CHUYÊN đề mẫu nguyên tử mẫu hạt nhân

Như vậy, trong mẫu hành tinh của Rutherford, quỹ đạo của electron sẽ không bền vững, electron sẽ chuyển động xoắn ốc vào hạt nhân khi nó bức xạ năng lượng điện từ hình vẽ c.. Các tiên đề

Chuyên đề:

MẪU NGUYÊN TỬ MẪU HẠT NHÂN

Nhóm tác giả: Nguyễn Thu Hằng - Nguyễn Thị Thi Đơn vị: Trường THPT Chuyên Hạ Long – Quảng Ninh

Đối với công tác giảng dạy trong nhà trường, đặc biệt với đặc thù của trường chuyên trong công tác bồi dưỡng học sinh giỏi, tập huấn đội tuyển học sinh giỏi dự thi cấp quốc gia, khu vực, quốc tế, đòi hỏi người giáo viên luôn phải tích cực tự nghiên cứu, tìm tòi, mở rộng tìm hiểu với những vấn đề còn mới, lạ, cập nhập theo đổi mới trong giáo dục Học sinh các đội tuyển cần phải có ý thức học tập, tự bồi dưỡng, nâng cao khả năng tự học, tự đọc, nên việc cung cấp nguồn tài liệu tham khảo, hướng dẫn tự học cho học sinh là cần thiết

Trong các đề thi học sinh giỏi quốc gia, đề thi chọn đội tuyển dự thi quốc tế, các vấn

đề liên quan đến các mẫu nguyên tử, cấu trúc của nguyên tử, hạt nhân cũng thường xuyên được đề cập đến (theo bảng dưới đây)

Năm thi 2012 2014 2015 2016 2019 2020

Nội dung

Mẫu nguyên tử

Bo (VLHĐ)

Mẫu nguyên tử, hạt nhân

Mẫu nguyên tử Thomson

Mẫu nguyên tử

Bo

Mẫu nguyên tử

Bo (VLHĐ)

Cấu trúc nguyên tử, hạt nhân

Bảng 1: Các nội dung thi về mẫu nguyên tử, hạt nhân trong các đề thi chọn HSG QG,

đề thi Olympic Vật lý

Các vấn đề về các mô hình nguyên tử, mẫu hạt nhân nguyên tử là rất mới, lạ, khó đối với cả giáo viên và học sinh Nguồn tài liệu tham khảo, trình bày về các vấn đề này bằng tiếng

việt rất ít, chủ yếu dành cho người nghiên cứu hoặc sinh viên các khối ngành kĩ thuật, vượt ngưỡng đối với học sinh THPT

Chính từ những lý do đó, chúng tôi lựa chọn đề tài “MẪU NGUYÊN TỬ, MẪU

HẠT NHÂN” , với mục tiêu xây dựng hệ thống lý thuyết, bài tập về hai vấn đề chính: Mẫu

nguyên tử và mẫu hạt nhân nguyên tử , là nguồn tài liệu tham khảo cho giáo viên, học sinh các đội tuyển

2 Mục tiêu của đề tài

- Hệ thống các mô hình mẫu nguyên tử, mô tả nội dung của từng mô hình nguyên tử, những tính phù hợp của mẫu nguyên tử, và hạn chế của chúng

- Hệ thống bài tập vận dụng theo từng mẫu nguyên tử, mở rộng quan điểm nghiên cứu với các hiệu chỉnh tương đối tính về nguyên tử

- Hệ thống các mô hình mẫu hạt nhân nguyên tử, phân tích về cấu trúc hạt nhân

- Hệ thống các bài tập vận dụng tương ứng của từng mẫu hạt nhân, giải thích được các

đặc tính bền vững, phóng xạ của các hạt nhân

3 Đối tượng và phạm vi tác động

- Tài liệu này được dùng để bồi dưỡng những học sinh giỏi dự thi chọn học sinh quốc gia

- Là tài liệu tham khảo cho giáo viên và hướng dẫn tự học của học sinh các đội tuyển

dự thi học sinh giỏi quốc gia

4 Cấu trúc của đề tài

Chuyên đề được chia thành 3 phần

Phần 1: Mở đầu

Phần 2: Nội dung

Nội dung 1: Nguyên tử Các mẫu nguyên tử Nội dung 2: Hạt nhân Các mẫu hạt nhân Phần 3: Kết luận và khuyến nghị

Phần II NỘI DUNG NỘI DUNG 1: NGUYÊN TỬ CÁC MẪU NGUYÊN TỬ

I TỔNG QUAN LÝ THUYẾT CỦA MẪU NGUYÊN TỬ

1 Cấu tạo vật chất

Vật chất được cấu tạo từ các hạt rất nhỏ là các phân tử, phân tử gồm các nguyên tử hợp thành Cho đến ngày nay, người ta thừa nhận rằng nguyên tử có phần trung tâm là hạt nhân mang điện tích dương và các electron mang điện tích âm ở bên ngoài Hạt nhân nguyên tử được cấu tạo bởi những nuclon (proton và notron), các nuclon được tạo thành bởi những hạt quark (dãy các cấu trúc vật chất được mô tả như hình vẽ bên)

Hình 1.1 Từ vật chất đến nguyên tử, cấu trúc nguyên tử, hạt nhân nguyên tử và cấu trúc

nuclon

2 Các lực tương tác bên trong nguyên tử

Trong tự nhiên có bốn lực cơ bản mà ba trong số chúng có tác dụng giữ cho các nguyên

tử bền vững hoặc xác định cách thức phân rã của một nguyên tử không bền Đó là lực điện

từ, lực tương tác mạnh và lực tương tác yếu Lực điện từ giữ các electron gắn với nguyên tử Lực tương tác mạnh gắn các proton và notron với nhau trong hạt nhân Lực tương tác yếu điều khiển cách thức nguyên tử phân rã Lực hấp dẫn chỉ thể hiện rõ trong các vật thể lớn hơn

các hạt thành phần của nguyên tử

3 Các mẫu nguyên tử

Theo lịch sử phát triển, các mẫu nguyên tử cũng được đề xuất ra, trong đó có thể kể đến: mẫu nguyên tử Dalton, mẫu nguyên tử của Thomson, mẫu nguyên tử của Rutherford, mẫu nguyên tử Bohr, và mẫu nguyên tử hiện nay (theo cơ học lượng tử)

Trong nội dung chuyên đề, chúng tôi đề cập đến các mẫu nguyên tử chính, đó là: mẫu nguyên tử của Thomson, mẫu nguyên tử của Rutherford, mẫu nguyên tử Bohr, và mẫu nguyên

tử hiện nay (về đám mây điện tích – cơ học lượng tử)

3.1 Mô hình nguyên tử của Thomson

* Mô hình nguyên tử của Thomson

Năm 1903, nhà Vật lí người Anh Thomson đã đưa ra mô hình nguyên tử cụ thể đầu tiên Theo Thomson thì

- Nguyên tử có dạng hình cầu với kích thước cỡ

Angstron

- Điện tích dương phân bố là môi trường đồng chất,

còn các electron thì phân bố rải rác và đối xứng bên trong

hình cầu đó Điện tích dương của môi trường các điện tích

âm của các electron bằng nhau để đảm bảo nguyên tử trung

hòa về điện

Do đó mẫu nguyên tử của Thomson còn được gọi

là mẫu “bánh mì nho khô” (the raisin bread model) hay

“mẫu bánh pudding” (a plum pudding model)

