de cuong boi duong HSgioi mon toan

Cho hình thang ABCD (AB//CD và AB<CD),M là một điểm trên đáy AB.Gọi E và F lần lượt là trung điểm của AC và BD.Vẽ H đối xứng với M qua E và điểm K đối xứng M qua F. Cho tam giác ABC[r]

PHÒNG GIÁO DỤC ĐÀO TẠO HIỆP ĐỨC TRƯỜNG THCS PHAN BỘI CHÂU

GV : LÊ TRUNG DUY

Năm học : 2010 - 2011

ĐỀ CƯƠNG BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI

LỚP 9 A) NỘI DUNG:

I) HÌNH HỌC:

Chủ yếu: Chứng minh tứ giác, tam giác đồng dạng, hệ thức lượng và một số dạng khác

II) SỐ HỌC:

Chủ yếu: Toán chia hết, phương trình nghiệm nguyên, số chính phương và một

số dạng khác

III) ĐẠI SỐ:

Chủ yếu: Chứng minh đẳng thức, chứng minh bất đẳng thức Giá trị lớn nhất Giá trị nhỏ nhất Phương trình, căn thức bậc hai và một số dạng khác

B) BÀI TẬP

I) HÌNH HỌC

Bài 1

Cho diểm O nằm trong tam giác đều ABC cạnh a Qua O vẽ các đường thẳng

a) Chứng minh rằng tứ giác DECB là hình thang cân và tam giác OMQ là tam giác đều

Bài 2

Cho hình thang ABCD (AB//CD và AB<CD),M là một điểm trên đáy AB.Gọi E

và F lần lượt là trung điểm của AC và BD.Vẽ H đối xứng với M qua E và điểm K đối xứng M qua F Chứng minh rằng:

a) Bốn điểm H,K,C,D thẳng hằng;

b)Khi M di động trên đáy AB thì HK có độ dài không đổi

Bài 3

Cho tam giác ABC và một điểm M tuỳ ý ở trong tam giác.Gọi D,E,F thứ tự là trung điểm của BC,CA,AB Gọi H,I,K thứ tự là điểm đối xứng của M qua D,E,F Chứng minh rằng:

a) Ba đường thẳng AH,BI,AB đồng quy tại điểm O;

b)Khi M di động trong tam giác ABC thì đường cao OM luôn đi qua một điểm cố định

Bài 4 Cho hình bình hành ABCD, BD=3AD.Gọi M,N lần lượt là trung điểm của

AB và CD.Trên BD lấy hai điểm E và F sao cho BE=EF=FD

a) Chứng minh rằng MENF là hình chữ nhật;

b) Hình bình hành ABCD phải có thêm điều kiện gì để MENF là hình vuông?

Bài 4.

Cho tam giác ABC vuông tại A, cạnh bên bằng a Vẽ hình chữ nhật AEMF có chu

vi bằng 2a và E AB;FAC

a) Hỏi điểm M di động trên đường nào?

b)Từ M vẽ đường thẳng MNEF(NEF).Chứng minh rằng MN luôn đi qua một điểm cố định

Bài 5.

Cho tam giác ABC vuông góc tại A, AB = 8; BC=17.Trên BC lấy một điểm M.Vẽ hình bình hành ABMN Tính diện tích tứ giác ANCM

Bài 6.

thẳng CD) Cho biết AH=h,MN=a.Tính diện tích ngũ giác ABCDE

Bài 7

Cho tam giác ABC,BC=a;CA=b;AB=c Cho biết 

A=2 

B, 

B=2 

C, chứng minh rằng :

a)a2=b2 +bc

b) 

a

1

c b

1 1



Bài 8.

Cho tam giác nhọn ABC, trực tâm H.Qua H vẽ một đường thẳng cắt AB tại D,cắt

AC tại E sao cho HD=HE.Từ H vẽ một đường thẳng vuông góc với DE cắt BC tại M.Chứng minh rằng M là trung điểm của BC

Bài 9.

Cho tam giác đều ABC,các đường phân giác góc B và góc C cắt nhau tại O.Trên cạnh BC lấy điểm D không trùng với trung điểm của nó.Vẽ DEAB cắt OB tại M; Vẽ

DFAC cắt OC tại N Chứng minh rằng:

a)DM DN DF DE

b)OD chia đôi EF

Bài 10.

Cho hình thang cân ABCD (AB // CD; AB<CD) Đường thẳng qua A vuông góc với CD cắt CD tại H, cắt đường thẳng BC tại K Chứng minh rằng tam giác ABK đồng dạng tam giác HAD

Bài 11.

