Viết phương trình đường thẳng: có 2 dạng là viết phương trình tham số (PTTS) và phương trình tổng quát (PTTQ) của đường thẳng d1. Xét vị trí tương đối của hai đường thẳng.[r]
Trang 1CÁC VẤN ĐỀ ÔN TẬP HÌNH HỌC LỚP 10 CB KÌ 2
A Những kiến thức cần nhớ
1 Viết phương trình đường thẳng: có 2 dạng là viết phương trình tham số (PTTS) và phương trình tổng quát (PTTQ) của đường thẳng d Sau đây là các trường hợp
- TH1 : { vecter ch ỉ ph ươ ng (a , b) điqua M ( xo , yo)
+) PTTS d: { x=xo+at y= yo+bt +) PTTQ d: b(x - xo) - a(y – yo) = 0
- TH2 : { đi qua M ( xo , yo )
vecter pháp tuy ế n (a , b)
+) PTTS d: { y= yo−at x=xo+bt +) PTTQ d: a(x - xo) + b(y – yo) = 0
- TH3: { đ iqua M ( xo , yo) h ệ s ố g ó c k
+) PTTQ d: y = k(x – xo¿ + yo
- TH4 : Đi qua 2 điểm A(xA ,yA) và B(xB,yB)
+) Khi đó ta có d: { vecter ch ỉ ph ươ ng điqua A(x A , y A) quay lại TH1
- TH5 : Đi qua điểm A(xA ,yA) và song song với đường thẳng d’: ax + by + c = 0
+) vì d // d’ nên vecter pháp tuyến của d’ cũng là vecter pháp tuyến của d
+) mà vecter pháp tuyến của d’ là n '
(a,b) d: { vecter pháp tuy n đi qua A (x A , y A ) ế (a , b) quay lại TH2
- TH6 : Đi qua điểm A(xA ,yA) và vuông góc với đường thẳng d’: ax + by + c = 0
+) vì d d’ nên vecter pháp tuyến của d’ là vecter chỉ phương của d
+) mà vecter pháp tuyến của d’ là n '
(a,b) d: { đi qua A (x A , y A )
vecter ch ỉ ph ươ ng(a ,b) quay lại
TH1
2 Xét vị trí tương đối của hai đường thẳng.
- TH1 : cho đường thẳng dưới dạng PTTQ Cho 2 đường thẳng d1 và d2 có PTTQ lần lượt là d1:
a1x + b1y + c = 0 và d2: a2x + b2y + c2 = 0 Để xét vị trí tương đối ta làm như sau
+) lập các tỉ số
1 2
a
a ,
1 2
b
b ,
1 2
c c
Trang 2+) nếu
1 2
a
a
1 2
b
b thì d
1 và d2 cắt nhau giao điểm là nghiệm của hpt { a 1 x +b 1 y+c 1=0 a 2 x +b 2 y+c 2=0
+) nếu
1 2
a
a =
1 2
b
b
1 2
c
c thì d
1 // d2
+) nếu
1 2
a
a =
1 2
b
b =
1 2
c
c thì d
1 d2
- TH2 : Cho đường thẳng dưới dạng PTTS Cho 2 đường thẳng d1 và d2 có PTTS lần lượt là
d1: { x=x 1+a 1 t y= y 1+b 1t và d2: { x=x 2+a2 t ' y= y 2+b 2t ' Để xét vị trí tương đối ta làm như sau.