* Hạn chế

- Mẫu nguyên tử của Thomson không thể giải thích nguồn gốc của các dãy quang phổ của nguyên tử

- Mẫu Thomson bị thực nghiệm phủ

định sau 8 năm tồn tại bởi thí nghiệm của

Rutherford và Geiger (Thí nghiệm tán xạ của

các hạt  từ các lá kim loại mỏng)

Nếu mô hình Thomson là đúng, thì các

hạt alpha sẽ đi xuyên qua cấu trúc nguyên tử

của lá vàng mà không bị cản trở Tuy nhiên,

kết quả thí nghiệm cho thấy trong khi đa số hạt

alpha đi xuyên thẳng qua, thì một số hạt bị tán

xạ theo nhiều hướng, với một số hạt bật ngược

lại hướng nguồn phát (hình vẽ) Cũng chính

thí nghiệm này là cơ sở thực nghiệm cho mẫu

nguyên tử hành tinh và tạo ra ý tưởng về hạt

nhân nguyên tử

3.2 Mô hình nguyên tử của Rutherford

a Mô hình nguyên tử của Rutherford (Mẫu hành tinh nguyên tử), trong đó:

- Nguyên tử gồm một hạt nhân mang điện tích dương rất nhỏ bé, tập trung phần lớn khối lượng của nguyên tử ở trung tâm

- Còn các điện tử (electron) mang điện tích âm chuyển động trên những quỹ đạo tròn quay quanh hạt nhân trên các quỹ đạo giống như các hành tinh quay xung quanh Mặt Trời

- Điện tích dương của nhân và điện tích âm của điện tử trung hòa nhau Giữa nhân và các điện tử là khoảng trống rất lớn

b Năng lượng của electron của nguyên tử hidro và các ion giống hidro theo Rutherford

Nguyên tử hidro và ion giống hidro giống nhau

ở chỗ có một electron ngoài nhân Electron này có khối

lượng (nghỉ) m, di chuyển với vận tốc v và ở cách nhân

mang điện tích dương Ze (Z = 1 cho H; Z = 2 cho ion

He+ ; Z = 3 cho ion Li2+; Z = 4 cho Be3+; ) một

khoảng r (bán kính quỹ đạo tròn r) Giả thiết rằng vận

tốc v của electron nhỏ hơn rất nhiều vận tốc ánh sáng,

nên ta có thể dùng cơ học phi tương đối tính

- Định luật II Newton cho chuyển động tròn của

electron (Lực Culong đóng vai trò lực hướng tâm)

2 2

0

.4

m

- Phương trình (1) cho phép ta biểu diễn động năng K của

electron theo bán kính quỹ đạo r của nó:

2 2

Mặt khác, trong điện động lực học cổ điển, một điện tích chuyển động có gia tốc luôn phát bức xạ điện từ Vì electron trên quỹ đạo được gia tốc a v2

r

 , nó sẽ phải bức xạ năng lượng điện từ , năng lượng bức xạ do nó phát ra được cho bởi công thức của Larmor:

Từ sự bảo toàn năng lượng, nguyên tử bị mất năng lượng và

theo phương trình (4), bán kính quỹ đạo sẽ phải giảm khi năng lượng

giảm Như vậy, trong mẫu hành tinh của Rutherford, quỹ đạo của

electron sẽ không bền vững, electron sẽ chuyển động xoắn ốc vào hạt

nhân khi nó bức xạ năng lượng điện từ (hình vẽ)

c Hạn chế của mẫu nguyên tử Rutherford

Mẫu Rutherford phù hợp với nhiều kết quả thực nghiệm, nhưng vẫn có những mâu thuẫn

- Mâu thuẫn thứ nhất: Rutherford cho rằng nguyên tử bền vững được, nghĩa là hệ

electron – hạt nhân phải ở trạng thái cân bằng, khi electron chuyển động liên tục quanh hạt nhân Theo lí thuyết của Maxwell thì vì electron chuyển động có gia tốc (hướng tâm) quanh hạt nhân, nên nó luôn bức xạ sóng điện từ Kết quả là năng lượng của electron giảm dần theo thời gian và bán kính quỹ đạo của nó cũng giảm Tính toán lý thuyết cho thấy chỉ cần 8

10 s

là đủ để cho electron rơi vào hạt nhân và nguyên tử biến mất Thực nghiệm chứng tỏ rằng ở trạng thái cơ bản, nguyên tử hidro không bức xạ và các nguyên tử bền vững hàng triệu năm, với các nguyên tử khác cũng vậy

- Mâu thuẫn thứ hai: Nếu electron khi chuyển động trong nguyên tử liên tục bức xạ

thì quang phổ nguyên tử phải là quang phổ liên tục, trong khi thực nghiệm ghi được quang phổ nguyên tử lại là quang phổ gián đoạn (các vạch rời rạc)

Ví dụ: Kết quả thực nghiệm phổ phát xạ của nguyên tử Hidro là các vạch rời rạc (như hình vẽ)

3.3 Mô hình nguyên tử của Bohr

a Các tiên đề của Bohr

1 – Nguyên tử chỉ tồn tại trong một số trạng thái có năng lượng xác định En , gọi là các trạng thái dừng Khi ở trạng thái dừng, nguyên tử không bức xạ

2 – Khi nguyên tử chuyển từ trạng thái dừng có năng lượng En sang trạng thái dừng có năng lượng Em nhỏ hơn thì nguyên tử phát ra một photon có năng lượng đúng bằng hiệu

λ

n m  

Ngược lại, nếu nguyên tử đang ở trạng thái dừng có năng lượng Em mà hấp thụ được một photon có năng lượng hf đúng bằng hiệu En – Em thì nó chuyển sang trạng thái dừng có năng lượng En

3 – Điều kiện lượng tử hóa: Trong tất cả những quỹ đạo dừng có thể có thì electron chỉ ở những quỹ đạo dừng nào mà độ lớn momen xung lượng bằng một số nguyên lần hằng

b Các công thức quan trọng mô tả theo mẫu nguyên tử Bohr của nguyên tử hidro và các ion tương tự hidro

Nguyên tử hidro và các ion tương tự hidro giống nhau đều có 1 electron (khối lượng m) chuyển động tròn quanh hạt nhân Bởi vậy, ta thiết lập các biểu thức cho nguyên tử hidro hay các ion tương tự hidro ( ví dụ +

He , Li ++, ) với điện tích của hạt nhân là  Ze (i) Giả thiết rằng hạt nhân đứng yên, còn electron chuyển động quay xung quanh hạt nhân Lực Culong tương tác điện giữa hạt nhân (mang điện tích dương  Ze) và electron đóng vai trò lực hướng tâm, do đó

2

2 0

r 4πε r , với

0

1 k 4πε

Do đó ke Z22 mv2

r  r (1) (ii) Bán kính quỹ đạo ở trạng thái dừng của Bohr

Theo điều kiện lượng tử hóa về momen động lượng

mvr  n => n

rmv

Từ phương trình (1),

2 2

kZermv

Từ phương trình (2), và (3), thay kí hiệu vận tốc và bán kính của trạng thái thứ n là vn và rn:

