Bài giảng Các đề thi hsg cấp huyện

Gọi H là chân đường vuông góc kẻ từ A đến đường kính BC của đường tròn.. Chứng minh rằng CD là tiếp tuyến của đường tròn O; OA2.. Gọi H là tiếp điểm của CD với đường tròn O; OA.. Cho đườ

a) Biết rằng cosα – sinα = 0,2 Tính cotgα .

b) Tính sin210 + sin220 + sin230 + ……….+ sin2870 + sin2880 + sin2890

2 a) Với a, b tùy ý, chứng minh rằng: a + ≥ +b a b

b)Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: M = ( )2 ( )2

Bài 3: (3 điểm)

1 Tìm x, biết sinx.cosx = 0,5 và sin2x +cos2x = 1

2 Cho nửa đường tròn (O;R) đường kính AB và C là điểm bên ngoài nửa đường tròn

CA, CB lần lượt cắt nửa đường tròn tại N và M Gọi H là giao điểm của AM và BN

a) Chứng min CH ⊥ ABb) Giả sử CH = 2R Tính tang ·ACB

Bài 4: (2 điểm)

Tử điểm A ở ngoài đường tròn (O) kẻ hai tiếp tuyến AB, AC tới đường tròn

( B và C là hai tiếp điểm Gọi E là hình chiếu của C trên đường kính BD của

đường tròn (O) AD cắt CE ở K

Chứng minh K là trung điểm CE

==== HẾT=====

1 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: A = x2 − 4x+ 3

2 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: B = (x− 2 6) ( −x)

Bài 4: (2 điểm)

Cho đường tròn (O), đường kính AB và tiếp tuyến d tại B Trên d lấy hai điểm C và D

(B nằm giữa C và D) CA và DA cắt đường tròn (O) lần lượt tại M và N

Chứng minh AM AC = AN AD

Bài 5: (2 điểm)

Từ điểm P nằm ngoài đường tròn (O) vẽ hai tiếp tuyến PA và PB tới đường tròn (A,B

là hai tiếp điểm) Gọi H là chân đường vuông góc kẻ từ A đến đường kính BC của đường tròn Chứng minh PC cắt AH tại trung điểm I của AH

=== HẾT===

2 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

A = x+ 2y− 6 x− 10 y+ 2 xy+ 2023 với x, y là các số thực không âm

Bài 1: (1,5 điểm)

1.Cho x và y là hai số khác nhau sao cho x2 – y = y2 – x

Tính giá trị của biểu thức A = x2 + 2xy + y2 – 3x – 3y

Qua một điểm M ở ngoài đường tròn (O; R) kẻ đường thẳng qua O cắt đường tròn ở

A và B, kẻ qua M một đường thẳng khác cắt đường tròn ở C và D

1 So sánh các tích MA MB và MC MD

2 Kẻ tiếp tuyến MT với đường tròn (T là tiếp điểm) Chứng minh ∆MTC ∆MDT

===HẾT====

Bài 1: (1,5 điểm)

Cho biểu thức : A = x(x + 1)(x + 2)(x + 3) + 1

1 Chứng tỏ rằng với mọi số nguyên x, giá trị của A là số chính phương

2 Tìm số nguyên x sao cho A = 25

2 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức S = x− + 3 y− 4, biết x + y = 8

3 Giải phương trình sau: x− + 2 10 − =x x2 − 12x+ 40

1 AB

S = = Tính S ABCD theo m và n (với S AOB , S COD, S ABCDlần lượt

là diện tích tam giác AOB, diện tích tam giác COD, diện tích tứ giác ABCD)

Bài 6: (1,0 điểm)

Chứng minh rằng a3b – ab3 chia hết cho 6 với mọi số nguyên a và b

=== HẾT====

a) Tìm các giá trị của x để y có nghĩa ?

b) Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số đã cho

1 Chứng minh a3 + ≥b3 ab a b( + ) với mọi a b, ≥0

2 Áp dụng kết quả trên, chứng minh bất đẳng thức :

