Số nguyên gauss và ứng dụng

Mở đầu: Số nguyên Gauss nói riêng và lý thuyết số nói chung là một phần quan trọng của bộ môn số học.. Số nguyên Gauss là một mảng kiến thức rất cần thiết cho sinh viên ngành Toán, đặc b

ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

Mở đầu:

Số nguyên Gauss nói riêng và lý thuyết số nói chung là một phần quan trọng của bộ môn số học Số nguyên Gauss là một mảng kiến thức rất cần thiết cho sinh viên ngành Toán, đặc biệt là số nguyên Gauss có nhiều ứng dụng trong toán sơ cấp Nhằm tìm hiểu số nguyên Gauss và ứng dụng của nó,

tôi chọn đề tài khóa luận tốt nghiệp của mình là: “ Số nguyên Gauss và ứng dụng “

Xin cảm ơn các Thầy, Cô giáo đã tận tình giảng dạy và Ban chủ nhiệm Khoa Toán đã tạo điều kiện thuận lợi để tôi hoàn thành được khóa luận tốt nghiệp này

Chương I SỐ NGUYÊN GAUSS

Chương này trình bày sơ luợc về số nguyên Gauss cùng các tính chất của

nó nhằm làm cơ sở cho chương sau

Ký hiệu: z  a ib, a là phần thực, b là phần ảo

Tập gồm tất cả các số phức đuợc ký hiệu là £

Ví dụ: 2 3 , 4 , 5  i i là số phức

 Chú ý:

 Số phức có phần ảo bằng 0 được gọi là số thực

 Số phức có phần thực bằng 0 được gọi là số ảo ( hay thuần ảo)

b Phép nhân:

1

1 2 2

1.1.5 Mô đun của số phức:

Mô đun của số phức z a ib , với a b,  ¡ , là một số thực không âm

Cho số phức z a ib  (a b,  ¡ ) Biểu diễn hình học của z là điểm M a b( , ) Đặt r  OM  r  z  a2 b2

Vậy biểu diễn lượng giác của số phức z là:

cos sin ( os + sin )

z  a bi  r  ir   r c  i  y

1.2.1 Định nghĩa về số nguyên Gauss:

 Một số nguyên Gauss là một số phức mà phần thực và phần ảo của nó là các số nguyên

 Các số nguyên Gauss được biểu diễn trên mặt phẳng phức là các điểm nguyên

 Ví dụ: 3 2i là số nguyên Gauss

Re 3

3+2i 2i

Im

1.2.2 Mệnh đề 1:

Tập các số nguyên Gauss là một miền nguyên, được ký hiệu là:

 i  {a + bi / ,a b }  £

1.2.3 Định nghĩa về chuẩn của một số nguyên Gauss:

 Chuẩn của một số nguyên Gauss  là bình phương mô đun của nó, ký hiệu: N( ) 

1.2.4 Đơn vị của số nguyên Gauss:

Đơn vị của Z[i] là số nguyên Gauss có chuẩn bằng 1

Từ định nghĩa phần tử đơn vị, ta thấy Z[i] có 4 phần tử đơn vị: 1, 1, ,  i i, được gọi chung là 

1.2.5 Quan hệ chia hết, phần tử khả nghịch, phần tử bất khả quy:

a Quan hệ chia hết:

Cho   , Z[i], ta nói  là ước của  ( hay  là bội của  ) nếu tồn tại [i]

  Z sao cho     Ký hiệu:   | hay  |Z[i]

Nếu   | ta còn nói  chia hết  hay  chia hết cho 

b Phần tử khả nghịch:

Một số nguyên Gauss được gọi là khả nghịch nếu nó là ước của 1

Nói cách khác: Một phần tử của Z[i] là khả nghịch nếu và chỉ nếu nó là ước của mọi số nguyên Gauss

N   a b  Suy ra ( ,a b)   ( 1, 0) hoặc ( ,a b)  (0 , 1) 

Tức là abi   1 hoặc abi  i

Vậy tập tất cả các phần tử khả nghịch của Z[i] là:

*[i] = { 1 , i } = {     [i]: N( ) = 1} 

d Định nghĩa quan hệ liên kết:

Hai số nguyên Gauss   , được gọi là liên kết với nhau khi và chỉ khi sai khác nhau bằng phép nhân với một phần tử khả nghịch, ký hiệu:   :

  :      , với  là một phần tử khả nghịch

 Bài tập: Tìm các liên kết của 1i, 2 i, 2 i

e Định nghĩa phần tử bất khả quy:

Một số nguyên Gauss là bất khả quy nếu nó khác 0 và không có ước thực

sự, tức   Z [i] là bất khả quy nếu   0 ,  không khả nghịch và nếu

    thì hoặc  khả nghịch ( :  ) hoặc  khả nghịch (   : )

1.2.6 Định lý 1: Thuật chia Euclid trong Z[i]

Cho hai số nguyên Gauss   , với   0 Khi đó tồn tại các số nguyên Gauss   , sao cho       và N( )  N( ) 

Tìm phép chia Euclid  cho  với    5 8 ,i    7 3i

Chú ý: Cặp số nguyên Gauss   , trong thuật chia Euclid là không duy nhất

 Bài tập: Tìm tất cả các phép chia Euclid  cho  với:

i  là ước chung của  và  (  | ,   | )

ii Chuẩn N( )  có giá trị lớn nhất trong tập hợp chuẩn của tất cả các ước chung của  và  ( Có nghĩa là     ' | , ' | thì suy ra N( ' )   N( )  ) Ước chung lớn nhất luôn luôn tồn tại vì chuẩn của ước  không vượt quá chuẩn của  UCLN của  và  được ký hiệu là: (  , )

  là hai nguyên tố cùng nhau

Thật vậy, giả sử   ( 1, 2) thì ta suy ra 1    1 , 2   2

Vậy      1 ,    2 nên ta suy ra    | và    |

Suy ra   là ước chung của  và 

Theo định nghĩa ta có N( )  N( )   N(   )  N( ) 

Suy ra N( )   1 suy ra  là đơn vị

Vậy ( 1, 2)  1 tức  1, 2 là hai nguyên tố cùng nhau

Theo Định lý 2 thì có các số nguyên Gauss   , sao cho:    1  2  1 (*)

Nhân hai vế của (*) cho  thì ta được:        1  2         suy ra điều phải chứng minh

Giả sử  | với  bất khả quy,   0     , Z[i] sao cho       (*)

Vì  là ước chung lớn nhất của  và  do đó   | ,   | (1)

Mà theo giả thuyết thì ta có  bất khả quy (2)

Từ (1) và (2) ta suy ra  là phần tử khả nghịch hoặc  liên kết với 

Nhưng ở đây,  không thể là liên kết của  vì |

Thật vậy, giả sử:   ¢ [ ]i Ta cho  | a i ,  | a i

Suy ra:  | 2i Suy ra N( ) |  N(2 )i  4

Vì  | a i nên suy ra 2

( ) | ( ) 1

N  N a i  a 

Ở đây, N( )  vừa là ước của 4 , vừa là ước của 2

1

a  (số lẻ) Do đó, ( ) 1

Giả sử  |  Phải chứng minh:   |

Thật vậy vì  | suy ra ( , )    1 Suy ra:    ,  ¢ [ i ] sao cho       1 Nhân 2 vế cho  thì ta được:        (*)

Mà ta có:    | suy ra tồn tại 0Z[ i ] sao cho  0   

Thay vào (*) thì ta được:       0         (  0 )      |

Giả sử  |   Ta phải chứng minh   |

Thật vậy,   |  suy ra (   , )  1     ,  Z[ i ] sao cho:       1 Nhân 2 vế cho  thì ta được:          (**)

Vì   | suy ra  1 Z[ i ] sao cho     1

Thay vào (**) thì ta được:     1       (  1 )  

|

 