2 2

mv  mv =>

2 n

kZev

2 2

(iv) Tần số của electron ở quỹ đạo dừng thứ n (số vòng quay được trong một giây của

electron trên quỹ đạo dừng n) Kí hiệu tần số là f n

4πε

r 0, 053 nmme

 gọi là hằng số cấu trúc tế vi (fine – structure constant)

có ý nghĩa về độ mạnh tương đối của tương tác điện từ giữa hai hạt điện tích, chẳng hạn giữa một electron và một proton

* Năng lượng trạng thái dừng thứ n

- Năng lượng trạng thái dừng thứ n :

- Các trạng thái có năng lượng cao hơn được gọi là trạng thái kích thích: E2 ; E3,…

- Năng lượng ion hóa của nguyên tử: Wion hoa EE113, 6 eV

* Sự phát xạ (hấp thụ photon) của nguyên tử hidro

Giả sử nguyên tử thực hiện một chuyển dời tới trạng thái có năng lượng thấp hơn với số lượng tử nf sao cho n1 < n2 Nếu một photon có năng lượng hf được phát ra trong chuyển dời này do bảo toàn năng lượng:hf En2En1

1, 09787.10 A 8

Theo công thức vị trí khối tâm, ta có

Cả electron và hạt nhân đều chuyển động quay quanh khối

tâm cùng tốc độ góc ω, momen động lượng của hệ đối với

- Trong các công thức theo mẫu nguyên tử Bohr , ta thay khối lượng electron m bằng khối lượng rút gọn của hệ , còn các đại lượng khác giữ nguyên, lưu ý r là khoảng cách từ khối lượng rút gọn cả hệ đến khối tâm, gốc tọa độ nằm ở khối tâm

- Hằng số Rydberg: Thay cho R là hằng số Rydberg R H có giá trị bằng

1 o 3

1, 0968.10 A 1

H

R R

m M

Sự khác nhau giữa R và R H phụ thuộc vào khối lượng của hạt nhân

(viii) Quang phổ vạch của nguyên tử Hidro

Xét cho nguyên tử Hidro, khi electron ở các trạng thái kích thích chuyển về các trạng thái có năng lượng thấp hơn sẽ phát xạ ra các photon (các bức xạ) với các tần số khác nhau

Vì vậy, quang phổ của nguyên tử Hidro là quang phổ vạch (như hình vẽ)

c Hạn chế của mẫu nguyên tử Bohr

Thành công của thuyết Bohr là tính khá chính xác các bước sóng của quang phổ nguyên

tử Hydro, nó chứa đựng sự hỗn hợp giữa vật lý cổ điển xưa cũ và các ý tưởng lượng tử, là bước đầu của lý thuyết lượng tử về cấu trúc nguyên tử

Tuy nhiên, các tiên đề của Bohr không có cơ sở để đưa ra và về mặt thực nghiệm nó cũng không chính xác cho nguyên tử thứ hai trong bảng phân loại tuần hoàn là Helium

Dựa trên quan điểm lượng tử đó, sau này các nhà khoa học đã xây dựng lý thuyết hoàn chỉnh hơn đó là lý thuyết cơ học lượng tử

3.4 Mô hình nguyên tử theo cơ học lượng tử

3.4.1 Sóng De Broglie

a Lưỡng tính sóng hạt của hạt vật chất - Giả thuyết Đơ-Brơi (Đe Broglie)

- Ánh sáng có tính chất sóng, đặc trưng bởi bước sóng  hoặc tần số c

- Khi nghiên cứu về sóng De Broglie, có thể diễn tả nó bằng một hàm phức  ( , , , )x y z t

gọi là hàm sóng, không trực tiếp có ý nghĩa vật lý, mà bình phương mô đun 2

 có ý nghĩa xác suất X, để thấy electron ở điểm x,y,z và tại thời điểm t

- Hàm sóng dẫn đến một cách tự nhiên việc lượng tử hóa các đại lượng vật lí trong thế giới vi mô (theo cơ học lượng tử), cụ thể:

+ Sự lượng tử hóa của momen động lượng: Electron là sóng chuyển động quanh proton

Ở trạng thái ổn định thì sóng này phải là sóng dừng, nghĩa là chiều dài bán kính Bohr 2 r

phải chứa một số nguyên lần bước sóng De Broglie của electron

  , ta có được các giá trị khả dĩ của E

2 2 28



=> Năng lượng bị lượng tử hóa, n là lượng tử số chính Mức thấp nhất của năng lượng là E0

3.4.2 Nguyên lí bất định Hexenbéc

- Nhận xét :

+ Lưỡng tính sóng hạt của hạt vi mô không cho phép ta gán cho chúng toàn bộ tính chất của hạt hay của sóng Phải có một giới hạn nào đó cho việc áp dụng vào các vật vi mô những khái niệm đặc trưng cho các hạt trong cơ học cổ điển

+ Trong cơ học cổ điển, trạng thái của hạt ở một thời điểm được đặc trưng bằng một

vị trí nhất định trong không gian và một xung lượng nhất định, vị trí và xung lượng có thể đồng thời xác định một cách chính xác

+ Vì hạt vi mô có tính chất sóng hạt nên không thể đặc trưng trạng thái của nó như thế được vì có thể vị trí và xung lượng của nó không đồng thời xác định dẫn đến phải tìm một hệ thức để xác định được mức độ chính xác của những khái niệm này Hệ thức đó gọi là hệ thức bất định Hexenbec

z

- Ý nghĩa vật lý của nguyên lý bất định

+ Nguyên lý bất định đã khẳng định là trong cùng một thí nghiệm không thể đồng thời

đo được các giá trị của hai đại lượng liên hợp (như px và x hay E và t) với độ chính xác tùy ý

Từ đó suy ra rằng các tính chất sóng và hạt của vật chất không thể xác định được đồng thời trong cùng một thí nghiệm

+ Hệ thức (1.2) cho phép xác định được bề rộng tự nhiên của vạch quang phổ: Vạch quang phổ thể hiện sự chuyển của hệ vi mô giữa hai mức năng lượng (theo tiên đề Bohr) :

3.4.3 Mô hình nguyên tử theo cơ học lượng tử

Cơ học lượng tử đã thành công trong việc giải thích cấu trúc của các nguyên tử Về cấu tạo nguyên tử giống của mẫu Bohr, và các kết quả bổ sung từ cơ học lượng tử Áp dụng cho nguyên tử hidro nó đã dẫn đến sự lượng tử hóa nhiều đại lượng vật lý và năng lượng nói riêng

a Năng lượng của nguyên tử hidro ở trạng thái dừng thứ n

2 ( ) ( )

1, 09787.10 A( )

ke mc R

+ Momen động lượng của electron tính theo công thức: L (  1)

+ Với giá trị n đã cho, nguyên tử chỉ có thể có n giá trị khả dĩ của mômen động

lượng Điều này cho thấy mômen động lượng được bảo toàn và lượng tử hoá

- Số lượng tử từ: m 0, 1,  2, ,  ( Với một giá trị của l, thì m có 2l + 1 giá

trị) Ý nghĩa: Thành phần này cho biết hướng của vectơ L , thông qua việc cho biết hình chiếu của L lên một phương xác định (phương z) Nếu đặt nguyên tử trong từ trường có phương z thì momen động lượng L bị lượng tử hóa không gian (có những hướng khác nhau),

và hình chiếu của nó xuống phương z bị lượng tử hóa, cụ thể: Lz m

- Số lượng tử spin: chỉ có hai giá trị 1

m2

s   ứng với hai spin ngược chiều nhau

Ý nghĩa: Khi electron chuyển động tự quay (spin), có momen động lượng tự quay S, cũng bị lượng tử hóa, nhưng hình chiếu xuống phương của từ trường chỉ có hai hướng, cùng chiều hoặc ngược chiều: Sz  ms

d Momen từ của nguyên tử

Trong nguyên tử, electron chuyển động trên quỹ đạo tròn Do electron mang điện nên khi chuyển động như vậy với một tần số lớn thì sự chuyển động đó tương đương với một dòng

