Tân Giáo Trình Hán Ngữ Tập 1- Unit 26

Trong các ví dụ trên, phương pháp độc lập tham số với biến số chỉ giải được khi các số hạng chứa tham số có cùng bậc.. Nếu các số hạng có chứa tham số mà các tham số này có bậc khác nhau[r]

ỨNG DỤNG TÍNH ĐƠN ĐIỆU

I Tóm tắt kiến thức

1 Bất phương trình f(x)  m đúng với mọi x thuộc khoảng ( ; )a b

khi và chỉ khi trên khoảng ( ; )a b , đường thẳng y = m nằm dưới đồ thị

II Phương pháp giải toán và các ví dụ minh họa

Dưới đây, thay cho khoảng hoặc đoạn hoặc nửa khoảng, ta viết

chung là K.

1 Phương pháp độc lập tham số với biến số

Dạng toán: Tìm tham số m để hàm số y = f(x, m) đồng biến (nghịch biến)

trên K.

Cách giải:

+ Tính đạo hàm f ’(x, m)

+ Hàm số đồng biến (nghịch biến) trên K  f ’(x, m) ≥ 0 ( f ’(x, m)  0),

xK Viết bất phương trình f ’(x,m) ≥ 0 ( f ’(x,m)  0) dưới dạng g(x) ≥ h(m)

+ Hàm số nghịch biến trên (1; 1) khi và chỉ khi:

y’  0, x(1; 1)  m3x2  6 ,x (1) x(1; 1) + Xét hàm số g(x) = 3x2  6x trên (1; 1)

Vậy (2) 2.

m = 0  y’ = x + 3 (loại)

m  0, y’  0,x(0; 1) khi và chỉ khi:

2(0;1)

Giải

Hàm số xác định trên (1; 1)

Ta có:

Dạng toán: Tìm tham số m để bất phương trình f(x, m) ≥ 0 ( f(x, m) ≤ 0)

nghiệm đúng với mọi x thuộc K.

Cách giải:

+ Viết bất phương trình dưới dạng g(x) ≥ h(m) (g(x)  h(m))

+ Xét sự biến thiên của hàm số g(x) trên K, từ đó tìm được m.

Nhận xét: Nếu cần tìm m để (1) đúng với mọi x 1 thì ta tìm m để:

Ví dụ 4 Tìm m để bất phương trình (4x)(6 x) x2 2x m đúng với mọi

x thuộc tập xác định của nó.

Giải

Với x[– 4; 6], đặt:

t = (4x)(6 x)  x22x 24  25 ( x1)2, 0  t  5

với mọi x thuộc tập xác định của nó thì ta tìm m để mf(0)24.

2) Nếu dạng toán yêu cầu : Tìm m để bất phương trình

2

(4x)(6 x)  x 2x m có nghiệm thì ta tìm m để mf(5) 6.

Học sinh lớp 10 và 11 có thể lập được bảng biến thiên trên [0; 5] màkhông cần dùng đạo hàm

Dạng toán: Tìm m để phương trình f (x, m) = 0 có nghiệm thỏa điều

kiện cho trước

Cách giải:

+ Viết phương trình dưới dạng g(x) = h(m)

+ Xét sự biến thiên của hàm số g(x) trên tập xác định, từ đó tìm được m.

Ví dụ 1 Tìm m để phương trình x4 + mx3 + x2 + mx + 1 = 0 có không ít hơn hai

nghiệm âm khác nhau

Giải

 m = 2( 1)t  t2 (vì t = 1 không phải là nghiệm của phương trình)

Với mỗi t > 0, phương trình 2 x = t có duy nhất nghiệm nên yêu cầu bài toán trở thành: Tìm các giá trị của m để phương trình t2 – 2mt + 2m = 0 có hai nghiệm 1 < t1 < 2 < t2

