Phan loai giai toan vecto

VÏ ra phÝa ngoµi cña tam gi¸c c¸c h×nh b×nh hµnh ABIF, BCPQ, CARS.. M lµ trung ®iÓm cña BC..[r]

Hình học 10



Chơng I - Véc tơ

I Véc tơ:

1 Định nghĩa:

Véctơ là một đoạn thẳng có:

+ Một đầu đợc xác định là gốc, còn đầu kia là ngọn

+ Hớng từ gốc đến ngọn gọi là hớng của véctơ

+ Độ dài của đoạn thẳng gọi là độ dài của véctơ (Mô đun)

Véctơ có gốc A, ngọn B đợc kí hiệu là AB

; độ dài của AB kí hiệu là AB

Một véc tơ còn có kí hiệu bởi một chữ cái in thờng phía trên có mũi tên nh: a; b; c;

2 Véctơ không:

Véctơ không: 0 là véctơ có:

+ Điểm gốc và điểm ngọn trùng nhau

+ Độ dài bằng 0

+ Hớng bất kì

3 Hai véctơ cùng ph ơng:

Hai véctơ  AB CD; gọi là cùng phơng: kí hiệu //

//

A,B,C,D thẳng hàng

AB CD

AB CD 



 

4 Hai véctơ cùng h ớng:

Hai véctơ AB ; CD gọi là cùng hớng: kí hiệu











h ớng cùng CD AB, tia hai

CD //

AB CD AB

5 Hai véctơ ng ợc h ớng:

Hai véctơ AB ; CD gọi là ngợcchớng: kí hiệu











h ớng

ng ợc CD AB, tia hai

CD //

AB CD AB

6 Hai véctơ bằng nhau: Hai véctơ AB ; CD bằng nhau: kí hiệu















CD AB

CD

AB CD AB

7 Hai véctơ đối nhau: Hai véctơ AB ; CD đối nhau: kí hiệu















CD AB

CD

AB CD AB

8 Góc của hai véctơ:

Góc của hai véctơ AB ; CD là góc tạo bởi hai tia Ox; Oy lần lợt cùng hớng với hai tia AB; CD

+ Khi AB ; CD không cùng hớng thì o o

180 y

O ˆ x

0   + Khi AB ; CD cùng hớng thì x O ˆ y0 o

II Các phép toán véctơ:

1 Phép cộng véctơ:

Định nghĩa: Tổng của hai véctơ a ; b là một véctơ đợc xác định nh sau:

+ Từ một điểm O tùy ý trên mặt phẳng dựng véctơ OA  a

+ Từ điểm A dựng véctơ AB  b

+ Khi đó véctơ OB gọi là véctơ tổng hợp của hai véctơ a ; b: OBab

Hệ thức Chasles (Qui tắc ba điểm):

Với 3 điểm A, B, C bất kì, ta luôn luôn có: ABBCAC

(Hệ thức Chasles có thể mở rộng cho n điểm liên tiếp)

Phép cộng hai véctơ đồng qui (Qui tắc hình bình hành): ABADAC (với ABCD là hình bình hành)

Qui tắc trung điểm: Với điểm M tuỳ ý và I là trung điểm của AB ta luôn có: MA MB

2

1

MI 

Tính chất:

- Giao hoán: abba

- Kết hợp: abcabc

- Cộng với không: a0a

- Cộng với véctơ đối: a(a )0

2 Phép trừ véctơ: a ba(b )

Với a bc abc

Qui tắc ba điểm: Cho ba điểm O, A, B bất kì ta có: ABOB OA

3 Phép nhân một véctơ với một số thực:

a Định nghĩa: k . a là một véctơ:

- Với a0 ; k0thì véctơ k . a sẽ cùng phơng với a và sẽ:

+ Cùng hớng với a nếu k>0

+ Ngợc hớng với a nếu k<0

+ Có độ dài k a k a

- 0 . ak . 00

b Tính chất:

+) 1 aa ( 1 ) a  a +)m ( n a )( mn ) a +) ( mn ) am an a

+) m ( ab )m am b +) a ; b cùng phơng  ak b ( a0 )

4 Tỉ số của hai véctơ cùng ph ơng:

































b

a

k

b a nếu

0

k

b a nếu

0

k

k

b

a

b

//

a

phân loại bài tập về Véc tơ và các phép toán

Dạng 1 Chứng minh các đẳng thức véctơ

*Ph

ơng pháp:

