Bây giờ ta đi vào phương án giải hệ này, trước tiên ta quan sát thấy trong hệ có một đại lượng mà ta cần chú ý tới đó chính là 5 x y ở trong hệ nếu ta luân chuyển nó về một đại lư[r]
Trang 1THPT CHUYÊN PHAN BỘI CHÂU, NGHỆ AN
ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC MÔN TOÁN
LẦN 1, 2012
HƯỚNG DẪN GIẢI
Câu I
Câu II.1
4 cosx2sinxcos 2x 3 4 cosx2 sinx(cos xsin x) 3 (sinxcosx1)(sinxcosx3)
Câu II.2
Cách 1 (Dấu chấm)
Đặt y1 ta đưa hệ về dạng y 2 2 3 5 7
Phân tích và hướng giải
Đứng trước hệ này bước đầu tiên ta cần làm là hãy đặt tất cả các điều kiện liên quan của bài toán:
Điều kiện:
Và với cái điều kiện này thì sự chọn lựa có tính thực tế nhất đó chính là giữ nguyên hiện trạng như thế và chỉ đối chiếu kết quả cuối cùng là được
Bây giờ ta đi vào phương án giải hệ này, trước tiên ta quan sát thấy trong hệ có một đại lượng mà ta cần chú ý tới đó chính là 5 x y ở trong hệ nếu ta luân chuyển nó về một đại lượng cần thay thế bởi hai đại lượng còn lại trong hệ chắc chắn lối đi của chúng ta sẽ bớt khó khăn hơn Muốn vậy ta chỉ cần sử dụng một phép biến đổi đại số căn bản là đạt được mong muốn cho ý tưởng đó Thật vậy ta
lấy (1).3 (2) ta được một phương trình mới là:6 2x3y 2x y 3 20
Kết hợp phương trình vừa có này với phương trình (1) trong hệ ban đầu ta được một hệ phương trình
a
Bây giờ ta lại để ý một chút về các biểu thức chứa trong căn lúc này xem giữa chúng có mối "lương duyên" nào gắn kết với nhau không? Chúng ta thử để ý cái tổng này:2x3y2x y 3 4(xy) 3
Và hãy chú ý tới 5 x y 5 (xy)
Vậy là xem như ta đã xác định sự kết hợp hết sức là hợp lí khi chúng ta đã có điều quan trọng mà chúng
ta mong muốn Và để áp dụng được mối lương duyên này thì không có gì tốt hơn bằng sự khéo léo sắp xếp chúng lại với nhau qua phép đặt ẩn phụ sau
Đặt :
2 2
2 2
4
Lúc đó hệ phương trình ( )a trở thành hệ mới :
2 2
3
4
t
Từ (4) rút n20 6 t rồi thế vào (3) ta được phương trình:
Trang 22
(20 6 ) 3
4
14 4 0
37 240 383 4(7 2 )
193 53
t
t
Với t3 ;n thì ta lại có hệ phương trình:2 2 3 9 3
Đối chiếu với điều kiện ( )i ta có nghiệm của hệ là ( ; ) x y (3;1)
Cách 2 (tkvn)
Chúng ta để ý mối quan hệ giữa các biểu thức dưới dấu căn ta thấy rằng:
2x3y2(xy)y; 2x y 3 2(xy) y 3
Chúng ta thấy rằng: Các biểu thức dưới dấu căn đều biểu thị qua 2 đại lượng là: (x y y); nên ta sẽ dựa vào đó để giải quyết bài toán
Đặt: a 5 ( xy);a Khi đó ta có: 0 xy 5 a2, từ đó suy ra:
2x3y2(5a )y10 2 a y; 2xy 3 2(5a ) y 3 7 2a y
Từ đó ta có hệ:
2
2
1
7 3
a
2 2
1
7
3
1 1
15
(loai) 53
a
a a
a
Vậy hệ có nghiệm duy nhất: (3;1)
Cách 3 (can_hang2007)
Điều kiện: 2x3 ,5y x y0,2x y 3 0 Từ giả thiết, ta có
2
2
hay
Trang 3
Thu gọn lại, ta được 54 9 13 14 5 (1)
Từ đây, ta suy ra 54 9 13 49 11 10 ,
31
x
Thay ngược trở lại vào (1), ta có 54 9 13·50 181 14 5 50 181,
53x972 31(19x26) Giải phương trình này, ta được x 3 (Chỗ này bình phương hai vế để đưa về phương trình bậc hai là được, nhưng do tính toán với số cũng khá lớn nên mình không trình bày) Suy ra 1
y
Thử lại, ta thấy ( , )x y (3, 1) thỏa mãn hệ phương trình Vậy hệ đã cho có nghiệm duy nhất
( , )x y (3, 1).
Câu III (tkvn)
Ta biến đổi tích phân như sau:
2
1 sin 2 2(1 sin 2 )
1 2
2(1 sin 2 ) 2(1 sin 2 )
[*] Với: I ta tính khá dễ dàng với việc đặt: 2 tsin 2x
[*] Với: I ta thấy dạng của nó là sử dụng tích phân từng phần Ta đặt1
Ta có:
|
x
Tới đây thì cơ bản rồi
Câu IV
Câu V
Do 0abc nên ta có a2 b2 c2, suy ra (a2b2)(a2 c2)0 Và như thế, ta thu được
bc a b c a a a Sử dụng đánh giá này, ta có M 5a4a2 3 2 a2 f a( ) Đến đây, khảo sát hàm số f a trên miền ( ) 0a1 (suy ra từ giả thiết), ta dễ dàng kiểm tra được
( ) 1, [0,1]
f a a Từ kết quả này và chú ý rằng dấu đẳng thức có thể xảy ra khi a b c 1, ta đi ngay đến kết quả cho bài toán
Câu VI.a.1
Gọi H là hình chiếu của I lên BC
Do BC nằm trên trục hoành nên I cách trục hoành một đoạn bằng r, I lại có tung độ dương nên I có tọa độ ( ;2 13x 6)
Suy ra, x cũng là hoành độ của H
HC x HB x x
;
Giải ra được hai nghiệm của x, ta tìm được hai tọa độ của I thỏa mãn
Câu VI.a.2 (Dấu chấm)
- Cách 1 :
[*] Viết phương trình mặt phẳng ( )Q chứa ( ) d và vuông góc với mặt phẳng ( ) P
[*] Đường thẳng cần tìm là giao tuyến của hai mặt phẳng ( )P và ( ) Q
Trang 4- Cách 2 :
[*] Chọn hai điểm A,B thuộc ( ).d Tìm hình chiếu vuông góc của A,B lên mặt phẳng ( ) P
[*] Đường thẳng đi qua hai hình chiếu vừa tìm là đường thẳng cần tìm
Câu VII.a (jet_nguyen)
Ta có:
2
| |
i
4 3
5 5
Vậy: | | 1z
Câu VI.b.1 (cmt07)
Gọi tọa độ C là C(0; )c
Do khoảng cách từ C đến AK bằng 2 lần khoảng cách từ B đến AK, suy ra
5
7
c c
c
Với c 5, ta có C(0,5), Đặt A x( ;1 2 ),1 x1 suy ra các véctơ chỉ phương của đường thẳng AB,
AC và AK lần lượt là AB(1x1;1 2x ), 1 AC ( x1; 4 2x ), 1 AK (1; 2)
Do góc giữa AK và AB bằng góc giữa AK và AC nên
Giải phương trình này, ta tìm được x , từ đó tìm được A 1
Với c 7, giải tương tự
Câu VI.b.2 (Dấu chấm)
Gợi ý
- Bước 1 : Tìm tâm I của đường tròn ngoại tiếp ABC
[*]Cách 1 : Ta giải hệ thống hệ phương trình :
IA IB
IA IC
AB AC AI
[*]Cách 2 : Lập phương trình các mặt phẳng ( ), ( ), (P Q ABC với ( )) P là mặt phẳng trung trực của AB,
( )Q là mặt phẳng trung trực của AC Giải hệ phương trình chứa phương trình ba mặt phẳng này là ta có
tâm I
- Bước 2: Đường thẳng cần tìm đi qua I và có vecto chỉ phương là vecto pháp tuyến của mặt phẳng (ABC )
Câu VII.b (tkvn)
Điều kiện: x0;y 1
Viết phương trình trên lại dưới dạng:( 1)2 8 ( 1) 0 ( 1)(8 1) 0 1 (loai.)
y
x y
Thế 1y8x xuống phương trình dưới ta được:
(1 log x) log 8x 1 0(1 log x)(3 log x) 1 Tới đây thì cơ bản rồi nhỉ! Các bạn hoàn thiện 0 nhé!
Lời giải được tổng hợp bởi https://sites.google.com/site/dethithudaihockhoia dựa theo lời giải của các thành viên diễn đàn boxmath.vn, onluyentoan.vn, diendantoanhoc.net