MỘT SỐ KIẾN THỨC CƠ BẢN VỀ GIẢI TÍCH TỔ HỢP VÀ NHN THỨC N EWTON • Trong thực tế thường gặp bài toán: Cho một tập hợp hữu hạn, đòi hỏi ghép các phần tử lại thành từng nhóm theo quy luật n
Trang 2• Tài liệu tham khảo:
• Hình thức thi: Vấn đáp (Lý thuyết + Bài tập)
Trang 3QUI ƯỚC
dụng điện thoại di
Trang 4Chương 1 1 MỘT SỐ KIẾN THỨC CƠ BẢN VỀ GIẢI TÍCH
TỔ HỢP VÀ NHN THỨC N EWTON
• Trong thực tế thường gặp bài toán:
Cho một tập hợp hữu hạn, đòi hỏi ghép các phần tử lại thành từng nhóm theo quy luật nào đó tuỳ thuộc vào nội dung của bài toán, và tính số nhóm tạo thành
• Giải tích tổ hợp là ngành toán học chuyên nghiên cứu các loại bài toán này
Trang 5Chương 1 1 MỘT SỐ KIẾN THỨC CƠ BẢN VỀ GIẢI TÍCH
TỔ HỢP VÀ N HN THỨC N EWTON
1.1 Chỉnh hợp
• Ví dụ: Cho ba chữ số 2, 3, 5 Hỏi có thể tạo được bao
nhiêu số có 2 chữ số khác nhau từ ba chữ số đã cho
• Giải: Từ các số 2 3 5
o Lấy 2 ghép với 3 hoặc với 5 ta được 23, 25;
o Lấy 3 ghép với 2 hoặc với 5 ta được 32, 35;
o Lấy 5 ghép với 2 hoặc với 3 ta được 52, 53
Kết quả ta thu được 6 số tất cả
o Để ý rằng mỗi số tạo thành là một nhóm có thứ tự gồm 2 trong
3 số đã cho
o Mỗi nhóm như vậy được gọi là một chỉnh hợp chập 2 từ 3
Trang 6Chương 1 1 MỘT SỐ KIẾN THỨC CƠ BẢN VỀ GIẢI TÍCH
TỔ HỢP VÀ N HN THỨC N EWTON
Định nghĩa 1 Ta gọi chỉnh hợp chập k từ n phần tử đã cho
(k < n) là một nhóm có thứ tự gồm k phần tử khác nhau lấy từ n phân tử đã cho
• N hư vậy từ n phần tử ta có thể tạo nên nhiều chỉnh hợp
Trang 7Chương 1 1 MỘT SỐ KIẾN THỨC CƠ BẢN VỀ GIẢI TÍCH
• Với k=2: lấy mỗi chỉnh hợp chập 1 (nghĩa là mỗi phần tử a i) đem
ghép với một trong n − 1 phần tử còn lại thì tạo được n − 1 chỉnh
Trang 8Chương 1 1 MỘT SỐ KIẾN THỨC CƠ BẢN VỀ GIẢI TÍCH
• Một cách xếp thời khoá biểu trong một ngày là việc ghép
2 môn trong 10 môn với nhau
o 2 môn phải khác nhau
o với mỗi nhóm 2 môn thì thứ tự sắp xếp khác nhau là khác nhau
• Vì thế mỗi cách xếp ứng với một chỉnh hợp chập 2 của
10 phần tử
• Vậy, có tất cả A 10 2 = 10.(10-2+1) = 10.9 = 90 (cách)
Trang 9Chương 1 1 MỘT SỐ KIẾN THỨC CƠ BẢN VỀ GIẢI TÍCH
TỔ HỢP VÀ N HN THỨC N EWTON
1.2 Chỉnh hợp lặp
• Trong định nghĩa chỉnh hợp, đòi hỏi mỗi phần tử chỉ
được có mặt trong nhóm không quá một lần N ếu bỏ qua hạn chế ấy thì ta có khái niệm chỉnh hợp lặp
Định nghĩa: Chỉnh hợp lặp chập k của n phần tử là một
nhóm có thứ tự gồm k phần tử lấy từ n phần tử đã cho,
trong đó mỗi phần tử có thể có mặt 1, 2, , k lần trong
nhóm tạo thành
Chú ý: Vì mỗi phần tử có thể xuất hiện nhiều lần trong một
chỉnh hợp lặp nên ở đây k có thể lớn hơn n
Trang 10Chương 1 1 MỘT SỐ KIẾN THỨC CƠ BẢN VỀ GIẢI TÍCH
TỔ HỢP VÀ N HN THỨC N EWTON
• Ví dụ: Cho ba chữ số 2, 3, 5 Hỏi có thể tạo được bao
nhiêu số có 2 chữ số từ ba chữ số đã cho
• Giải: Từ các số 2 3 5
o Lấy 2 ghép lần lượt với 2,3,5 ta được 22, 23, 25;
o Lấy 3 ghép lần lượt với 2,3,5 ta được 32, 33, 35;
o Lấy 5 ghép lần lượt với 2,3,5 ta được 52, 53, 55
o Kết quả ta thu được 9 số tất cả
o Để ý rằng mỗi số được tạo thành là một nhóm gồm 2 chữ số không nhất thiết khác nhau lấy từ 3 số đã cho và mỗi chữ số có thể xuất hiện 2 lần
o Mỗi nhóm như vậy được gọi là một chỉnh hợp lặp chập 2 từ 3
phần tử
• Số chỉnh hợp lặp chập k từ n phần tử được ký hiệu là A~n k
Trang 11Chương 1 1 MỘT SỐ KIẾN THỨC CƠ BẢN VỀ GIẢI TÍCH
Trang 12Chương 1 1 MỘT SỐ KIẾN THỨC CƠ BẢN VỀ GIẢI TÍCH
TỔ HỢP VÀ N HN THỨC N EWTON
• Ví dụ 1: Để đăng ký số máy cho một loại máy mới,
người ta dùng 3 con số trong 9 con số: 1,2,3 ,9 Hỏi cóthể đánh số được bao nhiêu máy?
