LY THUYET 10

 Mệnh đề chứa biến: Mệnh đề chứa biến là một câu khẳng định chứa biến nhận giá trị trong một tập X nào đó mà với mỗi giá trị của biến thuộc X ta được một mệnh đề.. o Ước chung lớn nhất

M C L C Ụ Ụ

PHẦN 1 ĐẠI SỐ 10 3

Chương 1 Mệnh đề - tập hợp 3

Vấn đề 1 Mệnh đề và mệnh đề chứa biến 3

Vấn đề 2 Tập hợp 3

Vấn đề 3 Sai số- số gần đúng 4

Chương 2 Hàm số bậc nhất và bậc hai 5

Vấn đề 1 Đại cương về hàm số 5

Vấn đề 2 Hàm số bậc nhất 6

Vấn đề 3 Hàm số bậc 2 6

Chương 3 Phương trình và hệ phương trình 7

Vấn đề 1 Đại cương về phương trình 7

Vấn đề 2 Phương trình bậc nhất 1 ẩn 8

Vấn đề 3 Phương trình bậc hai 1 ẩn 8

Vấn đề 4 Một số phương trình quy về bậc nhất, bậc hai 10

Vấn đề 5 Hệ phương trình bậc nhất nhiều ẩn 12

Vấn đề 6 Hệ phương trình bậc hai hai ẩn số 13

Chương 4 Bất đẳng thức, bất phương trình 14

Vấn đề 1 Bất đẳng thức 14

Vấn đề 2 Bất phương trình bậc nhất – bất phương trình bậc hai 15

Chương 6 Lượng giác 16

Vấn đề 1 Cung và góc lượng giác 16

Vấn đề 2 Giá trị lượng giác của 1 cung 17

Vấn đề 3 Công thức lượng giác 20

PHẦN 2 HÌNH HỌC 10 21

Chương 1 Vecto 21

Vấn đề 1 Khái niệm véc tơ 21

Vấn đề 2 Tổng của hai vecto 21

Vấn đề 3 Hiệu của hai vecto 22

vấn đề 4 Phép nhân vercsto với một số 22

Vấn đề 5 Hệ trục tọa độ 23

Chương 2 Tích vô hướng 24

Vấn đề 1 Giá trị lượng giác của 1 góc 24

Vấn đề 2 Tích vô hướng 25

Vấn đề 3 Các hệ thức lượng tam giác 26

Chương 3 Phương pháp tọa độ trong mặt phẳng 27

Vấn đề 1 Đường thẳng 27

Vấn đề 2 Đường tròn 29

Vấn đề 3 Elip 30

Vấn đề 4 Hypebol 30

Vấn đề 5 Parabol 31

Vấn đề 6 3 đường conic 32

PHẦN 1 ĐẠI SỐ 10

Chương 1 Mệnh đề - tập hợp

Vấn đề 1 Mệnh đề và mệnh đề chứa biến

 Mệnh đề

 Mệnh đề là một câu khẳng định đúng hoặc một câu khẳng định sai

 Một mệnh đề không thể vừa đúng, vừa sai

 Mệnh đề phủ định: Cho mệnh đề P.

 Mệnh đề "không phải P" được gọi là mệnh đề phủ định của P và kí hiệu là P.

 Nếu P đúng thì P sai, nếu P sai thì P đúng

 Mệnh đề kéo theo: Cho mệnh đề P và Q.

 Mệnh đề "Nếu P thì Q" được gọi là mệnh đề kéo theo và kí hiệu là: P�Q, (P suy ra Q).

 Mệnh đề P�Q chỉ sai khi P đúng và Q sai.

 Lưu ý rằng: Các định lí toán học thường có dạng P  Q Khi đó:

� P là giả thiết, Q là kết luận � P là điều kiện đủ để có Q � Q là điều kiện cần để có P.

 Mệnh đề đảo

Cho mệnh đề kéo theo P�Q. Mệnh đề Q�P được gọi là mệnh đề đảo của mệnh đề P�Q.

 Mệnh đề tương đương: Cho mệnh đề P và Q.

 Mệnh đề "P nếu và chỉ nếu Q" được gọi là mệnh đề tương đương và kí hiệu là P�Q.

 Mệnh đề P�Q đúng khi và chỉ khi cả hai mệnh để P�Q và Q�P đều đúng

 Lưu ý rằng: Nếu mệnh đề P  Q là 1 định lí thì ta nói P là điều kiện cần và đủ để có Q.

 Mệnh đề chứa biến: Mệnh đề chứa biến là một câu khẳng định chứa biến nhận giá trị trong một tập X nào đó mà

với mỗi giá trị của biến thuộc X ta được một mệnh đề.

 Kí hiệu    và : Cho mệnh đề chứa biến P x( ) với x X� . Khi đó:

 "Với mọi x thuộc X để P x( ) đúng" được ký hiệu là: " �x X P x, ( )" hoặc "  �x X P x: ( )".

 "Tồn tại x thuộc X để P x( ) đúng" được ký hiệu là: " �x X P x, ( )" hoặc "  �x X P x: ( )".

 Mệnh đề phủ định của mệnh đề " �x X P x, ( )" là " �x X P x, ( )"

 Mệnh đề phủ định của mệnh đề " �x X P x, ( )" là " �x X P x, ( )"

 Phép chứng minh phản chứng: Giả sử ta cần chứng minh định lí: A�B.

 Cách 1 Giả sử A đúng Dùng suy luận và kiến thức toán học đã biết chứng minh B đúng.

 Cách 2 (Chứng minh phản chứng) Ta giả thiết B sai, từ đó chứng minh A sai Do A không thể vừa đúng

vừa sai nên kết quả là B phải đúng.

 Lưu y:

� Số nguyên tố là số tự nhiên chỉ chia hết cho 1 và chính nó Ngoài ra nó không chia hết cho bất cứ số nào

khác Số 0 và 1 không được coi là số nguyên tố

Các số nguyên tố từ 2 đến 100 là 2;3;5;7;11;13;17;19;23;29;31;37;41;43;47;53;59;

� Ước và bội: Cho a b��, . Nếu a chia hết b, thì ta gọi a là bội của b và b là ước của a.

o Ước chung lớn nhất (ƯCLN) của 2 hay nhiều số tự nhiên là số lớn nhất trong tập hợp các ước chung củacác số đó

o Bội chung nhỏ nhất (BCNN) của 2 hay nhiều số tự nhiên là số nhỏ nhất trong tập hợp các ước chung của các số đó

Vấn đề 2 Tập hợp

 Tập hợp

 Tập hợp là một khái niệm cơ bản của toán học, không định nghĩa

 Có 2 cách xác định tập hợp:

 Liệt kê các phần tử: viết các phần tử của tập hợp trong hai dấu móc   ; ; �

 Chỉ ra tính chất đặc trưng cho các phần tử của tập hợp

 Tập rỗng: là tập hợp không chứa phần tử nào, kí hiệu 

 Một số tập hợp con của tập hợp số thực R

 Tập hợp con của �: �*� � � �� � � �. Trong đó:

:



� là tập hợp số tự nhiên không có số 0 �: là tập hợp số tự nhiên

� : là tập hợp số nguyên �: là tập hợp số hữu tỷ

 Các phép toán tập hợp

 Giao của hai tập hợp: A� �B x x A�

Vấn đề 3 Sai số- số gần đúng

 Số gần đúng

Trong đo đạc, tính toán ta thường chỉ nhận được các số gần đúng

 Sai số tuyệt đối

Nếu a là số gần đúng của số đúng a thì   a a a gọi là sai số tuyệt đối của số gần đúng a.

 Độ chính xác của một số gần đúng

B A

– ]+

+ –

+

+ –

+ –

Nếu    �a a a d thì a d a a d � �  . Ta nói a là số gần đúng của a với độ chính xác d và qui ước viết gọn là

.

a a d �

 Sai số tương đối

Sai số tương đối của số gần đúng a là tỉ số giữa sai số tuyệt đối và a, kí hiệu

a

a a



 a càng nhỏ thì độ chính xác của phép đo đạc hoặc tính toán càng lớn.

 Ta thường viết a dưới dạng phần trăm.

 Chữ số chắc

Cho số gần đúng a của số a với độ chính xác d Trong số a, một chữ số được gọi là chữ số chắc (hay đáng tin)

nếu d không vượt quá nửa đơn vị của hàng có chữ số đó.

 Nhận xét: Tất cả các chữ số đứng bên trái chữ số chắc đều là chữ số chắc Tất cả các chữ số đứng bên phải chữ

số không chắc đều là chữ số không chắc

Chương 2 Hàm số bậc nhất và bậc hai

Vấn đề 1 Đại cương về hàm số

 Định nghĩa

Cho D̹̹��, D . Hàm số f xác định trên D là một qui tắc đặt tương ứng mỗi số x D� với một và chỉ một số

.

y�� Trong đó:

 x được gọi là biến số (đối số), y được gọi là giá trị của hàm số f tại x Kí hiệu: y f x ( ).

 D được gọi là tập xác định của hàm số.

 Ty f x x D ( ) � 

được gọi là tập giá trị của hàm số

 Cách cho hàm số: cho bằng bảng, biểu đồ, công thức y f x ( ).

Tập xác định của hàm y f x ( ) là tập hợp tất cả các số thực x sao cho biểu thức f x( ) có nghĩa

 Chiều biến thiên của hàm số: Giả sử hàm số y f x ( ) có tập xác định là D. Khi đó:

 Hàm số y f x ( ) được gọi là đồng biến trên D� x x1 , 2 �D và x1 x2 �f x( ) 1  f x( ) 2

 Hàm số y f x ( ) được gọi là nghịch biến trên D� x x1 , 2 �D và x1 x2 � f x( ) 1  f x( ) 2

 Tính chẵn lẻ của hàm số

Cho hàm số y f x ( ) có tập xác định D.

 Hàm số f được gọi là hàm số chẵn nếu  �x D thì  �x D và f x( )   f x( ).

 Hàm số f được gọi là hàm số le nếu  �x D thì  �x D và f x( )   f x( ).

 Tính chất của đồ thị hàm số chẵn và hàm số lẻ:

+ Đồ thị của hàm số chẵn nhận trục tung Oy làm trục đối xứng.

+ Đồ thị của hàm số lẻ nhận gốc toạ độ O làm tâm đối xứng.

 Đồ thị của hàm số

 Đồ thị của hàm số y f x ( ) xác định trên tập D là tập hợp tất cả các điểm M x f x ; ( )

trên mặt phẳng toạ độ

Oxy với mọi x D� .

Chú y: Ta thường gặp đồ thị của hàm số y f x ( ) là một đường Khi đó ta nói y f x ( ) là phương trình của đường

và nghịchbiến

Do đó để vẽ hàm số y ax b  , ta sẽ vẽ hai đường thẳng y ax b  và y  ax b, rồi xóa đi hai

phần đường thẳng nằm ở phía dưới trục hoành Ox.

 Lưu y: Cho hai đường thẳng d y ax b:   và d y ax b� :  � �  Khi đó:

O

A

B

O A

O B A

Hàm số TXĐ Tính chất Bảng biến thiên Đồ thi

2

y ax

Đồ thị y ax 2, (a�0) là 1 parabol ( )P có:

hàm số y f x( ) được vẽ như sau:

o Giữ nguyên phần ( )P phía trên Ox.

o Lấy đối xứng phần ( )P dưới Ox qua

Ox

o Đồ thị y f x( ) là hợp 2 phần trên

� Bước 1 Vẽ parabol ( ) :P y ax 2bx c .

� Bước 2 Do y f x  

là hàm chẵn nên đồ thị

đối xứng nhau qua Oy và vẽ như sau:

o Giữ nguyên phần ( )P bên phải Oy.

o Lấy đối xứng phần này qua Oy.

o Đồ thị y f x  

là hợp 2 phần trên

O O

Chương 3 Phương trình và hệ phương trình

Vấn đề 1 Đại cương về phương trình

 Khái niệm phương trình một ẩn

— Cho hai hàm số y f x ( ) và y g x ( ) có tập xác định lần lượt là D f

và D g.

