VDC-Word-bài-hay-trên-nhóm_Số-Phức_l2

Giá trị nhỏ nhất của biểu... Tính diện tích hình phẳng giới hạnbởi đường cong S... Bổ đề: Cho tam giác ABC đều, điểm M thuộc cung nhỏ »BC.. Chứng minh: Lấy điểm N thuộc đoạn MA sao cho M

min 17

P = C Pmin = 34 D min

13 17

P =

Câu 2: Cho a b x y z , , , , là các số phức thỏa mãn: a2− = + 4 16 12 b i, x ax b z2 + + + = 0,

D Đường elip có hai tiêu điểm F1( ) 1;0 , F2( 0; 3 − ).

Câu 4: Cho số phức z thỏa mãn z − − = 1 2 5 i Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của

w = + + + − − z 2 2 i z 4 6 i

A max w = 11;min w = 10 B max w = 10 3;min w = 11

C max w = 11 3;min w = 11 D max w = 10 2;min w = 10

Câu 5: Cho số phức z thỏa mãn ( 2 1 1 z − ) ( ) + + + i ( ) z 1 1 ( ) − = − i 2 2 i Giá trị của z là

Câu 6: Tính tổng phần thực của các số phức z là nghiệm của phương trình z4− 2 z z3− − + =2 2 1 0 z

Câu 12: Cho biết z z1, 2là hai trong các số phức thỏa mãn điều kiện z i z − = − 1 và z z1− =2 4 2 Gọi

w là số phức thỏa mãn điều kiện 2 w + − + 2 i 3 w − + ≤ 1 2 i 6 2 Giá trị nhỏ nhất của biểu

A 450 B 675 C 451 D 225.

Câu 14: Kí hiệu z z1, 2 là hai nghiệm phức của phương trình z2+ + = az b 0, với a b , là các số thực

thuộc đoạn [ ] − 1;1 Tìm giá trị lớn nhất của z1 + z2 .

Câu 17: Trong mặt phẳng Oxy, tập hợp điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn z − = 2 5 là một đường

tròn Khi đó số phức w = + ( 3 4 i z i ) + có điểm biểu diễn thuộc đường tròn bán kính

A 5 B 7 C 25 D 35

Câu 18: Cho số phức z thỏa mãn z không phải là số thực và w 2

2

z z

= + là số thực Giá trị lớn nhấtcủa biểu thức P z = + − 1 i là

Câu 21: Cho số phức z thỏa mãn z = 1 Tìm giá trị lớn nhất Mmax và giá trị nhỏ nhất Mmin của biểu

thức M z z = + + + +2 1 z3 1 Khi đó P M = min+ Mmax có giá trị là

A P = 8 B P = 5 C P = 7 D P = 6

Câu 22: Cho hai số phức z z1, 2 thỏa mãn đồng thời hai điều kiện sau:

Câu 26: Cho số phức z thay đổi luôn thỏa mãn z i z i − + + = 6 Gọi S là đường cong tạo bởi tất cả

các điểm biểu diễn số phức w z i i = − ( ) ( ) + 1 khi z thay đổi Tính diện tích hình phẳng giới hạnbởi đường cong S

A 12 2 π B 12 π C 9 2 π D 6 2 π

Câu 27: Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số y x = + +8 ( m 1 ) x5− ( ) m2− 1 x4+ 1 đạt

cực tiểu tại x = 0

A Vô số B 3 C 2 D 4

HƯỚNG DẪN GIÀI CHI TIẾT

min 17

P = C.Pmin = 34 D. min

13 17

P =

Lời giải

Câu 2 [2D4-4.1-4] Cho a b x y z , , , , là các số phức thỏa mãn: a2− = + 4 16 12 b i, x ax b z2 + + + = 0,

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

Đặt M x y ( ) ; là điểm biểu diễn số phức z; F1( ) 1;0 , F2( ) 0; 3 là điểm biểu diễn lần lượt cho các số phức : 1, 3i.

A max w = 11;min w = 10 B max w = 10 3;min w = 11

C max w = 11 3;min w = 11 D max w = 10 2;min w = 10

Lời giải

Giả sử z x yi x y = + ( , ∈ ¡ ) , thay vào phương trình đã cho ta được

Dễ thấy z = 0 không là nghiệm của phương trình.

Chia cả 2 vế của phương trình cho z2 ta được:

z z z z

Vậy tổng phần thực của các nghiệm là: ( ) − + = 1 3 2

Câu 7 [2D4-5.2-4] Cho số phức z Tính giá trị nhỏ nhất của biểu thức

1 2 2 3 3 4 2017 2018

P z = − − + − − + − − + + − i z i z i z − i .

A 1008.1009 2 B 1008.1010 2 C 0 D 2016 2

Lời giải Chọn A

Gọi các điểm A1( ) 1;2 , A2( ) 2;3 , , A2017( 2017;2018 ) .

mô đun của số phức ω = + M mi

Bổ đề: Cho tam giác ABC đều, điểm M thuộc cung nhỏ »BC Chứng minh rằng

MB MC MA + =

Chứng minh: Lấy điểm N thuộc đoạn MA sao cho MN MC = Ta chứng minh NA MB =

Do · AMC ABC = · = ° 60 nên tam giác MNC đều Suy ra · MCB NCA = · ( ) 1

Ta lại có BC AC = , MBC MAC · = · ( ) 2 .

