[r]
Trang 1ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI
KHOA TOÁN – TIN
-
ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC- CAO ĐẲNG 2010
MÔN TOÁN
Thời gian : 180’, không kể giao đề
- Câu I : (3,0 điểm)
Cho hàm số y = x3 - 3x2 +2 có đồ thị (C) trong hệ tọa độ Oxy
1 Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số
2 Gọi E là tâm đối xứng của đồ thị (C).Viết phương trình đường thẳng qua E và cắt (C) tại
ba điểm E, A, B phân biệt sao cho diện tích tam giác OAB bằng 2
Câu II : (2,0 điểm)
1 Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số y = 2cosx + sin2x trên [0; 2π]
2 Tính tích phân
x
=
Câu III : (1,0 điểm)
Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD, biết khoảng cách giữa AB và mặt phẳng
(SCD) bằng 2 Góc giữa mặt bên và mặt đáy bằng 600 Tính thể tích hình chóp
S.ABCD
Câu IV : (1,0 điểm)
Tìm các cặp số thực (x ; y) thỏa mãn phương trình sau:
2
x x y x y x y x xy
Câu V : (2,0 điểm)
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm M( 1; -1; 1) và hai đường
thẳng 1
1 :
:
1 Chứng minh rằng điểm M và các đường thẳng d1 và d2 cùng nằm trên một mặt
phẳng Viết phương trình mặt phẳng đó
2 Gọi A, B, C lần lượt là hình chiếu của điểm M trên Ox, Oy, Oz Viết phương
trình đường thẳng ∆ nằm trong mặt phẳng (ABC) sao cho ∆ cắt đường thẳng
(d2) đồng thời ∆ vuông góc với (d1)
Câu VI : (1,0 điểm)
Giải phương trình sau trên tập các số phức biết nó có một nghiệm thực:
z3−(5+i z) 2+4(i−1)z−12 12+ i =0
-HẾT -
Trang 2
ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI
h−íng dÉn chÊm vµ biÓu ®iÓm
Câu I : (3,0 điểm)
Cho hàm số y = x3 - 3x2 +2 có đồ thị (C) trong hệ tọa độ Oxy
1 Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số
2 Gọi E là tâm đối xứng của đồ thị (C).Viết phương trình đường thẳng qua E và cắt (C) tại
ba điểm E, A, B phân biệt sao cho diện tích tam giác OAB bằng 2
b) Sù biÕn thiªn
* Giíi h¹n
x
-, limy
x
Limy
1
(2,0)
* B¶ng biÕn thiªn
y’ = 3x2-6x , y’= 0 ⇔ 0
2
x x
=
=
x -∞ 0 2 +∞
y’ + 0 - 0 +
-∞ -2 Hµm sè đồng biÕn trªn c¸c kho¶ng (-∞ ;0) vµ ( 2 ; +∞)
Nghịch biến trên (0; 2)
Hàm số đạt cực đại tại x = 0, ycđ = 2
Đạt cực tiểu tại x =2, yct = -2
0,25
0,5
0,25
c §å thÞ
+ Điểm cực đại, cực tiểu :(0;2), (2;-2)
+ Giao víi Oy : (0;2)
+ Giao víi Ox :
NX :
0,5
1
2
E
y
Trang 3+E (1;0)
0,25
2
(1,0)
+ PT đường thẳng ∆ qua E, thỏa mãn yêu cầu bài toán phải có dạng y = k(x-1)
( Do trường hợp x =1 không thỏa mãn)
Hoàng độ giao điểm của (C ) và ∆ là nghiệm của PT: (x-1)(x2-2x-2-k)=0
+ Để ∆ cắt (C ) tại 3 điểm phân biệt thì PT x2-2x-2-k = 0 phải có hai nghiệm phân
+ Tính được dt∆OAB =1 ( , )
2d O ∆ AB= k k +3
0,25 + Từ giả thiết suy ra k có 3 giá trị -1; -1± 3
KL : Có 3 đường thẳng thỏa mãn yêu cầu là y = -x +1 ; y = (− ±1 3) (x−1) 0,25
Câu II : (2,0 điểm)
1 Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số y = 2cosx + sin2x trên [0; 2π]
2 Tính tích phân
x
=
+ Hàm số liên tục trên [0;2π]
+ Tính y’ = 2cos2x - 2sinx, x∈[0; 2π]
y’= 0 ⇔ ;5 ;3
0,5
1
(1,0)
+) y(0)=2, ( ) 3 3; (5 ) 3 3; (3 ) 0; (2 ) 2
0,25
Suy ra
[ 0;2 ] [ 0;2 ]
π π
0,25
+ Đặt 2+ 1 x+ = ⇒ x =(t-2)t 2 -1, dx = 2(t-2)dt ; x =0⇒ t =3, x = 3⇒ t = 4
0,25
2
(1,0) + Đưa về
4
2 3
42 36
2 16
t t
+ Tính ra được I = -12+ 42ln4
Câu III : (1,0 điểm)
Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD, biết khoảng cách giữa AB và mặt phẳng
(SCD) bằng 2 Góc giữa mặt bên và mặt đáy bằng 600 Tính thể tích hình chóp
S.ABCD
Trang 4+ Goij I, J lần lượt là trung điểm của
AB và CD, H là hình chiếu của I trên
SJ Chứng tỏ được IH = 2 và gócSJI =600
+ Gọi O là tâm đáy, chứng minh được
SO = 2, IJ= 4
3
+ Tính được VS.ABCD = 32
9 ( Đvtt)
0,5
0,25
0,25
Câu IV : (1,0 điểm)
Tìm các cặp số thực (x ; y) thỏa mãn phương trình sau:
4 3 2 2 3 2
2
x x y x y x y x xy
e − + − + e − + + = x + x y + xy − x +
+ Đặt x4−x y3 +x y2 2− =1 u, x3y−x2+xy+ = 1 v
PT trở thành e u +e v =u+ +v 2 (2)
+ Xét f(t)=et - t - 1 Chứng tỏ được ( ) 0,
f t t
Từ đó PT (2) ⇔ u = v = 0
0,25
0,25
+ Giải hệ
1 1
x xy x y
x xy x y
⇔
Đặt
2 3
x y b
=
, giải ra ta được
1 0
a b
=
=
2 3
a b
= −
= −
+ Thay trở lại tìm được hai cặp (x;y) là (1;0) và (-1;0) Kết luận
0,25
0,25
Câu V : (2,0 điểm)
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm M( 1; -1; 1) và hai đường
thẳng 1 1
:
− − và 2
:
d = − = −
1 Chứng minh rằng điểm M và các đường thẳng d1 và d2 cùng nằm trên một mặt
phẳng Viết phương trình mặt phẳng đó
2 Gọi A, B, C lần lượt là hình chiếu của điểm M trên Ox, Oy, Oz Viết phương
trình đường thẳng ∆ nằm trong mặt phẳng (ABC) sao cho ∆ cắt đường thẳng
(d2) đồng thời ∆ vuông góc với (d1)
1 qua M1(0;-1;0), véc tơ chỉ phương u1(1; 2; 3)− −
d2 qua M2(0;1;-4), u2(1; 2;5)
0,25
1
(1,0)
+ Chứng tỏ d1 và d2 đồng phẳng và viết được PT mp(d1,d2) : - x - 2y + z -2 = 0
+ Chứng tỏ M∈mp(d1,d2) Kết luận
0,5 0,25
S
A
B
C
D
I
J
60 0
O
H
Trang 52
(1,0)
+ A(1;0;0), B(0; -1;0), C(0;0;1); mp(ABC): x - y + z -1 = 0
+ d2 cắt (ABC) tại H( 1; 0;3
ư
+ Đường thẳng ∆ cần tỡm cú vộc tơ chỉ phương u∆ = u n1, (ABC)
=(-5;-4;1) , đồng thời đi qua H
Suy ra PT ∆:
1 5 2 4 3 2
= ư ư
= ư
= +
0,25
0,25
0,25
0,25
Cõu VI : (1,0 điểm)
Giải phương trỡnh sau trờn tập cỏc số phức biết nú cú một nghiệm thực:
z3ư(5+i z) 2+4(iư1)zư12 12+ i =0
+ Gọi nghiệm thực đú là a thay vào pt suy ra hệ
2
6
a
0,25
+ Khi đú PT đó cho tương đương với
2
6
z
=
⇔
0,25
+ Giải ra được cỏc nghiệm là 6, 2i và -1-i Kết luận
0,5
- Trên đây chỉ là hướng dẫn làm bài; phải lý luận hợp lý mới cho điểm
- Những cách giải khác đúng vẫn được điểm tối đa
- Điểm toàn bài được làm tròn đến 0,5