ thống trả lời các truy vấn dạng “what - if” và hệ hỗ trợ ra quyết ñịnh (Decision Support System - DSS) Các hệ hỗ trợ ra quyết ñịnh là loại hệ thông tin quản lí hoàn thiện nhất cho phép tích hợp quá trình ra quyết ñịnh tương tác người

- máy tính với các cơ sở dữ liệu và các mô hình ñịnh lượng nhằm hỗ trợ trực tiếp

việc ñưa ra quyết ñịnh

Chương II

MỘT SỐ MÔ HÌNH VÀ PHƯƠNG PHÁP TỐI ƯU

1 MÔ HÌNH QUY HOẠCH TUYẾN TÍNH

1.1 Phát biểu mô hình quy hoạch tuyến tính

Với mục ñích tìm hiểu bước ñầu, xét mô hình toán học sau ñây, còn gọi là mô hình quy hoạch tuyến tính hay bài toán quy hoạch tuyến tính (BTQHTT), mà trong ñó chúng

ta muốn tối ưu hóa (cực ñại hóa hay cực tiểu hoá) hàm mục tiêu:

z = c1x1 + c2x2 + cnxn → Max (Min), với các ñiều kiện ràng buộc:

a11x1 + a12x2 + +a1nxn ≤ b1

a21x1 + a22x2 + +a2nxn ≤ b2

am1x1 + am2x2 + +amnxn ≤ bm

x1, x2, , xn ≥ 0 (ñiều kiện không âm)

Trong trường hợp tổng quát, BTQHTT có thể bao gồm các ràng buộc dạng ≥, ≤ hoặc dạng =, các biến có thể có dấu ≥ 0, ≤ 0 hoặc dấu tùy ý

Ví dụ 1: z = 8x1 + 6x2 → Max,

với các ràng buộc:

4x1 + 2x2 ≤ 60 2x1 + 4x2 ≤ 48

x1, x2 ≥ 0

BTQHTT trên ñây chính là một bài toán quyết ñịnh Cần tìm các giá trị của các biến quyết ñịnh x1, x2 ñể các ràng buộc ñược thoả mãn và hàm mục tiêu ñạt giá trị lớn nhất Bài toán này có ý nghĩa kinh tế như sau: Giả sử một xí nghiệp sản xuất hai loại sản phẩm I và II ðể sản xuất ra một ñơn vị sản phẩm I cần có 4 ñơn vị nguyên liệu loại A

và 2 ñơn vị nguyên liệu loại B, các chỉ tiêu ñó cho một ñơn vị sản phẩm loại II là 2 và 4 Lượng nguyên liệu dự trữ loại A và B hiện có là 60 và 48 (ñơn vị) Bộ máy quản lí cần ñưa ra quyết ñịnh nên lựa chọn phương án sản xuất nào ñể triển khai nhằm ñạt lợi nhuận lớn nhất, biết lợi nhuận trên mỗi ñơn vị sản phẩm bán ra là 8 và 6 (ñơn vị tiền tệ) cho các sản phẩm loại I và II

Trường ðại học Nông nghiệp Hà Nội – Giáo trình Vận trù học ……… 16

Phương pháp ñồ thị giải BTQHTT hai biến

Phương pháp ñồ thị có ý nghĩa minh hoạ và giúp hiểu bản chất vấn ñề

Bước 1: Vẽ miền ràng buộc/miền các phương án khả thi, là tập hợp các phương án

khả thi (các phương án, nếu nói một cách ngắn gọn) Mỗi phương án ñược thể hiện qua bộ

số (x1, x2) còn gọi là véc tơ nghiệm, thoả mãn tất cả các ràng buộc ñã có (xem hình II.1)

− Trước hết chúng ta vẽ ñồ thị 4x1 + 2x2 = 60 bằng cách xác ñịnh hai ñiểm trên ñồ thị: (0, 30) và (15, 0) ðồ thị trên là một ñường thẳng chia mặt phẳng làm hai nửa mặt phẳng: một phần gồm các ñiểm (x1, x2) thoả mãn 4x1 + 2x2 ≤ 60; một phần thoả mãn 4x1

+ 2x2 ≥ 60 Ta tìm ñược nửa mặt phẳng thoả mãn 4x1 + 2x2 ≤ 60

− Tương tự, có thể vẽ ñồ thị 2x1 + 4x2 = 48 bằng cách xác ñịnh hai ñiểm thuộc ñồ thị (0, 12) và (24, 0) Sau ñó tìm nửa mặt phẳng thoả mãn 2x1 + 4x2 ≤ 48

− Lúc này, giao của hai nửa mặt phẳng tìm ñược trên cho ta tập hợp các ñiểm (x1, x2) thoả mãn hai ràng buộc ñầu tiên Tuy nhiên, ñể thoả mãn ñiều kiện không âm của các biến, ta chỉ xét các ñiểm nằm trong góc phần tư thứ nhất Vậy miền các phương án khả thi là miền giới hạn bởi tứ giác OABC

Bước 2: Trong miền (OABC) ta tìm ñiểm (x1, x2) sao cho z = 8x1 + 6x2 ñạt giá trị lớn nhất

Cách 1: Dùng ñường ñồng mức Tùy theo giá trị của x1, x2 mà z có mức giá trị khác nhau

− Vẽ ñường ñồng mức: 8x1 + 6x2 = c ở mức c = 24, (ta có thể chọn giá trị c bất kì, nhưng chọn c = 24 là bội số chung của 6 và 8 ñể việc tìm toạ ñộ các ñiểm cắt hai trục toạ

ñộ thuận lợi hơn) Chúng ta dễ dàng tìm ñược hai ñiểm nằm trên ñường ñồng mức là (0, 4) và (3, 0) Các ñiểm nằm trên ñường ñồng mức này ñều cho giá trị hàm mục tiêu z = 24

30

4x1 + 2x2 = 60

O

4 81

− Tương tự, có thể vẽ ñường ñồng mức thứ hai: 8x1 + 6x2 = 48 ñi qua hai ñiểm (0, 8) và (6, 0) Chúng ta nhận thấy, nếu tịnh tiến song song ñường ñồng mức lên trên theo hướng của véc tơ pháp tuyến nr(8, 6) thì giá trị của hàm mục tiêu z = 8x1 + 6x2 tăng lên Vậy giá trị z lớn nhất ñạt ñược khi ñường ñồng mức ñi qua ñiểm B(12, 6) (tìm ñược

x1 = 12, x2 = 6 bằng cách giải hệ phương trình 4x1 + 2x2 = 60 và 2x1 + 4x2 = 48)