Hình thang ABCD vuông góc tại A và D, AD = 15; CD=9 Gọi M là một điểm trên cạnh AD, biết rằng MB = 5;MC=15

a) Chứng minh rằng tam giác ABM đồng dạng tam giác DMC.

b) Gọi N là trung điểm của BC Tính độ dài MN

Bài 12.

Cho tam giác ABC vuông góc tại A, đường cao AH Vẽ HM AB; HNAC a) Chứng minh AM.AB=AN.AC

b) Cho biết AH=2cm, BC= 5cm Tính diện tích tứ giác AMHN

Bài 13.

Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH Gọi M và N lần lượt là trung điểm của AH và BH Gọi O là giao điểm của AN với CM Chứng minh rằng:

a) ANCM

b) AH2 =4MC.MO

Bài 14.

Cho tam giác ABC vuông tại A Gọi M là một điểm di động trên cạnh AC Từ C

vẽ đường thẳng vuông góc với tia BM cắt tia BM tại H, cắt tia BA tại O Chứng minh rằng:

a) OA.OB=OC.OH;

b) Góc OHA có số đo không đổi;

c) Tổng BM BH + CM.CA không đổi

Bài 15

Cho tam giác ABC, ba đường cao AD,BE,CF Gọi M,N,I,K lần lượt là hình chiếu của D trên AB,AC,BE,CF Chứng minh rằng 4 điểm M,N,I,K thẳng hàng

II) SỐ HỌC:

TOÁN CHIA HẾT

I>Tính chất chia hết trên tập số nguyên , bội số, ước số :

1) Định nghĩa :

Số nguyên a được gọi là chia hết cho số nguyên b ( b  0 ) Nếu có số nguyên c sao cho a = b.c

Ta nói a là bội của b, a  b ; b gọi là ước của a , ba

2) Các tính chất :

1 a  a với mọi a  0

2 a  b và b  c thì a  c

3 0  a với mọi a  0

4 Nếu a , b là 2 số nguyên dương và a  b , b  a thì a = b

5 Nếu a  b thì ac  b

Đặc biệt : a  b  a b n

6 Nếu a  b thì ( a) (  b)

7 a  (1 ) với mọi a

8 Nếu a  b, a  b thì b không chia hết cho a

9 Nếu a  b và c  b thì (a c b  )

10 Nếu a  b và c  b thì (ma nc b ) 

11.Nếu S = (a+b+c+d)  m và a,b,c thì d  m 12.Nếu S = a + b + c +d và a, b ,c  m ;d không chia hết cho m thì S không chia hết cho m

13.Nếu a  b , c  d thì ac bd Đặc biệt a b thì n n

a b

14.Nếu ac  b và (b,c)=1 thì a  b

15.Nếu a  b, a  c mà (b,c)=1  a  b.c

16.Cho a,b  Z ; b > 0 luôn tìm được duy nhất cặp số (q ,r)

sao cho a = bq + r ( r 0; r < b)

17.Nếu a a1 , 2…a n  P ( P là số nguyên tố ) tồn tại ay  P

B ÀI T ẬP Bài1 : Chứng minh 74

1 5

n

 

Bài2:Chứng minh 17n 11 6n

  với mọi nN Bài3 : Chứng minh : 2.7n 1

  3 với mọi n Bài4: Chứng minh n3–n  6 với mọi n Z

Bài 5: Chứng minh n3–n+2 không chia hết cho 6 với mọi n  N

Bài 6: n2+11n+39 không chia hết cho 49 với mọi nN

Bài 7 : Chứng minh n2+3n+4 không chia hết cho 49 với mọi nN

Bài 8: n2+3n+5 không chia hết cho 121 với mọi n N

Bài 9 : n2+5n+16 không cùng chia hết cho 169

Bài 10: Tìm n (n>0;n4)sao cho 3n –8 chia hết cho n–4

Bài11:Chứng minh : m3+20m48 m chẳn , mN

Bài 12 Chứng minh 4n1+60n–4  36 với mọi n  N

Bài13 Chứng minh n3– n chia hết cho 24 với moi n lẻ nN

Bài 14 chứng minh: n( n – 1)( 2n + 1 )  6 moi n lẻ nZ

PH Ư ƠNG TR èNH NGHI ấM NGUY ấN

A.Ph ơng pháp giải

+ Phơng trình dạng : ax + by = c, ( a,b,c các số nguyên).