Đặt D D f �D g.

Mệnh đề chứa biến

" ( )f x g x( )" được gọi là phương trình một ẩn, x gọi là ẩn và D gọi tập xác định của phương trình

— Số x o�D gọi là 1 nghiệm của phương trình f x( )g x( ) nếu " ( )f x o g x( )"o là 1 mệnh đề đúng.

 Phương trình tương đương

— Hai phương trình gọi là tương đương nếu chúng có cùng 1 tập nghiệm Nếu phương trình f x1 ( ) g x1 ( ) tương

đương với phương trình f x2 ( ) g x2 ( ) thì viết f x1( ) g x1( ) � f x2( ) g x2( ).

— Định ly 1: Cho phương trình f x( )g x( ) có tập xác định D và y h x ( ) là một hàm số xác định trên D. Khi đó

trên miền D, phương trình đã cho tương đương với mỗi phương trình sau:

(1): ( )f x h x( ) g x( ) h x( ). (2): ( ) ( )f x h x g x h x( ) ( ) với h x( ) 0, � x D�

 Phương trình hệ quả

— Phương trình f x1 ( ) g x1 ( ) có tập nghiệm là S1 được gọi là phương trình hệ quả của phương trình f x2 ( ) g x2 ( )

có tập nghiệm S2 nếu S1 �S2 Khi đó viết: f x1 ( ) g x1 ( ) �f x2 ( ) g x2 ( ).

— Định ly 2: Khi bình phương hai vế của một phương trình, ta được phương trình hệ quả của phương trình đã cho:

  � 0

a b�0 ( )i vô nghiệm.

0

b ( )i nghiệm đúng với mọi x.

Bài toán tìm tham số trong phương trình bậc nhất ax b 0 ( )ii

� Để phương trình ( )ii có nghiệm duy nhất ۹ a 0.

� Để phương trình ( )ii có tập nghiệm là � (vô số nghiệm)

0 0

a b

a b

a a b

 Lưu y: Có nghiệm là trường hợp ngược lại của vô nghiệm Do đó,

tìm điều kiện để ( )ii có nghiệm, thông thường ta tìm điều kiện để ( )ii

vô nghiệm, rồi lấy kết quả ngược lại

Vấn đề 3 Phương trình bậc hai 1 ẩn

Giải và biện luận phương trình bậc hai: ax2bx c 0 ( )i

Phương pháp:

Bước 1 Biến đổi phương trình về đúng dạng ax2bx c 0.

Bước 2 Nếu hệ số a chứa tham số, ta xét 2 trường hợp:

� Trường hợp 1: a0, ta giải và biện luận ax b  0.

� Trường hợp 2: a�0. Ta lập  b24 ac Khi đó:

o Nếu  0 thì ( )i có 2 nghiệm phân biệt 1,2 2

b x

a b

a b

Đinh lý Viét

Nếu phương trình bậc hai ax2bx c 0, (a�0) có 2 nghiệm x x1 , 2 thì

Ứng dụng đinh lý Viét

 Tính giá trị các biểu thức đối xứng của 2 nghiệm phương trình bậc hai:

bằng phương pháp cộng ở (1) và (2) được x x1 , 2 theo m và thế x x1 , 2 vào (3) để tìm m.

 Dấu các nghiệm của phương trình bậc hai:

� Phương trình có 2 nghiệm trái dấu: x1   0 x2 �P 0.

� Phương trình có 2 nghiệm dương:

Lưu y: Nếu đề bài yêu cầu so sánh 2 nghiệm x x1 , 2 với số , ta thường có 2 cách làm sau:

o Một là đặt ẩn phụ t x   để đưa về so sánh 2 nghiệm t t1 , 2 với số 0 như trên

o Hai là biến đổi, chẳng hạn:

Vấn đề 4 Một số phương trình quy về bậc nhất, bậc hai

Phương trình trùng phương: ax4bx2 c 0, (a�0) ( )

— Đặt t x 2�0 thì ( ) �at2  bt c 0 ( )

— Để xác định số nghiệm của ( ), ta dựa vào số nghiệm của ( )  và dấu của chúng, cụ thể:

Biểu thức không đối xứng (2)

( ) c� 2 nghi� m � m

� Để ( ) có 1 nghiệm

�

� ��( ) c� nghi�( ) c� 1 nghi�m k�m b�p tng 0, nghi�1 t2 0 m c�n l� i �m �

� Để ( ) có 2 nghiệm phân biệt



�

� ��( ) c� nghi�( ) c� 2 nghi�m k�m tr�i d�p d��ngu �

� Để ( ) có 3 nghiệm � ( )  có 1 nghiệm bằng 0 và nghiệm còn lại dương

� Để ( ) có 4 nghiệm � ( )  có 2 nghiệm dương phân biệt

Một số dạng phương trình bậc bốn quy về bậc hai

của phương trình (2) một lượng:

 Lưu y: Với sự hổ trợ của casio, ta hoàn toàn có thể giải được phương trình bậc bốn bằng

phương pháp tách nhân tử Tức sử dụng chức năng table của casio để tìm nhân tử bậc hai,

sau đó lấy bậc bốn chia cho nhân tử bậc hai, thu được bậc hai Khi đó bậc bốn được viết lại

thành tích của 2 bậc hai

Phân tích phương trình bậc ba bằng Sơ đồ Hoocner

Khi gặp bài toán chứa tham số trong phương trình bậc ba, ta thường dùng nguyên tắc nhẩm

nghiệm sau đó chia Hoocner

— Nguyên tắc nhẩm nghiệm:

� Nếu tổng các hệ số bằng 0 thì phương trình sẽ có 1 nghiệm x1.

� Nếu tổng các hệ số bậc chẵn bằng tổng các hệ số bậc lẻ thì PT có 1 nghiệm x 1.

� Nếu phương trình chứa tham số, ta sẽ chọn nghiệm x sao cho triệt tiêu đi tham số m vàthử lại tính đúng sai

— Chia Hoocner: đầu rơi – nhân tới – cộng chéo

Để giải phương trình chứa dấu trị tuyệt đối, ta tìm cách khử dấu trị tuyệt đối bằng cách: dùng

định nghĩa

khi 0

, khi 0

 Loại 3: a A b B C.  .  dùng phương pháp chia khoảng để giải.

 Lưu y: Giải và biện luận phương trình ax b cx d   ta làm như sau:

� Giải và biện luận từng phương trình (1) và (2)

� Xét trường hợp nghiệm của phương trình (1) trùng với nghiệm phương trình (2).

Cặp số ( ; )x y o o đồng thời thỏa cả 2 phương trình (1) và (2) được gọi là nghiệm của hệ

 Công thức nghiệm: Quy tắc Crame.

 Biểu diễn hình học của tập nghiệm:

Nghiệm ( ; )x y của hệ ( )I là tọa độ điểm M x y( ; ) thuộc cả 2 đường thẳng:

( ) :d a x b y c  và ( ):d2 a x b y c2  2  2.

� Hệ ( )I có nghiệm duy nhất � ( )d1 và ( )d2 cắt nhau

� Hệ ( )I vô nghiệm � ( )d1 và ( )d2 song song với nhau

� Hệ ( )I có vô số nghiệm � ( )d1 và ( )d2 trùng nhau

� Một nghiệm của hệ là bộ 3 số ( ; ; )x y z o o o thỏa cả 3 phương

trình của hệ Nguyên tắc chung để giải các hệ phương trình nhiều ẩn là khử bớt ẩn để đưa về

các phương trình hay hệ phương trình có số ẩn ít hơn Để khử bớt ẩn, ta cũng có thể dùng các

phương pháp cộng đại số, phương pháp thế như đối với hệ phương trình bậc nhất hai ẩn

Vấn đề 6 Hệ phương trình bậc hai hai ẩn số

HỆ GỒM 1 PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT VÀ 1 PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI

� Phương pháp giải: Từ phương trình bậc nhất (1), rút x theo y (hoặc y theo x) và thế vào

phương trình còn lại (2) để giải tìm x (hoặc tìm y).