129/52 49/20

Xét ( ) 2

2( 1)

t

f t

t



 trên (0; +∞)\{1}

f ’(t) =

2 2

(2 2)

t



 ; f ’(t) = 0  t = 0 hoặc t = 2 Bảng biến thiên của hàm f (t):

t 0 1 2 +∞

f’(t) – 0 +

f(t) +∞ +∞

2

Vậy m > 2 Ví dụ 3 Tìm các giá trị của m sao cho đường thẳng y = –3 cắt đồ thị hàm số y = x4 + 2mx2 + 2m tại bốn điểm phân biệt thỏa mãn: có đúng một điểm có hoành độ lớn hơn 1,5; các điểm còn lại có hoành độ nhỏ hơn 0,5 Giải Ta có: x4 + 2mx2 + 2m + 3 = 0  – 2m = 42 3 1 x x   Xét ( ) 42 3 1 x f x x    , f(x) liên tục trên  5 3 2 2 2 2 2 2 2 4 6 2 ( 1)( 3) '( ) ( 1) ( 1) x x x x x x f x x x         f’(x) = 0  x = 0 hoặc x 1 Bảng biến thiên của f(x): x –∞ –1 0 1/2 1 3/2 +∞

f’(x) – 0 + 0 – 0 +

f(x) +∞ +∞

3

có hai nghiệm t 1; t thỏa điều kiện 2  1 t1 t2.

   lim ( )x1 f t  ; lim ( )x1 f t  lim ( ) 3; x  f t 

Dựa vào bảng biến thiên, ta được: 25 0

Xét hàm số

22( )1

Vậy phương trình luôn có nghiệm với mọi m.

Ví dụ 7 Cho phương trình 2tan x + tan2 x + tan3 x + 2cot x + cot2 x + cot3 x = m

f’(t) = 3t2 + 2t – 1 > 0,    t ( ; 2] [2; )Bảng biến thiên:

Trong các ví dụ trên, phương pháp độc lập tham số với biến số chỉ giải đượckhi các số hạng chứa tham số có cùng bậc Nếu các số hạng có chứa tham số mà cáctham số này có bậc khác nhau thì không thể cô lập tham số được Khi đó, ta có thể gián

tiếp cô lập tham số bằng cách khảo sát trực tiếp chiều biến thiên của hàm g’(x, m).

Xét m 1 (2), ta có bảng biến thiên:

g(x)

2 Ứng dụng tổng tích các nghiệm của Định lý Viét

Dạng toán: Tìm m để phương trình f (2)(x, m) = 0 có nghiệm thỏa điều

kiện cho trước (Dạng toán có thể là bất phương trình)

a) Có hai nghiệm đều lớn hơn 1

b) Có hai nghiệm x1, x2 sao cho x1 < 2 < x2

Giải

Phương trình có hai nghiệm khi:

m + 2 ≠ 0 và ∆’ = (m+1)2 – (m+2)(m+1)(m+3) ≥ 0 hay m ≠ –2 và m ≤ –1 (*)

a) Đặt x = t + 1 Khi đó phương trình trở thành :

(m+2)(t+1)2 – 2(m+1)(t+1) + m2 + 4m + 3 = 0

Yêu cầu bài toán tương đương với phương trình (1) có hai nghiệm cùngdương:

2 02

2

m m

Yêu cầu bài toán tương đương với (2) có hai nghiệm trái dấu:

(m + 2)(m2 + 4m + 7) < 0  m < –2 (vì m2 + 4m + 7 > 0,m)

Vậy m < –2 là các giá trị cần tìm.

Ví dụ 2 Tìm m để phương trình x2 – 2(m–1)x + m2 + 4m – 5 = 0

a) có hai nghiệm đều lớn hơn –1;

b) có hai nghiệm đều nhỏ hơn 1;

c) có hai nghiệm x1, x2 sao cho x1 < 1 < x2

m m

Do đó, ta có: (x11)(x21) 0  x x1 2 (x1x2) 1 0 

      1 3m  1 3

Vậy các giá trị cần tìm của m là:  3 1 m 3 1

Ví dụ 3 Tìm các giá trị của m sao cho phương trình x2 +(2m +1)x +m2 –10 = 0

có hai nghiệm x1, x2 thỏa mãn – 6 < x1 < 1 < x2

Giải

Phương trình có hai nghiệm phân biệt x1, x2 khi:

Ví dụ 5 Cho hàm số 2

2 1

x y x

Nếu 0m1 thì  ' 0 và nghiệm của bất phương trình (1) là: