De thi thu HK 2 khoi 12 CVA nam 2012

BÀI GIẢI CHI TIẾT I.[r]

TRƯỜNG THPT CHU VĂN AN KỲ THI HỌC KÌ II NĂM HỌC 2011 - 2012

Môn : TOÁN 12

Thời gian : 150 phút (Không kể thời gian phát đề)

(Đề chung cho cả chương trình chuẩn và nâng cao)

I PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7.0 điểm)

Câu I (3,0 điểm): Cho hàm số y =161 x3 - 34x

1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị ( )C của hàm số

2) Gọi d là tiếp tuyến của đồ thị ( )C tại điểm A(6;9) thuộc ( )C ; ( )H1 là hình phẳng giới hạn bởi ( )C , d và tia Ox ; (H2) là hình phẳng giới hạn bởi ( )C và tia Ox Chứng minh rằng ( )H1 và (H2) có diện tích bằng nhau

Câu II (3,0 điểm)

1) Tìm nguyên hàm F x( ) của hàm số f x( )=cos2x- 3sinx thoả mãn

( ) 0

F p =

2) Tính các tích phân sau đây:

5

I =ò x+ x- dx ln 3 2

dx J

e e

=

+

ò

Câu III (1,0 điểm)

Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng ( ) :P x- 2y+2z- 5=0 và hai điểm A -( 2;0;1), B -(1; 1;3) Xác định toạ độ điểm H sao cho AH và BH là

hai đường thẳng lần lượt song song và vuông góc với mặt phẳng ( )P

II PHẦN TỰ CHỌN (3,0 điểm) : Thí sinh chỉ được phép chọn một trong

hai phần sau

A Phần thứ nhất :

Câu IVa (2,0 điểm)

Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hai điểm I(2;0; 3), (3;2; 1)- M

-và mặt phẳng ( ) : 2a x+ -y 2z- 1 0= .

1) Viết phương trình mặt cầu đường kính MI.

2) Chứng minh rằng MI và ( )a song song với nhau Tính khoảng cách giữa chúng

Câu Va (1,0 điểm)

Tìm phần thực, phần ảo và môđun của số phức i z biết rằng 7

2 i (4 5 )

i

B Phần thứ hai :

Câu IVb (2,0 điểm)

Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt phẳng

( ) : 2a x+ -y 2z- 1 0= , điểm A(1;1;1) và đường thẳng 2 3

:x- y+ z

ĐỀ ÔN TẬP

Lớp 12C2

1) Chứng minh rằng mặt phẳng ( )a chứa điểm A và đường thẳng D.

2) Viết phương trình mặt cầu tâm A tiếp xúc với đường thẳng D

Câu Vb (1,0 điểm)

Cho số phức z= +2 3i Tìm môđun của số phức w z iz+75i

+

= Hết

-BÀI GIẢI CHI TIẾT

I PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7.0 điểm)

Câu I:y =161 x3 - 34x (1)  Tập xác định: D = ¡  Đạo hàm: y¢=163x2- 34

y¢= Û x - = Û x = Û x= hoặc x = - 2

 Giới hạn: xlim®- ¥ y= - ¥ ; xlim®+¥ y= +¥

 Bảng biến

 Hàm số (1) đồng biến trên các khoảng (- ¥ -; 2),(2;+¥ ),

nghịch biến trên khoảng ( 2;2)

-Đồ thị hàm số cĩ điểm cực đại D -( 2;1), điểm cực tiểu T(2; 1)

8

y¢¢= x y¢¢= Û x= Þ y = Điểm uốn là O(0;0)

 Điểm đặc biệt: 0 1 3 3 0 0

x

x

é = ê

ê

 Bảng giá trị: x - 4 - 2 0 2 4

 Đồ thị hàm số là một đường cong nhận gốc toạ

độ làm tâm đối xứng như hình vẽ bên đây:

Với x =0 6 thì y0 =y(6)=9 và y¢ =(6) 6

Phương trình tiếp tuyến của ( )C tại điểm A(6;9) là:

y- = x- Û y= x

-Tiếp tuyến d : y=6x- 27 tiếp xúc với ( )C tại A(6;9) và cắt Ox tại B( ;0)92 như hình vẽ

 Dựa vào đồ thị trên đây ta cĩ hiệu diện tích của ( )H1 và (H2) là:

9 2

9 2

2

(6 27)

 Vậy ( )H1 và (H2) cĩ diện tích bằng nhau.