HỆ PHƯƠNG TRÌNH ĐỐI XỨNG LOẠI I

� Dấu hiệu nhận dạng: Khi thay đổi vị trí x và y cho nhau thì hệ không thay đổi và trật tự các

phương trình cũng không thay đổi

� Phương pháp giải: Biến đổi về dạng tổng và tích 2 biến.

Đặt S x y P xy  ,  .

Giải hệ với ẩn S P, với điều kiện có nghiệm ( ; )x y là S2�4 P

Tìm nghiệm ( ; )x y bằng cách thế vào phương trình X2SX P 0.

 Một số biến đổi để đưa về dạng tổng – tích thường gặp:

HỆ PHƯƠNG TRÌNH ĐỐI XỨNG LOẠI II

� Dấu hiệu nhận dạng: Khi thay đổi vị trí x và y cho nhau thì hệ phương trình không thay đổi

và trật tự các phương trình thay đổi (phương trình này trở thành phương trình kia)

� Phương pháp giải: Lấy vế trừ vế và phân tích thành nhân tử, lúc nào cũng đưa được về dạng

Lấy (1) (2)  � (ad1 2 a d x2 1 ) �2 (bd1 2 b d xy2 1 ) �  (c d1 2 c d y2 1 ) �2 0. Đây là phương trình đẳng

cấp bậc hai nên sẽ tìm được mối liên hệ x y,

 Lưu y: Dạng

( ; ) ( ; ) ( ; )

Dấu " "  xảy ra khi và chỉ khi a b c  .

BẤT ĐẲNG THỨC BUNHIACÔPXKI (CAUCHY SCHWARZ)

Để chứng minh một bất đẳng thức bằng phương pháp tương đương, ta có thể làm theo 2 ý tưởng:

— Biến đổi BĐT cần chứng minh tương đương với một BĐT đã biết là luôn đúng

— Sử dụng một BĐT đã biết, biến đổi để dẫn đến BĐT cần chứng minh

Vấn đề 2 Bất phương trình bậc nhất – bất phương trình bậc hai

DẤU CỦA NHỊ THỨC BẬC NHẤT – BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT

 Định nghĩa: Bất phương trình bậc nhất là bất phương trình có dạng: ax b+ >0, ax b+ <0,

Lưu y: Ta giải tương tự với ax b+ <0, ax b+ �0, ax b+ �0.

 Dấu của nhị thức bậc nhất: Cho nhị thức bậc nhất f x( )=ax b a+ , ( �0).

-+ A

D

M C O

x

- �

b a

+�

-( )

f x =ax b+ Trái dấu với a 0 Cùng dấu với a

 Giải hệ bất phương trình bậc nhất 1 ẩn:

― Giải từng bất phương trình trong hệ

― Lấy giao nghiệm

DẤU CỦA TAM THỨC BẬC HAI – BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI MỘT ẨN

 Dấu của tam thức bậc hai: Cho tam thức bậc hai f x( )=ax2+bx c a+ , ( �0)

f x Cùng dấu với a 0 Trái dấu với a 0 Cùng dấu với a

Nhận xét: Cho tam thức bậc hai f x( )=ax2+bx c a+ , ( �0)

Chương 6 Lượng giác

Vấn đề 1 Cung và góc lượng giác

1 Đường tròn định hướng và cung lượng giác

Đường tròn định hướng là một đường tròn trên đó ta chọn một chiều chuyển động gọi là

chiều dương, chiều ngược lại là chiều âm Ta quy ước chọn chiều ngược với chiều quay của kim

đồng hồ làm chiều dương

Trên đường tròn định hướng cho hai điểm A và B. Một điểm M di động trên đường tròn luôn theo một chiều(âm hoặc dương) từ A đến B tạo nên một cung lượng giác có điểm đầu A điểm cuối B.

Với hai điểm A B, đã cho trên đường tròn định hướng ta có vô số cung lượng giác điểm đầu A, điểm cuối B.Mỗi cung như vậy đều được kí hiệu là AB.