+) chuyển phương trình của d1 và d2 t ừ dạng tham số sang dạng tổng quát bằng cách rút t
từ phương trình đầu và thế vào phương trình sau Khi đó ta sẽ có PTTQ
+) khi đã có 2 PTTQ cách làm giống TH1
3 Xác định góc giữa hai đường thẳng
- Bước 1: Xác định vecter pháp tuyến của hai đường thẳng là n 1
1 1
( , ) a b và n 2
2 2
( , ) a b
Nếu đề bài cho PTTQ d: ax + by + c = 0 thì n = (a,b)
Nếu đề bài cho PTTS d: { x=xo+at y= yo+bt thì n
= (b,-a)
- Bước 2: Tính
os
| || |
c
*) chú ý: để chứng minh hai đừng thẳng vuông góc với nhau ta chứng minh n 1
.n 2
= 0
4 Tính khoảng cách từ 1 điểm đến 1 đường thẳng
- TH1: cho đường thẳng dưới dạng PTTQ d: ax + by + c = 0
Khi đó khoảng cách từ điểm MO(xo,yo) đến d là d(d, MO) =
| x + by a c |
- TH2: Cho đường thẳng dưới dạng PTTS d: { x=xo+at y= yo+bt
Khi đó để tính khoảng cách từ một điểm đến d ta cần chuyển d sang PTTQ Sau đó áp dụng TH1
II PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG TRÒN
1 Lập phương trình đường tròn
- TH1: Có tâm I(a, b) và bán kính R
khi đó phương trình đường tròn là: (x – a)2 + (y – b)2 = R2
Trang 3- TH2: biết tâm I(a, b) và đi qua một điểm M(x0, y0)
+) bước 1: tính bán kính R2 = IM2 = ( x0 a )2 ( y0 b )2
+) bước 2: pt đường tròn là: (x – a)2 + (y – b)2 =
( x a ) ( y b )
- TH3: biết đường kính là AB với A(xA ,yA) và B(xB,yB)
+) bước 1: tâm là trung điểm I của AB: ( , )
+) bước 2: bán kính là R = 2
AB
Suy ra R2 =
2 4
AB
=
4
x x y y
+) bước 3: pt đường tròn là:
- TH4: biết tâm I(x0,y0) và tiếp xúc với đường thẳng ax + by + c = 0
+) bước 1: bán kính là R = d(I,d) =
| x + by a c |
Suy ra R2 =
2
( x + bya c)
+) bước 2: pt đường tròn là: ( x x 0)2 ( y y 0)2
2
( x + bya c)
TH5: đi qua 3 điểm A(xA ,yA), B(xB,yB) và C(xC,yC)
Gọi phương trình đường tròn cần tìm là x2 + y2 + 2ax + 2by + c = 0 (*)
vì đường tròn đi qua 3 điểm A, B, C nên ta có hệ phương trình:
¿
¿
¿
¿
giải hệ này tìm được a,
b, c thay vào (*)
2 Xác định tâm và bán kính của đường tròn:
- TH1:
( x x ) ( y y ) R tâm là I(x0;y0) và bán kính là R
- TH2: x2 y2 2 ax 2 by c 0 tâm là I(-a;-b) và bán kính là R = a2 b2 c
(Nếu a2b2 c < 0 thì kết luận đó không phải là phương trình đường tròn)
III PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG ELIP
1 Cho phương trình elip
a b Có c2 a2 b2
a b
Trang 4Độ dài trục nhỏ 2b
Tọa độ các tiêu điểm
1( ,0); ( , 0)
Tọa độ các đỉnh
1( ,0); 2( ,0); (0,1 ); 2(0, )
2 Lập phương trình elip
- TH1 : Biết độ dài trục lớn và độ dài trục nhỏ (tức là biết 2a và 2b) khi đó chỉ việc lắp vào phương
trình chính tắc của elip
Ví dụ: lập phương trình elip biết độ dài trục lớn và độ dài trục nhỏ lần lượt là 6 và 4
Giải: theo giả thiết ta có: 2a = 6 a = 3, 2b = 4 b = 2 Pt elip là
- TH2 : Biết độ dài trục lớn (hoặc độ dài trục nhỏ) và tiêu cự (tức là biết 2a và 2c) từ 2a và 2c ta
tính được b = a2 c2 Pt elip là
a a c
- TH3 : Biết elip đi qua 2 điểm A x y ( ;A A), ( ; B x yB B)
b1: Gọi phương trình elip cần tìm là
a b .
b2: vì elip đi qua A và B nên ta có hệ pt {¿ (Tức là thay tạo độ của A, B vào elip)
b3: giải hệ phương trình đó tìm được a, b suy ra pt elip
- TH4 : biết tiêu điểm F1(hoặc F2) và đi qua M(x0;y0)
b1: Gọi phương trình elip cần tìm là
a b .
