016 đề thi HSG toán 9 huyện lai vung 2018 2019

Giải bài toán sau bằng cách lập phương trình: An dự định đi từ A đến B bằng xe đạp điện trong khoảng thời gian nhất định.. Tính quãng đường AB và thời gian dự định đi lúc đầu của An Câu

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

HUYỆN LAI VUNG

ĐỀ CHÍNH THỨC

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9

NĂM HỌC 2018-2019 MÔN THI: TOÁN Câu 1 (4,0 điểm)

1 Tính A 83 22 5 2 10 0,2 

2 Tìm các số tự nhiên n sao cho Bn2 2n18là số chính phương

3 Với a b là các số nguyên Chứng minh rằng nếu a chia cho 13 dư 2 và b , chia cho 13 dư 3 thì 2 2

a b chia hết cho 13

Câu 2 (4,0 điểm)

1 Cho biểu thức 3 2 3 3

x

C



    Tìm diều kiện xác

định và rút gọn C

2 a) Chứng minh 4 1  2 

17

x   x  với mọi số thực x Dấu đẳng thức xảy

ra khi nào ?

b) Cho a b là các số thực thỏa mãn , 2 2 1

2

a b  Tìm giá trị nhỏ nhất của

biểu thức D a4  1 b41

Câu 3 (4,0 điểm)

1 Giải các phương trình sau:

a) x4 2x3 4x4

b) 12 x 2 1 2x 1

x    x 

2 Giải bài toán sau bằng cách lập phương trình:

An dự định đi từ A đến B bằng xe đạp điện trong khoảng thời gian nhất định Nếu An đi với vận tốc 20km h thì đến B sớm / 12 phút Nếu An đi với

vận tốc 12km h/ thì đến B trễ 20 phút Tính quãng đường AB và thời gian dự

định đi lúc đầu của An

Câu 4 (4,0 điểm)

1 Cho hình vuông ABCD và điểm M thuộc cạnh BC M khác B, C) Một (

đường thẳng đi qua A và vuông góc với AM cắt CD tại N

a) Chứng minh BM DN

b) Tính tỉ số AM

MN

2 Cho tam giác ABC đường cao , AH Trên tia đối tia AH lấy điểm D sao cho

ADBC Tại B kẻ BE AB sao cho BE AB(E và C thuộc hai nửa mặt

phẳng đối nhau từ bờ là AB) Tại C kẻ CF  AC sao cho CF AC(F và B

thuộc hai nửa mặt phẳng đối nhau từ bờ AC Chứng minh ba đường thẳng ) ,

DH BF và CE đồng quy

Câu 5 (4,0 điểm)

Cho đường tròn O R; và một điểm A ở ngoài đường tròn Từ một điểm M

di động trên đường thẳng d vuông góc với OA tại A, vẽ các tiếp tuyến ME MF với , đường tròn  O ,( ,E F là các tiếp điểm) Đường thẳng chứa đường kính của đường

tròn song song với EF cắt ME MF lần lượt tại C và D Dây EF cắt OM tại H, cắt ,

OA tại B

1 Chứng minh rằng: OA OB không đổi

2 Chứng minh EF luôn đi qua một điểm cố định khi M di chuyển trên đường thẳng d

3 Tìm vị trí của M trên đường thẳng d để diện tích của HBO lớn nhất

ĐÁP ÁN Câu 1

20 2 18

   

    

  

2) Đặt 2 2

2 18

n  n a

2

Vì a ,n a  n 1 a n 1 ;17 là số nguyên tố Suy ra a  n 1 17(*)và a     n 1 1 a n 2

Thay a n 2vào (*) tính được n7

3) Do a chia cho 13 dư 2 nên a13x2x 

b chia cho 13 dư 3 nên b13y3y 

2 2

13 2 13 3

169 52 4 169 78 9

13 13 4 13 6 1 13 13

Vậy a2 b2chia hết cho 13 dfcm  

Câu 2

1 Điều kiện xác định: x0,x9

         

2

3 2 12 18 4 3

1

C

x







2a) Ta có 4 1  2   4   2 2

17

x   x    x   x  

Mà  4   2  2 2 2

17 x  1 x 4  4x 1 0với mọi x

Vậy  4   2 2

17 x  1 x 4 hay 4 1  2 

17

x   x 

Dấu " " xảy ra khi và chỉ khi 1

2

x  2b) Áp dụng kết quả câu 2 )a ta có: 1  2 2 

8 17

D a b 

Mà 2 2 1 1 1 8 17

a b   D   

Vậy GTNN của D là 17

2 khi

1 2

a b

Câu 3

1a) x4 2x3 4x4 (1)

 

2

2

2

     

   

  

     

 

       



Vậy S   2

1b) 12 x 2 1 2x 1

x    x  (3)

Điều kiện xác định

x

x x



  

   

 

   



 

2

2

2

2

1

1

x

x x

VN do DK

     

      



  





          

   



Vậy S  1

2) Gọi x (giờ) là thời gian dự định đi lúc đầu ( x0)

Theo đề bài ta có phương trình:

          

Vậy thời gian dự định là 1 giờ, quãng đường AB dài 20 1 1 16

5 km

  

Câu 4

1) a) ABM và ADN có:

AB AD ABM  ADN BAM DAN MAD

nên ABM  ADN g c g( )BM DN

b) Vì ABM  ADNAM  AN AMNvuông cân tai A

Do đó

2 2 2

MN  MN  AN AM  AM 



M

2) DAC và BCF có:

0

DABC gt AC CF gt DAC BCF   ACH

Nên DAC  BCF ACDF

Mà ACDDCF900  F DCF 900

Gọi I là giao điểm của BF và DC Trong CIF có FDCF 900

0

90

CIF

  hay DCBF

Chứng minh tương tự ta được: DBCE

Trong DBC có DH CE BF là các đường cao nên chúng đồng quy , ,

2 1

I

F E

H

A

D

Câu 5

1 Ta có OE OF R

OM

ME MF







 là đường trung trực của EFOM EF

OB OH

OM OA

EOM

 vuông tại E, đường cao EH nên OE2 OH OM (2)

Từ (1), (2) suy ra OA OB OE2 R2(không đổi)

2 Vì

2 2

OA OB R OB

OA

   mà R không đổi do đó OB không đổi mà O cố định nên B cố định

Vậy khi điểm M di chuyển trên đường thẳng d thì EF luôn đi qua điểm cố định B

3 Gọi K là trung điểm của OB , mà BHO vuông tại H nên

2

BO

HK 

Do OB không đổi nên HK không đổi

Kẻ HN BO, ta có: .

2

BHO

HN BO

S 

Vì BO không đổi, nên S HBOlớn nhất HNlớn nhất

Mà HNHK,dấu " " xảy ra  N K

Vậy S HBOlớn nhất  HBO vuông cân tại H MO tạo với OA một góc 45 0

NK B

H

D

C

F

E

O A

M