1 Chứng minh rằng 16n – 1 chia hết cho 15 nhưng không chia hết cho 17 với n lẻ

2 Chứng minh rằng: (x3m+ 2 +x3n+ 1 + 1) (Mx2 + +x 1) với mọi số tự nhiên m và n

======HẾT=====

1 Chứng minh rằng CD là tiếp tuyến của đường tròn (O; OA)

2 Gọi H là tiếp điểm của CD với đường tròn (O; OA) Gọi K là giao điểm của AC

Và BD Chứng minh rằng KH song song với AD

3 Cho biết AB = 2a Tính tích của hai đoạn thẳng AD và BC theo a

==== HẾT======

Câu 1( 3điểm ):

1 Rút gọn các biểu thức sau:

a) A =

3 5

12 6 3 20 10 3

1 Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n ta có:

A(n) = 7.5 2n + 12.6n chia hết cho 19

2 Tìm các số nguyên x và y sao cho xy – x – y = 6

1 Chứng minh hai điểm D và E ở ngoài đường tròn (O)

2 Kẻ CH ⊥ AB (H ∈ AB) Chứng minh AD BE = CH2

Câu 6: (4 điểm)

Cho hình thang cân ABCD ( BC // AD) Gọi M và N lần lượt là trung điểm của hai

đáy BC và AD Trên tia đối của tia AB lấy điểm P bất kì, PN cắt BD tại Q

Chứng minh MN là tia phân giác của góc ·PMQ

&&&&&&& HẾT&&&&&&&

a) Chứng minh rằng 11n+ 2 + 12 2n+ 1 chia hết cho 133 với mọi số tự nhiên n.

b) Tìm nghiệm tự nhiên của phương trình xy – 4x = 35 – 5y

b) Cho a, b, c ≥ 0 Chứng minh rằng a + b + c ≥ ab+ bc+ ca

Bài 5: (3,5 điểm)

Cho nửa đường tròn (O; R) , đường kính AB, M là điểm di chuyển trên nửa đường tròn

Vẽ tiếp tuyến tại M cắt các tiếp tuyến với nửa đường tròn tại A và tại B theo thứ tự ở C

Cho đường tròn tâm O, đường kính AB, kẻ dây CD tùy ý không vuông góc với AB

và cắt AB tại I Gọi M và N lần lượt là hình chiếu của A và B trên CD

Chứng minh CM = DN

Bài 5: (4 điểm)

Cho hình bình hành ABCD có AC > BD Kẻ CE ⊥ AB, CF ⊥ AD

Chứng minh : AB AE + AD AF = AC2

từ A và B của nửa đường tròn lần lượt ở C và D Gọi H là hình chiếu của E trên AB.

a) Chứng minh HE là phân giác của ·CHD.b) Chứng minh CD EH không đổi khi E di chuyển trên nửa đường tròn

HẾT

Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB = 2R, CD là dây cung song song với AB

và khoảng cách từ O tới CD cũng dài bằng CD

a) Tìm số dư khi chia 31993 cho 7

b) Giải phương trình nghiệm nguyên xy + 3x – 2y – 9 = 0

a) P và S ở bên ngoài đường tròn (O).

b) SAPSB =S ACB+S ADB

-HẾT -Bài 1: (5 điểm)

a) Cho biểu thức P = a 1 : 2 1

+ + + − (với 0 < a ≠ 1)

Rút gọn P và tính giá trị của P khi a = 1 2 6

Chứng minh rằng: M là trung điểm của đoạn thẳng BC

Bài 5: (4 điểm)

a) Giải phương trình nghiệm nguyên: xy – 2y – 3 = 3x – x2

b) Tìm số dư trong phép chia A = 38 + 36 + 32004 cho 91

Cho tam giác ABC Gọi P là điểm nằm trong tam giác sao cho PAC PBC· = ·

L và M theo thứ tự là chân đường vuông góc vẽ từ P đến BC và AC

Chứng minh rằng nếu D là trung điểm của AB thì DL = DM

Bài 5: (4 điểm)

Cho nửa đường tròn tâm O có đường kính AB Vẽ tiếp tuyến Ax, By cùng

phía với nửa đường tròn Gọi M là điểm bất kì thuộc nửa đường tròn Tiếp

tuyến tại M cắt Ax, By theo thứ tự tại C và D

a) Chứng minh rằng đường tròn có đường kính CD tiếp xúc với AB

b) Tìm vị trí của C để hình thang để tứ giác ABCD có chu vi bằng 14 cm

Cho tam giác ABC Gọi M, N , P là các điểm lần lượt nằm trên các cạnh BC,

CA, AB của tam giác ABC sao cho các đường thẳng AM, BN, CP đồng qui tại O

Chứng minh : AP BM CN 1

Bài 5: (3,,5 điểm)

Từ một điểm A ở ngoài đường tròn tâm O, kẻ hai tiếp tuyến AB và AC với

B, C là các tiếp điểm Trên đoạn OB lấy điểm N sao cho BN = 2ON Đường trung trực của đoạn thẳng CN cắt OA tại M Hãy tính tỉ số AM

AO

Bài 6: (2 điểm)

Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình: 2(x + y) + 16 = 3xy

c)Tìm giá trị nhỏ nhất và lớn nhất của biểu thức: Q = − +x2 4x+ 5

Bài 3: (3điểm)

Cho một điểm P nằm trong đường tròn (O; R) Hai dây cung di động AB

và CD cùng đi qua P và vuông góc với nhau tại P

Chứng minh AB2 + CD2 có giá trị không đổi

Bài 4: (4điểm)

Cho hình chữ nhật ABCD có AB = 2BC Trên cạnh BC lấy điểm E Tia AE cắt

đường thẳng CD tại F Chứng minh 2 2 2

DE lấy điểm S (S khác I) , tiếp tuyến tại S của nửa đường tròn cắt CD và CE lần lượt tại H và K Tính số đo góc HOK.

Với mọi số tự nhiên n ta có: 21 2n+ 1 + 17 2n+ 1 + 15 không chia hết cho 19

b) Giải phương trình nghiệm nguyên: 5x + 25 = – 3xy + 8y2

b) Tìm giá trị nhỏ nhất và lớn nhất của biểu thức P = 42 3

1

x x

+ +

Từ một điểm A ở ngoài đường tròn tâm O, kẻ hai tiếp tuyến AB và AC với

B, C là các tiếp điểm Trên đoạn OB lấy điểm N sao cho BN = 2ON Đường trung trực của đoạn thẳng CN cắt OA tại M Hãy tính tỉ số AM

AO

Câu 5: (4 điểm)

a) Chứng minh rằng với n là số tự nhiên thì: 5n+ 2 + 26.5n + 8 2n+ 1 M 59

b) Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n ≥ 3:

E sao cho AB = CE Gọi M là trung điểm AC, I là trung điểm BE

MI cắt AB tại H.Tính số đo góc BHI (3 điểm) Câu 6: Cho hai đường tròn (O; R) và (O1; R1) tiếp xúc ngoài tại A Tiếp tuyến chung ngoài CD ( C thuộc (O); D thuộc (O1)) Chứng minh CD là tiếp tuyến của đường tròn đường kính OO1 (5 điểm)

======== hết=====

a) Tìm số dư của phép chia 3444444444028 chia cho 31 (1,5điểm)

b) Giải phương trình nghiệm nguyên:

3x – 2y = 11 – xy (1,5điểm) c) Chứng minh rằng : x5y – xy5 chia hết cho 30 ; với x ; y ∈ Z ( 1điểm)

Câu 5: (4điểm)

Cho hình chữ nhật ABCD, kẻ AH vuông góc với BD tại H Gọi E; K lần lượt

là trung điểm của DH và BC

Chứng minh AE ⊥ EK

Câu 6: (4điểm)

Từ điểm M ở ngoài đường tròn (O) kẻ hai tiếp tuyến MA, MB với đường tròn (O)(A; B là hai tiếp điểm) Trên cung nhỏ AB lấy điểm N, tiếp tuyến tại điểm N củađường tròn (O) cắt MA tại E, MB tại K; đường vuông góc với MO tại O cắt tia

MA tại C, tia MB tại D

Chứng minh : Tam giác CEO và tam giác DOK đồng dạng

*** HẾT***

PGD & ĐT THĂNG BÌNH ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 9

SỞ GD QUẢNG NAM NĂM HỌC :2008-2009

Gọi M , N lần lượt là trung điểm của các cạnh AD và BC của hình

chữ nhật ABCD Trên tia đối của tia DC lấy điểm P bất kì Giao

điểm của AC và đường thẳng PM là Q

Chứng minh rằng : QNM· =MNP·

Hết