điện có cường độ được tính bằng tích số của điện tích electron (e) nhân với số lần electron đi qua một điểm cho trước trong một giây (f) Ta có:

2 e

e L m

 Thay các điều kiện tượng tử hóa, ta có

e Mô hình nguyên tử được chấp nhận ngày nay như sau:

- Nguyên tử được tạo thành từ một hạt nhân mang điện tích dương nằm ở tâm nguyên

tử và các electron mang điện tích âm chuyển động xung quanh

- Hạt nhân được tạo thành từ các hạt proton mang điện tích dương và các hạt nơtron không mang điện Mỗi nguyên tố chỉ có một số proton duy nhất nhưng có thể có số notron khác nhau (các nguyên tố này được gọi là các đồng vị)

- Các electron chuyển động xung quanh hạt nhân trên các quỹ đạo (orbital) Sự sắp xếp của các quỹ đạo trong nguyên tử được gọi là cấu hình electron Mỗi quỹ đạo được đặc trưng bởi ba số lượng tử là: số lượng tử chính, số lượng tử phương vị (quỹ đạo) và số lượng tử từ Trên mỗi quỹ đạo có thể có hai điện tử, nhưng hai điện tử này phải có một số lượng tử thứ tư

II BÀI TẬP VỀ MẪU NGUYÊN TỬ

Mô hình nguyên tử của Thomson

Bài 1: (Sách Lim)

Mẫu nguyên tử “ bánh putding” đưa ra bởi J.J Thomson trong thời kì đầu của lý thuyết nguyên tử bao gồm một quả cầu có bán kính a, tích điện dương với giá trị bằng Ze, Z là một

số nguyên và e là điện tích nguyên tó Electron, có điện tích –e , được xem là điện tích điểm nằm bên trong điện tích dương

a Tìm lực tác dụng lên một electron như là hàm của khoảng cách r của nó tính từ tâm

của quả cầu cho nguyên tố hydro

b Electron sẽ thực hiện loại chuyển động gì?

c Tìm biểu thức cho tần số của chuyển động này?

Hướng dẫn giải

a Đối với nguyên tử hydro có Z = 1, bán kính a, mật độ điện tích dương là

3 3

πa 3

Khi một electron đặt tại khoảng cách r đối với tâm của quả cầu, chỉ có điện tích dương

ở bên trong quả cầu bán kính r có thể ảnh hưởng lên electron và lực tĩnh điện tác dụng lên electron là

2 3

    hướng về tâm quả cầu

b Dạng của lực F(r) chỉ ra rằng chuyển động của electron là dao động điều hòa

c F(r) có thể viết dưới dạng F(r) kr ở đây ,

2 3 0

ek4πε a



Tần số góc của dao động điều hòa như vậy sẽ là

2 3

Dựa vào mẫu Thomson, tính bán kính nguyên tử Hidro và bước sóng ánh sáng do nó phát

ra nếu biết năng lượng ion hóa của nguyên tử là E = 13,6 eV

Hướng dẫn giải

* Theo mẫu nguyên tử Thomson, điện tích dương e phân bố đều trong hình cầu bán kính R, nên có lực của điện tích dương tác dụng lên electron là

2 2 0 2 3 0

1 ; 4

1

; 4

e

r F

Mặt khác có : W  Fdr nên :

2 1 0

2 2

2 3 0

1

; 4

0

= 0 3

2 4

C

e C

2 0

e







Bài 3 (Trích đề thi HSGQG năm 2015)

Trước khi mẫu nguyên tử Bo ra đời thì nhà bác học Tôm-sơn đã đưa ra một mô hình khác

về nguyên tử Ông coi nguyên tử gồm một “giọt chất lỏng” hình cầu mang điện tích dương

và êlectron là hạt mang điện tích âm “bơi” trong quả cầu đó

Xét một nguyên tử hiđrô theo mô hình trên có bán kính R = 10-10 m, điện tích dương được phân bố theo một quy luật nào đó có tính đối xứng cầu với tổng điện tích 19

Q 1, 6.10  C, còn êlectron thì dao động bên trong giọt chất lỏng này Giả thiết giọt chất lỏng nằm cố định và có khối lượng 27

M 1, 67.10  kg; chất lỏng có hằng số điện môi  = 1; êlectron có khối lượng 31

m  9,1.10 kg và điện tích 19

q   1, 6.10 C được coi như là chất điểm so với nguyên tử Bỏ qua tác dụng của trọng lực

1 Điện tích dương của nguyên tử này phải được phân bố theo quy luật nào? Biết rằng,

nếu thay vì dao động quanh tâm, êlectron có thể quay đều với tốc độ góc 0 như nhau trên vòng tròn bán kính r có giá trị bất kỳ (r  R) dưới tác dụng của lực tĩnh điện Tính 0

2 Theo cách phân bố điện tích trên, nếu êlectron dao dộng trong nguyên tử thì êlectron

có dao động điều hòa không? Tìm chu kỳ dao động của êlectron và so sánh với chu kỳ quay tròn trong ý 1 câu III

Nếu chỉ xét nguyên tử với sự vắng mặt của êlectron:

3 Tính thế năng tĩnh điện và thế năng hấp dẫn của quả cầu nguyên tử này So sánh giá

trị của hai loại thế năng nói trên và biện luận về vai trò của thế năng hấp dẫn trong trường hợp này Coi rằng sự phân bố khối lượng có cùng quy luật với phân bố điện tích

4 Do có dạng giống như giọt chất lỏng nên nguyên tử có hệ số căng bề mặt là  Bán kính R ở trên chính là bán kính cân bằng ổn định của nguyên tử này Tính 

r

3

3 m Q

r 3

2 Dễ nhận ra rằng, lực quả cầu tác dụng vào êlectron có dạng của lực kéo về trong dao

động điều hòa Vì vậy êlectron sẽ dao động điều hòa trong quả cầu với tốc độ góc đúng bằng

0 và chu kỳ dao động đúng bằng chu kỳ quay của êlectron

3 Khi quả cầu đã có bán kính r, công để “đắp thêm” một điện tích làm bán kính của

nó tăng thêm một lượng dr, bằng độ tăng thế năng của quả cầu:

2 2 4

r r E

4 E

3GMW

2 2

Bài 4: (Trích đề HSGQG 2020) Nghiên cứu cấu tạo nguyên tử

Đầu thế kỉ 20, để kiểm tra tính “đúng đắn” của mô hình nguyên tử “mứt mận” do Tôm–sơn đề xuất, Gây – ơ và Mat – xđen (dưới sự hướng dẫn của Rơ – dơ – pho) đã tiến hành bắn phá các lá kim loại mỏng bằng các hạt  phóng xạ từ khí radi bromua (RaBr2) Theo như tiên đoán, với động năng lên tới hàng MeV, tất cả các hạt  sẽ xuyên qua tất cả các lá kim loại chắn nó Tuy nhiên, kết quả của các thí nghiệm lại cho thấy vẫn có một số hạt  bị lệch