Từ ( ) ( ) 1 , 2 ta có ∆ MBC = ∆ NAC g c g ( ) ⇒ MB NA = Vậy MB MC MA + =

Trở lại bài toán:

Gọi M M M1, ,2 lần lượt là điểm biểu diễn của số phức z z z1, ,2 1 2

 , bán kính

3 3

Xét Q(M2,60°)( ) M = M ′; Q(M2,60°)( ) O O = ′ theo tính chất của phép quay ta có MM2 = MM ′;

OM O M = ′ ′ ⇒ = P OM MM MM + 1+ 2 ≥ M M MM M O M O1 + ′ + ′ ′ ≥ 1 ′

Dấu “=” xảy ra khi các điểm M1, M , M ′, O ′ thẳng hàng

2 2 min 1 6 6 2.6.6cos150 6 2 3

Do z là một số nguyên nên suy ra z = 1.

Thử lại: thay z = 1 vào phương trình ban đầu, ta có ( ) 1 + i z 1 − = − i 2 z 1 i 1 i TM ( )

Đặt z a bi = + , ta có

z z

Vậy số phức z z1, 2 có các điểm biểu diễn là M M1, 2 thuộc đường thẳng x y − = 0 ( ) d .

Gọi M là điểm biểu diễn cho số phức w

Có:2 w + − + 2 i 3 w − + ≤ 1 2 i 6 2 ⇔ 2 w − − + + ( 2 i ) 3 w − − ( 1 2 i ) ≤ 6 2

M d

.Không mất tính tổng quát, đặt M H a1 = ≥ 0

với x, y ∈ [ ] 0;1

450 15

Câu 14 [2D4-5.2-3] Kí hiệu z z1, 2 là hai nghiệm phức của phương trình z2 + + = az b 0 , với a b , là các

số thực thuộc đoạn [ ] − 1;1 Tìm giá trị lớn nhất của z1 + z2 .

Lời giải Chọn C

Suy ra max T = 2 khi b = 1

TH2: ∆ ≥ ⇔ ≥ 0 a2 4 b Khi đó ( ) 1 có hai nghiệm thực thỏa mãn

Dấu '' '' = xảy ra khi b = − = ± 1, a 1 nên max T = 5.

Kết hợp hai trường hợp ta được max T = 5

Câu 15 [2D4-5.1-4] Có tất cả bao nhiêu số phức có phần thực và phần ảo đều nguyên đồng thời thỏa

mãn z i z i z i z i + + − = + + − 4 6 3 và z ≤ 2019

A 4029 B 4028 C 4031 D 4030.

Lời giải Chọn D

Do đẳng thức xảy ra nên x = 0 và − ≤ ≤ 5 y 5 Khi đó w yi = Ta có

w 2 + + − = ⇔ + + − = i w 2 10 i y 2 y 2 10 Giải ra được y = ± 5 Vậy w = ± 5i

TH2 b > 5, khi đó w có điểm biểu diễn thuộc 2 elip:

Từ hai trường hợp trên ta có 4030 số thỏa mãn

Ngày 25/3/2019

Câu 16 [2D4-4.3-4] Cho số thực a, biết rằng phương trình z az4+ 2+ = 1 0 có bốn nghiệm z z z z1 2 3 4, , ,

Ta có z là nghiệm của phương trình z az4+ 2+ = 1 0 thì − z cũng là nghiệm của phương trình

Không mất tính tổng quát giả sử

Câu 17 [2D4-1.2-3] Trong mặt phẳng Oxy, tập hợp điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn z − = 2 5 là

một đường tròn Khi đó số phức w = + ( 3 4 i z i ) + có điểm biểu diễn thuộc đường tròn bán kính

A 5 B 7 C 25 D 35

Lời giải Chọn C

Suy ra: w − + ( 6 9 i ) ( = + 3 4 i z ) ( − 2 ) hay w − + ( 6 9 i ) = 25.

Vậy tập hợp điểm biểu diễn số phức w là đường tròn tâm I ( ) 6;9 , bán kính R = 25

Ngày 1/4/2019

Câu 18 [2D4-5.1-4] Cho số phức z thỏa mãn z không phải là số thực và w 2

2

z z

= + là số thực Giá trị lớn nhất của biểu thức P z = + − 1 i là

A 2 B.2 2 C 2 D 8

Lời giải Chọn B

Gọi z x yi x y = + , , ( ∈ ¡ , y ≠ 0 ) , và số phức z có điểm biểu diễn hình học là M

x y

+

z = z z + + và z − − = − + 1 i z 3 3 i

A 4 B 3 C 1 D 2

Lời giải Chọn D

( ) 1 có hai nghiệm phân biệt ⇒ ( ) * có hai nghiệm phân biệt

Vậy có 2 số phức thỏa mãn điều kiện đề bài

Câu 20 [2D4-4.1-3] Cho số phức z thỏa mãn 3 z z + + 2 z z − ≤ 12 Gọi M m , lần lượt là giá trị lớn

nhất, nhỏ nhất của z − + 4 3 i Tính M m .