Kết luận: Trong các phương án khả thi thì phương án tối ưu là (x1, x2)= (12, 6) Tại phương án này, giá trị hàm mục tiêu là lớn nhất zmax = 8 × 12 + 6 × 6 = 132

Nhận xét: Phương án tối ưu của bài toán trên (hay các BTQHTT khác, nếu có) luôn

ñạt ñược tại một trong các ñỉnh của miền phương án khả thi D (là một tập lồi ña diện trong trường hợp BTQHTT tổng quát) hay còn gọi là các ñiểm cực biên (chính xác hơn, miền ñiểm cực biên là ñiểm thuộc miền D, mà không thể tìm ñược một ñoạn thẳng nào cũng thuộc miền D nhận ñiểm ñó là ñiểm trong) Nhận xét trên ñây là một ñịnh lí toán học ñã ñược chứng minh một cách tổng quát trong các giáo trình môn học Tối ưu hoá Nói một cách hình ảnh, muốn ñạt ñược phương án tối ưu cho các BTQHTT thì cần phải

“mạo hiểm” ñi xét các ñiểm cực biên của miền phương án khả thi

Cách 2: Từ nhận xét trên, ñể tìm phương án tối ưu ta chỉ cần so sánh giá trị của hàm

mục tiêu tại các ñiểm cực biên của miền phương án

Tính giá trị z tại O(0, 0): z(0, 0) = 0; tại A(0, 12): z(0, 12) = 72; tại C(15,0): z(15, 0)

= 120; tại B(12, 6): z(12, 6) = 132 = Max{z(O), z(A), z(B), z(C)} Vậy zmax = 132

Nhận xét: Muốn tìm phương án tối ưu của BTQHTT ta xuất phát từ một ñiểm cực biên

nào ñó, tìm cách cải thiện hàm mục tiêu bằng cách ñi tới ñiểm cực biên kề nó Tiếp tục như vậy cho tới khi tìm ñược phương án tối ưu Trong trường hợp BTQHTT có phương án tối

ưu thì quy trình giải này bao gồm hữu hạn bước (do số ñiểm cực biên là hữu hạn)

Sơ ñồ khối

Bắt ñầu

Nhập dữ liệu

Tìm ñiểm cực biên xuất phát

Tìm ñiểm cực biên

kề tốt hơn

Kiểm tra ñiều kiện tối ưu

Trường ðại học Nông nghiệp Hà Nội – Giáo trình Vận trù học ……… 18

ðối với BTQHTT ñang xét, quy trình giải ñược minh hoạ như sau:

1.2 Phương pháp ñơn hình giải BTQHTT dạng chính tắc

ðây là phương pháp số giải BTQHTT theo sơ ñồ trên ðể giải ví dụ 1 trên ñây, trước hết chúng ta cần ñưa BTQHTT về dạng chính tắc bằng cách thêm vào các biến bù không âm x3 và x4 như sau:

z = 8x1 + 6x2 + 0x3 + 0x4 → Max với các ràng buộc:

4x1 + 2x2 + x3 = 60 2x1 + 4x2 + x4 = 48

x1, x2, x3, x4 ≥ 0

Một cách tổng quát, BTQHTT dạng chính tắc là bài toán với các biến không âm, các ràng buộc với dấu “=”, hệ số vế phải của các ràng buộc không âm Ngoài ra, mỗi phương trình bắt buộc phải có một biến ñứng ñộc lập với hệ số +1

ðể giải BTQHTT dạng chính tắc trên ñây, cần lập một số bảng ñơn hình như trình bày trong bảng II.1 Trước hết, cần ñiền số liệu của bài toán ñã cho vào bảng ñơn hình bước 1:

− Cột 1 là cột hệ số hàm mục tiêu ứng với các biến cơ sở ñã chọn Phương án xuất phát có thể chọn là x1 = x2 = 0 (ñây chính là ñiểm gốc toạ ñộ O(0, 0)), do ñó x3 = 60, x4

= 48) Như vậy tại bước này chúng ta chưa bước vào sản xuất, nên trong phương án chưa có ñơn vị sản phẩm loại I hay II ñược sản xuất ra (chỉ “sản xuất” ra các lượng nguyên liệu dư thừa, ta cũng nói là các “sản phẩm” loại III và IV) và giá trị hàm mục tiêu z tạm thời bằng 0 Các biến bù có giá trị lớn hơn 0 có nghĩa là các nguyên liệu loại tương ứng chưa ñược sử dụng hết Ta gọi các biến x3 và x4 là các biến cơ sở vì chúng có

giá trị lớn hơn 0 còn x1 và x2 là các biến ngoài cơ sở vì chúng có giá trị bằng 0 Với bài toán có hai ràng buộc, tại mỗi bước chỉ có hai biến cơ sở

− Cột 2 là cột các biến cơ sở Trong cột 3 (cột phương án) cần ghi các giá trị của các biến cơ sở ñã chọn

− Các cột tiếp theo là các cột hệ số trong các ñiều kiện ràng buộc tương ứng với các biến x1, x2, x3 và x4 của bài toán ñã cho

Bảng II.1 Các bảng ñơn hình giải BTQHTT

Phân tích bảng ñơn hình bước 1

− Hệ số ứng với biến x1 trên hàng thứ nhất là a11 = 4 có nghĩa là tỉ lệ thay thế riêng giữa một ñơn vị sản phẩm loại I và một ñơn vị sản phẩm loại III là 4 (giải thích: xét phương trình/ràng buộc thứ nhất 4x1 + 2x2 + x3 = 60, x1 tăng một ñơn vị thì x3 phải giảm bốn ñơn vị nếu giữ nguyên x2) Tương tự ta có thể giải thích ñược ý nghĩa của các

hệ số aij khác cho trên hàng 1 và hàng 2 trong bảng ñơn hình bước 1

− Chúng ta xét hàng z của bảng ñơn hình ðể tính z1, cần áp dụng công thức z1 = (cột hệ số của hàm mục tiêu) × (cột hệ số của biến x1) = 0×4 + 0×2 = (giá một ñơn vị sản phẩm loại III)×(tỉ lệ thay thế riêng loại I/loại III) + (giá một ñơn vị sản phẩm loại IV) × (tỉ lệ thay thế riêng loại I/loại IV) = tổng chi phí phải bỏ ra khi ñưa thêm một ñơn

vị sản phẩm loại I vào phương án sản xuất mới = 0 Các giá trị zj, với j = 1, 2, 3, 4, ñược tính tương tự và chính là các chi phí khi ñưa một thêm một ñơn vị sản phẩm loại xj vào phương án sản xuất mới Còn z0 là giá trị của hàm mục tiêu ñạt ñược tại phương án ñang xét: z0 = (cột hệ số của hàm mục tiêu)× (cột phương án) = 0×60 + 0×48 = 0