đi so với phương chuyển động bann đầu những góc rất lớn, thậm chí có hạt còn gần như quay ngược trở lại Điều này chứng tỏ hoặc là (1) các nguyên tử phải rất cứng, không gì xuyên thủng được nó hoặc là (2) hạt nhân của chúng phải thật nhỏ để tạo ra được một điện trường rất mạnh, đủ sức đẩy lùi được các hạt mang điện có động năng cực lớn

Xét trường hợp hạt nguyên tử theo mẫu Tôm –

sơn, nguyên tử được coi như những quả cầu cứng

Chiếu dòng  có lưu lượng I0 (hạt/s), tiết diện đều S

rất bé, về phía lá vàng (khối lượng riêng ) đủ mỏng

có bề dày  Coi sự va chạm giữa hạt  với nguyên

tử vàng là va chạm đàn hồi giữa quả cầu có khối lượng

m, đường kính d, động năng T, dưới khoảng nhằm b

với quả cầu có khối lượng M, đường kính D được giữ

cố định (hình 3) Coi mỗi hạt  chỉ tán xạ trên một hạt nguyên tử vàng Sau va chạm, các hạt

 tán xạ dưới góc tán xạ 

1 Hãy xác định góc tán xạ  của dòng hạt 

2 Tìm mật độ dòng tán xạ toàn phần J của các hạt  dưới góc tán xạ  ở vị trí khi đã

đi xa tâm của nguyên tử M một khoảng r >> D + d Thực nghiệm cho thấy mật độ dòng tán

xạ toàn phần J tỉ lệ nghịch với 4

sin 2



 

 

  So sánh kết quả tìm được với kết quả thực nghiệm,

có nhận xét gì về mẫu nguyên tử Tôm – sơn

Hướng dẫn giải

(Lời giải đề xuất bởi Nguyễn Xuân Tân, Vietnam National University)

1 Theo mô hình “quả cầu cứng” của mẫu

Thomson, va chạm giữa các quả cầu “hạt  ”

với quả cầu “ hạt nguyên tử vàng” là đàn hồi

Xét “hạt  ” bay tới với vận tốc v , va chạm

với “nguyên tử vàng” ởviị trí có vecto bán kính

hợp với phương của v một góc tới

Do không có ma sát và “nguyên tử vàng” được

giữ cố định nên sau khi va chạm, “hạt  ” bị nảy ra với góc phản xạ cũng bằng 

2 Với dòng hạt gửi tới tiết diện vi phân d  2bdb (khoảng nhắm nằm trong khoảng

từ b đến bdb), mật độ dòng hạt  tán xạ trong đơn vị góc khối d  2 sin  d , ứng với mỗi nguyên tử vàng là

4

Au scattered

Mô hình nguyên tử Rutherford

Bài 1

Xét một nguyên tử hydro, bao gồm một proton có khối lượng, hiệu dụng mà nói, lớn vô cùng, và một electron có khối lượng me = 9,11.10-31 kg Proton có điện tích dương e = 1,61.10-19

C còn electron có ðiện tích âm –e, sao cho tổng điện tích của nguyên tử là trung hòa

a Ta biết là đa số nguyên tử là bền và có thể tồn tại rất lâu Ðiều đó có nghĩa là electron

trong nguyên tử không thể đứng yên vì như vậy lực hút sẽ khiến nó rơi vào proton Giả thiết khoảng cách giữa electron và proton bằng 11

0 5.10 m

r   Giả thiết các định luật của vật lý cổ điển có thể được áp dụng, tìm thời gian t1 mà một electron ban đầu đứng yên sẽ rơi vào proton Như vậy, để đảm bảo sự ổn định của nguyên tử hydro, electron phải chuyển động quanh proton giống như các hành tinh quay tròn quanh Mặt Trời Giả thiết quỹ đạo của electron là đường tròn và giả thiết một lần nữa các định luật của vật lý cổ điển vẫn còn áp dụng được

b Theo điện động lực học cổ điển, nếu một electron chuyển động có gia tốc, nó mất

mát năng lượng do bức xạ điện từ Tổng công suất phát xạ bởi điện tích q có gia tốc a được cho bởi công thức:

n

P C a   trong đó C là một số không thứ nguyên (giá trị chính xác là 1/6π),  là một hằng

số vật lý và là hàm của ðiện tích q, c = 3.108 m/s là vận tốc ánh sáng trong chân không, Ɛo = 8,85.10-12 F/m là độ điện cảm chân không, còn n là một hằng số không thứ nguyên Xác định

a Ta có thể sử dụng định luật ba Kepler để tìm thời gian rơi của electron lên proton

Xét chuyển động tròn trên quỹ đạo bán kính r, khi đó phương trình chuyển động của electron:

2

2 0

Trong đó a là bán trục lớn của quỹ đạo elip

Xét chuyển động rơi tự do của electron lên proton như là chuyển động theo một elip dẹt, với ban trục 0

2

r

a Khi đó thời gian rơi của electron bằng nửa chu kì

 

c Tổng năng lượng của electron trong nguyên tử là tổng của động năng và thế năng

Nếu tính đến (1) ta có thể viết tổng năng lượng của electron ở dạng sau

2 2 2 3 0

( )(t)

2 2 3

23

ke

c

 (trong đó

Mô hình nguyên tử Hidro theo mẫu Bohr

Bài 1 (Trích đề thi HSG QG năm 2014)

Lý thuyết nguyên tử Hydro và các ion tương tự Hydro (He+, Li++, ) được Bohr xây dựng dựa trên hệ tiên đề sau:

 Electron mang điện tích  e (e = 1,602.1019C), khối lượng me (me = 9,1094.1031kg) chuyển động trong nguyên tử theo những quỹ đạo tròn bán kính r xung quanh một hạt nhân mang điện tích  Ze dưới tác dụng của lực hút Coulomb

2 2

Ze

F kr

 Khi electron chuyển động trên quỹ đạo dừng thứ n thì nguyên tử không hấp thụ hoặc bức

xạ sóng điện từ và có năng lượng En xác định Nguyên tử chỉ hấp thụ hay bức xạ sóng điện

từ khi chuyển từ một trạng thái dừng này sang một trạng thái dừng khác Tần số của bức xạ

khi nguyên tử chuyển từ trạng thái dừng có năng lượng En về trạng thái dừng có năng lượng

1 Tính bán kính quỹ đạo rn và năng lượng En của electron

2 Biết thời gian sống của trạng thái kích thích thứ nhất là 108s, tính số vòng mà

electron thực hiện được quanh hạt nhân nguyên tử Hydro trong trạng thái này

3 Khi nguyên tử chuyển từ trạng thái dừng có năng lượng En về trạng thái dừng có

năng lượng Em thấp hơn nó bức xạ photon có bước sóng nm thỏa mãn công thức

R được gọi là hằng số Rydberg lý thuyết Tìm biểu thức của R và tính giá trị của nó

4 Trong các tính toán lý thuyết trên, hạt nhân được giả thiết là đủ nặng so với electron

và xem khối lượng của hạt nhân là lớn vô cùng Trong thực tế khối lượng của hạt nhân nguyên

tử Hydro và hạt nhân nguyên tử Heli lần lượt là mH  1836me và mHe  7298,33me

a) Tìm biểu thức chính xác và tính giá trị của hằng số Rydberg RH của nguyên tử

Hydro

b) Tính hằng số Rydberg RHe cho ion He +

c) Tính hiệu số giữa bước sóng của vạch quang phổ ứng với sự chuyển dời 3  2 của

Hydro và bước sóng của vạch quang phổ ứng với sự chuyển dời 6  4 của ion He+

Với a là quỹ đạo Bohr thứ nhất cho nguyên tử Hydro

Năng lượng chuyển động của electron trên quỹ đạo n:

10 2



3 Tần số và bước sóng bức xạ điện từ khi electron chuyển từ trạng thái En về trạng

thái Em được tính bằng công thức:

n m nm

nm

E E c

  là biểu thức và giá trị lý thuyết của hằng số Rydberg

4a Trong biểu thức lý thuyết của hằng số Rydberg, chúng ta thay khối lượng me bằng

e e e



 và ZH  1, ZHe 2 nên biểu thức trong ngoặc cho Hydro và cho Heli đều bằng 5/36 và hiệu của các bước sóng được xác định từ hiệu các hằng số Rydberg

r  , E0  13, 6 eV; n = 1, 2, 3,… tương ứng với quỹ đạo K, L, M,

a Khi êlectrôn từ trạng thái n = 4 về trạng thái cơ bản thì nguyên tử phát xạ photon có

năng lượng là bao nhiêu?

b Tìm 2 bước sóng giới hạn của dãy Lai man, biết rằng các vạch phổ của dãy Lai man

ứng với sự chuyển từ trạng thái n>1 về trạng thái n = 1

c Biết bước sóng của 4 vạch đầu tiên trong dãy Banme là  0, 65 μm;   0, 486 μm

;   0, 434 μm;   0, 41 μm Hãy tính các bước sóng ứng với 3 vạch đầu tiên của dãy Pasen thông qua các bước sóng đó

d Khi nguyên tử Hidro đang ở trạng thái cơ bản với n = 1 hấp thụ ánh sáng có bước

sóng thích hợp thì bán kính quỹ đạo tăng lên 9 lần Hãy tính các bước sóng khả dĩ của bức xạ

mà nguyên tử Hidro có thể phát ra?

e Người ta cung cấp cho nguyên tử Hidro ở trạng thái cơ bản lần lượt các năng lượng

6 eV, 12,75 eV, 18 eV để tạo điều kiện cho nó chuyển sang trạng thái khác Trong trường hợp nào nguyên tử chuyển sang trạng thái mới và đó là trạng thái nào?

Hướng dẫn giải

a Năng lượng photon phát ra: 4 1 13, 62

13, 6 12, 75 eV4

b Trong dãy Laiman:

+ Bước sóng dài nhất của dãy ứng với sự chuyển từ trạng thái n = 2 về n = 1

+ Bước sóng ngắn nhất của dãy ứng với sự chuyển từ trạng thái n = ꝏ về n = 1

+ Năng lượng cung cấp là 18 eV > Wion hóa = 13,6 eV => Nguyên tử bị ion hóa, electron bị bứt ra khỏi nguyên tử hidro và nhận thêm động năng K e 18 13, 64, 4 eV

* Chú ý: Năng lượng ion hóa là năng lượng cần thiết để electron từ trạng thái cơ bản chuyển

lên trạng thái E 0 => Wion hoa EE113, 6 eV

Bài 3 (Trích đề HSGQG năm 2019)

Nghiên cứu quang phổ của nguyên tử Hidro đóng vai trò quan trọng trong việc hoàn thiện mô hình về cấu trúc nguyên tử Trong bài này chúng ta khảo sát các vạch quang phổ phát xạ của nguyên tử Hidro Theo mẫu Bo về cấu trúc nguyên tử, năng lượng của các trạng

thái dừng trong nguyên tử Hidro ứng với quỹ đạo n được tính theo công thức

0

2 2

1

( , , , )32

Trong đó n là các số nguyên dương, F là một hàm số bằng tích số và/hoặc thương số

của hằng số điện 0, điện tích nguyên tố e, khối lượng nghỉ m e của electron và hằng số Planck

rút gọn được xác định qua hằng số Plang h theo công thức

2

h





a Công thức xác định sự phụ thuộc của đơn vị đo một đại lượng nào đó vào các đơn

vị đo cơ bản được gọi là thứ nguyên của đại lượng đó Sử dụng phép phân tích thứ nguyên, hãy xác định hàm số F ( , , , ) 0 m ee

b Tìm biểu thức bước sóng n của vạch quang phổ được tạo thành do nguyên tử Hidro chuyển từ trạng thái kích thích ứng với quỹ đạo n về trạng thái cơ bản theo 0, , , m ee và c (tốc

độ ánh sáng trong chân không)

2 Trên thực tế, các vạch quang phổ của nguyên tử hidro có độ rộng nhất định Trong

mục này chúng ta khảo sát độ rộng n của bước sóng n (ứng với quang phổ tìm được trong

ý 1.b) do một số nguyên nhân khác nhau gây ra một cách độc lập

a Khi các nguyên tử hidro nằm trong môi trường có nhiệt độ xác định thì các nguyên

tử bức xạ tham gia chuyển động nhiệt hỗn loạn với tốc độ trung bình là v Do hiệu ứng Đốp – ple (Doppler), vạch quang phổ tương ứng với vước sóng n có độ rộng D

n



 Tìm biểu thức của D

Do hàm F 0,m e e, ,  được xem như một tích và (hoặc) thương của hằng số điện 0, điện

tích nguyên tố e, khối lượng nghỉ m e của electron và hằng số Planck rút gọn , do đó, theo phương pháp thứ nguyên ta có thể đặt:  0, , ,  0

e

e

F  m e m e   , với     , , , là các số nguyên không thứ nguyên

32

e n

m e E

e n

0

641

n

e

c n



 , khi người quan sát (NQS) thấy HQC hidro chuyển động nhiệt với vận tốc v thì NQS thu được tần số f thỏa mãn biến đổi Lorentz cho xung – năng lượng

2 2

2 1

1

n n

f

c v

1

11

vn

vn c

c v

(do trong chuyển động nhiệt v <<c), n là vecto đơn vị theo phương truyền sóng, ta thấy f lớn

nhất khi v cùng chiều n và nhỏ nhất khi v ngược chiều n, do đó độ lệch của tần số đo được trên máy thu là

b Hệ thức bất định liên hệ năng lượng của một hạt chuyển trạng thái vĩ mô và thời

gian tồn tại của một hệ vi mô và thời gian sống t của nó:   E n t , (*1) từ đây sinh ra hệ quả: chỉ có ở trạng thái cơ bản tồn tại rất lâu (t rất lớn) mới có năng lượng xác định, các trạng thái kích thích En chỉ tồn tại trong một thời gian   t hữu hạn, nên có hệ thức bất định : E n

p c

Bài 4 (Đề thi chọn ĐT Olympic 2013)

Nghiên cứu nguyên tử hiđrô theo mẫu nguyên tử Bohr Nguyên tử hiđrô được coi như

hệ cô lập gồm hai hạt mang điện bao gồm hạt nhân có khối lượng M mang điện tích dương e

và êlectron có khối lượng m mang điện tích – e Êlectron chuyển động trên các quỹ đạo dừng, xác định dưới tác dụng của lực hút Coulomb Biết khi êlectron chuyển động trên quỹ đạo dừng thứ n, momen động lượng của nguyên tử có giá trị

