Gọi M là một điểm nằm trong tam giác ABC, các đường thẳng AM,BM,CM cắt các cạnh của tam giác lần lượt tạ cac điểm D,E.F.. Tức là M là trọng tâm của tam giác ABC.[r]
Trang 1Đề thi chọn đội tuiyển năm học 2009 – 2010.
Môn: Toán 9.
Thời gian: 150 phút
Câu 1(4điểm)
1) Cho biểu thức
3
3 2 1
2 3 3 2
11 15
x
x x
x x
x
x
a) Rút gọn A.
b) Tìm các giá trị nguyên của x để A nhận giá trị nguyên.
2) Tính giá trị của biểu thức 3 3 6 3 2009
x 3 5 17 3 5 17 và 3 3 4 15
15 4
1
Câu 2(5điểm)
1) Giải phương trình
3
1
2
x x
2) Giải hệ phương trình:
xz x z
yz y z
xy y x
) ( 4
) ( 12
5 ) ( 6
3) Trong dãy số 11;111;1111; ;
2009
1
11 có tồn tại số nào là số chính phương không?
Câu 3(4điểm)
1) Cho phương trình mx 2 – 2(m + 1)x + m – 4 = 0 (1) với m là tham số
a) Với giá trị nào của m thì phương trình (1) có một nghiệm.
b) Xác định m để phương trình (1) có hai nghiệm x1; x2 thoả mãn x1 4x2 3
2) Tính tổng
899 900 900 899
1
4 3 3 4
1 2
3 3 2
1 1
2 2 1
1
Câu 4 (6điểm)
Cho hai đường tròn(O) và (O’) ở ngoài nhau, OO’ = 65cm Gọi AB là tiếp tuyến chung ngoài, EF là tiếp tuyến chung trong (A,E thuộc (O); B,F thuộc (O’)) Gọi M là giao điểm của AB và EF, N là giao điểm của AE và BF Biết AB = 63cm, EF = 25cm
1) Tính 5R4+2009r với R và r lần lượt là bán kính của hai đường tròn(O) và (O’) 2) Chứng minh AE vuông góc với BF
3) Chứnh minh ba điểm O,N,O’ thẳng hàng
Câu 5(1điểm)
Gọi M là một điểm nằm trong tam giác ABC, các đường thẳng AM,BM,CM cắt các cạnh của tam giác lần lượt tạ cac điểm D,E.F Chứng minh rằng:
6
FM
CM EM
BM
DM
AM
Trang 2Đáp án
Câu 1
1) ĐKXĐ x 0 ;x 1
5 2 3 1
5 2 1
3 1
2 7 5 3
1
3 2
6 7 3 11 15
3 1
3 2 1 3
1
2 3 3 3
1
11 15
3
3 2 1
2 3 3 2
11 15
x
x x
x
x x
x x
x x x
x
x x x
x x
x x
x x
x x
x x
x x
x
x
x x
x x
x
x
A
a) Rút gọn A đúng được (2điểm) b) Tìm các giá trị nguyên của x để A nhận giá trị nguyên đúng (1điểm)
3) Tính giá trị của biểu thức 3 3 6 3 2009
x 3 5 17 3 5 17 và 3 3 4 15
15 4
1
Tính đúng x3 10 6x;y3 8 3y;
(0,75điểm)
Tính đúng giá trị của A = 2027 (0,25điểm)
Câu 2
1 2
1 2
1 3
1
3
3 3 3 2
3
Vậy pt có nghiệm
1 2
1
3
x (2 điểm)
2) Ta có hệ phương trình:
xz x z
yz y z
xy y x
) ( 4
) ( 12
5 ) ( 6
(I)
Ta thấy x = y = z = 0 là nghiệm của hệ (I) (0,25 điểm)
Nếu x 0 ;y 0 ;z 0thì hệ (I) tương đương
Trang 3
4 3 2
4 11 3 11 2 11
4
111
6
111
6
511
4
111
12
111
6
511
z y x
z y x
zx
yx
yx
zx
zy
yx
(Tmx = y = z = 0) (1,5 điểm)
Vậy hệ pt có tập nghiệm (x;y;z) ( 0 ; 0 ; 0 ); ( 2 ; 3 ; 4 ) (0,25 điểm)
3) Với a N thì ar(mod 4 ) a2 r2 (mod 4 ) với r 0 ; 1 ; 2
Nếu r = 0;2 thì 2 0 (mod 4 )
Nếu r 1 thì 2 1 (mod 4 )
