Tuyển tập 200 bài toán VD VDC hay nhất năm 2021

Đề bài

Hàm số

Câu 1: Biết rằng tồn tại các số nguyên ,a b sao cho hàm số 2

Hàm số đã cho có tập giá trị gồm đúng 6 số nguyên, với giá trị nhỏ nhất và lớn nhất đều là các số nguyên Giá trị của a² + 2b² được xác định trong bối cảnh này.

Câu 2: Cho hàm số y  f x   Hàm số y  f x    có bảng biến thiên như sau

Bất phương trình f  3 4  x   e 3 4  x  2 m đúng với mọi 1 5

  y x m x m m  m  0  Gọi giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số trên

  lần lượt là y 1 , y 2 Số giá trị của m để y 1 y 2 8 là

Câu 4: Giá trị tham số thực k nào sau đây để đồ thị hàm số y x 3 3kx 2 4 cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt

Câu 5: Cho các số thực x y z, , thỏa mãn điều kiện 2 2 2 3

P x y z có thể nhận bao nhiêu giá trị nguyên?

Câu 6: Cho hàm số y  f x   liên tục trên \ 2; 2  và có bảng biến thiên như sau:

Số nghiệm của phương trình f  2018 x  2019   2020 là

Câu 7: Cho hàm số y  f x    x 3   2 m  1  x 2    2 m x   2 Tập tất cả các giá trị của m để đồ thị hàm số

  y f x có 5 điểm cực trị là a; b c

  với a, b, c là các số nguyên và a b là phân số tối giản Tính a b c 

Câu 8: Cho hàm số f x   thỏa mãn   xf x      2   1 x 2   1  f x f      x   với mọi x dương Biết

Câu 9: Tìm tất cả giá trị của tham số thực m để phương trình

2log x2 log x2 2log 2x 6x m có đúng hai nghiệm phân biệt

Cho hàm số y = x³ - 3x + 2 và đường thẳng d: y = mx + 1 cắt hàm số tại ba điểm phân biệt A, B, C Tiếp tuyến tại các điểm A, B, C lần lượt cắt đồ thị tại các điểm A', B', C', với A', B', C' khác A, B, C Biết rằng A', B', C' thẳng hàng, tìm giá trị của tham số m để đường thẳng đi qua ba điểm A', B', C' vuông góc với đường thẳng Δ: x + 2018y - 2019 = 0.

Đồ thị hàm số \(y = f(x)\) tại điểm \(M(0; 0)\) có tiếp tuyến tạo ra một tam giác với hai đường tiệm cận của đồ thị, trong đó tam giác này có bán kính đường tròn nội tiếp lớn nhất Giá trị của biểu thức liên quan đến tam giác này cần được xác định.

Cho hàm số y = 3 - 3x + 1, với đồ thị C Có hai tiếp tuyến phân biệt với cùng hệ số góc k Đường thẳng đi qua các tiếp điểm của hai tiếp tuyến tạo thành một tam giác cân với hai trục tọa độ Gọi S là tập hợp các giá trị của k thỏa mãn điều kiện này, và cần tính tổng các phần tử của S.

Câu 13: Cho các số thực dương x y z thỏa mãn , , e x y z    e x y z     Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

Câu 14: Hàm số y   x 2  x 2  1  có bao nhiêu điểm cực trị?

Câu 15: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình 2 1

Câu 16: Cho hàm số f x    x 3  12 x 2  ax b  đồng biến trên , thỏa mãn f f f     3    3 và

Câu 17: Cho hàm số y ax 3 bx 2 cx d (a0) đạt cực trị tại các điểm x x 1 , 2 thỏa mãn

1 1;0 ; 2 1; 2 x   x  Biết hàm số đồng biến trên khoảng  x x 1; 2 , đồ thị hàm số cắt trục tung tại điểm có tung độ dương Khẳng định nào dưới đây đúng?

Câu 18: Cho hàm số y  f x   có đạo hàm tại x1 Gọi d d 1 , 2 lần lượt là tiếp tuyến của đồ thị hàm số

  y f x và y  g x    x f  2 x  1  tại điểm có hoành độ x1 Biết rằng hai đường thẳng d 1 và d 2 vuông góc với nhau Khẳng định nào dưới đây đúng?

Câu 19: Cho hàm số bậc ba f x   và g x     f mx n     m n ,  có đồ thị như hình vẽ dưới đây

Biết hàm số g x   nghịch biến trên khoảng có độ dài bằng 5 Giá trị biểu thức 3m2n là

Câu 20: Cho hàm số y  f x   có bảng biến thiên như sau

Hàm số y  f x   3  có bao nhiêu điểm cực trị?

Câu 21: Cho hai hàm số y  f x y   ,  g x   có đồ thị như hình vẽ bên Khi đó tổng số nghiệm của hai phương trình f g x      0 và g f x      0 là

Hàm số y = 3 - 11x có đồ thị là C Điểm M1 trên C có hoành độ x1 = -2 Tiếp tuyến tại M1 cắt đồ thị C tại điểm M2, khác M1 Tiếp tuyến tại M2 lại cắt đồ thị C tại điểm M3.

-1 -2 -3 -4 y = f (x) khác M 2 , , tiếp tuyến của   C tại điểm M n  1 cắt   C tại điểm M n khác M n  1  n  , n  4  Gọi

Câu 23: Cho hàm số y  f x   có đạo hàm trên và f x   x 4 2 2 2 x

  x   x 0 và f   1   1 Khẳng định nào sau đây đúng?

A Phương trình f x    0 có 1 nghiệm trên   0;1

B Phương trình f x    0 có đúng 3 nghiệm trên  0;  

C Phương trình f x    0 có 1 nghiệm trên   1; 2

D Phương trình f x    0 có 1 nghiệm trên   2; 5

Câu 24: Cho hàm số y  f x   có đạo hàm trên và có đồ thị như hình vẽ: Đặt g x    2 f x    3 f x   Tìm số nghiệm của phương trình g x     0

Câu 25: Cho phương trình sin x  2 cos 2  x   2 2 cos  3 x m   1  2 cos 3 x m    2 3 2 cos 3 x m   2

Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để phương trình trên có đúng 1 nghiệm 2

Câu 26: Các giá trị thực của tham số m để bất phương trình 4 2 2 2

  nghiệm đúng với mọi số thực x là

Câu 27: Gọi T là tập hợp các giá trị nguyên của m sao cho trong nửa khoảng  1; 2019 ,  phương trình

2 4 5 1 0 x  x   m có hai nghiệm phân biệt Khi đó số phần tử của T là

Câu 28: Có bao nhiêu giá trị nguyên a nhỏ hơn 5 để bất phương trình a x   4    3 x với mọi x     2;1 ?  

Câu 29: Giả sử đường thẳng y x m  cắt đồ thị   C của hàm số 1

 y x x tại hai điểm phân biệt E và

F Gọi k k 1 , 2 lần lượt là hệ số góc của các tiếp tuyến với   C tại E và F Tìm giá trị nhỏ nhất minS của biểu thức S k 1 4 k 2 4 3k k 1 2

Câu 30: Cho hàm số y  f x   có đạo hàm trên và có đồ thị là đường cong trong hình vẽ bên Đặt

         g x f f x Tìm số nghiệm của phương trình g x '    0

Hàm số y = 3 - 6x² + 9x - 1 có đồ thị là C Tập hợp T gồm tất cả các điểm trên đường thẳng y = -x + 1, từ đó có thể vẽ đúng 2 tiếp tuyến đến đồ thị C Cần tìm tổng tung độ của các điểm thuộc tập hợp T.

Câu 32: Cho hàm số y x 3 3x 2 72x90 Tìm tổng giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn 5; 5

Câu 33 đề cập đến một mảnh giấy hình chữ nhật với chiều dài 12cm và chiều rộng 6cm Khi gấp góc dưới bên phải sao cho đỉnh gấp nằm trên cạnh chiều dài còn lại, câu hỏi đặt ra là chiều dài tối thiểu L của nếp gấp là bao nhiêu.

Câu 34: Cho hàm số y  f x   có đạo hàm trên và có đồ thị như hình vẽ Đặt g x    2 f x    3 f x   Tìm số nghiệm của phương trình g x     0

Câu 35: Cho ,x y0 và 5 x y 4 sao cho biểu thức 4 1

  đạt giá trị nhỏ nhất Khi đó:

 có đồ thị   C , điểm M di động trên   C Gọi d là tổng khoảng cách từ M đến hai trục tọa độ Khi đó giá trị nhỏ nhất của d là:

Câu 37: Cho hai chất điểm A và B cùng bắt đầu chuyển động trên trục Ox từ thời điểm t0 Tại thời điểm t, vị trí của chất điểm A được cho bởi   6 2 1 2

Chất điểm A có phương trình chuyển động x = -2t^2, trong khi chất điểm B có vị trí x = 4sin(t) Tại hai thời điểm t1 và t2 (với t1 < t2), hai chất điểm này có vận tốc bằng nhau Để tính độ dài quãng đường mà chất điểm A đã di chuyển từ t1 đến t2, cần xác định vận tốc của cả hai chất điểm và áp dụng công thức tính quãng đường dựa trên thời gian và vận tốc.

Cho hàm số f(x) = x³ + 3ax² + 3x + 3 và g(x) = x³ + 3bx² + 9x + 5, với a, b là các tham số thực Đồ thị C của hàm f(x) và đồ thị H của hàm g(x) có ít nhất một điểm cực trị chung Nhiệm vụ là tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức liên quan đến a và b.

Câu 39: Tìm tất cả các giá trị của m để hàm số  

Câu 40: Cho hàm số y  f x   có đạo hàm liên tục trên , với f x      0, x và f   0  1 Biết rằng

' 3 2   0, f x x x f x x Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình f x     m 0 có bốn nghiệm thực phân biệt

Câu 41: Có bao nhiêu giá trị nguyên của m để phương trình sau vô nghiệm:

Câu 42: Cho các số thực dương x y, thỏa mãn:  5 x y 4 thì biểu thức 4 1

  đạt giá trị nhỏ nhất khi x a y b

 thì a b có giá trị là bao nhiêu?

Câu 43: Cho hàm số y  f x   Đồ thị của hàm số y  f x    như hình vẽ Đặt g x    3 f x    x 3 Mệnh đề nào sau đây đúng?

Câu 44: Cho hàm số f x   có đạo hàm là f x    Đồ thị của hàm số y  f x    cho như hình vẽ Biết rằng

        2 4 3 0 f  f f  f Giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của

  f x trên đoạn 0; 4 lần lượt là:

Câu 45: Có bao nhiêu giá trị m nguyên thuộc đoạn 2020; 2020 để hàm số y x  3  3 x 2   2 m  5  x  5 đồng biến trên khoảng  0;+  ?

Câu 46: Cho hàm số y  f x   có đạo hàm trên và đồ thị hàm số y  f x    cắt trục hoành tại các điểm có hoành độ  3; 2; ; ;3; ;5a b c với 4 4

4 c 5 có dạng như hình vẽ bên dưới Có bao nhiêu giá trị nguyên của m để hàm số y  f  2 x   m 3  có

Câu 47: Cho hàm số f x   Đồ thị của hàm số y  f x    trên    3; 2   như hình vẽ (phần cong của đồ thị là một phần của parabol y ax 2 bx c )

Biết f     3 0, giá trị của f       1 f 1 bằng

Câu 48: Cho hàm số y  f x   liên tục trên và có đồ thị như hình vẽ

Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để phương trình f   2cos 3sin x x   cos sin x x   1 4    f m  2  4 m  4 

Câu 49: Cho số thực m và hàm số y  f x   có đồ thị như hình vẽ Phương trình f  2 x  2  x   m có nhiều nhất bao nhiêu nghiệm phân biệt thuộc đoạn1; 2?

Câu 50: Cho hàm số y  f x   có đạo hàm trên Đồ thị hàm số y  f x    như hình vẽ

Hàm số y g x      f 3 2  x  nghịch biến trên khoảng nào?

Giả sử m là tham số, a là giá trị nguyên nhỏ nhất của m để hàm số có ít điểm cực trị nhất, trong khi A là giá trị nguyên lớn nhất của m để hàm số có nhiều điểm cực trị nhất Tổng của A và a được biểu thị bằng A + a.

Câu 52: Cho hàm số y  f x   xác định trên \ 1  , liên tục trên mỗi khoảng xác định và có bảng biến thiên như hình vẽ sau:

Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m thuộc đoạn 2020; 2020 để phương trình

3 12 7 12 1 36 7 m f x  mf x  m  m   m  có hai nghiệm phân biệt?

Câu 53: Biết rằng họ đồ thị   C m : y   m  3  x 3  4  m  3  x 2   m  1  x m  luôn đi qua ba điểm cố định thẳng hàng Viết phương trình đường thẳng đi qua ba điểm cố định này

Mũ – logarit

Câu 1: Cho các số thực a b, thỏa mãn 3

16  b a 1 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

Câu 2: Tìm các giá trị thực của tham số m để phương trình log 2 3 x3log 3 x2m 7 0 có hai nghiệm thực phân biệt x x 1 , 2 thỏa mãn  x 13 x 2372

Để hỗ trợ con trai Lâm học đại học, ông Anh đã gửi 200 triệu đồng vào ngân hàng với lãi suất cố định 0,7% mỗi tháng Số tiền lãi hàng tháng sẽ được cộng vào vốn để tính lãi cho tháng tiếp theo, áp dụng hình thức lãi kép Cuối mỗi tháng, sau khi ngân hàng chốt lãi, Lâm sẽ nhận được một khoản tiền cố định từ tài khoản Cần tính số tiền m mà Lâm nhận được hàng tháng sau 48 tháng.

Lâm nhận hết số tiền cả vốn lẫn lãi mà ông Anh đã gửi vào ngân hàng (kết quả làm tròn đến đồng)

Phương trình 9x + 2(x - m)3x + 2x - 2m - 1 = 0 cần tìm tập hợp T của tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình có nghiệm dương Cần xác định mệnh đề đúng liên quan đến điều kiện này.

A T là một khoảng B T là một nửa khoảng

Câu 5: Cho biểu thức Alog 2017 log 2016 log 2015 log log 3 log 2               

Biểu thức A có giá trị thuộc khoảng nào trong các khoảng dưới đây?