+ Sử dụng qui tắc ba điểm (Chasles); hình bình hành; trung điểm

+ Vận dụng các các chứng minh đẳng thức: biến đổi VT thành VP và ng ợc lại; biến đổi hai vế cùng thành một đẳng thức; biến đổi đẳng thức đ cho thành một đẳng thức luôn đúng.ã

*Bài tập minh hoạ:

Bài 1 Cho 4 điểm A, B, C, D chứng minh rằng:

a.ABCDADCB b AB CDAC BD

c ABDCBDCA0 d ABCDBCDA0

Bài 2 Cho tam giác A, B, C G là trọng tâm của tam giác và M là một điểm tuỳ ý trong mặt phẳng CM:

a GBGBGC0 b MBMBMC3 MG

Bài 3 Cho hình bình hành ABCD tâm I AO a ; BO b

a Chứng minh rằng: ABAD2 AI

b Tính AC ; BD ; AB ; BC ; CD ; DA theo a ; b

Bài 4 Cho 6 điểm A, B, C, D, E, F Chứng minh rằng: AD BE CF    AE BF CD 

Bài 5 Cho tam giác ABC I là tâm đờng tròn nội tiếp tam giác CM: a IA b IB c IC   0

Bài 6 Cho hai tam giác ABC và A'B'C' Gọi G là trọng tâm của G và G' Chứng minh rằng:

AA BB CC  GG

Bài 7 Cho 4 điểm A, B, C, D; M, N lần lợt là trung điểm của AB, CD Chứng minh rằng:

4

AD BD AC BC    MN

Bài 8 Gọi O; H; G lần lợt là tâm đờng tròn ngoại tiếp, trực tâm; trọng tâm của tam giác ABC Chứng minh rằng:

a) HAHBHC2 HO b) HG  2 GO

Bài 9 Cho tam giác đều ABC tâm O M là một điểm tuỳ ý bên trong tam giác; D, E, F lần lợt là hình chiếu của nó trên

BC, CA, AB Chứng minh rằng: MO

2

3 MF ME

MD  

Bài 10 Cho tam giác ABC Vẽ ra phía ngoài của tam giác các hình bình hành ABIF, BCPQ, CARS Chứng mình:

0 PS

IQ

Bài 11 Cho 4 điểm A, B, C, D; I, F lần lợt là trung điểm của BC, CD CM: 2ABAIFADA3 DB

Bài 12 Cho tam giác ABC với G là trọng tâm; H là điểm đối xứng với B qua G CM:

3

1 AC

3

2

AH  ; AB AC

3

1

CH  

b M là trung điểm của BC CM: AB

6

5 AC 6 1

MH 

Dạng 2 Xác định điểm thoả mãn một đẳng thức véctơ

*Ph

ơng pháp chung:

+ Biến đổi đẳng thức đ cho về dạng: ã OM  a trong đó O và a đ biết.ã

+ Nếu muốn dựng điểm M, ta lấy O làm gốc dựng một véctơ bằng véctơ a Khi đó ngọn của véctơ này chính là điểm M

*Bài tập áp dụng:

Bài 1 Cho hai điểm A, B Xác định điểm M biết: 2 MA 3 MB0

Bài 2 Cho hai điểm A, B và một véc tơ v Xác định điểm M biết: MAMBv

Bài 3 Cho tam giác ABC Gọi M là trung điểm của AB và N là một điểm trên cạnh AC sao cho NC=2NA.

a Xác định điểm K sao cho: 3 AB2 AC 12 AK 0

b Xác định điểm D sao cho: 3 AB4 AC 12 KD0

Bài 4 Cho tam giác ABC

a Xác định điểm I sao cho: IA2 IB0

b Xác định điểm K sao cho: KA2 KBCB

c Xác định điểm M sao cho: MAMB2 MC0

Bài 5 Cho các điểm A, B, C, D, E Xác định các điểm O, I, K sao cho:

0 ) KE KD ( 3 KC

KB

KA

.

c

0 ID IC

IB

IA

.

b

0 OC 3 OB

2

OA

.

