Hướng dẫn học sinh phân tích, tìm lời giải cho một số dạng toán lập số thường gặp

Lí do chọn đề tài Trong giảng dạy phần đại số tổ hợp thì bài toán " Tìm số các số tự nhiên lập được thỏa mãn điều kiện cho trước" sau đây tôi gọi tắt là bài toán lập số là một bài toán

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁ

TRƯỜNG THPT NHƯ THANH 2

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

TÊN ĐỀ TÀI

HƯỚNG DẪN HỌC SINH PHÂN TÍCH, TÌM LỜI GIẢI CHO MỘT SỐ DẠNG TOÁN LẬP SỐ THƯỜNG GẶPNHẰM NÂNG CAO CHẤT LƯỢNG BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI, ÔN THI THPT QUỐC GIA CHO HỌC SINH TRƯỜNG THPT NHƯ THANH 2

Người thực hiện: Lê Văn Trung Chức vụ: Giáo viên

SKKN thuộc lĩnh vực: Toán

THANH HOÁ NĂM 2019

MỤC LỤC

PHẦN 1 MỞ ĐẦU 2

1.1 Lý do chọn đề tài 2

1.2 Mục đích nghiên cứu 3

1.3 Đối tượng nghiên cứu 3

1.4 Phương pháp nghiên cứu 3

PHẦN 2 NỘI DUNG CỦA SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM 4

2.1 Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm 4

2.2 Thực trạng của vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm 5

2.3.Các giải pháp thực hiện 5

Dạng 1:Từ các chữ số của tập hợp A lập được bao nhiêu số tự nhiên có k chữ số mà một vài chữ số có điều kiện 5

Dạng 2: Lập số tự nhiên có k chữ số mà bắt buộc có mặt chữ số α 8 Dạng 3: Lập số tự nhiên có k chữ số mà bắt buộc hai chữ số a, b đứng cạnh nhau( hoặc hai chữ số a, b không đứng cạnh nhau) 10

Dạng 4: Lập số tự nhiên có n chữ số mà chữ số a có mặt k lần 11

Dạng 5: Lập số tự nhiên liên quan đến tổng các chữ số 13

Dạng 6: Lập số tự nhiên liên quan đến giả thiết so sánh số hoặc so sánh các chữ số 14

2.4.Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm đối với hoạt động giáo dục, với bản thân, đồng nghiệp và nhà trường 15

PHẦN 3 KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ 20 3.1 Kết luận 20

3.2 Kiến nghị 20

TÀI LIỆU THAM KHẢO 21

PHẦN 1 MỞ ĐẦU 1.1 Lí do chọn đề tài

Trong giảng dạy phần đại số tổ hợp thì bài toán " Tìm số các số tự nhiên lập

được thỏa mãn điều kiện cho trước" (sau đây tôi gọi tắt là bài toán lập số) là một bài toán cơ bản giúp học sinh tiếp cận với các quy tắc của đại số tổ hợp Từ đó, giúp các em có thể liên hệ bài toán lập số để giải quyết các bài toán tổ hợp phức tạp hơn

Tuy nhiên, khi giải bài toán lập số học sinh vẫn cảm thấy lúng túng, nhầmlẫn cách chọn các chữ số và thường phải giải nhiều lần mới trùng được đáp án.Với cách làm như vậy thì việc tiếp cận với hình thức thi trắc nghiệm môn toántrong kì thi THPTQG sẽ không đạt được hiệu quả cao Bởi lẽ, các em không có

đủ thời gian để giải một bài toán nhiều lần mới chọn được phương án

Từ khi Bộ giáo dục công bố thi trắc nghiệm môn toán trong kì thi THPTQGnhiều học sinh đã tìm kiếm các kĩ năng sử dụng MTCT với hi vọng giải quyếtđược phần nhiều nội dung của đề thi Song thực tế cho thấy, chỉ những học sinh

có khả năng làm tự luận tốt mới có đủ tư duy để sử dụng MTCT kiểm tra, dò tìmphương án của bài thi trắc nghiệm Và cũng chỉ những học sinh làm bài tự luậntốt, nắm chắc kiến thức cơ bản mới có khả năng đạt điểm cao môn toán MTCTchỉ hỗ trợ các em tốc độ làm bài và giải một số bài toán ở mức điểm trung bình Thực tế ra đề thi của Bộ giáo dục cũng cho thấy, mặc dù đề bám sát chươngtrình cơ bản song vẫn hạn chế đến mức tối đa việc sử dung MTCT để chọn đượctrực tiếp phương án Rất nhiều phần kiến thức học sinh phải sử dụng kiến thức

cơ bản biến đổi bài toán một vài bước rồi mới sử dụng được MTCT để đưa rakết quả Phần "đại số tổ hợp" là một trong những phần kiến thức như thế

Với thời lượng phân phối chương trình là 6 tiết cho hai bài: Quy tắc đếm,Hoán vị - Chỉnh hợp - Tổ hợp thì giáo viên chỉ đủ thời gian giúp học sinh tiếpcận với lí thuyết, chưa dành được nhiều thời gian để luyện tập các quy tắc, càngkhông thể có thời gian trình bày một cách tường minh bài toán lập số Vì vậy,học sinh gặp rất nhiều khó khăn khi giải bài toán này

Bài toán lập số là một trong những bài toán thường xuất hiện trong các đềthi học sinh giỏi cấp tỉnh và thi THPT quốc gia Do đó, nhu cầu học của học sinhtrong phần này rất cao Song các tài liệu tham khảo khi viết về chủ đề này lại chỉnêu ra các ví dụ và lời giải cho các bài tập cụ thể, chưa phân dạng bài toán, chưaphân tích giúp học sinh tìm lời giải cho các bài toán đó

Từ những lí do trên cùng với kinh nghiệm giảng dạy của bản thân trong

những năm qua, tôi quyết định chọn đề tài :" Hướng dẫn học sinh phân tích,

tìm lời giải cho một số dạng toán lập số thường gặp"- chương II- Đại số và giải

tích 11 Qua chuyên đề này, tôi không có tham vọng phân tích tường minh cáchgiải các bài toán cơ bản của đại số tổ hợp mà chỉ giúp học sinh phân tích tìm lờigiải cho một số dạng toán lập số cơ bản Tôi tin rằng, qua chuyên đề này các emhọc sinh sẽ nắm vững hơn kiến thức cơ bản của Đại số tổ hợp, học được cáchphân tích để tìm lời giải cho các bài toán lập số, áp dụng cách suy luận đó vàoviệc giải các bài toán tổ hợp khác Từ đó, giúp các em nâng cao khả năng tự học

1.2 Mục đích nghiên cứu

Từ thực tế giảng dạy, tôi nghiên cứu đề tài nhằm:

 Giúp học sinh biết cách giải một số dạng toán lập số thường gặp trong chương trình toán THPT

 Giúp học sinh hiểu cách phân tích để tìm lời giải cho một số bài toán lập số

 Nâng cao hiệu quả công tác giảng dạy

1.3 Đối tượng nghiên cứu

Nghiên cứu cách giải các bài toán lập số thường gặp trong chương trình Đại

số và giải tích 11và chương trình toán học phổ thông Từ đó, tôi tổng kết thànhmột số dạng toán thường gặp về lập số

1.4 Phương pháp nghiên cứu

 Phương pháp nghiên cứu xây dựng cơ sở lí thuyết

 Phương pháp điều tra khảo sát thực tế

PHẦN 2 NỘI DUNG CỦA SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

2.1 Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm

Ứng với mỗi cách đó có n cách thực hiện hành động thứ 2

Khi đó, công việc có thể được hoàn thành bởi m.n cách

Chú ý:Quy tắc nhân có thể mở rộng cho nhiều hành động liên tiếp

2.1.6 Nhận dạng các quy tắc trong giải toán

 Hoán vị : Mỗi hoán vị là một sắp thứ tự hết cho n phần tử của tập hợp A

 Chỉnh hợp : Mỗi chỉnh hợp là một sắp thứ tự cho k phần tử là tập con của

tổ hợp thì không tạo thành một tổ hợp mới

Chú ý: Kí hiệu số phần tử của tập hợp A, B lần lượt là n(A), n(B)

