PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH.[r]
Trang 1PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7 điểm)
Câu I ( 2 điểm)
Cho hàm số y=x3 +(1−2m)x2 +(2−m)x+m+2 (1) m là tham số
1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số (1) với m=2
2 Tìm tham số m để đồ thị của hàm số (1) có tiếp tuyến tạo với đường thẳng d:x + y+7 =0gócα ,biết
26
1
Câu II (2 điểm)
4
2 log2 2
− x
x
2 Giải phương trình: 3sin2x.(2cosx+1)+2=cos3x+cos2x−3cosx
Câu III (1 điểm)
Tính tích phân: I
∫
+ +
+
= 4 0
2 2 1 1
1
dx x
x
Câu IV(1 điểm)
Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân đỉnh A, AB=a 2 Gọi I là trung điểm của
BC, hình chiếu vuông góc H của S lên mặt đáy (ABC) thỏa mãn: IA=−2IH, góc giữa SC và mặt đáy (ABC) bằng
0
60 .Hãy tính thể tích khối chóp S.ABC và khoảng cách từ trung điểm K của SB tới (SAH)
Câu V(1 điểm)
Cho x, y, z là ba số thực dương thay đổi và thỏa mãn: x2 +y2 +z2 ≤ xyz Hãy tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
xy z
z zx
y
y yz
x
x P
+
+ +
+ +
PHẦN TỰ CHỌN (3 điểm): Thí sinh chỉ chọn làm một trong hai phần ( phần A hoặc phần B )
A Theo chương trình chuẩn:
Câu VI.a (2 điểm)
1 Trong mặt phẳng Oxy, cho tam giác ABC biết A(3;0), đường cao từ đỉnh B có phương trìnhx + y+1 =0,
trung tuyến từ đỉnh C có phương trình: 2x-y-2=0 Viết phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC
2 Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho các điểm A(-1;1;0), B(0;0;-2) và C(1;1;1) Hãy viết
phương trình mặt phẳng (P) qua hai điểm A và B, đồng thời khoảng cách từ C tới mặt phẳng (P) bằng 3
Câu VII.a (1 điểm)
14
2 2 1 0 2 2
10
1 2
1+ x x +x+ =a +a x+a x + +a x Hãy tìm giá trị của a6
B Theo chương trình nâng cao:
Câu VI.b (2 điểm)
1 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC biết A(1;-1), B(2;1), diện tích bằng 5,5 và trọng tâm G
thuộc đường thẳng d:3x + y−4=0 Tìm tọa độ đỉnh C
2.Trong không gian với hệ trục Oxyz, cho mặt phẳng (P)x+ y−z+1 =0,đường thẳng d:
3
1 1
1 1
2
−
−
=
−
−
=
x
Gọi I là giao điểm của d và (P) Viết phương trình của đường thẳng ∆ nằm trong (P), vuông góc với d và cách
I một khoảng bằng 3 2
Câu VII.b (1 điểm)
ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI
KHOA TOÁN TIN
ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC, CAO ĐẲNG NĂM 2010
Môn thi: TOÁN, Khối A
Thời gian làm bài 180 phút, không kể thời gian phát đề.
Giải phương trình ( ẩn z) trên tập số phức: 1
3
=
−
+
z i i z
Trang 22
ĐÁP ÁN –THANG ĐIỂM
ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC, CAO ĐẲNG NĂM 2010
MÔN:TOÁN, Khối A PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH
1(1đ) Khảo sát hàm số khi m = 2
Khi m = 2, hàm số trở thành: y = x3 − 3x2 + 4
a) TXĐ: R
b) SBT
•Chiều biến thiên:
Có y’ = 3x2 − 6x; y’=0 ⇔ x =0, x =2
y’ + 0 − 0 +
y
−∞
4
0
+∞
Hàm số ĐB trên các khoảng (−∞ ; 0) và (2 ; +∞), nghịch biến trên (0 ; 2)
0,25
•Hàm số đạt cực đại tại x = 0, yCĐ = y(0) = 4;
Hàm số đạt cực tiểu tại x = 2, yCT = y(2) = 0
0,25
c) Đồ thị:
Qua (-1 ;0) Tâm đối xứng:I(1 ; 2)
0,25
2(1đ) Tìm m
Gọi k là hệ số góc của tiếp tuyến ⇒ tiếp tuyến có véctơ pháp n1 = k( ;−1) d: có véctơ pháp n2 =(1;1)
Ta có
=
=
⇔
= +
−
⇔ +
−
=
⇔
=
3 2 2
3 0
12 26 12
1 2
1 26
1
cos
2
1 2
2 2
1
2 1
k
k k
k k
k n
n
n n
α
0,5 I(2đ)
Yêu cầu của bài toán thỏa mãn ⇔ ít nhất một trong hai phương trình: / 1
k
k
⇔
=
− +
− +
=
− +
− +
3
2 2
) 2 1 ( 2 3
2
3 2
) 2 1 ( 2 3 2 2
m x
m x
m x
m x
⇔
≥
∆
≥
∆ 0
0 2 / 1
có nghiệm
1
I
2
2 -1
4
y
có nghiệm
Trang 3
≥
−
−
≥
−
−
0 3 4
0 1 2 8 2 2
m m
m m
⇔
≥
−
≤
≥
−
≤
1
; 4 3
2
1
; 4 1
m m
m m
⇔
4
1
−
≤
2
1
≥
II(2đ) 1(1đ) Giải bất phương trình
Bpt
≤
−
≤
−
≤
−
≤
−
⇔
≤
−
≥
−
−
⇔
) 2 ( 3 4
2 log 2
) 1 ( 2 4
2 log 3
9 4
2 log
0 4 4
2 log
2 1
2 1 2
2 1
2 2 1
x x x x
x x x
x
0,25
Giải (1): (1)
5
16 3
8 0 4
16 5
0 4
8 3 8 4
2
≤
−
−
≥
−
−
⇔
≤
−
≤
x x x x x
x
0,25
Giải (2): (2)
9
4 17
4 0
4
4 9
0 4
4 17 4
1 4
2 8
1
≤
≤
⇔
≤
−
−
≥
−
−
⇔
≤
−
≤
x x x x x
x
0,25
Vậy bất phương trình có tập nghiệm
5
16
; 3
8 9
4
; 17
4
2(1đ) Giải PT lượng giác
Pt⇔ 3sin2x(2cosx+1)=(cos3x−cosx)+(cos2x−1)−(2cosx+1)
) 1 cos 2 ( sin 2 cos sin 4 ) 1 cos 2 ( 2 sin
0 ) 1 sin 2 2 sin 3 )(
1 cos 2
0,5
6 2 sin(
2 2 cos 2 sin 3 0 1 sin 2 2 sin
x x
x x
x
⇔ x=−π +kπ
6
0,25
2 3 2
2 3
2 0
1 cos
k x
k x
+
−
=
+
=
⇔
= +
π π
π π
3
2
k
3
2
k
6 (k∈Z)
0,25
III(1đ) 1(1đ) Tính tích phân
I
∫
+ +
+
= 4 0
2 2 1 1
1
dx x x
Trang 4
4
x
dx dt
x
2 1 2
1
+
=
⇒ + +
2
2 2
t t
Đổi cận
dt t t t
dt t
t t t dt
t
t t t
∫
− +
−
=
− +
−
=
− +
2
2 4
2
4 2
2
2 3 2
3 2
1 2 4 3 2
1 ) 1 )(
2 2 ( 2 1
+ +
−
t t t
ln 4 3 2 2
1 2
0,5
=
4
1 2 ln
(1đ) Tính thể tích và khoảng cách
•Ta có IA=−2IH ⇒H thuộc tia đối của tia IA và IA = 2IH
BC = AB 2 =2a ; AI= a ; IH=
2
IA
= 2
a
AH = AI + IH =
2
3a
0,25
•Ta có
2
5 45
cos
2 2
HC AH
AC AH
AC
∧
∧
SCH ABC
SC
2
15 60
tan 0 a HC
0,25
•
6
15 2
15 )
2 ( 2
1 3
1
3
2
a a
a SH
S
IV
SH BI
AH BI
⊥
⇒
⊥
⊥
H
K
I
B
A
S
C
Trang 5Ta có
2 2
1 ) (
; ( 2
1 )) (
; ( 2
1 ))
(
; (
)) (
;
BI SAH
B d SAH
K d SB
SK SAH
B d
SAH K d
=
=
=
⇒
=
=
xy z
z zx y
y xy
x
x P
+
+ +
+ +
Vì x;y;z>0, Áp dụng BĐT Côsi ta có:
xy z
z zx
y
y yz
x
x P
2 2
+ +
=
xy zx
yz
2 2
2 4
1
0,25
≤
=
+ + + + +
≤
xyz
z y x xyz
xy zx yz y
x x z z y
2 2 2 2
1 2
1 1 1 1 1 1 1 4
1
2
1 2
1
=
≤
xyz
xyz
0,5
Dấu bằng xảy ra ⇔ x= y= z=3 Vậy MaxP =
2
PHẦN TỰ CHỌN:
VIa(2đ) 1(1đ) Viết phương trình đường tròn…
KH: d1:x+y+1=0;d2 :2x−y−2=0 1
d có véctơ pháp tuyến n1 =(1;1) và d2có véctơ pháp tuyến n2 =(1;1)
• AC qua điểm A( 3;0) và có véctơ chỉ phương n1 =(1;1)⇒ phương trình AC:x − y−3 =0
⇒
∩
0 2 2
0 3
−
−
⇒
=
−
−
=
−
−
C y
x
y x
0,25
2
; 2
3 (x B y B
0 2 2 3
0 1
−
⇒
=
−
− +
= + +
B y
x
y x
B B
B B
0,25
• Gọi phương trình đường tròn qua A, B, C có dạng:
0 2
2 2
2 + y + ax+ by+c=
ta có
Trang 66
−
=
=
−
=
⇔
−
= +
−
−
−
= +
−
−
= +
3 2 1 17
8 2
1 2
9 6
c b a
c b a
c a
c a
⇒ Pt đường tròn qua A, B, C là:
0 3 4 2 2
2 + y − x+ y− =
2(1đ) Viết phương trình mặt phẳng (P)
•Gọi n=(a;b;c)≠Olà véctơ pháp tuyến của (P)
Vì (P) qua A(-1 ;1 ;0) ⇒ pt (P):a(x+1)+b(y-1)+cz=0
Mà (P) qua B(0;0;-2) ⇒a-b-2c=0 ⇒ b = a-2c
Ta có PT (P):ax+(a-2c)y+cz+2c =0
0,25
) 2 (
2
2 2
+
− +
+
c c a a
c a
=
=
⇔
c a
c a
7
0,5
•TH1: a = cta chọn a = c=1 ⇒ Pt của (P): x-y+z+2=0
0,25
VII.a (1 đ) Tìm hệ số của khai triển
• Ta có
4
3 ) 1 2 ( 4
1
2 +x+ = x+ +
) 2 1 ( 16
9 ) 2 1 ( 8
3 ) 2 1 ( 16
1 ) 1 (
2
0,25
• Trong khai triển ( )14
2
1+ x hệ số của 6
14 6
2 C
Trong khai triển ( )12
2
1+ x hệ số của 6
12 6
2 C
Trong khai triển (1+2x)10 hệ số của 6
10 6
16
9 2
8
3 2
16
10 6 6
12 6 6
14
6
Tìm tọa độ của điểm C
VI.b(2đ) 1(1đ)
3
; 3 1 ( )
;
C C
y x G y
x
) 3 3
; ( 3 3 0
4 3 3 1
+
x x C x
y y
x
•Đường thẳng AB qua A và có véctơ chỉ phương AB=(1;2) ⇒ ptAB:2x−y−3=0
0,25
Trang 7•
5
11 5
3 3 3 2 5
11 )
; ( 2
11 )
; ( 2
1
=
−
− +
⇔
=
⇔
=
=
∆
C C ABC
x x AB
C d AB
C d AB S
=
−
=
⇔
=
−
⇔
5 17
1 11
6 5
C
C C
x
x x
0,5
• TH1: x C =−1⇒C(−1;6)
5
36
; 5
17 ( 5
17
−
⇒
2(1đ) Viết phương trình của đường thẳng
• (P) có véc tơ pháp tuyến n(P) =(1;1;−1) và d có véc tơ chỉ phương
) 3
; 1
; 1 (
) 4
; 2
; 1 ( ) (P I d
• vì ∆⊂(P);∆⊥d ⇒∆ có véc tơ chỉ phương u∆ =[n(P);u]=(−4;2;−2) =2(−2;1;−1)
0,25
• Gọi H là hình chiếu của I trên ∆⇒H ∈ mp (Q)qua I và vuông góc ∆ Phương trình (Q): −2(x−1)+(y−2)−(z−4)=0⇔−2x+ y−z+4=0 Gọi d1 =(P)∩(Q)⇒d1có vécto chỉ phương
[n(P);n(Q)]=(0;3;3)=3(0;1;1) và d1 qua I
+
=
+
=
=
⇒
t z
t y
x ptd
4 2
1 :
Ta có H∈d1 ⇒H(1;2+t;4+t)⇒IH =(0;t;t)
−
=
=
⇔
=
⇔
=
3
3 2
3 2 2
t
t t
IH
0,5
• TH1:
1
7 1
5 2
1 : )
7
; 5
; 1 ( 3
−
−
=
−
=
−
−
∆
⇒
⇒
pt H
t
TH2:
1
1 1
1 2
1 : )
1
; 1
; 1 ( 3
−
−
=
+
=
−
−
∆
⇒
−
⇒
−
pt H
t
0,25
VII.b 1 đ Giải phương trình trên tập số phức
ĐK: z ≠ i
• Đặt
z i
i z w
−
+
= + +
−
⇔
w
0,5
Trang 88
-Hết -
−
−
=
+
−
=
=
⇔
= + +
=
⇔
2
3 1 2
3 1 1 0
1
1 2
i w
i w
w
w w w
−
+
⇒
z i
i z w
2
3 1 2
3 1
−
=
⇔
−
−
= +
⇔ +
−
=
−
+
⇒ +
−
z i
i z i
w
2
3 1 2
3 1
=
⇔
−
=
−
⇔
−
−
=
−
+
⇒
−
−
z i
i z i
w
Vậy pt có ba nghiệm z=0 =;z 3 và z=− 3
0,5