Trường ðại học Nông nghiệp Hà Nội – Giáo trình Vận trù học ……… 20

− Trên hàng ∆j cần ghi các giá trị ∆j, j = 1, 2, 3, 4, tính theo công thức ∆j = cj -zj = lợi nhuận trên một ñơn vị sản phẩm - chi phí trên một ñơn vị sản phẩm Vậy ∆j là "lãi biên"/một ñơn vị sản phẩm khi ñưa thêm một ñơn vị sản phẩm loại j vào phương án sản xuất mới Nếu ∆j > 0 thì hàm mục tiêu còn tăng ñược khi ta ñưa thêm các ñơn vị sản phẩm loại j vào phương án sản xuất mới Có thể chứng minh ñược ∆j chính là ñạo hàm riêng ∂z/∂xj của hàm mục tiêu z theo biến xj Như vậy, x1 tăng lên 1 thì z tăng lên 8 còn

x2 tăng lên 1 thì z tăng lên 6

Do ∆1 và ∆2 ñều dương nên vẫn còn khả năng cải thiện hàm mục tiêu khi chuyển sang (hay “xoay sang”) một phương án cực biên kề tốt hơn (quay lại nhận xét ở phần giải bài toán bằng phương pháp ñồ thị: ñiểm cực biên kề của ñiểm (0, 0) có thể là A(0, 12) hay C(15, 0))

Thủ tục xoay

Bước 1: Chọn cột xoay là cột có ∆j > 0 tức là chọn biến xj làm biến cơ sở mới do xj

tăng kéo theo hàm mục tiêu tăng Ở ñây ta chọn ñưa x1 vào (ñánh dấu √ ở cột ∆1) Bước 2: Chọn hàng xoay ñể xác ñịnh ñưa biến nào ra khỏi số biến cơ sở (vì tại mỗi bước số biến cơ sở là không thay ñổi) ðể chọn hàng xoay, ta thực hiện quy tắc “tỉ số dương bé nhất" bằng cách lấy cột phương án (60, 48)T chia tương ứng cho cột xoay (4, 2)T ñể chọn tỉ số bé nhất Một ñiều cần chú ý là ta chỉ xét các tỉ số có mẫu số dương

Vì Min{60/4, 48/2} = 60/4 ñạt ñược tại hàng ñầu, nên ta ñánh dấu √ vào hàng xoay

là hàng ñầu (hàng tương ứng với biến x3) Do ñó cần ñưa x3 ra khỏi các biến cơ sở Bước 3: Chọn phần tử xoay nằm trên giao của hàng xoay và cột xoay

Bước 4: Xoay sang bảng ñơn hình mới, xác ñịnh các biến cơ sở mới ñể ñiền vào cột biến cơ sở, ñồng thời thay các giá trị trong cột hệ số hàm mục tiêu Sau ñó, tính lại các phần tử của hàng xoay bằng cách lấy hàng xoay cũ chia cho phần tử xoay ñể có hàng mới tương ứng

Bước 5: Các phần tử còn lại của bảng ñơn hình mới ñược tính theo quy tắc "hình chữ nhật": (1)mới = (1)cũ - (2)cũ× (4)cũ/(3)cũ, trong ñó (3) là ñỉnh tương ứng với phần tử xoay (xem hình II.3)

(1)

(4)

Chẳng hạn: (1)cũ = 4, 2(cũ) = 2 (3)cũ = phần tử xoay = 4, (4)cũ = 2 ⇒ (1)mới

= 4 − 2 ×

4

2 = 3

Hình II.3 Quy tắc hình chữ nhật

Giải thích: Các bước xoay trên ñây chỉ là phép biến ñổi tương ñương hệ phương

trình

4x1 + 2x2 + x3 = 60 (a) 2x1 + 4x2 + x4 = 48 (b)

ñể có hệ

x1 + (1/2)x2 + (1/4)x3 = 15 (a’) 0x1 + 3x2 − (1/2)x3 + x4 = 18 (b’) bằng cách lấy phương trình (a) chia cho 4 (phần tử xoay) ñể có (a’), rồi lấy (b) trừ bớt

2 × (a)/4 ñể có (b’) ðây chính là nội dung của bước 4 và bước 5 Còn bước 3 sẽ ñảm bảo rằng giá trị của các biến cơ sở mới không âm (x1 = 15, x4 = 18)

Áp dụng thủ tục xoay cho các phần tử nằm trên hàng 1 và 2 của bảng ñơn hình bước

1, sau ñó tính các giá trị trên hàng zj và ∆j tương tự như khi lập bảng ñơn hình bước 1, chúng ta sẽ nhận ñược bảng ñơn hình bước 2

Phân tích bảng ñơn hình bước 2

Bảng bước 2 có thể ñược phân tích tương tự như bảng bước 1 Cần chú ý rằng lúc này ta ñang ở vị trí của ñiểm C(15, 0) vì x1 = 15 còn x2 = 0; giá trị của hàm mục tiêu là

z0 = 120 ñã ñược cải thiện hơn so với bước 1 Ta thấy ∆2 = 2 > 0 nên còn có thể cải thiện hàm mục tiêu bằng cách chọn biến x2 làm biến cơ sở mới Thực hiện các bước xoay sang phương án cực biên kề tốt hơn, chúng ta sẽ có bảng ñơn hình bước 3

Phân tích bảng ñơn hình bước 3

Tại bảng ñơn hình bước 3 ta thấy ñiều kiện tối ưu ñã ñược thoả mãn (∆j ≤ 0

∀j=1, 2, 3, 4) nên không còn khả năng cải thiện phương án Phương án tối ưu ñã ñạt

ñược tại x1 = 12, x2 = 6, x3 = 0, x4 = 0, tức là tại ñiểm cực biên B(12, 6) với giá trị zmax =

132

Khung thuật toán ñơn hình giải BTQHTT dạng chính tắc

Sau ñây là khung thuật toán của phương pháp ñơn hình ñược phát biểu cho BTQHTT cực ñại hóa dạng chính tắc