Muốn tìm các nghiệm nguyên ta phải tách đợc phần nguyên ra khi biểu diễn x theo y

và ngợc lại

+ Đa về phơng trình tích Ta có thể biến đổi để một vế của phơng trình là tích

các biểu thức nguyên của ẩn

cũn vế kia là một số nguyênbằng cách phân tích số nguyên này thành các thừa số nguyên

tố ta có thể xét mọi

trờng hợp xảy ra rồi từ đó tính ra nghiệm nguyên của phơng trình

+ Phơng pháp loại trừ Từ phơng trình đã cho tìm ra một số điều kiện loại bớt

dần những giá trị của ẩn để tìm ra nghiệm

+ Dùng tính chia hết Ta có thể dùng tính chia hết để thu hẹp miền xác địnhcủa

nghiệm đa phơng trình về những phơng trình đơn giản hơn

+Tách phần nguyên Ta có thể tách phân nguyên riêng ra và đặc điều kiện cho

phân thức còn lại cũng là một số nguyên từ đó tìm ra nghiệm của phơng trình

+Dùng vai trò bình đẳng của ẩn Nếu phơng trình nguyên mà các ẩn x,y,z có vai

trò bình đẳng, ta có thể đặt điều kiện để giả sử xyz mà bài toán không mất tín

tổng quát từ đó giới hạn bớt miền xác định của ẩn và tìm đợc nghiệm của phơng trình

+Chứng minh nghiệm duy nhất Với một số phơng trình có nghiệm nguyên ta

có thể thấy ngay đợc một hoặc vài nghiệm , bằng cách chứng minh phơng trình chỉ nhận những nghiệm đó ta kết luận đợc về nghiệm của phơng trình đã cho

B.Bài tập

1/ Tìm nghiệm nguyên dơng của phơng trình: 2 6 13 2 100





x

2/ Tìm nghiệm nguyên dơng của phơng trình: 3 2 5 2 345



3/ Tìm nghiệm nguyên của phơng trình : 6 2 5 2 74



x

4/Tìm nghiệm nguyên dơng của phơng trình : 5x-3y = 2xy-11

5/ Tìm nghiệm nguyên của phơng trình sau:

a/ 2 25 ( 6 )





x b/ x2  91 y2 c/ 11 + 14xyz + 7x = -22yz - 7z

6/ Tìm các nghiệm nguyên của các phơng trình sau

a/ 2 2 1987



 y

x b/ x(x+1).(x+7).(x+8) = y2 7/ Giải phơng trình nghiệm nguyên

a/ 3 2 3 2 5 0

















8/ Tìm các số nguyên x , y , z , t sao cho : x y  y z  z t  t x  2003

9/ Tìm các cặp số nguyên không âm x,y thoả mãn: y2 (x 1 )  1576 x2; (p2)

10/ Tìm tất cả các cặp số nguyên không âm x , y sao cho : x-y= x2 xyy2

BÀI TẬP ĐẠI SỐ

1 Phõn tớch cỏc đa thức sau thành nhõn tử:

















x

2 Phõn tớch cỏc đa thức sau thành nhõn tử:

a) A= (a b) 3  (b c) 3  (c a) 3;

b) B=(ab 2c) 3  (bc 2a) 3  (ca 2b) 3

3.a) Chứng minh rằng:

A=(x+y+z)3–x3–y3–z3=3(x+y)(y+z)(z+x)

b) Phân tích đa thức thành nhân tử:

B= (a+b+c)3+(a–b–c)3+(b–c–a)3+(c–a–b)3

4.Phân tích đa thức thành nhân tử:

a) A= (x2 –2x)(x2 –2x–1)–6

b) B= (x2 +4x–3)2 –5x(x2+4x-3)+6x2

c) C= (x2+x+4)2+8x(x2+x+4)+15x2

5.Phân tích đa thức A thành tích của một nhị thức bậc nhất với một đa thức bậc ba với hệ số nguyên sao cho hệ số cao nhất của đa thức bật ba là 1:

A= 3x4 +11x3–7x2 –2x+1

6 Phân tích đa thức B thành tích của hai tam thức bậc hai với hệ số nguyên:

B= x4 –6x3+11x2 –6x+1

7.Phân tích đa thức C thành tích của hai tam thức bậc hai với hệ số nguyên và các hệ

số cao nhất đều mang dấu dương:

C= x4 –x3+2x2 –11x–5

8 Cho biểu thức M=

ca

b a c bc

a c b ab

c b a

2 2

2

2 2 2 2 2 2 2 2 2

















Chứng minh rằng:

a) Nếu a,b,c là độ dài các cạnh của một tam giác thì M>1

b) Nếu M= 1 thì hai trong ba phân thức đã cho của biểu thức M bằng 1, phân thức còn lại bằng –1





























