[r]
Trang 1Chuyên đề 1 : dãy các số nguyên – phân số viết theo quy luật
= = = = = = = = = = = = &*&*& = = = = = = = = = = = = =
(1). Dãy 1 : Sử dụng công thức tổng quát
n a
1 a
1 n) a.(a
n
Chứng minh
-n a a n a a
a n
a a
n a n
a a
a n a n a a
n
1 1 ) (
) (
) (
) ( ) (
Bài 1.1 : Tính
a)
2009 2006
3
14 11
3 11 8
3 8 5
3
406 402
1
18 14
1 14 10
1 10 6
1
B
c)
507 502
10
22 17
10 17 12
10 12 7
10
258 253
4
23 18
4 18 13
4 13 8
4
D
Bài 1.2 : Tính:
a)
509 252
1
19 7
1 7 9
1 9 2
1
405 802
1
17 26
1 13 18
1 9 10
1
B
c)
405 401
3 304
301
2
13 9
3 10 7
2 9 5
3 7 4
2
C
Bài 1.3 : Tìm số tự nhiên x, thoả mãn:
a)
8
5 120
1
21
1 15
1 10
1
2008
x
b)
45
29 45 41
4
17 13
4 13 9
4 9 5
4 7
x
c)
93
15 ) 3 2 )(
1 2 (
1
9 7
1 7 5
1 5 3
1
x x
Bài 1.4 : Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n khác 0 ta đều có:
a)
4 6 ) 2 3 )(
1 3 (
1
11 8
1 8 5
1 5 2
1
n
n n
n
b)
3 4
5 ) 3 4 )(
1 4 (
5
15 11
5 11 7
5 7 3
5
n
n n
n
Bài 1.5 : Chứng minh rằng với mọi nN; n 2 ta có:
15
1 ) 4 5 )(
1 5 (
3
24 19
3 19 14
3 14 9
3
n n
Bài 1.6 : Cho
403 399
4
23 19
4 19 15
4
80
16 81
16
A
25 18
2
; 18 11
2
; 11 4 2
a) Tìm số hạng tổng quát của dãy b) Gọi S là tổng của 100 số hạng đầu tiên của dãy Tính S.
9
1
4
1 3
1 2
1
9
8 5
2
A
2007
2
7
2 5
2 3
2
2008
1003
A
2006
1
8
1 6
1 4
1
2007
334
B
409
1
9
1 5
1
12
1
S
1
Trang 2305
9
17
9 11
9 5
9
4
3
A
201
202 200
49
48 25
24 9
8
Bµi 1.14 : Cho
1764
1766
25
27 16
18 9
11
21
20 40 43
20
40 A
Bµi 1.15 : Cho
100 98
99
6 4
5 5 3
4 4 2
3 3 1
Bµi 1.16 : Cho
2500
2499
16
15 9
8 4
3
Bµi 1.17 : Cho
59
3 2 1
1
4 3 2 1
1 3
2 1
1
3
2
M
Bµi1.18 : Cho
100 99
101 98
5 4
6 3 4 3
5 2 3 2
4 1
Më réng víi tÝch nhiÒu thõa sè:
) 2 )(
(
1 )
(
1 )
2 )(
(
2
n a n a n a a n a n a a
n
Chøng minh:
) 2 )(
(
1 )
(
1 )
2 )(
( ) 2 )(
(
2 )
2 )(
(
) 2 ( ) 2 )(
(
2
n a n a n a a n a n a a
a n
a n a a
n a n
a n a a
a n a n
a
n
a
a
n
) 3 )(
2 )(
(
1 )
2 )(
(
1 )
3 )(
2 )(
(
3
n a n a n a n a n a a n a n a n a a
n
Bµi 1.19 : TÝnh
39 38 37
2
4 3 2
2 3 2 1
2
S
Bµi 1.20 : Cho
20 19 18
1
4 3 2
1 3 2 1
1
4
1
A
Bµi 1.21 : Cho
29 27 25
36
7 5 3
36 5 3 1
36
Bµi 1.22 : Cho
308 305 302
5
14 11 8
5 11
8 5
5
48
1
C
Bµi 1.23 : Chøng minh víi mäi n N; n > 1 ta cã:
4
1 1
4
1 3
1 2
1
3 3
3
n A
Bµi 1.24 : TÝnh
30 29 28 27
1
5 4 3 2
1 4
3 2 1
1
M
Bµi 1.25 : TÝnh
100 99
1
6 5
1 4 3
1 2 1
1
52
1 51 1
P
Trang 3Bµi 1.26: TÝnh:
2007 2005
1004 1002
) 1 2 )(
1 2 (
) 1 )(
1 (
9 7
5 3 7 5
4 2 5 3
3 1
n n
n n Q
Bµi 1 27: TÝnh:
2007 2005
2006
5 3
4 4 2
3 3 1
R
Bµi 1.28: Cho
1 2005
2
1 2005
2
1 2005
2 1
2005
2 1 2005
2
2005
2006 2
1 2
3 2
2
n
n
S
So s¸nh S víi
1002 1
Hướng dẫn:
1 k
m 2 1 k
m 1 k
m 1 k
m 2 )
1 k )(
1 k (
m mk m mk 1 k
m 1
k
m
2
2
Áp dụng vào bài toán với m {2; 2 , …., 2 } và k { 2005, 2005 , …2005 2 2006} ta có:
1 2005
2 1
2005
2 1
2005
2
2
2
1 2005
2 1
2005
2 1 2005
2
2
2
3 2
2 2
2
………
(2) D·y 2 : D·y luü thõa
n
a
1
víi n tù nhiªn.