Câu 6: Xét số thực a b, thỏa mãn b1 và a b a Biểu thức log a 2log b b

  đạt giá trị nhỏ nhất khi

Câu 7: Hỏi có tất cả bao nhiêu giá trị m nguyên thuộc đoạn 2017; 2017 để phương trình

 x 2  1 log  2  x 2   1  m 2  x 2  1 log   x 2     1  m 4 0 có đúng hai nghiệm x x 1 , 2 thỏa mãn

Trong suốt 25 năm, một người lao động đã đều đặn gửi 4.000.000 đồng vào một ngày cố định hàng tháng tại ngân hàng M với lãi suất không đổi là 0,6% mỗi tháng Gọi A là tổng số tiền mà người lao động này tích lũy được sau 25 năm Câu hỏi đặt ra là mệnh đề nào sau đây là chính xác?

Cô Huyền đã gửi tổng cộng 320 triệu đồng tại hai ngân hàng X và Y với lãi suất khác nhau Số tiền gửi ở ngân hàng X là 2,1% mỗi quý trong 15 tháng, trong khi số tiền gửi ở ngân hàng Y có lãi suất 0,73% mỗi tháng trong 9 tháng Tổng số lãi mà cô Huyền thu được từ cả hai ngân hàng là 27.507.768,13 đồng Câu hỏi đặt ra là số tiền cô Huyền đã gửi tại ngân hàng X và Y lần lượt là bao nhiêu?

A 140 triệu và 180 triệu B 120 triệu và 200 triệu

C 200 triệu và 120 triệu D 180 triệu và 140 triệu

Câu 10: Đầu mỗi tháng bác An gửi tiết kiệm vào ngân hàng HD Bank một số tiền như nhau với lãi suất

Để mua chiếc xe máy trị giá 30 triệu đồng sau 3 năm gửi tiết kiệm tại ngân hàng HD Bank với lãi suất hàng tháng là 0,45%, bác An cần tính toán số tiền tối thiểu T mà mình cần gửi Nếu lãi suất không thay đổi trong suốt thời gian này, bác An cần đảm bảo rằng số tiền lãi từ khoản tiết kiệm đủ để trang trải

Câu 11: Một tỉnh A đưa ra nghị quyết về giảm biên chế cán bộ công chức trong 6 năm từ 2017 đến 2023 là

Tỉ lệ tuyển dụng mới hàng năm theo phương thức “ra 2 vào 1” trong năm 2017 là 10,6% Nếu giả sử tỉ lệ giảm đối tượng hưởng lương từ ngân sách Nhà nước và tỉ lệ tuyển mới hàng năm giữ nguyên, thì tỉ lệ tuyển dụng mới hàng năm cần được tính toán và làm tròn đến 0,01%.

Câu 12: Cho x y, là các số thực lớn hơn 1 thỏa mãn x 2 9y 2 6 xy Tính 12 12  12 

Câu 13: Cho ,a b là các số thực và hàm số:f x    a log 2021  x 2   1 x   bsin os 2020x c  x  6.

Câu 14: Cho hai số thực a, b thỏa mãn 1

4  b a 1 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức log 1 log a 4 a b

Tích phân

Câu 1: Một biển quảng cáo có dạng hình elip với bốn đỉnh A 1 ,

Chi phí sơn cho phần tô đậm là 200.000 đồng/m², trong khi phần còn lại có giá 100.000 đồng/m² Hãy tính toán tổng số tiền cần thiết để sơn theo cách đã nêu và xác định số tiền gần nhất với kết quả tính toán.

A A m B B 1 2 6m và tứ giác MNPQ là hình chữ nhật có

Câu 2: Cho hàm số   2 1 d ln x x g x t

Câu 3: Cho hàm số f x   liên tục trên \ 1;0    thỏa mãn x x   1     f x    x 2     f x  x x  1  và

  1  2ln2 1  f Khi đó f   2   a b ln3 , với , a b là hai số hữu tỉ Tính a b

Hàm số y = f(x) được xác định và liên tục trên đoạn [-5; 3] Diện tích hình phẳng S1, S2, S3 được giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f(x) và đường parabol y = g(x) = ax² + bx + c lần lượt là m, n, p.

Giá trị của tích phân 3  

Câu 6: Khối tròn xoay tạo thành khi quay hình phẳng   H giới hạn bởi đường cong 5  4 

  trục hoành và hai đường thẳng x0,x1 quanh trục hoành có thể tích V      a b ln  e  1 ,    trong đó

, a b là các số nguyên Mệnh đề nào dưới đây đúng?

Câu 7: Cho hàm số f x     x 2  2 x  3  e  x Gọi M m , lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số F x     ax 2  bx c e    x trên đoạn 1;0, biết rằng F x '      f x ,   x Tính T am bM c   

Câu 8: Cho hàm số y  f x   liên tục và không âm trên thỏa mãn f x f x       2 x f 2   x  1 và f   0  0.

Gọi M, m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số y  f x   trên đoạn 1; 3  Biết rằng giá trị của biểu thức P2M m có dạng a 11  b 3  c a b c , , ,    Tính a b c  

Cho các số thực x1, x2, x3, x4 thỏa mãn điều kiện 0 < x1 < x2 < x3 < x4 và hàm số y = f(x) Biết rằng hàm số y = f'(x) có đồ thị như hình vẽ Gọi M và m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số f(x) trên đoạn [x1, x4].

0;x 4  Đáp án nào sau đây đúng?

Câu 10: Cho 0  a 1 2 và các hàm  

a x a x g x Trong các khẳng định sau, có bao nhiêu khẳng định đúng?

Câu 11: Trong mặt phẳng   P , cho elip   E có độ dài trục lớn là

AA và độ dài trục nhỏ là BB 6 Đường tròn tâm O đường kính

Để tính thể tích của vật thể tròn xoay BB như trong hình vẽ, ta cần xem xét miền hình phẳng được giới hạn bởi đường elip và đường tròn Miền hình phẳng này, được tô đậm trong hình, sẽ được quay quanh trục AA để tạo ra thể tích cần tính.

Câu 12: Cho hàm số y  f x   có đạo hàm cấp hai liên tục trên đoạn 0;1 và thỏa mãn

 e f x x x  e f x x x  e f x x x Giá trị của biểu thức    

Câu 13: Cho hai đường tròn  O 1; 5 và  O 2; 3 cắt nhau tại hai điểm A,B sao cho

AB là một đường kính của đường tròn   O 2 Gọi   D là hình phẳng được giới hạn bởi hai đường tròn (ở ngoài đường tròn lớn, phần gạch chéo như hình vẽ)

Quay   D quanh trục O O 1 2 ta được một khối tròn xoay Tính thể tích V của khối tròn xoay được tạo thành

Câu 14: Một khuôn viên dạng nửa hình tròn có đường kính bằng

Khuôn viên có kích thước 4m x 5m, trong đó thiết kế hai phần trồng hoa hình cánh hoa parabol với đỉnh trùng tâm nửa hình tròn và hai đầu cách nhau 4m Phần còn lại được sử dụng để trồng cỏ Nhật Bản Kinh phí trồng cỏ Nhật Bản là 100.000 đồng/m² Cần tính toán tổng chi phí để trồng cỏ trên diện tích còn lại của khuôn viên, và làm tròn số tiền đến hàng nghìn đồng.

Câu 15: Cho hàm số f x   có đạo hàm liên tục trên đoạn 1; 2 thỏa mãn   2   2

Câu 17: Cho hàm số f x   có đạo hàm đến cấp 2 liên tục trên 1; 3, f   1  f    1  1 và

Câu 18: Xét hàm số f x   liên tục trên 1; 2 và thỏa mãn f x    2 xf x  2  2   3 f  1  x   4 x 3 Tính giá trị của tích phân 2  

Câu 19: Cho hàm số f x    0 thỏa mãn điều kiện f x      2 x  3    f 2 x và   0 1 f 2 Biết tổng

     b với a ,b * và a b là phân số tối giản Mệnh đề nào sau đây đúng?

Hàm số f(x) = ax³ + bx² + cx + d có đồ thị C Điểm M thuộc C, và tiếp tuyến tại M cắt C tại điểm thứ hai N Tiếp tuyến tại N cũng cắt C tại một điểm thứ hai khác.

P Gọi S S 1 , 2 lần lượt là diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường thẳng MN và   C ; đường thẳng NP và   C Mệnh đề nào dưới đây là đúng?

Số phức

Câu 1: Cho số phức z thỏa mãn z 1 3i   z 5 i 2 65 Giá trị nhỏ nhất của z 2 i đạt được khi z a bi  với ,a b là các số thực dương Giá trị của 2b3a bằng

Câu 2: Cho số phức z thỏa mãn z z 2 z z 8; a b c, , dương Gọi M m, lần lượt là giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của biểu thức P  z 3 3i Tính M m

Câu 3: Xét tất cả các số phức z thỏa mãn z  3i 4 1 Giá trị nhỏ nhất của z 2  7 24inằm trong khoảng nào?

Phương trình bậc 4 có dạng z^4 + az^3 + bz^2 + cz + d = 0 với a, b, c, d là các số thực Trong số bốn nghiệm của phương trình, không có nghiệm nào là số thực Tích của hai trong bốn nghiệm bằng 13 + i, trong khi tổng của hai nghiệm còn lại là 3 + 4i.

Hỏi b nằm trong khoảng nào?

Câu 5: Cho z x yi x y    ,   là số phức thỏa mãn điều kiện z 3 2i 5 và 4 3

  z i z i Gọi M m, lần lượt là giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức Tx 2 y 2 8x4y Tính M m

Câu 6: Tập hợp điểm biểu diễn các số phức z thỏa mãn z   1 1 i 2z là đường tròn   C Tính bán kính

Câu 7: Cho z x yi x y    ,   là số phức thỏa mãn điều kiện z 2 3i    z i 2 5 Gọi M m, lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức P x 2 y 2 8x6y Tính M m

Câu 8: Cho số phức z thỏa mãn đồng thời hai điều kiện z i 1 và z 2m 2 với m là tham số thực

Tập hợp các giá trị thực của tham số m để tồn tại hai số phức thỏa mãn các điều kiện trên là

Câu 9: Xét các số phức z a bi a b    ,   thỏa mãn z   4 3 i  5 Tính P a b   khi z   1 3 i    z 1 i đạt giá trị lớn nhất

Câu 10: Xét các số phức z thỏa mãn điều kiện z 3 4i    z 2 i 5 2 Gọi M m, lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của z 4 3i Tính tổng bình phương của M và m

Câu 11: Cho hai số phức z 1  7 9i và z 2 8i Gọi z a bi  (a b,  ) là số phức thỏa mãn z  1 i 5 Tìm a b , biết biểu thức P z z 1 2z z 2 đạt giá trị nhỏ nhất

Câu 12: Cho hai số phức z z 1 , 2 thỏa mãn z 1 3,z 2 4,z 1 z 2  37 Xét số phức 1

Câu 13: Cho z z z z 1 , 2 , 3 , 4 là bốn nghiệm của phương trình

  Tính giá trị của biểu thức

Câu 14: Cho hai số phức z z 1 , 2 thỏa mãn z 1 2i 3 và z 2  2 2i  z 2  2 4 i Giá trị nhỏ nhất của biểu thức P z 1 z 2 bằng

Câu 15: Cho số phức z 1 thỏa mãn z 1 2 2  z 1 1 2 1 và số phức z 2 thỏa mãn z 2   4 i 5 Tìm giá trị nhỏ nhất của z 1 z 2

Câu 16: Cho 2 số phức z z 1 , 2 thỏa mãn tổng của chúng là 3 và tích là 4 Khi đó z 1 z 2 là:

Câu 17: Cho các số phức z 1 1,z 2  2 3i và số phức z thỏa mãn z     1 i z 3 i 2 2 Gọi M, m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của P z z 1  z z 2 Tính tổng S M m 

Câu 18: Cho số phức z thỏa mãn 1

3. z z Tổng giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của z là

Câu 19: Biết số phức z thỏa mãn điều kiện 3   z 3i 1 5 Tập hợp các điểm biểu diễn của z tạo thành một hình phẳng Diện tích của hình phẳng đó bằng

Cho số phức z thỏa mãn phương trình z - i = -z + 1 + 2i Tập hợp các điểm biểu diễn số phức w = -2i(z + 1) trên mặt phẳng tọa độ tạo thành một đường thẳng Phương trình của đường thẳng này cần được xác định.

Câu 21: Trong các số phức z thỏa mãn z 4 3i   z 8 5i 2 38 Tim giá trị nhỏ nhất của z 2 4i

Câu 22: Vói hai số phức z 1 , z 2 thỏa mãn z 1 z 2  8 6i và z 1 z 2 2 Tìm giá trị lớn nhất của Pz 1 z 2

Câu 23: Cho số phức z thỏa mãn tập hợp z 1 3 Biết rằng tập hợp các điểm biểu diễn số phức w với

 3 2  i w iz    2 là một đường tròn Tìm tọa độ tâm I và bán kính r của đường tròn đó

Câu 24: Cho z z 1 , 2 là nghiệm phương trình 6 3 i iz  2z 6 9i và thỏa mãn 1 2 8

5. z z  Tìm giá trị lớn nhất của z 1 z 2

Câu 1: Cho hình chóp S ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng

 ABCD  Góc giữa hai mặt phẳng  SBD  và  ABCD  bằng 60 Gọi M N , lần lượt là trung điểm của các cạnh SB SC, Thể tích khối chóp S ADNM bằng

Câu 2: Cho hình chóp tứ giác S ABCD có đáy là hình bình hành, trên các cạnh SA SB SC, , lần lượt lấy các điểm M N P, , sao cho 1 1 1

SA SB SC Mặt phẳng  MNP  cắt cạnh SD tại Q Biết thể tích khối chóp S MNPQ bằng 1

8 Tính thể tích V của khối chóp S ABCD

Cho hình chóp tứ giác S ABCD với đáy ABCD là hình bình hành tâm O Mặt phẳng (SAC) vuông góc với mặt phẳng (SBD) Khoảng cách từ O đến các mặt phẳng (SAB), (SBC), và (SCD) lần lượt là 1, 2, và 5 Cần tính khoảng cách d từ O đến mặt phẳng (SAD).

Câu 4: Cho hình chóp S ABCD có ABCD là hình chữ nhật, SA vuông góc với mặt phẳng  ABCD  ,

SA AB  ,AD2 Điểm M thuộc SA sao cho AM x   0   x 1  Tìm x để mặt phẳng  MCD  chia khối chóp S ABCD thành hai khối có thể tích là V V 1 , 2 Biết 1

V  , hỏi giá trị của x nằm trong khoảng nào?

Để tính thể tích V của hình chóp đều SABC với đáy là tam giác đều cạnh a, ta biết rằng E và F là trung điểm của các cạnh SB và SC Mặt phẳng AEF vuông góc với mặt phẳng SBC, điều này giúp xác định vị trí của các điểm và tính toán thể tích khối chóp một cách chính xác.

Câu 6: Cho hình chóp S ABC có tam giác ABCcân tại ,B AB BC a, ABĈ 120  và SAB̂ = S ̂CB 90 

Gọi  là góc tạo bởi đường thẳng SA và mặt phẳng   , sin 3

SBC Tính thể tích khối chóp S ABC, biết khoảng cách từ điểm S và mặt phẳng  ABC  nhỏ hơn 2 a

Câu 7: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng 2 ,a SA tạo với đáy một góc 30  Tính theo a khoảng cách d giữa hai đường thẳng SA và CD

Trong bài toán, cho lăng trụ tam giác đều ABC A'B'C' với tất cả các cạnh bằng a M và N là trung điểm của các cạnh AB và B'C' Mặt phẳng (AMN') cắt cạnh BC tại điểm P Cần tính thể tích V của khối đa diện MBPA'B'N'.

Câu 9: Cho hình chóp S.ABCD có SA a SB , 2 ,a SC3a và ASB̂ = ASĈ = BSĈ 60   Biết đáy ABCD là hình bình hành Tính thể tích V của khối chóp S.ABCD

Trong tứ diện đều ABCD có cạnh dài a, điểm M nằm trong miền của khối tứ diện Giá trị tối đa của tích các khoảng cách từ điểm M đến bốn mặt phẳng của tứ diện này được xác định.

Tam giác nhọn ABC, khi quay quanh các cạnh AB, BC và CA, tạo ra các khối tròn xoay với thể tích lần lượt là 3136 và 9408.

 Tính diện tích tam giác ABC

Câu 12: Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC A B C    có AB2 3 và AA 2

Gọi M,N,P lần lượt là trung điểm của các cạnh A B A C   , và BC (tham khảo hình vẽ bên) Côsin của góc tạo bởi hai mặt phẳng  AB C    và  MNP  bằng:

Câu 13: Cho hình chóp S ABC có đáy là tam giác đều cạnh a Hình chiếu vuông góc của S trên mặt phẳng

Điểm H trên cạnh AB thỏa mãn điều kiện HA = 2HB, và góc giữa đường thẳng SC với mặt phẳng (ABC) là 60 độ Cần tính khoảng cách d giữa hai đường thẳng SA và BC theo a.

Câu 14: Xét hình chóp S ABCD với đáy ABCD là hình vuông, cạnh bên SA vuông góc với đáy và khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (SBC) bằng a Tính thể tích của khối chóp này.

Giá trị nhỏ nhất V0 của S ABCD đạt được khi cosin của góc giữa đường thẳng SB và mặt phẳng (ABCD) bằng p/q, với p và q là các số nguyên dương, và phân số p/q là tối giản Tính T = (p/q V + V0).

Câu 15: Xét tam giác nhọn ABC nội tiếp đường tròn (O, R) Gọi V1, V2 và V3 lần lượt là thể tích của các khối tròn xoay được tạo ra khi quay tam giác OCA quanh trung trực của đoạn thẳng CA, và quay tam giác khác.

OAB quanh trung trực của đoạn thẳng AB và quay tam giácOBCquanh trung trực của đoạn thẳng BC Tính V 3 theo R khi biểu thức V 1 V 2 đạt giá trị lớn nhất

Câu 16: Cho hình tứ diện đều   H Gọi   H  là hình tứ diện đều có các đỉnh là tâm các mặt của   H Tính tỉ số diện tích toàn phần của   H và   H

Câu 17: Cho tứ diện ABCD và M, N là các điểm thay đổi trên cạnh AB và CD sao cho AM CN.

P là điểm trên cạnh AC, và S là diện tích của thiết diện cắt bởi mặt phẳng (MNP) với hình chóp Cần tính tỉ số k giữa diện tích tam giác MNP và diện tích thiết diện S.

Câu 18: Cho hình chóp S ABCD có đáy là hình bình hành Gọi K là trung điểm SC Mặt phẳng   P qua

AK cắt các cạnh SB SD, lần lượt tại M N, Gọi V và V lần lượt là thể tích các khối chóp S ABCD và

 có giá trị nhỏ nhất bằng

Trong tam giác OAB đều cạnh a, trên đường thẳng d qua O và vuông góc với mặt phẳng (OAB), ta chọn điểm M sao cho OM = x Hình chiếu vuông góc của điểm A lần lượt trên MB và OB được gọi là E và F Giao điểm của EF và OM là N Mục tiêu là tìm giá trị x để thể tích của tứ diện ABMN đạt giá trị nhỏ nhất.

Hình thoi ABCD có góc BAD bằng 60 độ và độ dài cạnh AB là 2 Gọi H là trung điểm của AB Tại H, trên đường thẳng vuông góc với mặt phẳng ABCD, chọn điểm S khác H Điểm M được lấy trên tia đối của tia BC sao cho thỏa mãn điều kiện nhất định.

BM BC Tính theo a độ dài của SH để góc giữa SC và  SAD  có số đo lớn nhất

Câu 21: Cho hình lăng trụ ABC A B C    có tất cả các cạnh cùng bằng a, hình chiếu của C trên mặt phẳng

 ABB A    là tâm của hình bình hành ABB A  Tính theo a thể tích khối cầu đi qua năm điểm , , , A B B A  và C

Để tìm độ dài cạnh đáy của hình chóp tứ giác đều H có thể tích lớn nhất nội tiếp trong mặt cầu S bán kính R cố định, ta cần xác định các yếu tố hình học liên quan đến kích thước và vị trí của H trong S Việc tối ưu hóa thể tích của chóp H sẽ phụ thuộc vào bán kính R của mặt cầu S, từ đó suy ra mối quan hệ giữa cạnh đáy và bán kính.

Câu 23: Cho khối lập phương ABCD A B C D     cạnh bằng a Các điểm E và F lần lượt là trung điểm cúa

C B  và C D  Mặt phẳng  AEF  cắt khối lập phương đã cho thành hai phần, gọi V 1 là thể tích khối chứa điểm A và V 2 là thể tích khối chứa điểm C Khi đó 1

Câu 24: Cho tứ diện ABCD có AD   ABC  , đáy ABC thỏa mãn điều kiện: cot cot cot

AB AC BA BC CA CB

Gọi H, K lần lượt là hình chiếu vuông góc của A lên BD và BC Tính thể tích V của khối cầu ngoại tiếp khối chóp A.BCHK

Câu 25: Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’ Gọi M, N lần lượt là trung điểm của BB’, CC’ Mặt phẳng

 A MN   chia khối lăng trụ thành hai phần, V 1 là thể tích của phần đa diện chứa điểm B, V 2 thể tích phần đa diện còn lại Tính tỉ số 1

Khối tròn xoay

Câu 1: Một đội xây dựng cần hoàn thiện một hệ thống cột tròn của một cửa hàng kinh doanh gồm 10 chiếc

Trước khi hoàn thiện, mỗi chiếc cột là một khối bê tông cốt thép hình lăng trụ lục giác đều có cạnh bằng

Để hoàn thiện toàn bộ hệ thống cột, mỗi cột có chiều cao 4 m và đường kính đáy 42 cm, sau khi trát thêm vữa, chiều cao không thay đổi Lượng xi măng chiếm 80% trong tổng lượng vữa, và một bao xi măng 50 kg tương đương với 64000 cm³ Cần tính toán số bao xi măng cần thiết để hoàn thiện các cột.

