Do đó, nhân lượng liên hợp vào hai vế của phương trình:.
Trang 1Bài 1: giải hệ PT sau: 2 2
3 ( ) 4
( ) 12
( ) 3
x y
I xy
xy x y
II xy
Hệ pt (I) vô nghiệm
Hệ pt(II) có nghiệm 1
3
x y
hoặc 3
1
x y
Vậy hệ pt đã cho có nghiệm 1
3
x y
hoặc 3
1
x y
Bài 2) Giải hệ pt:
(I) Đặt t x2 y2 (t0) ta có hệ:
3
3
65
2 2
5
2
12 12
7 12
7
7
7
xy xy
x y xy
x y
x y
x y
4
x y
3
x y
3
x y
4
x y
Vậy hệ pt đã cho có nghiệm là 3
4
x y
3
x y
3
x y
4
x y
Bài 3:
Giải pt: 3 13 1
với điều kiện y0
2 2
2
1
0( ) 1
9 0( ) 1
9 0( )
y
y
y
(I) y 2 1 0_ vô nghiệm
(II) y2- 9y + 1 = 0y = 9 77
2
Trang 2(III) y2 + 9y + 1 = 0 y = 9 77
2
Vậy pt đã cho có các nghiệm y = 9 77
2
; y = 9 77
2
78
Giải:
Điều kiện y 0
2 2
2
1
0( ) 1
9 0( ) 1
9 0( )
y
y
y
(I) y 2 1 0_ vô nghiệm
(II) y2- 9y + 1 = 0y = 9 77
2
(III) y2 + 9y + 1 = 0 y = 9 77
2
Vậy pt đã cho có các nghiệm y = 9 77
2
; y = 9 77
2
Bài 5: Giải Phơng trìng sau: 3 1 1
1
2 x 2 x
Bài 6: Giải phương trình: x 1 x 7 12 x (3)
Giải: Với điờ̀u kiợ̀n 7 ≤ x ≤ 12 Ta có:
(3) x 1 12 x x 7
x 1 5 2 (12 x)(x 7)
2 19x x 2 84 x 4
4(19x – x2 – 84) = x2 – 8x + 16 76x – 4x2 – 336 – x2 + 8x – 16 = 0 5x2 – 84x + 352 = 0
Bài 6: Giải phương trình: x x 1 x 4 x 9 0 (4)
Giải: Với điờ̀u kiợ̀n x ≥ 4 Ta có:
(4) x 9 x x 1 x 4
2x 9 2 x(x 9) 2x 5 2 (x 4)(x 1)
7 x(x 9) (x 1)(x 4)
49 x 2 9x 14 x(x 9) x 2 5x 4
45 + 14x + 14 x(x 9) = 0
Trang 3Bµi 7: Giải phương trình x 2 2 x 1 x 10 6 x 1 2 x 2 2 x 1 (2)
Giải: (2) x 1 2 x 1 1 x 1 2.3 x 1 9 2 x 1 2 x 1 1
x 1 1 | x 1 3 | 2.| x 1 1|
Đặt y = x 1 (y ≥ 0) phương trình đã cho trở thành:
y 1 | y 3 | 2 | y 1|
– Nếu 0 ≤ y < 1: y + 1 + 3 – y = 2 – 2y y = –1 (loại)
– Nếu 1 ≤ y ≤ 3: y + 1 + 3 – y = 2y – 2 y = 3
– Nếu y > 3: y + 1 + y – 3 = 2y – 2 (vô nghiệm)
Với y = 3 x + 1 = 9 x = 8
Vậy: phương trình đã cho có một nghiệm là x = 8
Bµi 9: Giải phương trình x 1 5x 1 3x 2
Cách 1 điều kiện x ≥ 1
Với x ≥ 1 thì: Vế trái: x 1 5x 1 vế trái luôn âm
Vế phải: 3x 2 ≥ 1 vế phải luôn dương Vậy: phương trình đã cho vô nghiệm
Cách 2 Với x ≥ 1, ta có:
x 1 5x 1 3x 2
x 1 8x 3 2 (5x 1)(3x 2)
2 7x 2 (5x 1)(3x 2)
Vế trái luôn là một số âm với x ≥ 1, vế phải dương với x ≥ 1 phương trình vô nghiệm
3x 6x 7 5x 10x 14 4 2x x (1)
3(x 1) 4 5(x 1) 9 5 (x 1)
Ta có: Vế trái ≥ 4 9 2 3 5 Dấu “=” xảy ra x = –1
Vế phải ≤ 5 Dấu “=” xảy ra x = –1 Vậy: phương trình đã cho có một nghiệm x = –1