2

F x =ịf x dx=ị x- x dx= x+ x C+

 Do F p =( ) 0 nên 1

2sin2p+3cosp+C = Û - +0 3 C = Û0 C =3

 Vậy, F x( )=12sin2x+3cosx+3 là nguyên hàm cần tìm.

a) 5

I =ị x+ x- dx ( )2 5

2 1

x

1 2x 1dx 12 1 2x 1dx

- Đặt t= 2x- 1Þ t2=2x- 1 và tdt=dx

I = +ị ttdt= +ị t dt= +( )3 3

3 1

12

b) ln 3 2 ln 3 2 2

x

J

 Đặt e x =tant với 0< < suy ra t p2 e dx x = +(1 tan )2t dt

 Đổi cận: x= ln 3 Þ t = p3

4 0

x= Þ t= p

J

+

 Đặt u=sintÞ du=cos t dt và 23

2

2 2

du J

u

=ị ( ) 23

2 2

3 2 2 3

Câu III: A -( 2;0;1), B -(1; 1;3) ( ) :P x- 2y+2z- 5=0 cĩ vtpt n =rP (1; 2;2)

-Do BH ^( )P nên

1

3 2

H

H

ìï - = ïï

ï

= Û íïï + =

= ïïỵ

uuur r

(1 ; 1 2 ;3 2 ) (3 ; 1 2 ;2 2 )

Þ + - - + Þ uuur = + - - + Mặt khác AH€ ( )P nên AH nuuur r P = Û0 3+ -t 2( 1 2 ) 2(2 2 )- - t + + t = Û0 t= - 1

Vậy điểm H cần tìm là: H(0;1;1)

II PHẦN TỰ CHỌN (3,0 điểm) : Thí sinh chỉ được phép chọn một trong

hai phần sau

A Phần thứ nhất :

Câu IVa: I(2;0; 3), (3;2; 1)- M - và ( ) : 2a x+ -y 2z- 1 0= .

 Mặt cầu đường kính MI cĩ tâm T( ;1; 2)52 - là trung điểm đoạn MI và bán kính

2 2 (2 3) (0 2) ( 3 1) 2

nên cĩ phương trình: 52 2 2 9

(x- ) +(y- 1) +(z+2) =

 ( )a cĩ vtpt nra =(2;1; 2)- , cịn IM =uuur (1;2;2) do đĩ n IM. 2.1 1.2 2.2 0

a uuur= + - = r

Suy ra nra và IMuuur vuơng gĩc nhau và IM song song hoặc chứa trong ( )a

Ngồi ra do 2.2 0 2( 3) 1 0+ - - - ¹ nên I Ï ( )a

Vậy, IM€ ( )a và ( ,( )) ( ,( )) 2.2 0 2( 3) 12 2 2 3

2 1 ( 2)

d IM a =d I a = + - - - =

+ +

-Câu Va: 72 i (4 5 ) (7 )(2 )(2 )(2 )i i (4 5) 15 55 i 4 5 8 3

-Suy ra i z =i(8 3 )+ i = - +3 8i

Phần thực của i z là - 3, phần ảo của i z là 8 và i z = - ( 3)2+82 = 73

B Phần thứ hai :

Câu IVb: ( ) : 2a x y+ - 2z- 1 0= , A(1;1;1) và 2 3

:x- y+ z

 Lấy B(2; 3;0), ( 1;1; 1)- C - - là hai điểm thuộc D

Toạ độ các điểm A,B và C đều thoả mãn phương trình 2x y+ - 2z- 1 0= của ( )a do đó A,B và C đều thuộc ( )a Vậy, ( )a chứa A và D

 Mặt cầu tâm A(1;1;1) tiếp xúc với đường thẳng D có bán kính

( , )

26

3 ( 4) 1

CB AB

R d A

CB

+ - +

uuur uuur uuur trong đó CBuuur=(3; 4;1),- ABuuur=(1; 4; 1)- - suy ra éêëCB ABuuur uuur, ù=úû (8;4; 8) -nên có phương trình (x- 1)2+(y- 1)2+ -(z 1)2= 7213

Câu Vb: Với z= +2 3i ta có

i

-Môđun của w là

w= æöçççè ø÷÷÷+æöçççè ø÷÷÷=