Thầy Thư, giáo viên dạy toán tại trường THPT chuyên Nguyễn Quang Diêu, tỉnh Đồng Tháp, đang tìm cách xây dựng một hố ga hình chữ nhật có thể tích 3m³ Biết rằng tỷ số giữa chiều cao và chiều rộng của hố ga là 1,5, thầy cần xác định chiều cao tối ưu để tiết kiệm nguyên liệu trong quá trình xây dựng.

Trong bài toán hình học, cho hình chóp S ABC với đáy ABC là tam giác đều có cạnh a, và cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy Gọi B1 và C1 lần lượt là hình chiếu của điểm A trên các cạnh SB và SC Nhiệm vụ là tính bán kính của mặt cầu đi qua năm điểm trong hình chóp này.

Câu 4: Cho tam giác vuông OPM có cạnh OP nằm trên trục Ox, cạnh huyền OMkhông đổi, OM R ( 0

R ) Tính theo R giá trị lớn nhất của thể tích khối tròn xoay thu được khi quay tam giác đó xung quanh trục Ox

Một hình hộp chữ nhật có kích thước 4 x 4 x h chứa một khối cầu lớn bán kính 2 và tám khối cầu nhỏ hơn với bán kính 1 Các khối cầu nhỏ tiếp xúc lẫn nhau và chạm vào ba mặt của hình hộp Khối cầu lớn tiếp xúc với tất cả tám khối cầu nhỏ Cần tìm giá trị của h.

Khối trụ có bán kính đáy r và chiều cao h được cắt bởi mặt phẳng P song song với trục, với khoảng cách từ trục đến mặt phẳng là 2.

Mặt phẳng P chia khối trụ thành hai phần: V1 là thể tích phần chứa tâm của đường tròn đáy, và V2 là thể tích phần không chứa tâm của đường tròn đáy Tính tỷ số V1/V2.

Hình chóp S.ABCD có các cạnh đáy ABC và ADC vuông góc với nhau, với góc giữa cạnh SC và mặt phẳng đáy là 60 độ Cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD), và diện tích của tam giác ADC được xác định.

2 a Diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD là

Để tìm chiều cao h của hình nón nội tiếp mặt cầu S tâm O bán kính r nhằm tối đa hóa thể tích của khối nón, ta cần xem xét mối quan hệ giữa chiều cao và bán kính đáy C Hình nón này có đỉnh I nằm trên mặt cầu S, và việc tối ưu hóa thể tích sẽ phụ thuộc vào việc xác định h sao cho thể tích đạt giá trị lớn nhất.

Cho một chiếc cốc hình nón cụt và một viên bi có đường kính bằng chiều cao của cốc Khi đổ đầy nước vào cốc và thả viên bi vào, lượng nước tràn ra bằng một nửa lượng nước ban đầu Biết rằng viên bi tiếp xúc với đáy cốc và thành cốc, hãy tìm tỉ số bán kính giữa miệng cốc và đáy cốc, bỏ qua độ dày của cốc.

Câu 10: Một chiếc ly dạng hình nón (như hình vẽ) Người ta đổ một lượng nước vào ly sao cho chiều cao của lượng nước trong ly bằng 1

Khi bịt kín miệng ly và úp ngược ly lại, tỉ lệ giữa chiều cao của mực nước và chiều cao của ly nước sẽ là 1:1 Điều này có nghĩa là mực nước sẽ giữ nguyên chiều cao so với chiều cao của ly, bất chấp việc ly được đặt ở vị trí nào.

Cho hình nón với đỉnh S và đáy là hình tròn tâm O, có hai đường sinh SA và SB, với SO = 3 Khoảng cách từ O đến mặt phẳng (SAB) là 1 và diện tích của tam giác SAB là 18 Cần tính bán kính đáy của hình nón này.

Học sinh A sử dụng một xô đựng nước có đáy hình tròn bán kính 20 cm và miệng xô bán kính 30 cm, với chiều cao 80 cm Mỗi tháng, A tiêu thụ 10 xô nước Với giá nước là 20.000 đồng mỗi xô, A sẽ phải chi trả tổng cộng 200.000 đồng mỗi tháng cho nước.

1 m (số tiền được làm tròn đến đơn vị đồng)? 3

Để tính thể tích của khối trụ được tạo thành từ hình quạt cắt theo hình chữ nhật MNPQ, trước tiên cần xác định bán kính đáy r = 2/3 và độ dài đường sinh l = 2 Khi cắt theo đường sinh và trải phẳng, hình quạt sẽ tạo thành hình chữ nhật với các điểm M, N là trung điểm của OA và OB Khi tạo hình trụ với đường sinh PN trùng với MQ, thể tích của khối trụ sẽ được tính bằng công thức V = πr²h, trong đó h là chiều cao của trụ và r là bán kính đáy Từ các thông số đã cho, thể tích của khối trụ có thể được tính toán chính xác.

Câu 14 đề cập đến hình cầu S có tâm O và bán kính R, hình cầu này ngoại tiếp một hình trụ tròn xoay T với chiều cao bằng đường kính đáy Đồng thời, hình cầu S cũng nội tiếp trong một hình nón tròn xoay N có góc ở đỉnh bằng 60 độ Nhiệm vụ là tính tỉ số thể tích giữa hình trụ T và hình nón N.

Để tăng thể tích kem trong phễu hình nón bằng bạc lên 4 lần mà không thay đổi chiều cao, cần tính diện tích miếng giấy bạc bổ sung Phễu có thể tích ban đầu là 12π cm³ và chiều cao 4 cm Khi thể tích tăng lên 4 lần, thể tích mới sẽ là 48π cm³ Diện tích giấy bạc cần thêm sẽ tương ứng với sự thay đổi trong kích thước của phễu để đáp ứng thể tích mới.

Hình tọa độ Oxyz

Câu 1: Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A  2; 2;4 ,    B  3;3; 1   và mặt phẳng

  P : 2 x y   2 z   8 0 Xét M là điểm thay đổi thuộc   P , giá trị nhỏ nhất của 2MA 2 3MB 2 bằng:

Trong không gian Oxyz, cho các điểm A(1;0;0), B(0;2;0), C(0;0;1) Có một điểm S(a;b;c) khác gốc tọa độ, sao cho SA, SB, SC đôi một vuông góc Tính tổng bình phương giá trị của a, b và c.

Câu 3: Trong không gian Oxyz, cho điểm M  2; 3; 4   Gọi   P là mặt phẳng đi qua M và cắt các trục

Cho các điểm D, E, F với các tọa độ x, y, z tương ứng, thỏa mãn OD = 2OE = (m² - 2m + 2) và OF ≠ 0, trong đó m là tham số thực Gọi S là tập hợp các giá trị của m sao cho chỉ có đúng ba mặt phẳng P thỏa mãn điều kiện trên Câu hỏi đặt ra là tập hợp S có bao nhiêu tập hợp con khác rỗng?

Câu 4: Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A  1; 4; 2 ,   B  1; 2; 4  và đường thẳng 1 2

Biết rằng tồn tại điểm M a b c  ; ;   d sao cho MA 2  MB 2 đạt giá trị nhỏ nhất Giá trị của 2a b 3c bằng

Câu 5: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hình chóp S ABCD với S  1; 1;6 ,    A 1; 2; 3 ,   B 3;1; 2 , 

D Gọi I là tâm mặt cầu   S ngoại tiếp hình chóp Tính khoảng cách d từ I đến mặt phẳng  SAD 

Trong không gian Oxyz, xét mặt cầu S có phương trình x² + y² + z² - 4x + 4y - 2z - 7 = 0 và đường thẳng dm là giao tuyến của hai mặt phẳng x + (1/2)my + 4mz - 4 = 0 và 2x + my - (2m + 1)z - 8 = 0 Khi giá trị m thay đổi, các giao điểm của dm và S sẽ nằm trên một đường tròn cố định Cần tính bán kính r của đường tròn này.

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho các điểm A(1;0;0), B(3;2;0) và C(-1;2;4) Điểm M được xác định sao cho các đường thẳng MA, MB và MC tạo với mặt phẳng ABC các góc bằng nhau Điểm N nằm trên mặt cầu có phương trình (x - 3)² + (y - 2)² + (z - 1)² = 2.

S x  y  z 2 Giá trị nhỏ nhất của độ dài đoạnMN bằng:

Câu 8: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho tứ diện ABCD có A  0;0; 3 ,   B 0; 3;0 ,  C  3;0;0 , 

D Hỏi có bao nhiêu điểm M x y z  ; ;  (với x y z , , nguyên) nằm trong tứ diện

Câu 9: Trong không gian tọa độ Oxyz, cho đường thẳng 1 1

Trong bài toán này, điểm B di động trên đường thẳng d sao cho mặt phẳng (OAB) vuông góc với mặt phẳng (OAC) Gọi B' là hình chiếu vuông góc của điểm B lên đường thẳng AC Quỹ tích của các điểm B' tạo thành một đường tròn cố định, và nhiệm vụ là tính bán kính r của đường tròn này.

Câu 10: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz,cho ba điểm A  0;1;1 ;   B 1;2; 1 ;    C 1;2;2  và mặt phẳng

   : x  2 y  2 z   1 0 Xét điểm M thay đổi thuộc mặt phẳng    , giá trị nhỏ nhất của biểu thức

MA MB MB MC bằng

Câu 11: Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A  3; 3;1   và B   4; 4;1  Xét điểm M thay đổi thuộc mặt phẳng   P z :   2 Giá trị nhỏ nhất của 3MA 2 4MB 2 bằng

Câu 12: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho ba mặt phẳng   P x :  2 y z    1 0,

  Q x :  2 y z    8 0 và   R x :  2 y z    4 0 Một đường thẳng d thay đổi cắt ba mặt phẳng

      P , Q , R lần lượt tại A B C, , Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức TAB 2 144

Hai quả bóng hình cầu có kích thước khác nhau được đặt ở hai góc của một căn nhà hình hộp chữ nhật, tiếp xúc với hai bức tường và nền nhà Trên bề mặt của mỗi quả bóng, có một điểm có khoảng cách đến hai bức tường và nền lần lượt là 1, 2 và 4 Tổng độ dài đường kính của hai quả bóng này cần được tính toán.

Trong không gian tọa độ Oxyz, tập hợp các điểm M(x, y, z) thỏa mãn điều kiện x + y + z = 3 tạo thành một hình đa diện Để tính thể tích V của khối đa diện này, cần áp dụng các phương pháp hình học và tích phân phù hợp.

Câu 15: Trong không gian Oxyz, cho ba điểm A  1;1;1 ,   B 2; 3; 2 ,     C 0; 1;1   Mặt cầu   S có bán kính 6

R và tiếp xúc với mặt phẳng  ABC  tại trọng tâm Gcủa tam giác ABC.Mặt cầu   S nhận điểm nào dưới đây làm tâm?

Câu 16: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hình lăng trụ đứng ABC A B C ' ' ' có A x  0;0;0,

Khi x, y là các số thực dương thoả mãn x + y = 4, khoảng cách giữa hai đường thẳng AC' và BC đạt giá trị lớn nhất, thì bán kính của mặt cầu ngoại tiếp hình lăng trụ sẽ được xác định.

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, tập hợp các điểm M(x; y; z) thỏa mãn điều kiện x + y + z = 3 tạo thành một hình đa diện Để tính thể tích V của khối đa diện này, cần áp dụng các phương pháp hình học phù hợp.

Trong không gian tọa độ Oxyz, xét các điểm A(a; 0; 0), B(0; b; 0), và C(0; 0; c) với a, b, c khác 0 và thỏa mãn điều kiện a + 2b + 2c = 6 Khi a, b, c thay đổi, quỹ tích tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện OABC sẽ nằm trên mặt phẳng P cố định Cần tính khoảng cách từ điểm O đến mặt phẳng P.

Trong bài toán hình học này, chúng ta có hình chóp S ABC với các cạnh SA = a, SB = b, và SC = c Một mặt phẳng α đi qua trọng tâm của tam giác ABC, cắt các cạnh SA, SB, và SC tại các điểm A', B', và C' Nhiệm vụ là tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức liên quan đến các đoạn thẳng này.

Trong không gian tọa độ Oxyz, mặt cầu S được xác định bởi phương trình x² + y² + z² = 3 Mặt phẳng α tiếp xúc với mặt cầu S và cắt các trục Ox, Oy, Oz tại các điểm A, B, C tương ứng Cần tính giá trị của biểu thức liên quan đến các điểm này.

Câu 21: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A  2; 3;0 ,  B  0;  2;0 ,  M    6 5 ;  2; 2    và đường thẳng : 0

 x t d y z t Điểm C thuộc d sao cho chu vi tam giác ABC là nhỏ nhất thì độ dài CM bằng

Trong không gian tọa độ Oxyz, mặt cầu S được định nghĩa bởi phương trình \((x - 1)^2 + y^2 + (z - 2)^2 = 9\) ngoại tiếp khối bát diện H, được tạo thành từ hai khối chóp tứ giác đều S.ABCD và S.ABCD' Cả hai khối chóp này đều có đáy là tứ giác ABCD.