2
1
2
1 2
1 2
1
A
2
1 2
1
2
1 2
1 2
1 2
1
B
2
1
2
1 2
1 2
1
C
2
1
2
1 2
1 2
1 2
1
D
n
A
3
1 3
27
26 9
8 3
2
1
n A
Bµi 2.6: Cho
98
98
3
1 3
27
28 9
10 3
4
5
4
5 4
5 4
5
3
5
C
3
Trang 4Bµi 2.8: Cho 2 2 2 2 2 2 2 2
10 9
19
4 3
7 3
2
5 2
1
3
3
100
3
3 3
2 3
1
4
3
E
F
3
1 3
3
10 3
7 3
4
3 2
4
11
F
3
302
3
11 3
8 3
5
2
1 3 9
5
2 G
3
601
3
19 3
13 3
7
9
7
3 H
3
605
3
23 3
17 3
11
3
904
3
22 3
13 3
4
4
17
K
3
403
3
15 3
11 3
7
(3 ) D·y 3 : D·y d¹ng tÝch c¸c ph©n sè viÕt theo quy luËt:
Bµi 3.1: TÝnh:
2500
2499
25
24 16
15 9
8
35
1 1 , 24
1 1 , 15
1 1 , 8
1 1 , 3
1 1 a) T×m sè h¹ng tæng qu¸t cña d·y.
b) TÝnh tÝch cña 98 sè h¹ng ®Çu tiªn cña d·y.
780
1 1
15
1 1 10
1 1 6
1 1 3
1 1
Bµi 3.4: Cho
200
199
6
5 4
3 2
1
201
1
C
Bµi 3.5: Cho
100
99
6
5 4
3 2
1
10
1 15
1
D
99
1
1 4
1 1 3
1 1 2
1
E
100
1
1 4
1 1 3
1 1 2
1
15
8
3
Trang 5Bµi 3.9: TÝnh:
64
31 62
30
10
4 8
3 6
2 4
1
Bµi 3.10: TÝnh: 101 10001 100000001 1 00 000 1
/ 1 2
s c
n
I
100
1
1 4
1 1 3
1 1 2
1
2 2
2 2
2
1
20
1 1
4
1 1 3
1 1 2
1 1
21 1
100
1 1
16
1 1 9
1 1 4
1 1
19 11
Bµi 3.14: TÝnh:
51 49
50
5 3
4 4 2
3 3 1
N
7
10 1
7
3 1 7
2 1 7
1 1
2007
2 1
7
2 1 5
2 1 3
2 1
Q
99
1 2
1
7
1 2
1 5
1 2
1 3
1 2
1
T
Bµi 3.18: So s¸nh:
40
23 22 21
39
7 5 3 1
1 2
1
20
V
101 99
1 1
5 3
1 1 4 2
1 1 3 1
1 1
Bµi 3.20: Cho
199
200
5
6 3
4 1
2
S
Bµi 3.21: Cho
210
208
12
10 9
7 6
4 3
1
25
1
A
Bµi 3.22: TÝnh:
101 100
100
4 3
3 3 2
2 2 1
B
Bµi 3.23: TÝnh:
1999
1000 1
3
1000 1
2
1000 1
1
1000 1
1000
1999 1
3
1999 1
2
1999 1
1
1999 1
C
) 1 2 (
1 1
25
4 1 9
4 1 1
4 1
n
n
E
3 2 1
1 1
3 2 1
1 1 2 1
1 1
5
Trang 6và
n
n
F 2 với n N* Tính
F E
2
1 1
256
1 1 16
1 1 4
1 1 2
1 1
2
1
H
Tính: G + H.