Bước khởi tạo

- Tìm một phương án cực biên ban ñầu

- Tính ∆j = cj - zj, ∀j = 1, n, trong ñó n là số biến của bài toán ñang xét

Các bước lặp

Trường ðại học Nông nghiệp Hà Nội – Giáo trình Vận trù học ……… 22

Bước 1: Kiểm tra ñiều kiện tối ưu Nếu ñiều kiện tối ưu ∆j = cj - zj ≤ 0, ∀j = 1, n ñã ñược thoả mãn thì in/lưu trữ kết quả của bài toán và chuyển sang bước kết thúc

Bước 2: Nếu tồn tại một chỉ số j sao cho ∆j > 0 thì tiến hành thủ tục xoay gồm năm bước ñã biết, tính lại các ∆j, ∀j = 1, nvà quay lại bước 1 (Chú ý: Trong trường hợp ta

tìm ñược cột xoay mà không tìm ñược hàng xoay thì kết luận hàm mục tiêu không bị chặn, in/lưu trữ kết quả của bài toán và chuyển sang bước kết thúc)

Bước kết thúc Dừng

Chú ý:

- ðối với các BTQHTT cần cực tiểu hóa hàm mục tiêu thì ñiều kiện tối ưu (hay tiêu chuẩn dừng) là ∆j ≥ 0 ∀j (nếu tồn tại j mà ∆j ≤ 0 thì cần tiếp tục cải thiện hàm mục tiêu bằng cách chọn cột j làm cột xoay )

- Trong thực tiễn giải các BTQHTT dạng tổng quát có thể xảy ra trường hợp không tìm ñược phương án xuất phát Lúc này có thể kết luận mô hình ñã thiết lập có các ñiều kiện ràng buộc quá chặt chẽ, cần xem xét nới lỏng các ñiều kiện này

- Trong trường hợp ta tìm ñược cột xoay mà không tìm ñược hàng xoay thì kết luận hàm mục tiêu không bị chặn trên (ñối với các BTQHTT dạng Max) hoặc không bị chặn dưới (ñối với các BTQHTT dạng Min) Khi ñó dừng quá trình giải và kết luận mô hình quy hoạch tuyến tính ñã thiết lập không phù hợp với thực tế

1.3 Phương pháp ñơn hình hai pha giải BTQHTT dạng tổng quát

ðưa BTQHTT về dạng chính tắc

Ví dụ 1: (Trường hợp các ràng buộc ñều có dấu ≤)

z = 8x1 + 6x2 →Max với các ràng buộc:

Lúc này, trong hệ hai ñiều kiện ràng buộc ñã có ñủ hai biến ñứng ñộc lập trong từng phương trình với hệ số +1, nên ñã có thể tìm ñược phương án cực biên xuất phát ñể bắt ñầu quá trình giải bài toán

Ví dụ 2: (Trường hợp có biến không dương)

z = 8x1 − 6x2 → Max với các ràng buộc:

Ta có BTQHTT với các biến ñều không âm

4x 2x ' 2x '' x 602x 4x ' 4x ' x 48

Ví dụ 4: (Trường hợp có ñiều kiện ràng buộc với dấu ≥ hoặc dấu =)

có dấu tuỳ ý

Trường ðại học Nông nghiệp Hà Nội – Giáo trình Vận trù học ……… 24

Ta thêm các biến bù x3 (slack variable) mang dấu “+”, x4 (surplus variable) mang

dấu “−” ñể có hệ ñiều kiện ràng buộc sau (lúc này hai ràng buộc ñều có dấu =):

ñã có thể tìm ñược phương án cực biên xuất phát ñể bắt ñầu quá trình giải bài toán bằng phương pháp ñơn hình với hàm mục tiêu là z = 8x1 + 6x2 + 0x3 + 0x4 − Mx5→ Max, trong ñó M ≈ +∞ và biểu thức −Mx5 gọi là lượng phạt (ñánh thuế) Bài toán ñã ñược ñưa về dạng chính tắc Lượng vi phạm x5 càng lớn thì hàm mục tiêu càng giảm, giá trị của hàm mục tiêu chỉ có thể ñạt Max khi x5 = 0

Kết luận: Bao giờ cũng ñưa ñược BTQHTT bất kì (các biến có dấu tuỳ ý, các ràng

buộc có thể ≤, ≥, =) về dạng chính tắc

Phương pháp ñơn hình mở rộng

Phương pháp ñơn hình mở rộng còn gọi là phương pháp ñánh thuế M ñược áp dụng

ñể ñể giải BTQHTT có biến giả

Ví dụ 5: Sau khi thêm vào các biến bù và biến giả, BTQHTT trong ví dụ 4 ñược

ñưa về dạng chính tắc (trong hàm mục tiêu tất cả các biến giả ñều có hệ số là -M nên bài toán ñược gọi là bài toán M)

Max z = 8x1 + 6x2 +0x3 + 0x4 − Mx5(trong ñó M ≈ +∞) với các ràng buộc

Cách 1: Có thể giải BTQHTT với các ñiều kiện ràng buộc (a) bằng phương pháp ñồ

thị ñể nhận ñược kết quả: phương án tối ưu là (x1 = 0, x2 = 30) và zmax = 180

Cách 2: Giải BTQHTT với các ñiều kiện ràng buộc (c) bằng cách lập bảng ñơn hình

như thông thường nhưng chú ý hệ số M ≈ +∞ (xem bảng II.2)

Tại bảng ñơn hình cuối cùng, ta thấy ∆j ≤ 0 ∀j nên phương án tối ưu ñã ñạt ñược với x2 = 30, x4 = 72, các xj khác = 0 và zMax = 180

Chú ý:

− Khi một biến giả ñã ñược ñưa ra khỏi cơ sở thì không bao giờ quay lại nữa Do ñó

ta có thể xoá cột biến giả ñó khỏi bảng ñơn hình

− Nếu dấu hiệu dừng xuất hiện (∆j ≤ 0 ∀j) nhưng vẫn còn biến giả với giá trị dương trong số các biến cơ sở thì ñiều này chứng tỏ bài toán ban ñầu không thể có phương án khả thi (có thể chứng minh bằng phản chứng)

Bảng II.2 Các bảng ñơn hình giải bài toán M

Phương pháp ñơn hình hai pha

Với ví dụ trên (xem bảng II.2) ta thấy quá trình giải chia làm hai pha: pha 1 nhằm giải bài toán M cho tới khi biến giả (x5) ñược ñưa ra khỏi số biến cơ sở (lúc này có phương án cực biên xuất phát cho bài toán (b)) và pha 2 nhằm tìm phương án tối ưu cho bài toán (b)