19

1, 6.10

e  C; khối lượng hạt nhân M  1836m

1 Tính vận tốc của êlectron khi nó chuyển động trên quỹ đạo dừng ứng với n = 1 và

xác định các tần số ánh sáng mà nguyên tử hiđrô có thể hấp thụ khi nó đang ở trạng thái cơ bản

2 Giả thiết quỹ đạo dừng của êlectron là các đường tròn đồng phẳng, đồng tâm Người

ta đặt nguyên tử vào một từ trường đều có cảm ứng từ B vuông góc với mặt phẳng quỹ đạo của êlectron và B có độ lớn rất nhỏ Giả thiết rằng êlectron vẫn chuyển động trên quỹ đạo tròn trong mặt phẳng vuông góc với từ trường Tìm biểu thức xác định bán kính quỹ đạo dừng

và các mức năng lượng của êlectron

Hướng dẫn giải

1 Gọi khoảng cách giữa electron và hạt nhân là r Hạt nhân và electron chuyển động

tròn quanh khối tâm hệ với tốc độ góc ω

Khoảng cách từ chúng đến khối tâm là rm , rM

2 Khi đặt trong từ trường, xuất hiện lực Lorentz nằm trong mặt phẳng quỹ đạo và luôn

vuông góc với vận tốc Lực Lorentz ngược chiều với lực Culong nếu chiều chuyển động của electron và chiều từ trường tuân theo quy tắc đinh ốc và cùng chiều nếu electron chuyển động theo chiều ngược lại Với từ trường yếu thì mỗi bán kính quỹ đạo bây giờ tách thành 2 quỹ đạo có bán kính gần nhau rn , trong đó dấu “+” ứng với chuyển động ngược, và dấu “-“ ứng với chuyển động thuận

Quy tắc lượng tử hóa bây giờ vẫn giữ nguyên Tuy nhiên định luật II Newton bây giờ trở thành

-mke ± m k e -4eBLr

2eBL

Ứng với dấu “+” chỉ có 1 nghiệm dương:

n

- mke m k e + 4eBLr

 tức là rất lớn, electron gần như chuyển động tự do Ta chỉ xét hai nghiệm ứng với hai quỹ đạo bán kính nhỏ

Các nguyên tử, ion tương tự Hidro theo mẫu Bohr

Bài 1: (Sách Lim) Sử dụng mẫu nguyên tử của Bohr,

a suy ra biểu thức đối với mức năng lượng của ion He

b tính toán năng lượng của trạng thái l 1, trong một từ trường, bỏ qua spin của electron

24

L r

 , là vận tốc góc được cho bởi 2

Lmr , T là chu kì của chuyển động tròn Đối với l 1, L  và momen từ của electrn do chuyển động trên quỹ đạo của nó là

0 , ( )

, ( / / ) 2

Bài 2 (Đề thi HSG Trung Quốc)

Giả sử rằng mô hình nguyên tử Bohr được sử dụng cho trạng thái cơ bản của nguyên

tử Helium, mỗi electron chuyển động theo quỹ đạo tròn quanh hạt nhân với cùng bán kính và moomen động lượng , với

2

h



 , trong đó h là hằng số Planck

a Nếu sự tương tác giữa các electron bị bỏ qua, năng lượng ion hóa bậc nhất của

nguyên tử helium bằng bao nhiêu eV? Năng lượng ion hóa bậc nhất là năng lượng cần thiết

để di chuyển một electron trong số các electron ra vô cùng

b Năng lượng ion hóa bậc 1 của nguyên tử helium đo được trong thực nghiệm là 24,6

eV Nếu sự tương tác giữa các electron được xem xét trên cơ sở mô hình Bohr ở trên, giả định thêm rằng hai electron luôn ở hai đầu của một đường kính đi qua hạt nhân helium Sử dụng

mô hình này xác định bán kính quỹ đạo r0 của electron, năng lượng trạng thái cơ bản E0 và

năng lượng ion hóa bậc 1 E thu được, so sánh với năng lượng ion hóa bậc nhất đo được bằng thực nghiệm của các nguyên tử helium

Cho: khối lượng electron là 2

0, 511 MeV c

m , cho c 197, 3 eV (c là tốc độ ánh sáng trong chân không)

Hướng dẫn giải

a Nguyên tử helium có 2 electron Năng lượng ion hóa bậc 1 E là năng lượng cần thiết để di chuyển 1 trong số các electron ra vô cực, thỏa mãn: HeE Hee Để thu được năng lượng ion hóa bậc 1 E của nguyên tử heli, cần có năng lượng *

E của hệ thống ion heli sau khi ion hóa (hệ thống gồm một electron chuyển động quay xung quanh hạt nhân)

c

Vì tương tác giữa các electron không được tính, năng lượng E0 cả trạng thái cơ bản của nguyên

tử heli gấp đôi giá trị đó, nghĩa là

b Hai giải pháp tìm năng lượng trạng thái cơ bản E0 và bán kính r0 của nguyên tử heli:

ke mc E

c r

So với giá trị thực nghiệm là 24,6 eV thì vẫn lớn hơn 4,4 eV

Giải pháp 2: sử dụng năng lượng

cho trường hợp trên được không?

Hướng dẫn giải

* Nhận xét: Đây là bài toán bất định Heisenberg, dựa vào hệ thức giữa độ bất định của tọa độ

và động lượng có thể xác định được độ bất định về tọa độ x Nếu tọa độ bất định mà lớn hơn đường kính quỹ đạo Bohr thứ nhất thì ta không thể áp dụng được khái niệm quỹ đạo cho

trường hợp này (giống như trường hợp tín hiệu nhiễu lại lớn hơn tín hiệu cần đo thì không thể xác định được tín hiệu đo)

- Độ bất định về tọa độ x của hạt electron trong nguyên tử hidro là

* Nhận xét: Trạng thái cơ bản với thời gian sống    t  => Áp dụng hệ thức bất định ta

dễ dàng tìm được độ rộng mức năng lượng của electron trong nguyên tử hidro

Bài 3: (Đề thi chọn ĐT Olympic năm 2012)

Trong mẫu nguyên tử Bohr, khi êlectron chuyển động quanh hạt nhân trên quỹ đạo dừng thứ n thì momen động lượng của nó bằng một số nguyên lần hằng số Planck rút gọn n

L  n Mẫu nguyên tử Bohr đã cơ bản giải thích được cấu trúc quang phổ vạch của hiđrô Tuy nhiên khi sử dụng máy quang phổ hiện đại người ta nhận thấy thực tế mỗi vạch trên lại bao gồm 2 vạch nằm sát nhau và quang phổ như vậy gọi là quang phổ có cấu trúc tế vi Nguyên nhân của sự tách vạch này là do êlectron không chỉ chuyển động trên quỹ đạo quanh hạt nhân mà còn chuyển động tự quay quanh trục qua tâm của nó với momen động lượng tự quaySgọi là spin và chuyển động tự quay này sinh ra momen từ gọi là momen từ spin Tùy thuộc vào định hướng của spin và chuyển động quỹ đạo của êlectron, năng lượng của êlectron

có thể tăng hoặc giảm một chút so với khi không tính đến spin Trong bài toán này ta sẽ nghiên cứu sự tách vạch quang phổ được mô tả ở trên do tương tác spin-quỹ đạo gây ra bằng mô hình giả định bán cổ điển khi coi êlectron như một quả cầu đặc tích điện đều có điện tích e, khối lượng m quay đều xung quanh một trục đối xứng của nó