n n
2 2
2
2 ) 1 2 )(
1 2 (
65536
2 257 255 256
2 17 15 16
2 5 3 4
2 3
Chứng minh:
3
4
I
3
1 1
; 3
1 1
; 3
1 1
; 3
1 1
; 3
1
a) Tìm số hạng tổng quát của dãy.
b) Gọi A là tích của 11 số hạng đầu tiên của dãy Chứng minh
A
2 3
1
là số tự nhiên.
c) Tìm chữ số tận cùng của
A
B
2 3
3
n n
A
2
2 2 4 2
6
2 3
6
97 6
13 6
6
1
n
a) Chứng minh :
B
A
M là số tự nhiên b) Tìm n để M là số nguyên tố.
n
A
2
2 4
2
3
1 6
3
1297 3
37 3
B
2 8
4 2
3
1 1
3
1 1 3
1 1 3
1 1 3
1
a) Chứng minh : 5A – 2B là số tự nhiên.
b) Chứng minh với mọi số tự nhiên n khác 0 thì 5A – 2B chia hết cho 45.
n n
A
2
2 2 4 2
3
2 3
3
97 3
13 3
( với n N ) Chứng minh: A < 3.
(4) Tính hợp lí các biểu thức có nội dung phức tạp:
Bài 4.1: Tính:
99 98
4 3 3 2 2 1
) 98
3 2 1 (
) 3 2 1 ( ) 2 1 ( 1
A
Bài 4.2: Tính:
99 98
4 3 3 2 2 1
1 98
96 3 97 2 98 1
B
Trang 7Bµi 4.3: TÝnh:
400 299
1
104 3
1 103 2
1 102 1
1
302 3
1 301 2
1 300 1 1
C
Bµi 4.4: TÝnh:
100
99
4
3 3
2 2 1
100
1
3
1 2
1 1 100
D
Bµi 4.5: TÝnh:
100 99
1
6 5
1 4 3
1 2 1
1
53
1 52
1 51 1
E
Bµi 4.6: TÝnh
121
16 11
16 16
121
15 11
15 15 : 27
8 9
8 3
8 8
27
5 9
5 3
5 5
F
Bµi 4.7: TÝnh
25
2 32 , 0
4
1 1 5
1 1 : 2 , 1 56
43 4 : 4
1 2 7
3 5
2
1 2 : 5
1 15
2 3
G
Bµi 4.8: TÝnh
500
1
55
1 50
1 45
92
11
3 10
2 9
1 92 : 100
1
4
1 3
1 2
99 2
98
97
3 98
2 99 1
H
Bµi 4.9: TÝnh
2941
5 41
5 29
5 5
2941
4 41
4 29
4 4 : 1943
3 43
3 19
3 3
1943
2 43
2 19
2 2
I
Bµi 4.10: TÝnh
91
7 169
7 13
7 7
91
3 169
3 13
3 3 : 85
4 289
4 7
4 4
85
12 289
12 7
12 12
K
Bµi 4.11: TÝnh
20 15 16 12 12 9 8 6 4 3
10 5 8 4 6 3 4 2 2 1
L
Bµi 4.12: TÝnh
5
2 : 5 , 0 6 , 0 17
2 2 4
1 2 9
5 5
7
4 : 25
2 08 , 1 25
1 64 , 0
25 , 1 5
3 1 : 6 , 1
M
Bµi 4.13: TÝnh
43
11 8 : 1517
38 6 1591
94 11 5
1
N
37 13 11 7 3
4 222222
5 111111
5 10101
P
7
Trang 8Bµi 4.15: TÝnh
1 99
1 3 97
1
95 5
1 97 3
1 99 1
1
7
1 5
1 3
1 1
Q
Bµi 4.16: TÝnh
1
199 2
198
197
3 198
2 199
1
4
1 3
1 2 1
R