• Giải: Ở đây mỗi số máy của một máy là một chỉnh hợp lặp chập 3 từ 9 phần tử đã cho Vậy, số lượng máy có thể đánh số được là ~3 93 729
9 = =
A
Trang 13Chương 1 1 MỘT SỐ KIẾN THỨC CƠ BẢN VỀ GIẢI TÍCH
TỔ HỢP VÀ N HN THỨC N EWTON
• Ví dụ 2 Để truyền tin bằng tín hiệu moóc-xơ gồm hai ký hiệu chấm (.) và vạch (−), người ta mã hoá mỗi chữ cái của bảng chữ cái thành một nhóm có thứ tự gồm không quá 4 ký hiệu Biết rằng một ký hiệu có thể có mặt nhiều lần trong nhóm có thứ tự tạo thành Hỏi có thể mã được bao nhiêu chữ cái ?
• Giải: Mỗi nhóm có thứ tự gồm k ký hiệu (1 ≤ k ≤ 4) tạo nên chính là một chỉnh hợp lặp chập k từ 2 phần tử đã
cho (hai phần tử này là các ký hiệu chấm (.) và vạch (−))
Vì vậy số chữa cái mã được là:
30 16
8 4
2 2
2 2
2 2
1
2 + A + A + A = + + + = + + + =
A
Trang 14Chương 1 1 MỘT SỐ KIẾN THỨC CƠ BẢN VỀ GIẢI TÍCH
TỔ HỢP VÀ N HN THỨC N EWTON
• Ví dụ 3 Mỗi ký tự trong bảng mã ASCII (American
Standard Code for Information Interchange) được )
tạo thành bởi một dãy 8 bit Bit là một đại lượng chỉ
trạng thái; trong hệ cơ số nhị phân nó nhận một trong hai giá trị (0, 1) Hỏi có bao nhiêu ký tự trong bảng mã
ASCII?
• Giải: Trong hệ cơ số nhị phân, số thứ tự của các ký tự
trong bảng mã ASCII được xác định bởi một dãy 8 chữ
số 0-1
Các số đó là 0000 0000, 0000 0001,…, 1111 1110,
11111111 Tức số ký tự trong bảng mã ASCII là
256 2
~8 8
2 = =
A
Trang 15Chương 1 1 MỘT SỐ KIẾN THỨC CƠ BẢN VỀ GIẢI TÍCH
TỔ HỢP VÀ N HN THỨC N EWTON
• Ví dụ 4 Trong máy tính, số nguyên có dấu là số được
tạo bởi một dãy các bit (0-1), trong đó bit đầu tiên xác
định dấu (1- âm, 0- dương), dãy các bit tiếp theo xác
định giá trị của số Hãy cho biết giá trị lớn nhất, nhỏ nhất (phạm vi biến thiên) của: 1) Số nguyên 1 byte (8 bit); 2)
Số nguyên 2 byte (16 bit); 3) Số nguyên 4 byte (32 bit); 4) Số nguyên 8 byte (64 bit)
• Giải: Về nhà
Trang 16Chương 1 1 MỘT SỐ KIẾN THỨC CƠ BẢN VỀ GIẢI TÍCH
• Do đó số hoán vị có thể tạo nên từ n phần tử sẽ là
Pn = Ann = n(n-1)(n-2)…(n-n+1) = n(n-1)(n-2)…3.2.1
P n = n!