2

1 12 3

3 8

4

8 : 6 5

3

x x

x x

x

x x

x

x

a) Rút gọn P;

b) Tìm các giá trị của x để P=0; P=1;

c) Tìm các giá trị của x để P > 0



































x

x x

x x x

x x

x

8 4 2

2 8

2

2

2 2

3

2 2

2

a) Rút gọn Q;

b) Tìm các giá trị nguyên của x để Q có giá trị nguyên

11 Giải các phương trình:

a) 4 ( )

5

1

5

7 5

6 5

5

N x x

x

x x

x

x

x



























56 15

1

12 7

1 6

5

1 2

3

1

2 2

2























x

16

31 ) 2 (

1 1

5 3

1 1 4 2

1 1

3

.

1

1

x























































12 Giải và biện luận các phương trình :

ax

b

bx

a





13 Giải và biện luận các phương trình :

b a x

b

a

x    

1 1

1

1

(1) ( với a,b là tham số )

14 Giải các phương trình:

0 1 1 10 100 9

1

9

1

9

1

9

1















































x

Giải:

Lần lượt chuyển vế rồi nhân hai vế của phương trình với cùng một số, sau 4 lần ta được x=–9000

0 1 1 10 100 9

1

9

1

9

1

9

1















































9

1 9

1 9

1 9

1















































x

9

1 9

1 9 1 10 100 9

1

9

1

9

1















































































x

9

1



















x  x = -9000

15 Giải các phương trình:

























1 4

1 12 1

4

3

15

x

x

16 Giải các phương trình:

*) (

15

16 ) 1 2 (

5

3

1

2

6

4

2

N x x

x























17 Giải các phương trình:









b) ( 3 ) 4 ( 5 ) 4 16







18 Chứng minh bất đẳng thức:

1

4

1

3

1

2

1

2 2

2

2     

n với n  N; n 2 19.Chứng minh rằng:





 1 4

1

với a,b>0

























 a p b p c a b c

p

1 1 1 2 1 1

1

với a,b,c là 3 cạnh của một tam giác và p là nửa chu vi của tam giác đó

CĂN THỨC Bài 1: Rút gọn biểu thức với -1 < x < 1, x 0

2 2

1 2

1 ) 1 1

1 1 1

1

1 1

x x

x x

x

x

























KQ: M   1  x2 Với -1 < x < 1 và x 0

Bài 2:

1 2

1 1

2 1

1 2 1





































x

x x

x x

x

x x x x x

x x

M

a Tìm x để M có nghĩa

b Rút gọn M

KQ: a) M có nghĩa khi x  1;x  0; x41







1

1 Với x 0; x  0; x41

Bài 3: Tính biểu thức M = 6  2 2  12  18  128

M = 6  2 2  12  16  2 4 2  2

KQ: M = 3  1

Bài 4:

Cho M = x 2  2 x 3  x 1  4 x 3 với 3x 4

Hãy rút gọn M

KQ: M = -1

Bài 5: cho 0 < a <1

chứng minh a

a a x

x

1 1 1 1

1

2 1

1 1 2

2 2















 với x( 1+ a) = 2 a

Bài 6: Rút gọn biểu thức

M =

1 1 2 3

1 1

1 1

2 3

1 1

1

2

































KQ: M= 21 2

3

x

x 



Bài 7: Tính

3 2

1 1 1

3 2

1 1

3 2

1 1 1

3 2

1 1

















M

KQ: M = 1

Bài 8: Cho a > 0, b > 0

ab b

a

ab b

a

2 3

2 9















M

Bài 8: cho 0 x 1

Tính M =

1 1

1 1

2 2























x x

x x x

x

x x x x

KQ: M = 0

c

z b

y a

x





c b a

z y x m











Bài 10: chứng minh

2 6

48 13 5 3 2











KQ: A = 1 là một số nguyên

CỰC TRỊ ĐẠI SỐ Bài 1: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = x 1992  x 1993

Bài 2: Tìm giá trị x;y để biểu thức A = 2x2 + 9y2-6xy -6x -12y +2022

Đạt giá trị nhỏ nhất

Bài 3: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = x2-2xy + 6y2- 12x +2y +45

Bài 4: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức D = -5x2 -2xy -2y2+ 14x -10y +1

Bài 5: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A = 2x2-2xy + 5y2+ 52y

Bài 6: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức B = 5x2 +8xy + 5y2 -2x + 5

Hình học

Bài 10

Cho diểm O nằm trong tam giác đều ABC cạnh a Qua O vẽ các đường thẳng DE // BC

a) Chứng minh rằng tứ giác DECB là hình thang cân và tam giác OMQ là tam giác đều