Phương pháp ñơn hình mở rộng như trình bày trên ñây có khó khăn trong việc khai báo giá trị của hệ số M ≈ +∞ và tính toán các giá trị ∆j liên quan tới hệ số M ðể khắc

phục các ñiểm này, chúng ta xét phương pháp ñơn hình hai pha: pha 1 nhằm giải bài

Trường ðại học Nông nghiệp Hà Nội – Giáo trình Vận trù học ……… 26

toán ω ñể tìm cách ñưa các biến giả ra khỏi số biến cơ sở (lúc này có phương án cực biên xuất phát cho bài toán (b)) và pha 2 nhằm tìm phương án tối ưu cho bài toán (b)

z = 8x1 + 6x2 +0x3 + 0x4 → Max, với các ràng buộc

ðể tìm phương án cực biên xuất phát cho BTQHTT dạng chuẩn tắc trên ñây chúng

ta cần thực hiện pha 1 (hàm mục tiêu ω là tổng của tất cả các biến giả)

Pha 1: Giải bài toán ω (bài toán 3): ω = x5 → Min, với các ràng buộc

− Trường hợp 1: Tìm ñược phương án tối ưu của bài toán ω với giá trị ωMin = 0, không chứa các biến giả trong số các biến cơ sở (như trong ví dụ trên)

− Trường hợp 2: Tìm ñược phương án tối ưu của bài toán ω với giá trị ωMin = 0, có chứa các biến giả trong số các biến cơ sở (lúc này các biến giả nằm trong cơ sở ñều có giá trị bằng 0)

− Trường hợp 3: Tìm ñược phương án tối ưu của bài toán ω với giá trị ωMin > 0, có chứa các biến giả trong số các biến cơ sở (lúc này có một số biến giả nằm trong cơ sở ñều có giá trị dương)

Có thể chứng minh ñược rằng trong trường hợp 1, bài toán 2 có phương án cực biên xuất phát như tìm ñược trong bảng ñơn hình tối ưu sau khi gạch bỏ ñi tất cả các cột biến giả Trong trường hợp 2, bài toán 2 có phương án cực biên xuất phát như tìm ñược trong bảng ñơn hình tối ưu sau khi gạch bỏ ñi tất cả các cột biến giả và các hàng chứa biến giả (các hàng bị gạch ñi tương ứng với các phương trình phụ thuộc tuyến tính vào các phương trình còn lại trong hệ ñiều kiện ràng buộc của BTQHTT dạng chuẩn tắc) Còn trong trường hợp 3, BTQHTT dạng chính tắc không có phương án khả thi nên cũng không có phương án tối ưu

Trong các trường hợp 1 và 2, chúng ta cần chuyển sang pha 2 ñể tiếp tục ñi tìm phương án tối ưu cho bài toán 2 từ phương án cực biên xuất phát tìm ñược bằng cách thay các hệ số hàm mục tiêu và tính lại các giá trị của hàng zj và hàng ∆j

Pha 2: Xét bài toán 2: z = 8x1 + 6x2 +0x3 + 0x4 → Max, với các ràng buộc

z = 8x1 + 6x2 +0x3 + 0x4 → Max, với các ràng buộc

Bảng II.4 Các bảng ñơn hình pha 2

Trường ðại học Nông nghiệp Hà Nội – Giáo trình Vận trù học ……… 28

1

0

Chú ý: So sánh các bảng II.3 và II.4 với bảng II.2, có thể thấy rằng phương pháp hai

pha và phương pháp ñơn hình mở rộng thực chất là hoàn toàn tương ñương với nhau Nhưng lập trình tính toán dựa trên phương pháp hai pha là dễ dàng hơn nhiều do tránh ñược việc khai báo giá trị của hệ số M ≈ +∞ và tính toán các giá trị ∆j không liên quan tới hệ số M

1.4 Phương pháp cắt Gomory giải BTQHTT nguyên

Dạng tổng quát của BTQHTT nguyên cũng giống như dạng tổng quát của BTQHTT

ñã nêu trong mục 1.1, có bổ sung thêm ñiều kiện nguyên của các biến quyết ñịnh ðưa BTQHTT nguyên trên ñây về dạng chính tắc

Max z = x1 + 4x2 + 0x3 + 0x4, với các ràng buộc

Bảng II.5 Các bảng ñơn hình giải BTQHTT nguyên

Hệ số hàm Biến cơ sở Phương án c 1 = 1 c 2 = 4 c 3 = 0 c 4 = 0

1/2 17/2

2 x1 + -

3

4x2 + x4 =

394

Vế trái bắt buộc là số nguyên theo ñiều kiện của BTQHTT nguyên nên vế phải phải

là số nguyên nhỏ hơn 1 (do vế phải fr0< 1) Vậy vế phải luôn nhỏ hơn hoặc bằng 0 Trong ví dụ trên ta có: 2 2j j 20 20 xj j

Trường ðại học Nông nghiệp Hà Nội – Giáo trình Vận trù học ……… 30

Max z = x1 + 4x2 + 0x3 + 0x4, với các ràng buộc

2 x1 + -

3

4x2 + x4 =

394

−

x1, x2, x3, x4, x5 ≥ 0; x1, x2, x3, x4 nguyên

Lúc này, chúng ta có bảng ñơn hình II.6 với phương án ñối ngẫu khả thi (phương án ñối ngẫu khả thi là phương án có thể không thỏa mãn ñiều kiện không âm của các biến, nhưng luôn thỏa mãn các ñiều kiện ràng buộc còn lại của BTQHTT và ñiều kiện ∆j ≤ 0 với mọi chỉ số j) Chúng ta sẽ sử dụng thủ tục xoay của phương pháp ñơn hình ñối ngẫu

ñể tìm phương án (ñối ngẫu khả thi) tối ưu thỏa mãn ñiều kiện ∆j ≤ 0 với mọi chỉ số j (xem bảng ñơn hình bước 3 của bảng II.6)

Chú ý: Thủ tục xoay trong phương pháp ñơn hình ñối ngẫu có năm bước, bao gồm:

- Trước tiên chọn hàng xoay là hàng với biến xj có giá trị âm (thông thường với trị tuyệt ñối lớn nhất, hoặc chọn ngẫu nhiên)