Biết rằng đường tròn ngoại tiếp của tứ giác ABCD là giao tuyến của mặt cầu   S và mặt phẳng

  P : 2 x  2 y z    8 0 Tính thể tích khối bát diện   H

Câu 23: Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu   S x : 2  y 2  z 2  4 x  2 y  6 z   5 0 và mặt phẳng

  P : 2 x  2 y z   16 0  Điểm M, N di động lần lượt trên   S và   P Khi đó giá trị nhỏ nhất của đoạn MN là:

Câu 24: Trong không gian Oxyz cho điểm A   1; 2; 3   , véc – tơ u  6; 2; 3    và đường thẳng d:

Viết phương trình đường thẳng  đi qua A, vuông góc với giá của u và cắt d

Câu 25: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai mặt phẳng   P x y :   2 z   1 0 và

Cho phương trình \( Q: 2xy + z - 1 = 0 \), xác định mặt cầu \( S \) có tâm trên trục Ox và cắt mặt phẳng \( P \) tạo thành đường tròn với bán kính bằng 2 Mặt cầu \( S \) cũng cắt mặt phẳng \( Q \) theo giao tuyến là một đường tròn có bán kính \( r \) Để chỉ có duy nhất một mặt cầu \( S \) thỏa mãn các điều kiện trên, cần tìm giá trị của \( r \).

Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A(6; 3; 4) và B(a; b; c) Gọi M, N, P lần lượt là giao điểm của đường thẳng AB với các mặt phẳng tọa độ Oxy, Oxz, Oyz Biết rằng M, N, P nằm trên đoạn AB sao cho AM = MN = NP = PB Cần tính giá trị của tổng a + b + c.

Câu 27: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho các mặt phẳng   P : 2 x y z     2 0,

  Q x :  2 y z    2 0,   R x y :   2 z   2 0,   T x y z :    0 Hỏi có bao nhiêu mặt cầu có tâm thuộc   T và tiếp xúc với       P , Q , R ?

Câu 28: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho các điểm O  0;0;0  , A  1;0;0  , B  0;1;0  , và C  0;0;1 

Hỏi có bao nhiêu điểm cách đều các mặt phẳng  OAB  ,  OBC  ,  OCA  ,  ABC  ?

Tổ hợp – Xác suất, Giới hạn, Cấp số

Trong một bài toán xác suất, có hai dãy ghế đối diện nhau, mỗi dãy có ba ghế, và cần xếp ngẫu nhiên 6 học sinh, bao gồm 3 nam và 3 nữ, sao cho mỗi ghế có đúng một học sinh ngồi Để tính xác suất mà mỗi học sinh nam đều ngồi đối diện với một học sinh nữ, ta cần phân tích cách sắp xếp và các trường hợp có thể xảy ra trong quá trình xếp chỗ ngồi.

Trong mặt phẳng Oxy, ta chọn ngẫu nhiên một điểm có tọa độ nguyên với giá trị tuyệt đối không vượt quá 4 Nếu mọi điểm có xác suất chọn như nhau, xác suất để chọn một điểm có khoảng cách đến gốc tọa độ nhỏ hơn hoặc bằng 2 là cần được tính toán.

Câu 3: Có 8 người ngồi xung quanh một chiếc bàn tròn Mỗi người cầm một đồng xu cân đối, đồng chất

Cả 8 người đồng thời tung đồng xu Ai tung được mặt ngửa thì phải đứng dậy, ai tung được mặt sấp thì ngồi yên tại chỗ Tính xác suất sao cho không có hai người nào ngồi cạnh nhau phải đứng dậy?

Trong một hình tứ diện, khi tô màu các đỉnh, trung điểm các cạnh, trọng tâm các mặt và trọng tâm tứ diện, ta có thể chọn ngẫu nhiên 4 điểm từ những điểm đã tô màu Câu hỏi đặt ra là tính xác suất để 4 điểm được chọn là 4 đỉnh của hình tứ diện.

Câu 5: Trong khai triển 1 2 x  n a 0a x 1   a x n n n ,  * Tìm số lớn nhất trong các hệ số a a 0 , 1 , ,a n , biết 0 1 4096.

Lớp 12B có 25 học sinh, chia thành hai nhóm I và II với sự hiện diện của cả nam và nữ Nhóm I có 9 học sinh nam Khi chọn ngẫu nhiên một học sinh từ mỗi nhóm, xác suất để chọn được 2 học sinh nam là 0,54 Từ đó, xác suất để chọn ra hai học sinh nữ cần được tính toán.

Câu 7: Cho ba toa tàu đánh số từ 1 đến 3 và 12 hành khách Mỗi toa đều chứa được tối đa 12 hành khách

Gọi n là số cách xếp các hành khách vào các toa tàu thỏa mãn điều kiện “mọi toa đều có khách” Tìm số các chữ số của n

Cho một đa giác lồi H với 22 cạnh, ta gọi X là tập hợp các tam giác được tạo thành từ ba đỉnh của H Khi chọn ngẫu nhiên hai tam giác từ X, ta cần tính xác suất để một tam giác có một cạnh trùng với cạnh của đa giác H, trong khi tam giác còn lại không có cạnh nào trùng Kết quả sẽ được làm tròn đến ba chữ số thập phân.

Cho tập hợp các số nguyên liên tiếp: {1}, {2, 3}, {4, 5, 6}, {7, 8, 9, 10}, Mỗi tập hợp chứa nhiều hơn tập hợp trước đó 1 phần tử, và phần tử đầu tiên của mỗi tập hợp lớn hơn phần tử cuối cùng của tập hợp trước đó 1 đơn vị Gọi S_n là tổng của các phần tử trong tập hợp thứ n Tính S_n.

Trong trò chơi “Chiếc nón kì diệu”, chiếc kim của bánh xe có khả năng dừng lại ở mười vị trí khác nhau với xác suất như nhau Để tính xác suất mà trong ba lần quay, chiếc kim dừng lại ở ba vị trí khác nhau, ta cần xem xét các khả năng và quy luật xác suất liên quan.

Câu 11: Để thi học kỳ bằng hình thức vấn đáp, thầy giáo đã chuẩn bị 50 câu hỏi cho ngân hàng đề thi Bạn

Bạn A đã học và làm được 20 câu trong ngân hàng đề Để hoàn thành bài thi, bạn cần rút và trả lời 4 câu Tính xác suất để bạn A rút được 4 câu mà trong đó có ít nhất 1 câu đã học.

Câu 13: Cho dãy số C 0 23 ,C 1 23 ,C 2 23 , ,C 23 23 Có bao nhiêu bộ gồm 3 số hạng liên tiếp trong dãy số trên lập thành cấp số cộng?

Trong một bình chứa các viên bi với bốn màu sắc khác nhau: đỏ, trắng, xanh và lam, xác suất để lấy ngẫu nhiên và đồng thời bốn viên bi từ bình là như nhau cho tất cả các biến cố có thể xảy ra.

(1) Cả bốn viên bi đều màu đỏ

(2) Có một viên bi màu trắng và ba viên bi màu đỏ

(3) Có một viên bi màu trắng, một viên bi màu xanh và hai viên bi màu đỏ

(4) Bốn viên bi có đủ cả bốn màu

Hỏi số viên bi nhỏ nhất trong bình thỏa mãn các điều kiện trên?

Câu 15: Cho hai số thực a và b thỏa mãn

Câu 16: Cho dãy số   u n thỏa mãn 1  

 n n u n n u u Tìm giá trị nhỏ nhất của n để log9 u n 100

Câu 17: Cho cấp số cộng   u n Gọi S n u 1 u 2   u n Biết rằng

S  q với p q p q ; ,   Tính giá trị của biểu thức 2017

Giá trị của ađể f x   liên tục tại x 0 0 bằng