Trang 17Chương 1 1 MỘT SỐ KIẾN THỨC CƠ BẢN VỀ GIẢI TÍCH
Trang 18Chương 1 1 MỘT SỐ KIẾN THỨC CƠ BẢN VỀ GIẢI TÍCH
TỔ HỢP VÀ N HN THỨC N EWTON
• Ví dụ 3 Trong số n người đến dự “hội nghị bàn tròn” có
hai người quen nhau Hỏi có bao nhiêu cách sắp xếp chỗngồi để hai người đó được ngồi cạnh nhau?
• Giải: Về nhà
Trang 19Chương 1 1 MỘT SỐ KIẾN THỨC CƠ BẢN VỀ GIẢI TÍCH
• Một tổ hợp cũng là một chỉnh hợp, trong đó các chỉnh hợp chỉ khác nhau về thứ tự sắp xếp thì được coi là một
tổ hợp
• Số tổ hợp chập k từ n phần tử được ký hiệu là C n k
Trang 20Chương 1 1 MỘT SỐ KIẾN THỨC CƠ BẢN VỀ GIẢI TÍCH
TỔ HỢP VÀ N HN THỨC N EWTON
Công thức tổng quát tính
• Giả sử từ n phần tử đã cho ta tính được C n k tổ hợp chập
• Mỗi tổ hợp đó là một tập con gồm k phần tử trích từ n
phần tử ban đầu, nhưng không sắp thự tự
• Đối với mỗi tổ hợp đó ta tiến hành hoán vị các phần tử
theo mọi cách sẽ được tất cả k! chỉnh hợp
• N hư vậy đối với C n k tổ hợp sẽ có tất cả k!C n k chỉnh hợp
chập k, tức là:
k!C n k = A n k
k n
C
!
) 1 ) (
2 )(
1
(
k n n
n
n k
A C
k n
k n
Trang 21Chương 1 1 MỘT SỐ KIẾN THỨC CƠ BẢN VỀ GIẢI TÍCH
TỔ HỢP VÀ N HN THỨC N EWTON
• Biến đổi lại ta có:
!
) 1 ) (
2 )(
1
(
k n n
n
n k
A C
k n
k n
!
! )!
(
!
1 2 )
1 )(
)(
1 ) (
2 )(
1
(
n k
n k
k n k n k
n n
n
n k
A C
k n
• Giải: Trong mỗi bảng, mỗi trận đấu ứng với một nhóm gồm 2
phần tử trong 6 phần tử (không biệt thứ tự) Vì vậy mỗi bảng sẽ có
số trận đấu là
15 2
5
6
! 4 2
! 4 5
6 )!
2 6 (
! 2
! 6
Trang 22Chương 1 1 MỘT SỐ KIẾN THỨC CƠ BẢN VỀ GIẢI TÍCH
k n
k
)! (
!
! )!
(
!
1 2 )
1 )(
)(
1 ) (
2 )(
1
(
n k
n k
k n k n k
n n
n
n k
A C
k n
Trang 23Chương 1 1 MỘT SỐ KIẾN THỨC CƠ BẢN VỀ GIẢI TÍCH
TỔ HỢP VÀ N HN THỨC N EWTON
1.5 Nhị thức Newton
3 3
) (
2 )
(
3 3
) (
2 )
(
3 2 2
3 3
2 2
2
3 2 2
3 3
2 2
2
b ab b
a a
b a
b ab a
b a
b ab b
a a
b a
b ab a
b a
− +
+
= +
+ +
= +
Một số hằng đẳng thức
đáng nhớ quen thuộc
• Bằng phép nhân đa thức sẽ thu được các khái triển (a+b) 4 , (a+b) 5 , (a-b) 4 , (a-b) 5 ,
hạng tử vế phải:
o Tổng số mũ của các nhân tử trong từng hạng tử bằng nhau và bằng số mũ vế trái (n)
o Số mũ của a ở vế phải giảm dần từ n đến 0, của b tăng từ 0 đến n
o Các hệ số tuân theo một qui luận nào đó mà ta cần xác định được qui luật này
Trang 24Chương 1 1 MỘT SỐ KIẾN THỨC CƠ BẢN VỀ GIẢI TÍCH
TỔ HỢP VÀ N HN THỨC N EWTON
1.5 Nhị thức Newton
n k
k n n
n n
k
k n n
n b
a
n
n b na a
b
!
) 1 ) (
1
(
2
) 1
( )
k n n
n
= +
−
−
!
) 1 ) (
1 (
n n n
k k n k n
n n
n n
n n
k n
Trang 25Chương 1 1 MỘT SỐ KIẾN THỨC CƠ BẢN VỀ GIẢI TÍCH
4 6
4 1
(x+a)31
3 3
1
(x+a)21
2 1
(x+a)11
1
(x+a)01
4 0 3
1 2
2 1
3 0
4
) (a +b = a b + a b + a b + a b + a b
Trang 26Chương 1 1 MỘT SỐ KIẾN THỨC CƠ BẢN VỀ GIẢI TÍCH
TỔ HỢP VÀ N HN THỨC N EWTON
Một số bài tập: