Bài giảng lý thuyết xác suất và thống kê toán học chương 5 phan văn tân

LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TOÁN HỌCPhan Văn Tân Bộ mô Khí tượng... KHÔNG GIAN MẪU VÀ THỐNG KÊ TRÊN KHÔNG GIAN MẪU 5.1 Không gian mẫu • Mẫu là gì?. – Là tập hợp hữu hạn các phần tử lấ

Trang 1

LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TOÁN HỌC

Phan Văn Tân

Bộ mô Khí tượng

Trang 2

CHƯƠNG 5 KHÔNG GIAN MẪU VÀ THỐNG KÊ

TRÊN KHÔNG GIAN MẪU

5.1 Không gian mẫu

• Mẫu là gì?

– Là tập hợp hữu hạn các phần tử lấy từ tập tất cả các phần tử cóthể có nào đó

• Tại sao phải lấy mẫu?

– Để nghiên cứu một hiện tượng, một sự kiện nào đó ta không thể xem xét tất cả các thành phần cấu thành nó, vì số thành phần là vô hạn hoặc quá nhiều

– Ví dụ:

• Nghiên cứu tâm lý lứa tuổi

• Điều tra xã hội học về một chính sách nào đó

• Đánh giá chất lượng sản phNm của nhà máy

• …

Trang 3

CHƯƠN G 5 KHÔN G GIAN MẪU VÀ THỐN G KÊ

TRÊN KHÔN G GIAN MẪU

• Tập tổng thể: Tập hợp tất cả các thành phần có thể có

– Tập toàn bộ, tập chính qui

• Tập mẫu: Tập hợp các thành phần được lấy ra để thí nghiệm, kiểm tra

– Số thành phần được chọn: Dung lượng mẫu

– Tập hợp tất cả các mẫu có thể lấy được gọi là không gian mẫu– Mỗi mẫu lấy ra là một điểm trong không gian mẫu

• Không gian mẫu ứng với không gian các sự kiện sơ cấp

• Mỗi mẫu ứng với một sự kiện sơ cấp trong lý thuyết xác suất

• Có hai loại mẫu:

– Mẫu có lặp

– Mẫu không lặp

Trang 4

• Giả sử tập tổng thể gồm N phần tử, tập mẫu gồm n phần tử (n<N )

– Mẫu được lấy bằng cách rút ngẫu nhiên n lần, mỗi lần một

phần tử từ tập tổng thể rồi trả lại tập tổng thể sau khi đã ghi nhận kết quả

¾ Đó là cách lấy mẫu có lặp: Một phần tử có thể được lấy nhiều lần

– Mẫu được lấy bằng cách rút ngẫu nhiên n phần tử từ tập tổng

thể, sau mỗi lần lấy ghi nhận kết quả nhưng không trả lại tập tổng thể

¾ Đó là cách lấy mẫu không lặp: Mỗi phần tử chỉ có thể được chọn một lần duy nhất

Trang 5

• Đối với cách lấy mẫu lặp:

– Mỗi phần tử trong số n phần tử của mẫu có N cách chọn, vì

mỗi phần tử sau khi chọn được trả lại tập ban đầu

– Î Có tất cả N n cách lấy mẫu khác nhau

• Đối với các lấy mẫu không lặp:

– Có N cách chọn phần tử thứ nhất của tập mẫu

– Có (N –1) cách chọn phần tử thứ hai, vì phần tử thứ nhất không được trả lại tập ban đầu

– …

– Có (N –n+1) cách chọn phần tử thứ n của tập mẫu

– Î Có tất cả N (N –1)…(N –n+1)=AN n cách lấy mẫu

Trang 6

• N hận thấy: Khi n << N thì Î hai cách lấy mẫu tương đương nhau

• Để có kết luận tương đối chính xác về tập tổng thể thì tập mẫu n

phải tiêu biểu

• Mẫu được coi là tiêu biểu nếu nó được lấy một cách ngẫu nhiên, tức mọi phần tử của tập tổng thể phải có xác suất được chọn như nhau

• N ếu mẫu được lấy để nghiên cứu đại lượng ngẫu nhiên X thì tập mẫu (X1, X2,…, Xn) được coi là mẫu của X

• Mỗi Xi, i=1,2, ,n, đều được chọn từ tập giá trị của X nên các Xi lànhững đại lượng ngẫu nhiên có cùng phân bố với X

1

~

n

n N

N A

Trang 7

Trang 8

5.2 Phân bố mẫu và phân bố chính xác

• Giả sử có mẫu (X1, X2,…, Xn) của đại lượng ngẫu nhiên X có phân

bố F(x) (F(x) được gọi là phân bố chính xác của X)

• Vì F(x) chưa biết nên cần tìm F(x) trên cơ sở tập mẫu lấy được

n

n x

F

x

x n

i n

2

(X cña tö

phÇn

)(

• F n (x) được gọi là phân bố mẫu của X

• Ứng với mỗi đối số x giá trị hàm F n (x) là tần suất của sự kiện X<x

• N ói cách khác, F n (x) là ước lượng của xác suất P(X<x)

Trang 9

5.2 Phân bố mẫu và phân bố chính xác

• Từ hệ thức

n

n x

F n( ) = x

• N hư vậy, có thể xem mẫu (X1, X2,…, Xn) như là tập các giá trị cóthể của biến ngẫu nhiên rời rạc X’, trong đó xác suất để X’ nhận

các giá trị có thể của nó là như nhau và bằng 1/n

• Để nghiên cứu X ta dựa vào tập mẫu (X1, X2,…, Xn), điều đó

tương đương với việc nghiên cứu biến ngẫu nhiên rời rạc X’

P( = i) = 1 , =1,2, ,

Trang 10

5.3 Các đặc trưng mẫu của đại lượng ngẫu nhiên

• Xét biến ngẫu nhiên X với mẫu lấy được X’={X1, X2,…, Xn}

• Ký hiệu các đặc trưng chính xác của X là:

– Hàm phân bố F(x)=P(X<x)

– Kỳ vọng: μ=M[X], phương sai: σ2=D[X]=M[(X–μ)2]

– Mômen gốc bậc k: mk=M[Xk]

– Mômen trung tâm bậc k: μk=M[(X–μ)k]

• Cần xác định các đặc trưng mẫu của X

• Từ mục trước:

n

n x

F n( ) = x

n

i n

X X

P( = i) = 1 , =1,2, ,

Trang 11

5.3 Các đặc trưng mẫu của đại lượng ngẫu nhiên

P X X

M

X

1 1

1)

(]

[

• Phương sai mẫu:

2 2

2 1

2

)(

1]

[

~

X X

X

X n

X

X n

X D s

D

n

i

i n

i

i x

k

n

X M

m

1

1]

k

n

X X

M

1

)(

1]

)[(

~μ

Trang 12

5.4 Phân bố của các đặc trưng thống kê

• Xét biến ngẫu nhiên X có mật độ xác suất f(x) và mẫu (X1, X2,…,

Xn) là mẫu có lặp của X

• Vì các Xi là độc lập và có cùng phân bố với X nên f(xi)≡f(x)

• Có thể xét (X1, X2,…, Xn) như là

hệ n đại lượng ngẫu nhiên hay

vector ngẫu nhiên n chiều nhận

Trang 13

• Định nghĩa: Một hàm số g(X1, X2,…, Xn) bất kỳ với các biến là(X1, X2,…, Xn) được gọi là một đại lượng thống kê hay một đặc trưng thống kê trên không gian mẫu

• Vì (X1, X2,…, Xn) là một hệ các đại lượng ngẫu nhiên nên g(X1,

X2,…, Xn) cũng là một đại lượng ngẫu nhiên

• Các mômen gốc, mômen trung tâm mẫu đều là những đại

lượng thống kê trên không gian mẫu

Trang 14

• Cho Y=g(X1, X2,…, Xn) là một đại lượng thống kê và

f(x1)×f(x2)×…×f(xn) là mật độ xác suất của (X1, X2,…, Xn)

• Cần xác định phân bố F y (y) của Y

• Về nguyên tắc ta có:

})

, ,(

:), ,{(

,

)()

()

(

1 1

y x

x g x

x G

dx dx

x f x

f y

F

n n

G

n n

Trang 15

• Phân bố của một số đại lượng thống kê thường gặp

• Định lý 1: N ếu mẫu (X1, X2,…, Xn) được lấy từ đại lượng ngẫu nhiên X có phân bố chuNn N (μ,σ) thì

Trang 16

• Định lý 2: N ếu X có phân bố chuNn N (μ,σ) và (X1, X2,…, Xn) làmẫu của X thì *2

X n

s

1 1

2 2

,)

(1

1

• Định nghĩa: N ếu Z có phân bố chuNn N (0,1), U có phân bố χ2 với

n bậc tự do, χ2(n), thì

n U

Z n

Trang 17

• Định lý 3: N ếu X có phân bố chuNn N (μ,σ) và (X1, X2,…, Xn) làmẫu của X thì

n s

X t

X n

s

1 1

2 2

,)

(1

1

• Định nghĩa: N ếu U1 và U2 độc lập có phân bố χ2 với n1 và n2 bậc

tự do, U1∈χ2(n1), U2∈χ2(n2)thì

2 2

1 1/

/

n U

Trang 18

• Định lý 4: N ếu X và Y đều có phân bố chuNn và có cùng phương

sai, D[X]=D[Y]=σ2, (X1, X2,…, Xn1) là mẫu của X, (Y1, Y2,…,

2 1

2

,)

(1

i

i n

X n

2 2

2

,)

(1

i

i n

Y n

s

Trang 19

Những điều cần chú ý

• Khi xét đại lượng ngẫu nhiên X với mẫu (X1, X2,…, Xn):

– Các Xi nhận các giá trị trong tập các giá trị có thể của X nên các Xi có cùng phân bố với X, f(xi)=f(x)