  Đpcm

1.2.14 Mệnh đề 2: [ 3 ]

Cho  Z[i] là một phần tử bất khả quy của Z[i] Tồn tại duy nhất một số nguyên tố pp ¢ sao cho  | p

Với    1 i thì suy ra: N( )   N(1 i)   2 , mà 2 là số nguyên tố

Vậy theo Bổ đề 2 thì    1 i là số nguyên Gauss bất khả quy

Với    2 i thì N( )   N(2  i)  5 mà 5 là số nguyên tố

Vậy theo Bổ đề 2 thì    2 i là số nguyên Gauss bất khả quy

1.2.17 Định nghĩa:

Số  được gọi là một số kết hợp với  nếu     ( ở đây  là một đơn

vị ) Nếu     thì suy ra       kết hợp với  Do đó ta còn nói  ,  là 2 số kết hợp nhau

( i ) Giả sử   |  Phải chứng minh: ( ,   )  1

Gọi  là ước chung khác đơn vị của  và 

Từ (*) và (**) ta suy ra được   | Điều này mâu thuẫn với    |

Vậy ( , )    1

Suy ra:    , Z[ i ] sao cho       1

Nhân 2 vế của phương trình trên cho  thì ta được:        

Vì   | nên 0 Z[ i ] sao cho     0

  (i) đã được chứng minh

( ii ) Với n  2 ,   | 1 2 thì  | 1 hoặc  | 2 theo chứng minh ( i ) thì trường hợp này đúng

Vậy, bằng phương pháp qui nạp, ta chứng minh được ( ii ) đúng

Vậy bổ đề đã được chứng minh

1.2.19 Định lý 4: ( Định lý cơ bản của các số nguyên Gauss )

Cho  là một số nguyên Gauss khác 0 và khác đơn vị Khi đó,  có thể biểu diễn dưới dạng:    1 2L m , với i là các số nguyên tố Gauss

Nếu có 2 biểu diễn     1 2L m    1 2L n thì m  n và tồn tại hoán vị

( , , , ) i i L in với (1, 2 , L , n) sao cho j và i j là 2 số kết hợp nhau (j 1,2 , , )L n

Có nghĩa là: mỗi số nguyên Gauss  khác 0 và khác đơn vị thì có thể biểu diễn thành tích của các số nguyên Gauss Biểu diễn này là duy nhất, chỉ sai khác thứ tự và các thừa số đơn vị

Nếu 1 là hợp số thì 3 4

3 4

, [ i ] ,

Sau một số hữu hạn bước thì quá trình này phải kết thúc ( có nghĩa là không còn hợp số nữa) vì nếu    1 2L n thì N( )   N( 1) (N 2) L N( n), do

đó n  log2N( ) Vì vậy nkhông tăng ra vô hạn

 Chứng minh tính duy nhất của sự phân tích( sai khác thứ tự và các thừa số đơn vị)

Giả sử    1 2L m   1 2L n , với m  n ( * )

Trong đó: i và j là các số nguyên Gauss, không nhất thiết phân biệt

Vì  1 |     1 | 1 2L m Do đó, theo Bổ đề 4 , 1 là ước của một nhân

Giản ước hai vế cho 1 ta thu được: 2Lm   1 2Ln

Tiếp tục quá trình này ta thu được: 2 2 2 , ,

m

    L     Nếu n  m thì ta có:

1 2

1    L mj Ở đây ji i1 , , 2 L ,i m 

Vậy j | 1 , do đó j là đơn vị Ta có mâu thuẫn

Vậy n  m và    1 2L m  (    1 1)( 2 2) L (  m m), i là đơn vị với

  là các số nguyên tố Gauss đôi một phân biệt

Theo Bổ đề 3 thì  i , j là tập tất cả các ước nguyên tố của 

Suy ra:    1k hay 1k    Định lý đã được chứng minh

1.2.21 Bổ đề 5:

Cho p là số nguyên tố Khi đó phương trình 2 2

p  x y có nghiệm nguyên khi và chỉ khi p không có dạng 4k 3 (tức là p  2 hoặc

Cho   ab i là số nguyên Gauss khác đơn vị Khi đó:

i Nếu b  0 , a 0 thì là số nguyên tố Gauss khi và chỉ khi a là số nguyên tố thông thường có dạng 4k 3

ii Nếu a  0, b  0 thì  là số nguyên tố Gauss khi và chỉ khi b là số

nguyên tố thông thường có dạng 4k 3

iii Nếu a  0, b  0thì  là số nguyên tố Gauss khi và chỉ khi

( )

N  a b là số nguyên tố thông thường

 Nhận xét:

Vậy tập hợp tất cả các số nguyên tố Gauss là:

 Tất cả các số nguyên tố thông thường p có dạng 4k 3 và các số nguyên Gauss kết hợp với chúng

 Tất cả các số nguyên Gauss abi, trong đó ( , )a b là nghiệm nguyên của phương trình 2 2

Ta phải chứng minh: a là số nguyên tố có dạng 4k 3

Suy ra không là hợp số Gauss Do đó,  a là số nguyên tố Gauss

Vậy ( i ) đã được chứng minh

( ii )

Với a  0   ib  và b là 2 số nguyên Gauss kết hợp

Do đó,  là số nguyên tố Gauss khi và chỉ khi b là số nguyên tố

Vì b là số nguyên tố thông thường có dạng 4k 3 Do đó, i bZ[i] Suy

 hoặc  hoặc  là đơn

vị Điều này mâu thuẫn với giả thuyết là   , khác đơn vị Do đó  là số nguyên tố Gauss

Vì  | n n1 2   | n1 hoặc  | n2 Điều này mâu thuẫn với giả thuyết n

là số nguyên dương bé nhất nhận  làm ước

Vậy n phải là số nguyên tố thông thường, ta ký hiệu là n  p

Ta có  | p   Z[i] (  khác đơn vị ) sao cho: p   

Vậy ( iii ) đã được chứng minh

1.2.23 Định nghĩa: (đồng dư trong số nguyên Gauss)

Cho   , , là các số nguyên Gauss Ta nói rằng  đồng dư  với modulo  nếu    |  Khi đó ta viết    (mod  )

1.2.24 Định lý 7:

 Nếu   m là một số nguyên thông thường ,   a bi ,   x iy thì (mod )

    nếu và chỉ nếu a  x (mod m) , b  y (mod m)

 1  1 (mod  ) , 2  2 (mod )  Suy ra:  1 2   1 2 (mod ) 

 Nếu p  4k 1 thì p

i i Suy ra: p  a ib (mod p)  p   (mod p)

Vậy ( 1 ) được chứng minh

Chương II ỨNG DỤNG SỐ NGUYÊN GAUSS TRONG TOÁN SƠ CẤP

Chương này trình bày ứng dụng của số nguyên Gauss để giải một số bài toán sơ cấp

§ 1 MỘT SỐ BÀI TOÁN VỀ TÌM NGHIỆM NGUYÊN

Giả sử ( , )x y là nghiệm nguyên của phương trình

Ta nhận thấy: x  y (mod 2)

Theo bổ đề thì ta suy ra y 2 ,i y 2i là hai số nguyên Gauss nguyên tố cùng nhau

Suy ra a b, Z sao cho:

a b a b

( ,x y z, ) là bộ ba Pitago khi và chỉ khi (k x k y k z, , ) là bộ ba Pitago, với kN Giả sử ( , , )x y z  1 tức ( ,x y z, ) là bộ ba Pitago nguyên thủy

Suy ra: ( , )x y  ( , )y z  ( , )z x  1  x y, không cùng chẵn

Tuy nhiên, x, y không thể cùng lẻ, vì z2    1 1 2 (mod 4)  vô lý

Ta giả sử, x chẵn, y lẻ Khi đó ta có: 2

(x i y x i y )(  )  z Ta phải chứng minh: x iy , x iy là 2 số nguyên tố Gauss cùng nhau

Giả sử    Z[i] sao cho  | xy i,  | xy i Suy ra  | 2 ,x  | 2i y Ta cần phải chứng minh  không thể là ước của 2

m  n là nghiệm của phương trình đã cho

§ 2 MỘT SỐ BÀI TOÁN SƠ CẤP

Cho zZ[i] ; z  a bi ( ,a b  0) Chứng minh rằng: Nếu z là số

Do đó, không giảm tính tổng quát của bài toán, ta giả sử ( ,x y z, )  1

Ở đây, nếu x chẵn, y chẵn thì z chẵn suy ra vô lý Vì vậy, ta giả sử x lẻ, y

Mà ta lại có: 2    1 1 (1 i) (1 i) , do đó ta suy ra được:

2

(xyi) (xyi)   (1 i) (1 i z) (2) Suy ra 1i | xyi hoặc 1 i | x yi

Suy ra  u v, Z sao cho: (x yi)  (1 i u) ( vi) hoặc

m nZ m n  m  n thì 2 2 2

, ,

a b c lập thành cấp số cộng

2.2.4 Bài toán 8: [ 1 ]

Chứng minh rằng: một số nguyên dương n  1 được biểu diễn thành tổng hai số chính phương khi và chỉ khi trong phân tích tiêu chuẩn n thì các ước nguyên tố có dạng 4k 3 là lũy thừa chẵn

Vì n 1 nên a bi không là đơn vị

Phân tích a bi thành tích các số nguyên tố Gauss ta được:

t s

N  N xy i  x y  z  , suy ra

1 2

Theo Định lý 5, thì ta có:

1 2 ( )

Theo Định lý 8 (đồng dư trong Z[i] ) thì (a bi )p  a b i (mod p) ( do p có dạng 4k 3 ) Suy ra 2 2 2

Kết luận:

Đề tài: “ Số nguyên Gauss và ứng dụng “ đã tìm hiểu về số nguyên Gauss,

đây là một mảng kiến thức về lý thuyết số, rất cần thiết cho sinh viên ngành Toán, mà vốn chưa được học trong chương trình đào tạo

Trên cơ sở các kiến thức về số nguyên Gauss, đề tài đã vận dụng chúng để giải một số bài toán sơ cấp Tuy nhiên, do trình độ còn hạn chế của người

thực hiện đề tài, cũng như sự hạn hẹp về thời gian, nên đề tài không tránh

khỏi những thiếu sót Hy vọng rằng trong thời gian tới, đề tài sẽ tiếp tục được

bổ sung và hoàn thiện nhiều hơn nữa

Tài liệu tham khảo:

[ 1 ] Giáo trình số học của Thầy Đặng Hùng Thắng, Trường ĐHKHTN,

ĐHQG Hà Nội

[ 2 ] Tài liệu nghiên cứu về “ Số nguyên Gauss và ứng dụng trong lý thuyết

số” của Thầy Đặng Hùng Thắng, Trường ĐHKHTN, ĐHQG Hà Nội

[ 3 ] Thông tin toán học, tháng 6 năm 2011, tập 15, số 1

[ 4 ] Thông tin toán học, tháng 6 năm 2011, tập 15, số 2

[ 5 ] Tổng quan về đại số hiện đại ( tập 1, 2 ), tác giả G.Birkhoff

-S.MacLane, bản dịch của Trần Văn Hạo

MỤC LỤC:

Mở đầu 1

Chương I: Số nguyên Gauss 2

§ 1. Sơ lược về số phức 2

§ 2. Số nguyên Gauss 4

Chương II: Ứng dụng số nguyên Gauss trong toán sơ cấp 25

§ 1. Một số bài toán về tìm nghiệm nguyên 25

§ 2 Một số bài toán sơ cấp 29

Kết luận 34

Tài liệu tham khảo 35

Mục lục 36