- Nếu A B  thì n(AB) = n(A) + n(B)

- Nếu A B  thì n(AB) = n(A) + n(B) - n A B(  )

2.2.Thực trạng của vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm

 Kết quả khảo sát thực tế khi chưa áp dụng sáng kiến kinh nghiệm này trênlớp 11A1 trường THPT Như Thanh II năm học 2017- 2018 cho thấy:

29% học sinh chỉ áp dụng được các quy tắc đếm trong bài toán lập số ở mức độnhận biết

51 % áp dụng được quy tắc đếm trong bài toán lập số ở mức độ thông hiểu Chỉ khoảng 19% học sinh có thể nhận dạng được các quy tắc để giải các bàitoán ở mức độ vận dụng điểm 8 trong các bài kiểm tra

 Nguyên nhân :

Quan sát các nhóm học sinh giải bài tập và kết quả các bài kiểm tra cho thấy :

- Học sinh không nhận dạng đúng các quy tắc đếm, quy tắc hoán vị, chỉnh hợp,

Từ thực trạng trên, khi giảng dạy phần này tôi đã thực hiện:

- Phân chia các bài toán lập số thành một số dạng thường gặp

- Trong mỗi dạng tôi nêu cách giải, phân tích cặn kẽ các ví dụ điển hình từ dễđến khó để học sinh dễ tiếp cận quy tắc, hiểu bản chất bài toán

- Cuối cùng là phần bài tập tự luyện

Các bài tập trong sáng kiến kinh nghiệm được lấy từ các đề thi học sinh giỏi, cácsách tham khảo và do tác giả tự biên soạn

2.3.Các giải pháp thực hiện

Cụ thể, tôi phân chia các bài toán lập số thành một số dạng thường gặp sau

Dạng 1: Từ các chữ số của tập hợp A lập được bao nhiêu số tự nhiên có k chữ số mà một vài chữ số có điều kiện

Khi gặp dạng toán này học sinh phải phân tích trả lời các câu hỏi sau

* Nếu có thì không được chọn lặp

* Nếu có nhiều chữ số có điều kiện thì chữ

số nào có nhiều điều kiện được ưu tiên chọntrước ( Có thể phải chia nhiều trường hợp)Sau khi trả lời đủ các câu hỏi trên, học sinh giải bài toán này theo các bước

 Bước 1: Gọi số cần lập có dạng a a a1 2 k ( Nêu điều kiện các chữ số)

 Bước 2: Tiến hành chọn các chữ số

 Bước 3 : Kết quả bài toán được tính bằng quy tắc nhân

Ví dụ 1: Từ các chữ số 0,1,2,3 lập được bao nhiêu số tự nhiên mà trong mỗi số

*Những chữ số nào có điều kiện?

*Chưa xác định nên phải xét các trường hợpxảy ra

*Có nên chữ số đứng đầu a 0 

* Có nên không được chọn lặp

* Chữ số đứng đầu a

Lưu ý: Từ đây ta quy ước với số cần lập có từ hai chữ số trở lên chữ số đứng

đầu là chữ số ở hàng cao nhất trong số tự nhiên đó

Vậy số các số thỏa mãn bài toán là 4 +9 + 18 + 18 = 49 ( số)

Ví dụ 2: Từ các chữ số của tập hợp A 0 1 2 3 4 5 6 ; ; ; ; ; ;  , lập được bao nhiêu số tựnhiên lẻ gồm 5 chữ số đôi một khác nhau

