Kh«ng lµm trßn ®iÓm.[r]
Trang 1sở giáo dục và đào tạo
quảng ninh - -
kỳ thi học sinh giỏi cấp tỉnh lớp 12 thpt năm học 2010-2011
Đề thi chính thức
môn : Toán ( bảng A )
Họ và tên, chữ ký của giám thị số 1
Thời gian làm bài : 180 phút
(không kể thời gian giao đề) ……… (Đề thi này có 01 trang)
Bài 1 (5 điểm):
1 Giải phương trỡnh: (5 6)2 1 2 1
2 Tỡm cỏc giỏ trị của tham số m để bất phương trỡnh sau cú nghiệm:
x3 + 3x2 1 ≤ m
3
Bài 2 (3 điểm):
Giả sử M là một điểm trong tam giỏc ABC sao cho MAB=MBC=MCA=
Chứng minh rằng : cot cot A cot B cot C
Bài 3 (6 điểm):
Cho điểm O cố định và số thực dương a khụng đổi Một hỡnh chúp S.ABC thay đổi nhưng luụn thoả món đồng thời cỏc điều kiện: OA = OB = OC = a,
SA OA, SB OB, SC OC, ASB 90 , 0 BSC 60 , 0 CSA 120 Chứng minh: 0 a) Tam giỏc ABC là tam giỏc vuụng
b) Điểm S luụn cỏch O một khoảng khụng đổi
Bài 4 (3 điểm):
Kí hiệu Ckn là tổ hợp chập k của n phần tử (0 ≤ k ≤ n), tính tổng sau :
S = C20100 + 2C12010 + 3C22010 + … + 2010C20092010 + 2011C20102010
Bài 5 (3 điểm):
Cỏc số thực dương x, y thỏa mãn điều kiện: x + y +1= 3xy
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: M = 3x + 3y 12 12
- Hết -
Trang 2sở giáo dục và đào tạo quảng ninh
h-ớng dẫn chấm thi chọn hsg lớp 12 năm học 2010-2011
môn toán bảng A đề chính thức
điểm Bài 1.1
2,5
điểm
Điều kiện: 7
5
x (*); xét hàm số f(t) = t -2 1
t-1 với
7 5
t khi đú phương trỡnh đó cho (1) f(5x-6) = f(x)
cú : f '(t) = 2t + 1 3 > 0
7
t >
5 => f(t) đồng biến trờn
7 ( ;+ ) 5
do đú (1) f(5x-6) = f(x) 5x - 6 = x x =3
2
3 7
2 5
x thoả món (*) nờn phương trỡnh đã cho có duy nhất nghiệm 3
2
x
1,0 0,75 0,5 0,25
Bài 1.2
2,5
điểm
ĐK: x≥1; với đ/k trờn thỡ: x x 1 ≥ 0 nờn bất phương trỡnh đó cho
(1) <=> (x3 + 3x2 -1)
3
x x 1 ≤ m (2) Xột f(x) = x3 + 3x2 -1 ; g(x) =
3
x x 1 và h(x)=f(x).g(x) với x≥1 Ch/m được f(x) và g(x) đều đồng biến và nhận giỏ trị dương trờn [1; + )
=> h(x) đồng biến trờn [1; + ) => trờn [1; + ) min h(x) = h(1) = 3
khi đú (1) cú nghiệm <=> m ≥ min h(x) <=> m ≥ 3
0,75
0,75 0,5 0,5
Bài 2
3 điểm
Trước hết chứng minh được: với mọi MNP ta cú:
cotM=
MNP
4S (*) Thật vậy, ỏp dụng định lý hàm số cụsin ta cú:
MNP
4S
Gọi S1, S2, S3, và S lần lượt là diện tớch cỏc tam giỏc AMB, BMC, CMA
và ABC, ỏp dụng kết quả (*) cho cỏc tam giỏc AMB, BMC, CMA và ABC
ta được: cot =
cotA=
4S (2)
Từ (1), theo t/chất của dóy tỷ số bằng nhau =>
AB AC BC cot
4S (3)
từ (2) suy ra:
AB AC BC cot A cot B cot C
Từ (3), (4) suy ra: cot = cotA + cotB + cotC (đpcm)
1,0
0,75 0,5 0,25 0,25 0,25
Trang 3Bµi S¬ l-îc lêi gi¶i Cho
®iÓm Bµi 3a
4 ®iÓm
Hình vẽ:
I
S
A
O
C
B
Từ giả thiết: OA=OB=OC=a, SA OA, SB OB, SC OC, ASB 90 , 0
BSC 60 , CSA 120 chứng minh được SA=SB=SC 0
tính được: BC = SB = SA;
AB = 2SA;
AC = 3SA
=> AC2 = AB2 + BC2 , từ đó suy ra tam giác ABC vuông tại B (đpcm ! )
1,0 0,5 0,75 0,75 1,0
Bµi 3b
2 ®iÓm
Gọi I là trung điểm của AC, chứng minh được: SI (ABC); OI (ABC)
=> S, A, O, C đồng phẳng và S, I, O thẳng hàng
Tính được SO = 2a/ 3 = cosnt (đpcm ! )
1,0 0,5 0,5
Bµi 4
3 ®iÓm Xét f(x) = x(1+x)
2010 Có: (1+x)2010 =C02010+C12010x+ 2 2
2010
C x + … +C20092010x2009 +C20102010x2010 => x(1+x)2010=C02010x+C12010x2+C22010x3+ … +C20092010x2010 +C20102010x2011
=> f '(x) = [C20100 x+C12010x2+C22010x3+ … +C20092010x2010 +C20102010x2011]'
= C02010+2C12010x+3C22010x2+ … +2010C20092010x2009 +2011C20102010x2010
Khi đó S=C02010+ 2C12010+ 2
2010
3C +…+ 2010C20092010 +2011C20102010 = f '(1) Mặt khác, còn có f '(x) = [x(1+x)2010
]' = … = (1+x)2009.(2011x+1)
Từ đó suy ra S = f '(1) = … = 503.22011
0,5 0,5
0,5 0,5 0,5 0,5
Trang 4Bài Sơ l-ợc lời giải Cho
điểm Bài 5
3 điểm
Do x, y>0 nờn theo BĐT Cụsi cú: x y 2 xy , dấu bằng đạt <=> x = y
cựng với giả thiết => 3xy 1 2 xy => xy 1 => xy 1
Khi đú đặt t xythỡ t 1, biến đổi được:
2
và
4
4
t t
Xét hàm số ( ) 5 21
4
t
f t
t trên [1;+ ), cú 3
'( )
4
t
f t
t => f '(t) < 0 t≥1
=> f(t) nghịch biến trờn [1;+ )
=> max M= f(1) =1, đạt <=> t = 1 <=> xy = 1 và x = y <=> x = y = 1
Vậy giá trị lớn nhất của biểu thức M bằng 1
0,5 0,5
0,5 0,5
0,75 0,25
Các chú ý khi chấm:
1 H-ớng dẫn chấm này chỉ trình bày sơ l-ợc một cách giải Bài làm của học sinh phải chi tiết, lập luận chặt chẽ, tính toán chính xác mới đ-ợc điểm tối đa
2 Các cách giải khác nếu đúng vẫn cho điểm Tổ chấm trao đổi và thống nhất
điểm chi tiết nh-ng không đ-ợc v-ợt quá số điểm dành cho câu, phần đó
3 Có thể chia điểm từng phần nh-ng không d-ới 0,25 đ và phải thống nhất trong cả tổ chấm
4 Điểm toàn bài là tổng số điểm các phần đã chấm Không làm tròn điểm
5 Mọi vấn đề phát sinh trong quá trình chấm phải đ-ợc trao đổi trong tổ chấm
và chỉ cho điểm theo sự thống nhất của cả tổ