- Sau ñó chọn cột xoay theo quy tắc “tỉ số âm bé nhất” (ứng với tỉ số bé nhất trong các tỉ số có mẫu số âm ñược tạo ra bằng cách lấy hàng ∆j “chia” cho hàng xj, chỉ xét các

tỉ số có mẫu số âm) Nếu không tìm ñược cột xoay thì kết luận bài toán không có phương án khả thi

- Nếu tìm ñược cột xoay thì thực hiện ba bước tiếp theo của thủ tục xoay như trong phương pháp ñơn hình giải BTQHTT

Bảng II.6 Các bảng ñơn hình giải BTQHTT nguyên (tiếp)

- 3/4

1/2 17/2

Trường ðại học Nông nghiệp Hà Nội – Giáo trình Vận trù học ……… 32

với hệ ñiều kiện ràng buộc

Bước khởi tạo

Giải BTQHTT không nguyên tương ứng bằng phương pháp ñơn hình ñể thu ñược phương án tối ưu x1 ðặt k = 1

Các bước lặp (bước lặp thứ k)

Bước 1: Nếu xk có các tọa ñộ nguyên thì chuyển sang bước kết thúc

Bước 2: Nếu trái lại xk có ít nhất một toạ ñộ không nguyên thì cần chọn ra một biến

cơ sở xr có giá trị không nguyên ñể xây dựng ràng buộc bổ sung

Bước 3: Giải bài toán thu ñược bằng phương pháp ñơn hình ñối ngẫu ñể tìm ra phương án tối ưu ðặt k = k+1 và chuyển về bước 1

(Nếu trong quá trình giải không tìm ñược cột xoay thì kết luận BTQHTT nguyên ban ñầu không có phương án khả thi)

Bước kết thúc In/lưu trữ kết quả và dừng

1.5 Một số ứng dụng của phương pháp ñơn hình

Bài toán phân phối ñiện năng

Có ba hộ phụ tải cần ñược cung cấp ñiện năng từ hai nguồn ñiện nằm cách xa nhau Giá thành truyền tải một ñơn vị ñiện năng từ nguồn i ñến hộ tiêu thụ j là cij Khả năng cung cấp ñiện năng của mỗi nguồn bị giới hạn bởi trữ lượng hiện có của chúng là A1 và

A2 Nhu cầu tiêu dùng của các hộ tiêu thụ là B1, B2 và B3 Gọi xij là lượng ñiện năng ñược ñưa từ nguồn i tới hộ tiêu thụ j Cần phải xác ñịnh các xij sao cho tổng chi phí là nhỏ nhất Như vậy ta có BTQHTT sau:

xij ≥ 0, ∀i = 1, 2 và ∀j = 1, 2, 3

Bài toán phân tải cho máy

Một xí nghiệp có hai loại máy M1 và M2 Các loại máy này có thể sản xuất ñược ba loại sản phẩm P1, P2 và P3 với các năng suất là aij, chẳng hạn máy M1 sản xuất sản phẩm

P2 với năng suất a12 Mỗi ñơn vị sản phẩm mang lại lãi suất cj với j = 1, 2, 3 Mỗi tháng

xí nghiệp phải sản xuất sản phẩm loại j không ít hơn bj ñơn vị và không vượt quá dj ñơn

vị, j = 1, 2, 3 Hãy lập kế hoạch phân tải cho các máy sao cho ñạt tổng lợi nhuận lớn nhất

Dễ thấy bài toán này dẫn tới BTQHTT sau:

(trong ñó m1 và m2 là tổng thời gian chạy máy M1 và M2)

Trong các lĩnh vực quy hoạch sản xuất hay quản lí kinh doanh, nói riêng trong ngành cơ khí và ñiện lực, BTQHTT ñược ứng dụng rất rộng rãi và mang lại hiệu quả cần thiết

Giải mô hình quy hoạch tuyến tính bằng các phần mềm tính toán

Hiện nay có nhiều phần mềm tính toán giải BTQHTT khá hiệu quả như Excel, Lingo Những phần mềm này rất thân thiện với người dùng Tuy nhiên cần nhấn mạnh rằng, việc phát biểu ñược mô hình bài toán và phân tích, ñánh giá ñược kết quả mới chính là những khâu quan trọng nhất trong phương pháp mô hình hoá Sau ñây, chúng

ta dùng phần mềm Lingo ñể giải ví dụ ñã xét ở trên

z = 8x1 + 6x2 → Max với các ràng buộc:

4x1 + 2x2 ≤≤≤≤ 60 2x1 + 4x2 ≤≤≤≤ 48

Trường ðại học Nông nghiệp Hà Nội – Giáo trình Vận trù học ……… 34

Hình II.4 Nhập dữ liệu của bài toán quy hoạch tuyến tính trong Lingo

Tiếp theo, cần nháy chuột vào nút LINGO và giải bài toán ñể thu ñược kết quả chi tiết như trên hình II.5

Hình II.5 Kết quả giải bài toán quy hoạch tuyến tính trong Lingo

Kết quả chi tiết cho ta biết giá trị cực ñại của hàm mục tiêu là 132 với phương án tối

ưu là: x1 = 12, x2 = 6 Các giá trị tối ưu của các biến ñối ngẫu là y1 = 5/3 và y2 = 2/3

(còn gọi là các giá ước ñịnh hay giá bóng Shadow Prices)

2 MÔ HÌNH QUY HOẠCH TUYẾN TÍNH ðA MỤC TIÊU

2.1 Các khái niệm cơ bản

Trong các bài toán kĩ thuật, công nghệ, quản lí, kinh tế nông nghiệp v.v nảy sinh

từ thực tế, chúng ta thường phải xem xét ñể tối ưu hóa ñồng thời một lúc nhiều mục tiêu Các mục tiêu này thường là khác về thứ nguyên, tức là chúng ñược ño bởi các ñơn

vị khác nhau Những tình huống như vậy tạo ra các bài toán tối ưu ña mục tiêu Như vậy, chúng ta cần phải tối ưu hóa (cực ñại hóa hoặc cực tiểu hóa tuỳ theo tình huống

thực tế) không phải là chỉ một mục tiêu nào ñó, mà là ñồng thời tất cả các mục tiêu ñã ñặt ra

Có thể nói, BTQHTT ña mục tiêu là BTQHTT mà trong ñó chúng ta phải tối ưu hóa cùng một lúc nhiều mục tiêu Tuy nhiên, các mục tiêu này thường ñối chọi cạnh tranh với nhau Việc làm tốt hơn mục tiêu này thường dẫn tới việc làm xấu ñi một số mục tiêu khác Vì vậy việc giải các bài toán tối ưu ña mục tiêu, tức là tìm ra một phương án khả thi tốt nhất theo một nghĩa nào ñó, thực chất chính là một bài toán ra quyết ñịnh