A 20 B 24 C 26 D 28

Lời giải Chọn B

Gọi N x y ( ) ; là điểm biểu diễn số phức z x yi x y = + ( , ∈ ¡ ).

3 z z + + − ≤ ⇔ 2 z z 12 3 2 x + 2 2 yi ≤ 12 ⇔ 6 x + 4 y ≤ ⇔ 12 3 x + 2 y ≤ 6 Khi đó:

Tập hợp các điểm N là miền hình thoi ABCD với A ( ) ( ) 0;3 , B − 2;0 , C ( ) 0; 3 , − D ( ) 2;0 .

y

x H

4 3

z − + = i NI, với I ( ) 4; 3 − là điểm biểu diễn số phức z1= − 4 3 i

Ta có: CD x :3 2 6 0, − − = y AB x :3 2 6 0, : 2 3 1 0 − + = ∆ y x y + + = là đường thẳng đi qua I và vuông góc với AB Gọi

Vậy P M = min + Mmax = + = 1 5 6.

Câu 22 [2D4-5.1-3] Cho hai số phức z z1, 2 thỏa mãn đồng thời hai điều kiện sau:

z − = z + + mi = + + z m i (trong đó m là số thực) và sao cho z z1− 2 là lớn nhất.

Khi đó giá trị của z z1+ 2 bằng:

A 2 B 10 C 2 D 130

Lời giải Chọn C

⇒ là giao của đường tròn ( ) C có tâm I ( ) 1;0 bán kính r = 34 và đường thẳng (d)

Ta có z z1− =2 MN ⇒ − z z1 2 lớn nhất khi MN là đường kính, tức là MN đi qua hai điểm

,

K I và nhận I ( ) 1;0 là trung điểm Khi đó ta được z z1+ =2 2 OI = 2

Câu 23 [2D4-4.4-3] Tìm số cặp có thứ tự ( ) a b ; sao cho ( )2018 ( )

, ,

a bi + = − a bi a b ∈ ¡ .

A 2018 B 2020 C 2017 D 2019

Lời giải Chọn D

Theo giả thiết ta có: 2018 2018 2 2019 2 ( )

Vì phương trình ( ) * có bậc là 2019 nên phương trình có 2019 nghiệm

Hay có 2019 cặp có thứ tự ( ) a b ; sao cho ( )2018 ( )

, ,

a bi + = − a bi a b ∈ ¡ .

Câu 24 [2D4-4.1-3] Gọi S là tổng tất cả các số thực m để phương trình z2− + − = 2 1 z m 0 có nghiệm

phức z thỏa mãn z = 2 Tính S

A 6 B 10 C - 3 D 7

Lời giải Chọn D

Cách 1: Phương trình đã cho tương đương ( )2

1

z − = m.Với m ≥ 0, phương trình có các nghiệm z = ± 1 m

m

 + =

+ = − =

trên mặt phẳng tọa độ?

bởi tất cả các điểm biểu diễn số phức w z i i = − ( ) ( ) + 1 khi z thay đổi Tính diện tích hìnhphẳng giới hạn bởi đường cong S.

A 12 2 π B 12 π C 9 2 π D 6 2 π

Lời giải Chọn A

Câu 27 [2D1-2.4-4] Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số

Ta có y ′= + 8 x7 5 ( m + 1 ) x4− 4 ( m2 − 1 ) x x3= 3   8 x4 + 5 ( m + 1 ) x − 4 ( m2− = 1 )   x g x3 ( )

Nhận xét: x = 0 là một nghiệm của phương trình y ′= 0

Do đó hàm số đạt cực tiểu tại x = ⇔ 0 y ′ đổi dấu từ ( ) − sang ( ) + khi đi qua nghiệm x = 0

* Trường hợp 1: x = 0 là nghiệm của g x ( ) , hay m = ± 1

- Với m = 1, ta có y ′= 8 x7+ 10 x4⇒ = x 0 là nghiệm bội chẵn nên y ′ không đổi dấu từ ( ) − sang

( ) + khi đi qua nghiệm x = 0 Vậy m = 1 không thỏa mãn

- Với m = − 1, ta có y ′ = ⇒ = 8 x7 x 0 là nghiệm bội lẻ nên y ′ đổi dấu từ ( ) − sang ( ) + khi điqua nghiệm x = 0 Vậy m = − 1 thỏa mãn

* Trường hợp 2: x = 0 không là nghiệm của g x ( ) , hay m ≠ ± 1

Do đó y x g x ′ = 3 ( ) đổi dấu từ ( ) − sang ( ) + khi đi qua nghiệm x = 0

Do m nguyên nên m ∈ − { } 1;0 .