Giúp các em có thể mở rộng kiến thức Toán lớp 6
Trang 1(Dành cho học sinh khá, giỏi)
§1 SO SÁNH HAI LUỸ THỪA
A Kiến thức cơ bản
cơ số hoặc cùng số mũ
lớn hơn thì sẽ lớn hơn
Với a>1 và m>n thì am > an
lớn hơn thì sẽ lớn hơn
Với n>0 và a>b thì an > bn
2 Ngoài cách trên, để so sánh hai luỹ thừa ta còn dùng tính chất bắc cầu, tính chất đơn điệu của phép nhân (a < b thì a.c < b.c với c > 0)
- Luỹ thừa của luỹ thừa: (am)n = am.n
- Luỹ thừa của một tích: ( a.b)n = anbn
- Luỹ thừa một thương: an :bn = (a:b)n , hay :
n
b
- Luỹ thừa tầng: n n
m m
B Bài tập áp dụng
1 So sánh các số sau:
a 2711 và 818
b 6255 và 1257
c 32n và 23n
d 536 và 1124
e 523 và 6.522
f 339 và 1121
g 19920 và 200315
h 7.213 và 216
2 So sánh các hiệu sau: 7245 – 7243 và 7244 – 7243
3 Tìm xN, biết:
a 16x < 1284
b 15< 5x <1075
c 5x.5x+1.5x+2 ≤ 100 0 :218
18 chữ số 0
Trang 24. Cho S = 1 + 2+ 22 + 23 + + 29 So sánh S với 5.28
§2 CHỮ SỐ TẬN CÙNG CỦA MỘT TÍCH, MỘT LUỸ THỪA
A Kiến thức cơ bản
1 Chữ số tận cùng của một tích:
- Tích các số lẻ là 1 số lẻ
- Tích của một số lẻ có tận cùng là 5 với bất kỳ số lẻ nào cũng có tận cùng
là 5
- Tích của một số chẵn với bất kỳ số tự nhiên nào cũng là một số chẵn
2 Chữ số tận cùng của một luỹ thừa:
- Các số tự nhiên có tận cùng bằng 0,1,5,6 khi nâng lên luỹ thừa bất kỳ (khác 0 ) vẫn giữ nguyên chữ số tận cùng của nó
- Các số tự nhiên có tận cùng bằng chữ số 3, 7, 9 nâng lên luỹ thừa 4n đều
có tận cùng là 1
34n = 1 .74n = 1 94n = 1
≠0) đều có tận cùng là 6
24n = 6 .44n = 6 84n = 6
- Đối với các số tự nhiên có chữ số tận cùng là 4 hoặc 9, khi nâng lên luỹ thừa lẻ đều có chữ số tận cùng là chính nó; khi nâng lên luỹ thừa chẵn có chữ số tận cùng lần lượt là 6 và 1
- Đối với các số tự nhiên có 2 tận cùng là 25, 76 khi luỹ thừa với số mũ bất
kì thì đều cho một số tự nhiên cũng có 2 chữ số là 25, 76
B Bài tập áp dụng
1 Tìm chữ số tận cùng của các số sau: 7430 ; 4931 ; 8732 ; 3358 ; 2335 ; 57
234
2 Chứng tỏ các tổng hiệu sau chia hết cho 10
A = 405n+ 2405 + 3 (n N ; n ≠ 0)
3 Tích 2.22.23 210 52.54.56 … 514 Tận cùng bằng bao nhiêu chữ số 0?
4 Chứng minh rằng tổng S = 1 + 31+ 32 + 33 + + 330 không phải là một số chính phương
§3 SỐ NGUYÊN TỐ HỢP SỐ PHÂN TÍCH MỘT SỐ RA
THỪA SỐ NGUYÊN TỐ
A Kiến thức cơ bản
1 Định nghĩa
- Số nguyên tố là số tự nhiên lớn hơn 1 và chỉ có hai ước là 1 và chính nó
Trang 3- Hợp số là số tự nhiên lớn hơn 1 có ước khác 1 và chính nó nói cách khác
là có nhiều hơn 2 ước
dưới dạng một tích các thừa số nguyên tố
2 Tính chất
A = a1k 1 a2k 2.a3k 3 … ank n thì tổng số ước số của A là (k1+1)(k2+1)(k3+1)…(kn+1)
nhất một thừa số của tích chia hết cho p Nếu tích đó là tích của các số nguyên tố thì p trùng với một trong những thừa số của tích
sốa, b chia hết cho p
- Nếu tích ab chia hết cho số nguyên tố p thì hoặc a ⋮ p hoặc b ⋮ p
- Đặc biệt nếu an ⋮ p thì a ⋮ p và ngược lại
3 Một số định lí
- Định lí Euler
cïng nhau víi m, (a, m) = 1
Th× a(m) 1 (mod n)
- Định lí Fermat
NÕu p lµ sè nguyªn tè vµ a kh«ng chia hÕt cho p th× ap-1 1 (mod p)
- Định lí Wilson
NÕu p lµ sè nguyªn tè th× ( p - 1)! + 1 0 (mod p)
B Bài tập áp dụng
1 Các số sau là số nguyên tố hay hợp số?
a = 1.3.5.7 13 + 20
b = 147.247.347 – 13
2 Cho nN* Chứng minh rằng số 111 12111 1 là hợp số
n chữ số1 n chữ số1
3 Cho n>2 và không chia hết cho 3 Chứng minh rằng hai số n2 – 1 và n2 + 1 không thể đồng thời là số nguyên tố
4 Cho p là số nguyên tố lớn hơn 3
a Chứng tỏ rằng p có dạng 6k + 1 hoặc 6k + 5
b Biết 8p + 1 cũng là một số nguyên tố, chứng minh rằng 4p + 1 là hợp số
5 Cho p và p + 8 là số nguyên tố lớn hơn 3 Hỏi p + 100 là số nguyên tố
Trang 46 Chứng minh rằng những số sau là hợp số
a 676767
b 108 + 107 + 7
c 175 + 244 + 1321
d 311141111
e 10100- 7
f 1! + 2! + 3! +…+ 100!
7 Chứng minh rằng mọi số nguyên tố lớn hơn 2 đều có dạng 4n±1
8 Chứng minh rằng nếu 3 số a, a + n, a + 2n đều là số nguyên tố lớn hơn
3 thì n chia hết cho 6
9 Chứng minh rằng nếu p là số nguyên tố lớn hơn 3 thì (p – 1)(p + 1) chia hết cho 24
10 Hai số nguyên tố được gọi là sinh đôi nếu chúng là hai số nguyên tố
lẻ liên tiếp (p>3) Chứng minh rằng một số tự nhiên nằm giữa hai số nguyên tố sinh đôi thì chia hết cho 6
11 Chứng minh rằng bình phương của một số nguyên tố khác 2 và 3 khi chia cho 12 đều dư 1
12 Một số nguyên tố p chia cho 42 có số dư r là hợp số Tìm số dư r
13 Chứng minh rằng: Nếu số tự nhiên 2n – 1 là số nguyên tố (∀n N, n>2) thì số tự nhiên 2n + 1 là hợp số
14 Tìm số n N*, sao cho n3 - n2 + n - 1 là số nguyên tố
15 Chứng minh rằng: Trong 3 số nguyên tố lớn hơn 3 luôn tồn tại 2 số mà tổng hoặc hiệu chia hết cho 12
§4 ƯỚC CHUNG, ƯỚC CHUNG LỚN NHẤT – BỘI CHUNG, BỘI
CHUNG NHỎ NHẤT
A Kiến thức cơ bản
1 Định nghĩa
- Ước chung của hai hay nhiều số là ước của tất cả những số đó Ước chung lớn nhất (ƯCLN) của hai hay nhiều số là số lớn nhất trong tập hợp ước chung của các số đó
nhỏ nhất (BCNN) của hai hay nhiều số là số nhỏ nhất khác 0 trong tập hợp bội chung của các số đó
2 Tính chất
Trang 5- Hai số tự nhiên được gọi là nguyên tố cùng nhau khi chúng chỉ có duy nhất một ước chung là 1
trong 3 số đó nguyên tố cùng nhau và chỉ có duy nhất một ước chung của 3 số là 1
ab =BCNN(a,b).ƯCLN(a,b)
số nguyên tố cùng nhau
- Nếu a ⋮ m và a ⋮ n thì a ⋮ BCNN(m,n) Từ đó suy ra:
+ Nếu một số chia hết cho hai số nguyên tố cùng nhau thì nó chia hết cho tích của chúng
+ Nếu một số chia hết cho các số nguyên tố đôi một cùng nhau thì nó chia hết cho tích của chúng
B Bài tập áp dụng
1 Chứng minh các số sau đây nguyên tố cùng nhau:
a Hai số lẻ liên tiếp
b 2n + 5 và 3n + 7 (n N)
2 Cho (a, b) = 1, chứng minh rằng:
a (a, a – b) = 1
b (ab, a + b) = 1
3 Cho a, b là hai số tự nhiên không nguyên tố cùng nhau
a = 4n + 3; b = 5n + 1 (n N)
Tìm (a, b)
4 Cho a + 5b ⋮ 7 (a, b N) Chứng minh rằng 10a + b ⋮ 7 Mệnh đề đảo lại
có đúng không?
5 Tìm hai số tự nhiên a,b biết tổng của chúng là 128 và ƯCLN của a,b là
16
6 Tìm hai số tự nhiên a,b biết tích của chúng là 216 và ƯCLN của a,b là 6
7 Cho hai số nguyên tố cùng nhau a và b
Chứng minh rằng hai số 11a + 2b và 18a + 5b thì hoặc nguyên tố cùng nhau hoặc có một ước chung là 19
Tìm hai số a và b biết tổng của BCNN với ƯCLN của chúng là 15
8 Tìm số tự nhiên a nhỏ nhất có 3 chữ số sao cho chia cho 11 thì dư 5, chia cho 13 thì dư 8
Trang 69 Chứng minh rằng nếu a là một số lẻ không chia hết cho 3 thì a2 – 1 chia hết cho 6
10 Tìm số tự nhiên bé nhất khi chia cho 2; 5; 11 và 26 đều dư 1
11 Cho một số A chia hết cho 7 và khi chia A cho 4 hoặc 6 đều dư 1 Tìm A biết A < 400
12 Tìm số tự nhiên nhỏ nhất khi chia cho 8 dư 6, chia cho 12 dư 10, chia cho 15 dư 13 và chia hết cho 23
§5 SỐ CHÍNH PHƯƠNG
A Kiến thức cơ bản
1 Định nghĩa
Số chính phương là bình phương của 1 số tự nhiên
2 Tính chất
- Số chính phương chỉ có tận cùng là 0, 1, 4, 5, 6, 9
- Khi phân tích ra thừa số nguyên tố, số chính phương chỉ chứa các thừa
số nguyên tố với số mũ chẵn
Hệ quả: a2 ⋮ p ( p ∈ ℙ ) → a2 ⋮ p2 và a ⋮ p
- Số ước của 1 số chính phương là 1 số lẻ và ngược lại 1 số tự nhiên có số ước là 1 số lẻ là số chính phương
3 Phương pháp chứng minh
- Phương pháp phản chứng
- Kẹp n2 < A < (n+1)2
- Chữ số tận cùng
- Phân tích thành bình phương
B Bài tập áp dụng
1 Các số sau có chính phương hay không
A = 3 + 32 + 33 + … + 320
B = 100! + 8
C = 19922 + 19932 + 19942
D = 1 + 9100 + 94100 + 1994100
E = 12 + 22 + 32 + … + 1002
F = 13 + 23 + 33 + … + 1003
2 Chứng minh rằng với mọi n tự nhiên thì các số sau là số chính phương
A = (10n + 10n-1 + 10n-2 +…+ 10 + 1)(10n+1 + 5) + 1
B = 111 .1 555 .5 6
Trang 7C = 111 .1 + 444 .4 + 1
D = 999 .9 8 000 .0 1
E = 111 .1 222 .2 5
F = 444 .4
3 Cho A = 11 .1; B = 11 .1; C = 66 .6
CMR: A + B + C + 8 là số chính phương
4 Chứng minh rằng
a Tổng của 2 số chính phương lẻ không là 1 số chính phương
b Một số chính phương có chữ số tận cùng là 6 thì chữ số hàng chục là 1 số
lẻ
5 Một số chính phương có chữ số hàng chục là 5 Tìm chữ số hàng đơn vị
6 Chứng tỏ các số sau không là số chính phương
a
b
c
7 Tìm số tự nhiên n có 2 chữ số biết rằng 2n + 1 và 3n + 1 đều là các số chính phương
8 Tìm số tự nhiên có 2 chữ số sao cho nếu cộng nó với số gồm hai chữ số ấy viết theo thứ tự ngược lại thì ta được 1 số chính phương
9 Tìm n ∈ ℕ* sao cho 1! + 2! + 3! + … + n! là 1 số chính phương
§6 NGUYÊN LÍ DIRICHLET VÀ ỨNG DỤNG TRONG BÀI TOÁN
CHIA HẾT
A Kiến thức cơ bản
Nguyên lí cơ bản:
Nhốt n + 1 con thỏ vào n cái lồng thì bao giờ cũng có 1 cái lồng nhốt ít nhất 2 con thỏ
B Bài tập áp dụng
1 Chứng minh rằng tồn tại một bội của 13 gồm toàn chữ số 2
Trang 8Chứng minh rằng tồn tại một số chia 19 dư 1
3 Chứng minh rằng tồn tại một số là bội của 19 có tổng các chữ số bằng 19
4 Cho ba số nguyên tố lớn hơn 3 Chứng minh rằng tồn tại hai số có tổng hoặc hiệu chia hết cho 12
5 Chứng minh rằng trong ba số tự nhiên bất kỳ luôn chọn được hai số có tổng chia hết cho 4
6 Cho bảy số tự nhiên bất kỳ, chứng minh rằng ta luôn chon được ba số có tổng chia hết cho 4
7 Cho năm số tự nhiên bất kỳ, chứng minh rằng ta luôn chọn được ba số có tổng chia hết cho 3
8 Cho 5 số tự nhiên lẻ bất kỳ, chứng minh rằng ta luôn chọn được bốn số có tổng chia hết cho 4
9 Viết 6 số tự nhiên vào 6 mặt của một con súc sắc Chứng minh rằng khi ta gieo súc sắc xuống mặt bàn thì trong 5 mặt có thể nhìn thấy bao giờ cũng tìm được một hay nhiều măt để tổng các số trên đó chia hết cho 5
gồm chữ số 0 và 1