Như vậy số chính phương chia cho 4 thì dư 0 hoặc 1 (1) (0,5 điểm)
Ta thấy 11 chia cho 4 thì dư 3 nên tất cả số có tân cùng là 11 chia cho 4 đều dư 3
Do đó tất cả các số t rong dãy số 11;111;1111; ;
2009
1
11 chia cho 4 đều 3 (2)
Từ (1) và (2) suy ra tất cả các số t rong dãy số 11;111;1111; ;
2009
1
11 không có số nào
là số chính phương (0,5 điểm)
Câu 3
1.a) Cho phương trình mx 2 – 2(m + 1)x + m – 4 = 0 (1) với m là tham số
Nếu m = 0 thì (1) có dạng -2x – 4 = 0 <=> x = -2 (0,5 điểm)
Trang 4Nếu m 0 thì pt (1) có 1 nghiệm khi và chỉ khi:
6
1 0
1 6 0
m m (thoả mãn m 0) (0,75 điểm)
Vậy với m = 0 hoặc
6
1
m thì phương trình (1) có 1 nghiệm (0,25 điểm)
b) Cho phương trình mx 2 – 2(m + 1)x + m – 4 = 0 (1) với m là tham số
Để phương trình (1) có hai nghiệm x1; x2 khi và chỉ khi:
6 1
0 0
0
m m
(1b) (0,5 điểm)
Theo hệ thức Vi- Ét ta có:
m
m x
x1 2 2 2 (2b)
m
m x
x1 2 4 (3b)
Theo bài ra ta có x1 4x2 3 (4b)
Từ (2b) và (4b) suy ra
m
m x m
m x
3
2
; 3
8 5
2 1
thay vào (3b) rồi tìm m ta được
2
1
;
m
m thoả mãn điều kiện (1b)
Vậy
2
1
; 8
m thì phương trình (1) có hai nghiệm x1; x2 thoả mãn
3
4 2
1 x
(1 điểm)
2) Ta có
899 900 900 899
1
4 3 3 4
1 2
3 3 2
1 1
2 2 1
1
Xét số hạng tổng quát với n N*thì:
1
1 1 )
1 (
1 )
1 ( ) 1 (
1 )
1 ( 1
1
n n
n n
n n n n n
n
900
1 899
1
3
1 2
1 2
1 1
1
S
Vậy
30
29
S (1điểm)
Câu 4
Trang 5
K N
I
M
F
B
A
E
a) Gọi R và r lần lượt là bán kính của hai đường tròn(O) và (O’)
Vẽ OI vuông góc với O’F tại I, vẽ O’H vuông góc với OA tại H
Ta có R- r = OH, R+ r = O’I (1 điểm) Tính được OH = 16cm, O’I = 60cm, từ đó tính được R= 38cm r = 22cm
Tính được 5R4+2009r = 10469878 (1 điểm) b) Chứng minh được OM vuông góc với AE, O’M vuông góc với BF (0,75điểm) Chứng minh được OM vuông góc vơi O’M và chỉ ra O’M //AE (0,75điểm) Chỉ ra được AE vuông góc với BF đúng (0,5 điểm)
c) Gọi C là giao điểm của OM và AE
Chứng minh đượchai tam giác AOM và BMO’ (g.g) (0,5điểm) Chứng minh được MK = CN (0,5 điểm) Chứng minh được
'
MO
NC OM
OC
(0,5 điểm) Chứng minh hai tam giác OCN và OMO’ (c.g.c) dẫn tới hai góc CON và MOO’ từ đó chỉ ba điểm O,N,O’ thẳng hàng (0,5 điểm)
Câu 5 (1 điểm)
H K
F
E
D
A
C B
M
Gọi S;S1 ;S2 ;S3 lần lượt là diện tích các tam giác ABC,MBC,MAC,MAB
Vẽ AH,MK lần lượt vuông góc với BC tại H,K
Trang 6Ta có
1
3 1
2 1
1
S S
S S
S S MD
MD AD MD
AM S
S MK
AH MD
AD
Tương tự
3
2 3
1 2
3 2
S
S S
S MF
MC S
S S
S ME
MB
(0,25 điểm) Suy ra
2
3 3
2 1
3 3
1 1
2 2
1
S
S S
S S
S S
S S
S S
S FM
CM EM
BM
DM
AM
(0,25 điểm)
Dấu “=”xảy ra khi S S S S
3
1
3 2
1 Tức là M là trọng tâm của tam giác ABC (0,25 điểm)