– Các Xi là độc lập với nhau

– Có thể xét (X1, X2,…, Xn) như là một hệ n đại lượng ngẫu

nhiên, phân bố của hệ: f(x1,…,xn)=f(x1)×…×f(xn)

– Bộ giá trị (x1,…,xn) là những hằng số cụ thể, và là kết quả của một lần chọn nào đó Î Khái niệm mẫu (X1, X2,…, Xn) là một khái niệm trừu tượng

X X

M

1 1

1

1]

[

• Phân biệt:

• Tương tự, với các đặc trưng khác: Phương sai, mômen,…

Trang 20

5.5 Các đặc trưng mẫu của hệ các đại lượng ngẫu nhiên

• Xét hệ hai đại lượng ngẫu nhiên (X,Y) với mẫu lấy được (X1,Y1), (X2,Y2),…, (Xn,Yn)

• Khi đó, ngoài các đặc trưng riêng như kỳ vọng, phương sai,

mômen gốc, mômen trung tâm của từng đại lượng ngẫu nhiên, các đặc trưng quan trọng cần được xem xét là mômen tương quan và

n 1 ( )( )

1

~μ

• Mômen tương quan mẫu giữa hai đại lượng ngẫu nhiên được xác định bởi

X

1 1

1 ,

mẫu của X và Y

Do tính ứng dụng phổ biến của mômen tương quan mẫu nên để

thuận tiện ta sẽ sử dụng ký hiệu R xy thay cho μ~xy

Trang 21

y x

xy

y x

xy xy

Y

Y n

X

X n

Y Y

X

X n

s s D

D r

1

2 1

2

1

)(

1)

(1

))(

y n

i

i x

n

s D

X

X n

s

D

1

2 2

Trang 22

• Đối với hệ m đại lượng ngẫu nhiên (X1,X2,…,Xm) với mẫu lấy được (X11,X21,…,Xn1),…, (X1m,X22,…,Xnm)

• Có thể sắp xếp mẫu thành ma trận n hàng (dung lượng mẫu) và m cột (tương ứng với m đại lượng ngẫu nhiên)

• Các đặc trưng mẫu được xác định như sau

m j

X n

• Các phương sai mẫu:

• Trong nhiều trường hợp để đơn giản ta sử dụng ký hiệu

thay cho ký hiệu

m j

X

X n

s D

n

i

j ij

Trang 23

m k

j X

X X

X n

n

i

k ik

j ij

• Các mômen tương quan mẫu:

• Tập hợp các mômen tương quan mẫu lập thành ma trận tương

quan mẫu:

• Sử dụng ký hiệuthay cho ký hiệu jk

R

k

j x x

m

m m

x x x

x x

x

x x x

x x

x

x x x

x x

x

xx

R

μμ

μ

μμ

μ

μμ

μ

~

2 1

2 2

2 1

2

1 2

1 1

m

m m

xx

R R

R

R R

R

R R

2 22

21

1 12

11

Trang 24

) , , 2 , 1 ,

(

,

~ )

)(

(

1 )

m k

j

X X

X

X n

X X

k ik

n

i

k ik

j ij

• N hận thấy:

• Ma trận tương quan mẫu là ma trận đối xứng

• Khi j≡k:

), ,2,1(

,

~)

(

1)

D X

X n

X X

n

i

j ij

x x

• Các phần tử trên đường chéo chính là phương sai của các đại

lượng ngẫu nhiên thành phần

Trang 25

m k

j s

s

R s

s D

D

r

k j

jk

x x

x x x

x

k j

k j k

• Các hệ số tương quan mẫu:

• Tập hợp các hệ số tương quan mẫu lập thành ma trận tương quan mẫu chuNn hóa: • Sử dụng ký hiệu

thay cho ký hiệu

jk

r

k

j x x

m

m m

x x x

x x

x

x x x

x x

x

x x x

x x

x

xx

r r

r

r r

r

r r

r P

2 2

2 1

2

1 2

1 1

m

m m

xx

r r

r

r r

r

r r

r P

2 22

21

1 12

11

Trang 26

j

r D

D D

D

r

j k j

k

j k

k j

k j k

x x

x x x

D D

D

r

j j

j j j

j

x

x x

x x x

Trang 27

m

m m

xx

D R

R

R D

R

R R

2 2

21

1 12

2 21

1 12

m m

xx

r r

P

Trang 28

2 2

2 1

1 2

1

2 2

1

2

1 2

1

) 2

(

1 )

(

1

~

X X

X

X n

X

X n

X X

X

X n

X

X n

n

i

i x

−

=

= +

• Chú ý: Sử dụng một số phép biến đổi đơn giản ta có thể nhận

được các hệ thức tương đương sau

Y X XY

Y X Y

X n

Y Y

X

X n

n

i

i i n

i

i i

=

1)

k j n

i

k ik

j ij

jk x

(

1

~

μ

Trang 29

HẾT CHƯƠN G 5

Định dạng
Số trang	29
Dung lượng	293,02 KB