* Có nên không được chọn lặp

* a1, a5 đều có 1 điều kiện

- Nếu chọn a1 trước: khi a1 lẻ thì a5 có 2 cáchchọn, khi a1 chẵn thì a5 có 3 cách chọn Nhưvậy bài toán phải chia 2 trường hợp

- Nếu chọn a5 trước thì a1 luôn có 5 cáchchọn nên không phải chia trường hợp

* Có nên không được chọn lặp

* a1, a5 đều có 1 điều kiện a 1  0, a5 chẵn

- Nếu chọn a1 trước: khi a1 lẻ thì a5 có 3 cáchchọn, khi a1 chẵn thì a5 có 2 cách chọn Do

đó, bài toán phải chia 2 trường hợp

- Nếu chọn a5 trước: khi a5 = 0 thì a1 có 5cách chọn, khi a 5  0thì a1 có 4 cách chọnTức là trong bài toán này việc chọn chữ số a1

hay a5 trước đều phải xét 2 trường hợp

Ví dụ 4: Có bao nhiêu số tự nhiên có 5 chữ số trong đó các chữ số cách đều chữ

số đứng giữa thì giống nhau[2]

b) Có 4 chữ số đôi một khác nhau và chia hết cho 5

Bài 2: Có bao nhiêu biển số xe nếu mỗi biển số gồm 3 chữ số trong các chữ số0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9

 Bước 2: Chọn chữ số cho k-1 vị trí còn lại trong số cần lập

 Bước 3: Kết quả của bài toán bằng kết quả bước 1 nhân kết quả bước 2

* Nếu trong các chữ số đã cho có chữ số 0, ta xét hai trường hợp xảy ra

 Kết quả của trường hợp 2

Kết quả bài toán = Kết quả trường hợp 1 + kết quả trường hợp 2

Ví dụ 1: Với các chữ số 1; 2; 3; 4; 5; 6 ta lập được các số mà mỗi số có 5 chữ số

đôi một khác nhau Hỏi:

a) Có bao nhiêu số trong đó phải có mặt chữ số 2

b) Có bao nhiêu số trong đó phải có mặt chữ số 1 và 6

 Có 7 cách chọn a1

 Có 7 cách chọn chữ số còn lại

Trường hợp này có 4.2.7.7 = 392 (số)

Vậy số các số thỏa mãn bài toán là 168 + 224 + 392 = 784 ( số )

Nhận xét: Để giải dạng 2 ta vẫn tiếp tục các hệ thống phân tích tìm lời giải của

dạng 1 nhưng phải xử lí thêm tính chất đặc trưng của dạng 2 là " bắt buộc có

 Xem hai chữ số a, b đứng cạnh nhau là một chữ số đặc biệt X

 Bài toán trở thành lập số tự nhiên có k-1 chữ số trong đó bắt buộc có mặt chữ số X ( trở về bài toán ở dạng 2)

Bước 2:

 Số hoán vị của hai chữ số a, b là 2!

Do đó, kết quả bài toán bằng (Kq bước 1) x 2!

 Kết quả của bài toán bằng n(A) - n(B)

Ví dụ 1: Cho 7 chữ số 1; 2; 3; 4; 5; 7; 9 Hỏi lập được bao nhiêu số có 7 chữ số

 Mặt khác hai chữ số 2 và 4 trong X có 2! hoán vị

Vậy số các số thỏa mãn bài toán là 6!.2!= 1440 (số)

b)

 Bước 2: Chọn các chữ số còn lại

 Bước 3: Kết quả bài toán bằng (Kết quả bước 1) nhân (Kết quả bước 2)

Ví dụ 1: Cho tập hợp A 0 1 2 3 4 5 ; ; ; ; ;  Hỏi lập được bao nhiêu số tự nhiên có 8chữ số, trong đó chữ số 1 có mặt ba lần các chữ số còn lại có mặt đúng một lần

C cách chọn vị trí cho 3 chữ số 1 trong 7 vị trí còn lại

 Có 4! cách chọn và sắp thứ tự cho 4 chữ số vào 4 vị trí còn lại

Trường hợp này có 4 3

7

C 4! = 3360(số)Vậy số các số thỏa mãn bài toán là 2520 + 3360 = 5880(số)

Bình luận 1: Bài toán có thể giải bằng nhiều cách, sau đây là một cách giải tương đối ngắn gọn

Bài toán thực chất là lập số tự nhiên có 8 chữ số dạng a a a a a a a a1 2 3 4 5 6 7 8 (a1 0)trong đó có mặt tất cả các chữ số 0, 1, 1, 1, 2, 3, 4, 5

Có 7 cách chọn a1: a1 1 1 1 2 3 4 5 ; ; ; ; ; ; 

Có 7! cách chọn và sắp thứ tự cho 7 chữ số 1, 1, 1, 2, 3, 4, 5

Tình huống 2: Chọn k vị trí trong n vị trí để đặt k chữ số khác nhau vào số cần

lập là k

n

A ( Ví dụ 1b-Dạng 2 ) vì khi thay đổi thứ tự của k chữ số khác nhau ta thuđược số mới

Ví dụ 2: Có bao nhiêu số tự nhiên có 7 chữ số, biết rằng chữ số 1 có mặt đúng

hai lần, chữ số 3 có mặt đúng 3 lần và các chữ số còn lại có mặt không quá mộtlần.[6]

C . 2 8

C .7= 2940( số)Vậy số các số thỏa mãn bài toán là 3360 + 5040 + 2940 = 11340 (số)

Bài tập tự luyện

Bài 1: Từ 3 chữ số 1; 2; 3 lập được bao nhiêu số có 5 chữ số mà mỗi chữ số trên

có mặt ít nhất một lần

Bài 2: Có bao nhiêu số tự nhiên có 4 chữ số, trong đó chữ số chẵn có mặt đúngmột lần.

Dạng 5: Lập số tự nhiên liên quan đến tổng các chữ số

 Bước 1: Tính số các bộ số có tổng thỏa mãn yêu cầu bài toán

 Bước 2: Từ mỗi bộ đó ta tìm số các số tự nhiên thỏa mãn bài toán (Chú ýphân biệt bộ có chữ số 0 và bộ không có chữ số 0)

 Bước 3: Tính kết quả bài toán = (Kết quả bước 1) x (kết quả bước 2)

Ví dụ 1: Từ các chữ số 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6 lập được bao nhiêu số có 3 chữ số khác

nhau và số đó chia hết cho 9.[6]

 Tất cả có 2.2! = 4 (số) thỏa mãn bài toán

* Từ mỗi bộ không có chữ số 0 (tập C, D, E) lập được 3! = 6 (số) thỏa mãn bàitoán

Vậy số các số thỏa mãn bài toán là 2.4 + 3.6 =26( số)

Ví dụ 2: Từ các chữ số của tập hợp A 0 1 2 3 4 5 ; ; ; ; ;  có thể lập được bao nhiêu số

tự nhiên lẻ, mỗi số có 6 chữ số khác nhau và tổng ba chữ số đầu lớn hơn tổng

 Có 2! cách chọn bộ 2 số a a4 5

Trường hợp này có 2.2! 1 2! = 8(số)

Trường hợp 3: a1, a2, a3 1 2 5 ; ;  ,và a4, a5, a6  0 3 4 ; ; 

Tương tự trường hợp 1 có 12 số thỏa mãn trường hợp 3

Vậy số các số thỏa mãn bài toán là 12 + 8 + 12 = 32 (số)

Bài tập tự luyện

Bài 1: Từ các chữ số 0;1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8 ta lập được bao nhiêu số tự nhiên có

ba chữ số khác nhau mà tổng 3 chữ số đó bằng 8 và

a) Các chữ số khác 0

b) Các chữ số không yêu cầu khác 0

Bài 2: Cho A 1 2 3 4 5 ; ; ; ;  Từ các chữ số thuộc tập hơp A lập được bao nhiêu số

tự nhiên có ít nhất ba chữ số đôi một khác nhau và có tổng các chữ số bằng 10.[3]

Dạng 6: Lập số tự nhiên liên quan đến giả thiết so sánh số hoặc so sánh các chữ số

Việc so sánh các số tự nhiên phải so sánh theo thứ tự các chữ số từ trái qua phải và thường xảy ra nhiều trường hợp Để không bỏ sót trường hợp, khi giảng dạy dạng này giáo viên nên hướng dẫn học sinh lập sơ đồ cây so sánh số

Ví dụ 1: Có bao nhiêu số tự nhiên gồm bốn chữ số có dạng abcdsao cho a0,

 Từ mỗi tập 4 chữ số đó chỉ có một cách sắp xếp để tạo thành số abcdTất cả có 4

 Từ mỗi tập 3 chữ số đó chỉ có một cách sắp xếp để tạo thành số abcdTrường hợp này có 3

9

C 1 = 84 (số) Vậy số các số thỏa mãn bài toán là 126 + 84 = 210 ( số)

Ví dụ 2: Với các chữ số 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9 có thể lập được bao nhiêu số tự

nhiên chẵn có 3 chữ số khác nhau và không lớn hơn 789 [4]

Phân tích

A  1 2 3 4 5 6 7 8 9 ; ; ; ; ; ; ; ;

Gọi số cần lập là abc ( c chẵn, a, b, c đôi một khác nhau lấy từ A)

 Sau khi vẽ sơ đồ cây so sánh số cần lập với 789, ta nhận thấy: Việc giảitrực tiếp bài toán xảy ra nhiều trường hợp Vì vậy, ta giải bài toán bằngcách tìm phần bù

 Số các số cần lập = Số số chẵn có 3 chữ số khác nhau - Số số chẵn có 3chữ số khác nhau và lớn hơn 789

 Sơ đồ cây thể hiện các trường hợp số chẵn abc lớn hơn 789

có điều kiện nên ta tiếp tục cách phân tích của dạng 1 để giải bài toán

Bài 1: Có bao nhiêu số tự nhiên chẵn có 3 chữ số abc a 0   sao cho 3 chữ số a,

b, c khác nhau theo thứ tự tăng dần.[3]

Bài 2: Cho tập hợp A 0 1 2 3 4 5 6 7 ; ; ; ; ; ; ;  Hỏi từ tập hợp A có thể lập được baonhiêu số tự nhiên chẵn gồm 4 chữ số khác nhau sao cho mỗi số đó đều lớn hơn2011.[4]

Bài 3: Từ các chữ số 0; 1; 2; 3; 4 lập các số chẵn có 4 chữ số đôi một khác nhau.Lấy ngẫu nhiên một số vừa lập.Tính xác suất để lấy được một số lớn hơn2012[5]

2.4 Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm đối với hoạt động giáo dục, với bản thân, đồng nghiệp và nhà trường

Để đánh giá hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm trong giảng dạy với việc nắm vững kiến thức của học sinh, trước hết tôi theo dõi đánh giá hoạt động của

cá nhân học sinh và các nhóm học sinh trong tiến trình dạy học căn cứ vào mụctiêu của buổi học Kết hợp với cách đánh giá này, tôi cho học sinh làm bài kiểmtra 45 phút trên tiết dạy thêm Tôi tiến hành thực nghiệm sư phạm với đối tượng

là học sinh lớp 11 Nhìn chung, trình độ học sinh các lớp khảo sát là tươngđương nhau về tư duy, về khả năng tiếp thu kiến thức

- Lớp đối chứng là: 11C2 năm học 2018- 2019, sĩ số 40

Giáo viên dạy bài toán lập số theo nội dung và tiến trình dạy các bài tập nhưSGK, sách bài tập, sách tham khảo và tài liệu luyện thi THPT Quốc Gia khôngphân dạng

I Trắc nghiệm khách quan( 3 điểm)

Câu 1: Từ các số tự nhiên 1, 2, 3, 4 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có 4chữ số khác nhau?