Bµi 11: Giải phương trình: x 7 2
x 1
Giải: điều kiện x ≥ 1
2
Dễ thấy x = 2 là một nghiệm của phương trình
– Nếu 1 x 2
x 1
Mà: VP > 8 3
– Nếu x > 2: VP = 2x2 + 2x 1 > 2.22 + 3 = 8 3 VT < 8 3
Vậy: phương trình đã cho có một nghiệm duy nhất là x = 2
Bµi 12: a) Giải phương trình: 2x 1 x 2 x 3
Giải ĐK: x ≥ 2 Để ý thấy: (2x + 1) – (x – 2) = x + 3 Do đó, nhân lượng liên hợp vào hai vế của phương trình:
Trang 4(x 3)( 2x 1 x 2 1) 0 x 3 0
PT vô nghiệm b)
Giải phương trình: x 1 2(x 1) x 1 1 x 3 1 x 2 (1)
Giải ĐK: | x | ≤ 1: (1) x 1 1 x 2 x 1 1 x 1 0
x1 = 0; x2 = 24
25
c)
Giải phương trình: x 1 x 3 x 2 x 1 1 x 4 1 (1)
Giải Chú ý: x4 – 1 = (x – 1)(x3 + x2 + x + 1)
(1) x 1 1 1 x 3 x 2 x 1 0 x = 2
Bµi 13:
a) Giải phương trình: x 2 x 1 1 (1)
Giải Đặt x 1 = y (y ≥ 0)
y2 = x + 1 x = y2 – 1 x2 = (y2 – 1)2
(2) (y2 – 1)2 + y – 1 = 0 y(y 1)(y2 + y 1) = 0
Từ đó suy ra tập nghiệm của phương trình là: 0; 1; 1 5
2
b)
Giải phương trình: x 1 1 3 2 x 1 2 x (1)
HD: ĐK: x ≥ 1 Đặt x 1 1 = y
(1) x 1 1 3 x 1 1 2 2 0
y3 + y2 – 2 = 0
(y – 1)(y2 + 2y + 2) = 0 y = 1 x = 1
Bµi 14:
a)Giải phương trình: 2(x2 + 2) = 5 x 3 1 (3)
Giải Đặt u = x 1 , v = x 2 x 1 (ĐK: x ≥ 1, u ≥ 0, v ≥ 0) Khi đó:
u2 = x + 1, v2 = x2 – x + 1, u2v2 = x3 + 1 (3) 2(u2 + v2) = 5uv (2u v)(u 2v) = 0 Giải ra, xác định x Kết quả là: x 5 37; 5 37
b)
Giải phương trình: x 5 x 2 1 x 2 7x 10 3 (1)
Giải ĐK: x ≥ –2 (1) x 5 x 2 1 (x 5)(x 2) 3
Đặt: x 5 = u, x 2 = v (u, v ≥ 0) u2 – v2 = 3 (1) (a – b)(1 + ab) = a2 – b2
(a – b)(1 – a + ab – b) = 0 (a – b)(1 – a)(1 – b) = 0
Bµi 15:
a) Giải phương trình x 1 2x 1 5
Gi¶i : Đặt x 1 u 0 và 2x 1 v Ta có hệ: u v 52 2
u 12
b) Giải phương trình: 8 x 5 x 5
Giải ĐK: 0 ≤ x ≤ 25 Đặt 8 x = u , 5 x v (u, v ≥ 0):
Trang 5 u v 52 2
v
Giải ra ta có x = 1 là nghiệm duy nhất
c)
Giải phương trình: 25 x 2 9 x 2 2
Giải ĐK: –3 ≤ x ≤ 3: Đặt 25 x 2 = u, 9 x 2 = v (u, v ≥ 0)
u v 22 2
u v 2u v 8 u 5v 3
Thế ngược trở lại: x = 0 là nghiệm duy nhất d)
Giải phương trình: 1 x 4 x 3
Giải ĐK: – 4 ≤ x ≤ 1 Đặt 1 x u ; 4 x v (u, v ≥ 0)
u v 32 2
x 0x 3
Ví dụ 5 Giải phương trình: 2 x 2 x 4 x 2 2
Giải ĐK: –2 ≤ x ≤ 2: Đặt 2 x u, 2 x v (u, v ≥ 0)
2 (u v) 2uv 4 (u v) uv 2
Giải ra ta được: (a, b) = {(0 ; 2), (2 ; 0)} Từ đó thế ngược trở lại: x = ±2
Ví dụ 6 Giải phương trình: 4 97 x 4 x 5 (1)
Giải Đặt 4 97 x = u, 4 x = v (u, v ≥ 0)
(1) u v 54 4 u 2 u 3 x 81