1 Biết momen động lượng ứng với chuyển động tự quay của êlectron có độ lớn S  s (s = 1/2) Hãy tính momen từ spin của êlectron do sự tự quay gây nên Nhận xét về kết quả

thu được so với momen từ spin của êlectron thực tế là   s 2s Bvới B e

2m

  là manheton Bohr

Cho biết momen từ của một dòng điện tròn có cường độ I chạy

quanh một mặt có diện tích A là  qd I.A.e (elà vectơ pháp tuyến

mặt của A) (Hình vẽ)

2 Khảo sát êlectron đang chuyển động trên quỹ đạo thứ n trong nguyên tử hiđrô Xét

trong hệ quy chiếu gắn với khối tâm của êlectron, hạt nhân mang điện tích chuyển động và sinh ra từ trường Spin của êlectron bị lượng tử hoá, hình chiếu của nó lên phương từ trường chỉ có thể nhận một trong hai giá trị  s ,với s = ½ Tính năng lượng tương tác của từ trường hạt nhân và momen từ spin của êlectron qua n, s, hằng số tế vi

2 0 0

e4

2

0

1 k 4



 ;  0là hằng số điện; 0là độ từ thẩm của chân không) Cho biết: - Momen từ spin của êlectron là   s 2s B

- Năng lượng tương tác giữa momen từ M và từ trường BlàU   M.B.

3 Khi chuyển từ hệ quy chiếu gắn với êlectron ở trên về hệ quy chiếu phòng thí

nghiệm, do hiệu ứng tương đối tính Thomas, năng lượng tương tác vừa tính ở ý 2 giảm đi một nửa giá trị Hãy tính hiệu bước sóng của hai vạch kép khi êlectron chuyển từ trạng thái kích thích ứng với n = 2 về trạng thái cơ bản (trạng thái có năng lượng thấp nhất)

4 Các vạch sáng trong quang phổ của nguyên tử hiđrô có độ rộng Điều này có thể

giải thích là do các mức năng lượng có tính bất định (bất định Heisenberg) và do chuyển động nhiệt của các nguyên tử Bỏ qua sự bất định Heisenberg, bỏ qua tương tác spin-quỹ đạo, hãy đánh giá bề rộng của vạch phổ do êlectron chuyển từ trạng thái kích thích ứng với quỹ đạo n

về trạng thái cơ bản gây nên Cho biết nguyên tử hiđrô nằm trong môi trường có nhiệt độ T

Hướng dẫn giải

1 Gọi  là vận tốc góc của chuyển động quay, a là bán kính quả cầu

Momen động lượng spin 2 2

Đặt b  acos  và tích phân theo toàn khối cầu ta có S 4 5 1 2

    (2), trong đó B gọi là magneton Bohr

Nhận xét: Kết quả tính được chỉ bằng một nửa giá trị lý thuyết theo cơ học lượng tử

2 Hạt chuyển động tròn đều trên quỹ đạo rn:

- Điều kiện lượng tử hóa Bohr có dạng n n

2 r 2m rT

2 B

2

eke2m

Khoảng cách giữa hai bước sóng

2 y 5

2

y 2

4 Khi nguyên tử đứng yên và không tính đến spin, phôton phát ra khi êlectron chuyển

từ quỹ đạo n về trạng thái cơ bản có bước sóng n

m

 theo các hướng khác nhau Do nguyên tử chuyển động, bước sóng của phôton phát ra tăng hoặc giảm

do hiệu ứng Doppler

- Gọi v là vận tốc nguyên tử Giả sử phôton bay ra cùng (ngược) hướng với vận tốc

nguyên tử, photon thu được có bước sóng n n c v

Mẫu nguyên tử Hidro có kể đến tương đối tính

Bài 1: Thời gian sống của nguyên tử hidro theo mẫu Bohr

Trong mẫu nguyên tử Bohr của nguyên tử hidro ở trạng thái cơ bản, electron chuyển động trên quỹ đạo tròn có bán kính 10

0 0,53.10

r   m chuyển động quanh proton, coi như cố định trong không gian) Khi electron chuyển động có gia tốc, theo điện động lực học cổ điển,

nó liên tục bức xạ năng lượng, và do đó, bán kính quỹ đạo giảm dần theo thời gian

a Giả sử rằng êlectron luôn ở trong một quỹ đạo gần tròn và sự bức xạ năng lượng

tính theo điện động lực học phi tương đối tính Thời gian rơi của êlectron là bao lâu để êlectron chuyển động xoắn ốc vào hạt nhân?

b Sự phân bố điện tích của một proton có bán kính khoảng 15

10 m, vì vậy phép tính

cổ điển sẽ được sửa đổi khi bán kính quỹ đạo của electron nhỏ hơn mức này Nhưng ngay cả trước khi điều này xảy ra, các sửa đổi có thể được yêu cầu do các hiệu ứng tương đối tính Dựa trên phân tích của phần a) ở bán kính nào ứng với vận tốc của nó cỡ 0,1c, trong đó c là tốc độ ánh sáng sao cho các hiệu chỉnh tương đối tính trở nên quan trọng? Thời gian rơi còn lại của electron theo phần a) khi vận tốc của electron đạt 0,1c ?

c Các hiệu chỉnh tương đối tính sẽ làm tăng hay giảm thời gian rơi của êlectron?

Thật khó để xác định dấu hiệu của sự hiệu chỉnh hàng đầu khi vận tốc hướng tâm của điện tử bức xạ tiến gần đến tốc độ ánh sáng

Hướng dẫn giải

a Sự mất mát năng lượng chủ yếu là từ sự bức xạ của lưỡng cực điện từ, tuân theo

công thức Larmor (trong hệ đơn vị Gauss)

2 2 3

23

dt   c (1) Trong đó, a là gia tốc của electron Cho 1 electron có điện tích – e và khối lượng nghỉ m0 ở quỹ đạo có bán kính r đối với hạt nhân cố định có điện tích +e, thành phần lực hướng tâm không kể đến tương đối tính, Fm a0 , được viết bởi

2 2

v e

3 0 0

0

22

  là bán kính electron cổ điển (the classical radius) Năng lượng tổng

cộng không tương đối tính (động năng và thế năng) là

0

4

a t

r e

Khi r 100r0 thì thời gian t tính từ phương trình (7) là

0 2 0

4

a r t

3

22

0 0 3

82

c Bây giờ chúng ta kiểm tra lại các hiệu chỉnh tương đối tính đối với quan điểm phi

tương đối tính của phần a

Trước tiên, chúng ta nhớ lại, hệ quy chiếu phòng thí nghiệm của sự bức xạ do chuyển động có gia tốc của điện tích theo công thức Larmor (1) với điều kiện là sử dụng gia tốc trong

hệ quy chiếu phi quán tính gắn với hạt nhân

Trong tính gần đúng đoạn nhiệt, gia tốc có phương ngang với vận tốc Do có v r v

(từ phương trình (9), (10), trong khi a r a (theo phương trình (15), (16)) Do đó, * 2

a  a

(17)

Với a là gia tốc HQC phòng thí nghiệm, *

a là gia tốc trong HQC nghỉ tức thời, và

 và *

dl dl cho chuyển động ngang với vận tốc

của electron, trong khi thời gian dt* dt

r E