Giải:

a) Chứng minh DEBC là hình thang cân ( theo định nghĩa)

Tam giác OMQ có 2 góc 60 độ nên là hình tam giác đều

b) Chứng minh tương tự ta được PQBA,MNAC là hình thang cân; ODN, OPE là tam giác đều

Trong hình thang cân, hai cạnh bên bằng nhau; đường cao của tam giác đều cũng là đường trung tuyến, do đó ta có :

AN= CM; HN=HD; BQ=AP;IQ=IM;CE=BD;KE=KP

Cộng từng vế 6 đẳng thức trên ta được:

AN+HN+BQ+IQ+CE+KE=CM+HD+AP+IM+BD+KP

Bài 38

Cho hình thang ABCD (AB//CD và AB<CD),M là một điểm trên đáy AB.Gọi E và F lần lượt là trung điểm của AC và BD.Vẽ H đối xứng với M qua E và điểm K đối xứng

M qua F Chứng minh rằng:

a) Bốn điểm H,K,C,D thẳng hằng;

b)Khi M di động trên đáy AB thì HK có độ dài không đổi

Giải:

a) C đối xứng A qua E; H đối xứng với M qua E do đó hai đoạn thẳng CH và AM đối xứng với nhau qua E suy ra CH =AM và CH//AM hay CH //AB.(1)

Chứng minh tương tự được DK=BM và DK//MB hay DK //AB.(2)

Mặt khác CD//AB(3) nên từ (1),(2),(3) theo tiên đề Ơ-clit ta suy ra H,K,C,D thẳng hang b) HK=CD–(CH+DK)=CD–(AM+BM)=CD–AB ( không đổi).;’;

Bài 39

Cho tam giác ABC và một điểm M tuỳ ý ở trong tam giác.Gọi D,E,F thứ tự là trung điểm của BC,CA,AB Gọi H,I,K thứ tự là điểm đối xứng của M qua D,E,F Chứng minh rằng:

a) Ba đường thẳng AH,BI,AB đồng quy tại điểm O;

b)Khi M di động trong tam giác ABC thì đường cao OM luôn đi qua một điểm cố định

Giải:

a) AK và BM đối xứng nhau qua F nên AK = BM và AK//BM.(1)

BM và CH đối xứng nhau qua D nên BM=CH và BM//CH(2)

Chứng minh tương tự, ta được ABHI là hình bình hành

Hai hình bình hành AKHC và ABHI có chung đường chéo Ah nên AH,BI,CK đồng quy tại trung điển O của mỗi đường

b) XétAMH có AD và MO là hai đường trung tuyến Gọi G là giao điểm của chúng suy ra GA=32 AD nên G là trọng tâm của ABC Vậy đường thẳng OM luôn đi qua một điểm cố định là trọng tâm G của ABC

Bài 60.

Cho hình bình hành ABCD, BD=3AD.Gọi M,N lần lượt là trung điểm của AB và CD.Trên BD lấy hai điểm E và F sao cho BE=EF=FD

a) Chứng minh rằng MENF là hình chữ nhật;

b) Hình bình hành ABCD phải có thêm điều kiện gì để MENF là hình vuông?

Giải:

a) BEM=DFN(c.g.c) ME=NF và góc E1 = góc F1  góc E2 = góc F2 

Mặt khác BD=3EF nên MN=EF

 hình bình hành MENF là hình chữ nhật

b) Hình chữ nhật MENF là hình vuông

Bài 61.

Cho tam giác ABC vuông tại A, cạnh bên bằng a Vẽ hình chữ nhật AEMF có chu vi bằng 2a và E AB;FAC

a) Hỏi điểm M di động trên đường nào?

cố định

Giải:

Vậy M di động trên cạnh huyền BC,

b) Vẽ hình vuông ABDC, D là một điểm cố định MNEF góc M1=góc E1( cặp góc có cạnh tương ứng vuông góc)

 góc M2 = góc E1 do đó góc M2 = góc M1, dẫn tới M,N,D thẳng hàng Vậy đường thẳng MN đi qua một điểm cố định là điểm D

Bài 85.

Cho tam giác ABC vuông góc tại A, AB = 8; BC=17.Trên BC lấy một điểm M.Vẽ hình bình hành ABMN Tính diện tích tứ giác ANCM

Giải:

2

8 15





ANCM

Bài 88.

CD) Cho biết AH=h,MN=a.Tính diện tích ngũ giác ABCDE

Giải:

BM//AC S ABC S AMC;