Hiện tại các tài liệu, sách chuyên khảo, tạp chí cập nhật về lĩnh vực liên ngành Toán

− Tin, Khoa học quản lí Công nghệ thông tin, ñề cập nhiều tới bài toán tối ưu ña mục tiêu Vấn ñề nghiên cứu cơ sở lí thuyết, thuật toán, lập mô hình, xây dựng hệ máy tính trợ giúp quyết ñịnh và áp dụng các mô hình tối ưu ña mục tiêu cho các quá trình công nghệ, quản lí là một vấn ñề liên ngành ñược rất nhiều nhà khoa học và kĩ sư thực hành quan tâm

Bài toán tối ưu ña mục tiêu mà trong ñó miền ràng buộc D là tập lồi ña diện và các mục tiêu zi = fi(X), với i = 1, 2,…, p, là các hàm tuyến tính xác ñịnh trên D, ñược gọi là bài toán quy hoạch tuyến tính ña mục tiêu Khi ñó, ta có mô hình toán học sau ñây ñược gọi là mô hình quy hoạch tuyến tính ña mục tiêu:

Max CX với ràng buộc X ∈ D ⊂ Rn, trong ñó: C là ma trận cấp p × n, D = {X = (x1,

Khái niệm then chốt trong tối ưu hóa ña mục tiêu là khái niệm phương án tối ưu

Pareto, còn gọi là phương án hữu hiệu (efficient solution)

ðịnh nghĩa 1: Một phương án tối ưu Pareto X* có tính chất sau ñây:

Trường ðại học Nông nghiệp Hà Nội – Giáo trình Vận trù học ……… 36

− Trước hết nó phải thuộc vào miền các phương án khả thi của bài toán, tức là phải thoả mãn tất cả các ràng buộc: X* ∈ D

− Với mọi phương án khả thi khác X ∈ D mà có một mục tiêu nào ñó tốt hơn (fi(X) tốt hơn fi(X*)) thì cũng phải có ít nhất một mục tiêu khác xấu hơn (fj(X) xấu hơn fj(X*),

j ≠ i)

Phương án X ∈ D ñược gọi là phương án Pareto yếu nếu với mọi phương án khả thi khác X ∈ D mà có một mục tiêu nào ñó tốt hơn (fi(X) tốt hơn fi(X)) thì cũng phải có ít nhất một mục tiêu khác không tốt hơn (fj(X) không tốt hơn fj(X), j ≠ i) Như vậy, một phương

án tối ưu Pareto cũng là tối ưu Pareto yếu, ñiều ngược lại không nhất thiết luôn ñúng

ðể nhận biết tập phương án tối ưu Pareto chúng ta cần tới các khái niệm sau: Trước hết xét nón nón β cảm sinh bởi các véc tơ gradient c1, c2, , cp của các hàm mục tiêu, c1,

c2, , cp chính là các véc tơ hàng của ma trận C Cho x∈ D Tập ñiểm trội tại x là tập

x

D = {x} ⊕C≥, với C≥ = {x = (x1, x2, , xn) ∈ Rn: Cx ≥ 0, Cx ≠ 0} là nón ñối cực (ñược kí hiệu là α trên hình II.6 trong ví dụ ñang xét) Lúc ñó, có thể chứng minh ñược:

x ∈ D là phương án tối ưu Pareto khi và chỉ khi Dx ∩ D = {x}

Xét lại ví dụ ñã cho trên ñây

Miền các phương án khả thi D (miền giới hạn bởi tứ giác ABCD) ñược biểu thị trên hình II.6, c1(8, 6) là véc tơ gradient và hướng tăng của mục tiêu 1, còn c2(1, 3) là véc tơ gradient và hướng tăng của mục tiêu 2 Trên hình II.6, chúng ta có thể thấy nón β là nón cảm sinh bởi các véc tơ c1 và c2 Xét ñiểm G ∈ AB, dễ dàng xác ñịnh ñược nón ñối cực

Hình II.6 Minh hoạ hình học BTQHTT hai mục tiêu

c2(8,6)

α

O

G

α và tập ñiểm trội tại G Dễ thấy, tập hợp P tất cả các phương án tối ưu Pareto bao gồm các ñiểm nằm trên ñoạn AB với A(0, 12) và B(12, 6)

2.2 Phương pháp tổng quát giải BTQHTT ña mục tiêu

ðịnh nghĩa 2: Giải bài toán tối ưu toàn cục ña mục tiêu là chọn ra từ tập hợp P các

phương án tối ưu Pareto của bài toán một (hoặc một số) phương án tốt nhất (thoả mãn nhất) theo một nghĩa nào ñó dựa trên cơ cấu ưu tiên của người ra quyết ñịnh

Trong ví dụ trên, tuỳ theo cơ cấu ưu tiên của người ra quyết ñịnh, chúng ta có thể chọn ra một hoặc một số ñiểm tối ưu Pareto nằm trên AB làm phương án tối ưu của bài toán

Cách 1: Bằng một phương pháp tối ưu toán học thích hợp tìm ra tập hợp P tất cả

các phương án tối ưu Pareto Người ra quyết ñịnh sẽ ñề ra cơ cấu ưu tiên của mình ñối với tập P nhằm tìm ra phương án tối ưu Pareto thoả mãn nhất cho bài toán ña mục tiêu ban ñầu

Cách 2: Việc tìm tập hợp P trong trường hợp các bài toán nhiều biến là khá khó và

mất nhiều thời gian Vì vậy, so với cách 1, cách 2 sẽ tiến hành theo trình tự ngược lại Trước hết người ra quyết ñịnh sẽ ñề ra cơ cấu ưu tiên của mình Dựa vào cơ cấu ưu tiên

ñó, các mục tiêu sẽ ñược tổ hợp vào một mục tiêu duy nhất, tiêu biểu cho hàm tổng tiện ích của bài toán Bài toán tối ưu với hàm mục tiêu tổ hợp này sẽ ñược giải bằng một phương pháp tối ưu toán học thích hợp, ñể tìm ra một (hoặc một số) phương án tối ưu Pareto Lúc này, người ra quyết ñịnh sẽ chọn ra trong số các phương án tối ưu Pareto ñó một phương án tốt nhất