b2: theo giả thiết biết được c suy ra elip có dạng
a a c
b3: vì elip đi qua điểm M nên
a a c Giải phương trình này tìm được a suy ra pt elip
Trang 5B BÀI TẬP
Bài 1: Viết PTTS và PTTQ của đường thẳng biết:
a) đi qua điểm A(1, 2) và có vecter chỉ phương là u (2, 3)
b) đi qua điểm A(1, 2) và có vecter pháp tuyến là n (2, 3)
c) đi qua điểm A((1, 2) và có hệ số góc k = 2
d) đi qua hai điểm A(1, 2) và B(2, 5)
e) đi qua điểm A(1, 2) và song song với đường thẳng d: 2x – y + 3 = 0
f) đi qua điểm A(1, 2) và vuống góc với đường thẳng d: 2x – y + 3 = 0
Bài 2: trong hệ tọa độ Oxy cho tam giác ABC có A(1, 2), B(2, 3), C(3, 2)
a) viết PTTQ và PTTS của các đường thẳng chứa AB, AC, BC
b) viết PTTS và PTTQ của đường cao AH
c) xác định tọa độ điểm H
d) tính khoảng cách từ điểm H tới BC
e) viết PTTS và PTTQ của đường trung tuyến AM của tam giác ABC
f) tính diện tích tam giác ABC
Bài 3: Cho điểm A(1, 2) và đường thẳng d: -4x + 3y – 5 = 0
a) viết PTTS và PTTQ của đường thẳng đi qua điểm A và song song với đường thẳng d
b) viết PTTS và PTTQ của đường thẳng đi qua A và vuông góc với đường thẳng d
c) tính khoảng cách từ điểm A tới đường thẳng d
Bài 4: Cho hai điểm A(1, 2), B(2, 4)
a) viết PTTS và PTTQ của đường thẳng đi qua 2 điểm A và B
b) viết PTTS và PTTQ của đường thẳng đi qua A và vuông góc với AB
c) viết PTTS và PTTQ của đường trung trực của đoạn thẳng AB (HD: đường trung trực của AB là đường
đi qua trung điểm của AB và vuông góc với AB)
Bài 5*: Cho đường thẳng d: x – 2y + 4 = 0
a) tìm điểm M trên d và cách điểm A(0, 1) một khoảng bằng 5
b) tìm giao điểm của d với d’: x + y + 1 = 0
c) tìm M trên d sao cho AM ngắn nhất
Bài 6*: Cho tam giác ABC, biết phương trình đường thẳng AB: x – 3y + 11 = 0, đường cao AH: 3x + 7y
– 15 = 0, đường cao BH: 3x – 5y + 13 = 0 Tìm PTTQ chứa 2 cạnh AC, BC
Bài 7*: Cho tam giác ABC có A(-2,3) và 2 đường trung tuyến BM: 2x – y + 1 = 0 và CN: x + y – 4 = 0
Hãy viết PTTQ của AB, BC, CA
Trang 6Bài 8: xét vị trí tương đôi của các cặp đường thẳng sau:
a) d: x – 2y + 3 = 0 và d’: 2x – y + 1 = 0 b) d: x + 2y – 1 = 0 và d’: { x=1+4 t y=2−2 t
c) d: : { x =−1−t y=2−3 t và d’: : { x=−2+2t ' y=−1+6 t '
Bài 9*: tính góc giữa các cặp đường thẳng sau
a) d: x + 2y + 4 = 0 và d’: 2x –y + 6 = 0 b) d: x + 2y + 4 = 0 và d’: 2x + 3y – 1 = 0
c) d: -x + 2y – 4 = 0 và d’: -4x + y – 1 = 0 d) d: x – 5y + 3 = 0 và d’: -3x + y + 6 = 0
Bài 10*: lập phương trình đường thẳng cách đều 2 đường thẳng: d: 5x + 3y – 3 = 0 và d’: 5x + 3y + 7 = 0 Bài 11*: lập phương trình đường thẳng đi qua điểm M(2,5) và cách đều 2 điểm A(-1, 2) và B(5,4)
Bài 12*: cho hình chữ nhật ABCD Biết A(3, 0), B(-3, 3) và phương trình đường thẳng chứa CD : x + 2y
– 8 = 0 Viết PTTQ của AB, BC, AD