Tröôøng THPT Chuyeân Thoaïi Ngoïc Haàu Gv... Tröôøng THPT Chuyeân Thoaïi Ngoïc Haàu Gv..[r]
Trang 1Trường THPT Chuyên Thoại Ngọc Hầu Gv Dương Phú Điền
VẤN ĐỀ 4
TÍCH PHÂN MỘT SỐ HÀM SỐ THƯỜNG GẶP
A/ CÁC KIẾN THỨC CƠ BẢN CẦN NHỚ:
B/ CÁC DẠNG TOÁN CẦN LUYỆN TẬP:
Tính tích phân một số hàm số thường gặp.
BÀI TẬP Bài 1: Tính các tích phân sau:
1)
0
1x2 4x 3
dx
2)
1
0 x2 2x 1
dx
3)
1
3x2 4x 5
dx
4)
5
1 x2 6x 13
dx
5)
0
7
x x
x
II) Tích phân hàm lượng giác:
1) Dạng 1:
b
a
n
m x cos xdx
a) m lẻ (mũ sin lẻ), đặt t = cosx
b) n lẻ(mũ cos lẻ), đặt t = sinx
c) m, n chẵn & dương, dùng các công thức hạ bậc tăng
cung
d) m,n chẵn & âm, đặt t = tgx
*Chú ý: Nếu m = n > 0 thì dùng công thức nhân đôi,
biến đổi sinxcosx = ½ sin2x rồi dùng công thức hạ bậc
2) Dạng 2:
b
a
dx x x
R sin ,cos
(R hàm hữu tỉ đối với sinx& cosx) a) R lẻ đối với sinx, đặt t=cosx b) R lẻ đối với cosx, đặt t=sinx c) Rchẵn đối với sinx & cosx, đặt t=tgx d) Nếu không rơi vào các trường hợp trên thì đặt:
2
x tg
t
3) Dạng khác:
Aùp dụng công thức biến đổi tích tổng; hạ bậc; nhân lượng liên hiệp; đặt t = sin2x hoặc
t = cos2x hoặc…
III) Tích phân hàm vô tỉ:
1) Dạng 1:
b
a
x x
x
R , 1 1, 2 2,
Đặt t = s x (s = BCNN của ni)
2)Dạng 2:
b
a
dx n mx x x
R , 2
Viết tam thức bậc hai trong căn dưới dạng bình phương của một nhị
thức rồi vận dụng trường hợp thường gặp của quy tắc đổi biến
I) Tích phân hàm hữu tỉ:
dx x Q
x P b a
1) Bậc của P(x) Bậc của Q(x): Chia tử
cho mẫu rồi đưa về trường hợp 2)
2) Bậc của P(x) Bậc của Q(x): a)
b
a x mx n
dx
0
2 =
b
a x
dx
2 2
) ( , Đặt x + = tgt
b)
b
a x mx n
dx
0
b
a x x
x x d
2 0
0
)
b
a
x
1
, (x0: nghiệm kép)
c)
b
a x mx n
dx
0
2 =
b
dx
) )(
b
1 2
dx x x
1 x
x
1 x
x
1
, (x1 < x2) d)
2a biết Đã
2 2
2
0
b a
b a
b
Edx n
mx x
n mx x d dx n mx x
N Mx
e)
b
a
dx n mx x
N Mx
0
x x
B x
x
A b
a
0 ( 0)2 (x0: nghiệm kép)
n mx x
N Mx b
a
0
b
a
dx x x
B x
x
A
2 1
Trang 2Trường THPT Chuyên Thoại Ngọc Hầu Gv Dương Phú Điền
6)
0
2
x x
x
7)
1
0
2
3
2
x
x x
8)
1
0 x2 3x 2
dx
9)
1
0 x2 3x 2 2
dx
10)
1
2 3
9 2
1 10
x x
x x
x
11)
1
0x4 x2 1
xdx
x x
x
2
1 2
2
12
dx x x
x
2
0 2
3
1 2 3
Bài 2: Cho hàm số
2 3
3 3 3
3
2
x x
x x y
1) Tìm A, B, C sao cho: 12 1 2
x
C x
B x
A y
2) Tìm nguyên hàm của y.
Bài 3: Cho hàm số
8 14 7
6 2
2 3
2
x x
x
x x y
x
C x
B x
A y
2) Tìm họ nguyên hàm của y.
Bài 4: Tính các tích phân sau:
1)
2
0
3
sin
xdx
2 0
5 sin
xdx 3)
3 0
2 sin
xtgxdx 4)
2 0
2 4 cos
xdx 5)
4
0
4
sin
xdx
x 6)
2 0
3
sin
xdx
4
3 cos sin
dx x
6 0
3 2 cos
sin sin
dx x
x
4
x x
x x
2
x x
2 0
cos
xdx x
Bài 5: Chứng minh rằng:
2
0
0 2
cos cos
xdx n
x
n
2
1 2
sin cos
n xdx n
x
n
Bài 6: Tính các tích phân sau:
1) 643
1
dx
x x
2
0
3
2 2x dx
2
2
2
x
dx x
4)
1
3
1
dx x
5)
7
dx
6)
0
1 x2 2x 3
dx
7)
0
1 1 2x x2
dx
8)
3 7
3
4 3x2 2x 1
dx
1
0
2 3
2 5
dx I
KHỐI A 2003)
Trang 3Trường THPT Chuyên Thoại Ngọc Hầu Gv Dương Phú Điền
11)
2
1
x