Chúng ta sẽ tiếp tục phân tích cách thứ 2 Rõ ràng, người ra quyết ñịnh không thể ñề

ra cơ cấu ưu tiên của mình một cách chính xác ngay từ ñầu Trong quá trình giải bài toán, trong mỗi bước lặp, sau khi xem xét lại cơ cấu ưu tiên ñã ñề ra, cũng như phương

án trung gian vừa tìm ñược, người ra quyết ñịnh có thể dựa vào các thông tin ñó ñể thay ñổi lại cơ cấu ưu tiên của mình Sau ñó, quá trình giải lại ñược tiếp tục, cho tới khi một phương án tối ưu cuối cùng ñược ñưa ra

ðịnh nghĩa 3: Phương pháp giải bài toán tối ưu ña mục tiêu dựa trên sự trợ giúp

của hệ máy tính, nhằm giúp người ra quyết ñịnh từng bước thay ñổi các quyết ñịnh trung gian một cách thích hợp ñể ñi tới một phương án tối ưu Pareto thoả mãn nhất, ñược gọi là phương pháp tương tác người − máy tính

Phương pháp tương tác người − máy tính giải bài toán tối ưu ña mục tiêu có các yếu

tố cấu thành sau:

− Cơ cấu ưu tiên của người ra quyết ñịnh và hàm tổ hợp tương ứng

− Kiểu tương tác người − máy tính: cho biết các thông tin nào máy tính phải ñưa ra trong các bước lặp trung gian và cách thay ñổi các thông số của cơ cấu ưu tiên từ phía người ra quyết ñịnh

Trường ðại học Nông nghiệp Hà Nội – Giáo trình Vận trù học ……… 38

− Kĩ thuật tối ưu toán học ñược xây dựng dựa trên lí thuyết tối ưu hóa nhằm tìm ra các phương án tối ưu Pareto cho các bài toán cần giải trong các bước lặp trung gian Cho tới thời ñiểm hiện nay, hàng chục phương pháp giải BTQHTT ña mục tiêu ñã ñược ñề cập tới trong các tạp chí chuyên ngành, mà ña số chúng ñều có những ứng dụng rất thành công trong nhiều lĩnh vực, như phương pháp tham số, phương pháp nón pháp tuyến, phương pháp véc tơ cực ñại, phương pháp trọng số tương tác của Chebysev Phương pháp thoả dụng mờ tương tác giải BTQHTT ña mục tiêu do Nguyễn Hải Thanh

ñề xuất có một số ưu ñiểm cho phép:

− Quy các thứ nguyên khác nhau của các hàm mục tiêu về cùng một thang ño ñộ thoả mãn của người ra quyết ñịnh

− Tạo ra một quá trình tương tác người − máy tính ñể tìm ñược nhiều phương án tối ưu Pareto (hay phương án tối ưu Pareto yếu) ñem lại nhiều lựa chọn cho người ra quyết ñịnh

2.3 Phương pháp thoả dụng mờ tương tác giải BTQHTT ña mục tiêu

Bước khởi tạo

i) Nhập số liệu cho các hàm mục tiêu tuyến tính zi (i = 1, 2, , p) và m ñiều kiện ràng buộc Giải BTQHTT cho từng mục tiêu zi (i = 1, 2, , p) với miền ràng buộc D ñược xác ñịnh bởi m ràng buộc ban ñầu ñể thu ñược các phương án tối ưu x1, x2, , xp(nếu với một mục tiêu nào ñó bài toán không cho phương án tối ưu thì cần xem xét ñể chỉnh sửa lại các ñiều kiện ràng buộc ban ñầu)

ii) Tính giá trị các hàm mục tiêu tại p phương án x1, x2, , xp và lập bảng pay−off Xác ñịnh giá trị cận trên B

w1 + w2 + + wp = 1 và 0 ≤ w1, w2, , wp ≤ 1

ii) Giải BTQHTT với hàm thoả dụng tổ hợp với m ràng buộc ban ñầu và p ràng buộc bổ sung zi(x) ≤ (k)

i

a , i = 1, 2, , p, ñể tìm ñược phương án tối ưu của bước lặp thứ

k là x(k) và giá trị của các hàm mục tiêu zi cũng như của các hàm thoả dụng µi(zi) (với i

=1, 2, , p)

Bước 2:

i) Nếu µmin = Min {µi(zi): i = 1, 2, , p} bé hơn một ngưỡng t nào ñó (t ñược lựa chọn trong ñoạn [0, 1] và có thể ñược sửa chỉnh lại trong quá trình giải bài toán) thì phương án tìm ñược x(k) không ñược chấp nhận Trong trường hợp trái lại, phương án

x(k) ñược chấp nhận vào tập SP các phương án tối ưu Pareto (tối ưu Pareto yếu) cần xem xét nếu x(k) ∉ SP

ii) Nếu người giải bài toán còn muốn tiếp tục mở rộng tập SP thì ñặt k = k + 1 Nếu k > L1 hoặc số lần bước lặp liên tiếp tập SP không ñược mở rộng vượt quá L2

(L1 và L2 ñược người giải tùy chọn) thì ñặt (k)

i

a = B

i

z với i = 1, 2, , p và chọn ngẫu nhiên một chỉ số h ∈ {1, 2, , p} ñể ñặt lại giá trị cắt (k)

h

a ∈ ( w

h

z , B h

4x1 + 2x2 ≤ 60 (D) 2x1 + 4x2 ≤ 48

x1, x2 ≥ 0

a Bước khởi tạo

i) Giải BTQHTT cho từng mục tiêu trong ví dụ trên ta có hai bài toán: z1 = 8x1 + 6x2 → Max với ñiều kiện ràng buộc (D) cho phương án tối ưu x1(12, 6) và Max z1 = 132;

z2 = x1 + 3x2 → Max cho phương án tối ưu x2(0, 12) và Max z2 = 36

ii) Lập bảng pay−off cho các mục tiêu

Phương án Xi z1 z2

Trường ðại học Nông nghiệp Hà Nội – Giáo trình Vận trù học ……… 40

z = 36 Do ñó, ñoạn biến thiên cần xét cho z1 là [72, 132] và cho z2 là [30, 36]

iii) Thiết lập các hàm thoả dụng mờ ứng với hai mục tiêu ñã cho như sau:

Bước 2:

i) Rõ ràng x(1) ≡ x2 Vậy tập SP chưa ñược mở rộng

ii) Nếu người giải muốn tiếp tục mở rộng tập SP thì ñặt k = 2 và quay về bước 1 Quá trình giải ñược tiếp tục