a

























Bài 6 Cho tam giác ABC Xác định vị trí điểm M sao cho: MAMB2 MC0

Bài 7 Cho tam giác ABC Xác định các điểm M, N sao cho:

a MA2 MB0 b.NA2 NBCB

Bài 8 Cho hình bình hành ABCD Xác định điểm M thoả m n: ã 3 AMABACAD

Bài 9 Cho tứ giác ABCD Xác định vị trí điểm O thoả m n: ã OAOBOCOD0

Bài 10 Cho tam giác ABC cố định Chứng minh aMA4 MB 5 MC không phụ thuộc vị trí của điểm M

Bài 11 Cho tứ giác ABCD Chứng minh chỉ có một điểm M thoả m n hệ thức: ã 2 MA3 MB 5 MCMD0

Dạng 3 Chứng minh ba điểm thẳng hàng

*Ph

ơng pháp chung:

Muốn chứng minh ba điểm A, B, C thẳng hàng, ta chứng minh: ABk AC ( kR ) Để chứng minh đợc

điều này ta có thể áp dụng một trong hai phơng pháp:

+ Cách 1: áp dụng các quy tắc biến đổi véctơ

+ Cách 2: Xác định hai véctơ trên thông qua tổ hợp trung gian

*Bài tập áp dụng:

Bài 1 Cho tam giác ABC Gọi I là trung điểm của BC; D và E là hai điểm sao cho: BDDEEC

a Chứng minh: ABACADAE

b Tính véctơ: ASABADACAE theo AI

c Suy ra ba điểm A, I, S thẳng hàng

Bài 2 Cho tam giác ABC Đặt ABu ; ACv

a Gọi P là điểm đối xứng với B qua C Tính AP theo u ; v?

b Qọi Q và R là hai điểm định bởi: AB

3

1 AR

; AC 2

1

AQ  Tính RP ; RQ theo u ; v

c Suy ra P, Q, R thẳng hàng

Bài 3 Cho tam giác ABC, trọng tâm G Lấy điểm I, J sao cho: 2 IA3 IC0, 2 JA5 JB3 JC0

a CMR: M, N, J thẳng hàng với M, N là trung điểm của AB và BC

b CMR: J là trung điểm của BI

Bài 4 Cho tam giác ABC, trọng tâm G Lấy các điểm I, J thoả m n: ã IA  2 IB; 3 JA2 JC0

Chứng minh IJ đi qua trọng tâm G của tam giác ABC

Bài 5 Cho tam giác ABC Lấy các điểm M, N, P thoả m n: ã MAMB0 ; 3 AN 2 AC0 ; PB2 PC

Chứng minh M, N, P thẳng hàng

Bài 6 Cho hình bình hành ABCD Lấy các điểm I, J thoả m n: ã 3 JA2 JC 2 JD0 ; JA 2 JB2 JC0

Chứng minh I, J, O thẳng hàng với O là giao điểm của AC và BD

Bài 7 Cho tam giác ABC Gọi O, G, H theo thứ tự là tâm đờng tròn ngoại tiếp, trọng tâm, trực tâm của tam giác ABC.

CMR: O, G, H thẳng hàng

Bài 8 Cho tam giác ABC Lấy các điểm M, N, P sao cho: MB 3 MC0, AN  3 NC, PAPB0

Chứng minh rằng M, N, P thẳng hàng

Dạng 4 Chứng minh hai điểm trùng nhau

*Ph

ơng pháp chung:

Để chứng minh M và M' trùng nhau, ta lựa chọn một trong hai hớng:

Cách 1: Chứng minh MM  ' 0

Cách 2: Chứng minh OM  OM ' với O là điểm tuỳ ý

*Bài tập áp dụng:

Bài 1 Cho tam giác ABC Lấy các điểm A 1BC ; B 1AC ; C 1AB sao cho: AA 1BB 1CC 1 Chứng minh rằng hai tam giác ABC và A1B1C1 có cùng trọng tâm

Bài 2 Cho tứ giác lồi ABCD Gọi M, N, P, Q lần lợt là trung điểm của AB, BC, CD, DA Chứng minh rằng hai tam giác

ANP và CMQ có cùng trọng tâm

Dạng 5 Quỹ tích điểm

*Ph

ơng pháp chung:

Đối với các bài toán quỹ tích, học sinh cần nhớ một số quỹ tích cơ bản sau:

- Nếu MA  MB với A, B cho trớc thì M thuộc đờng trung trực của đoạn AB

- Nếu MC  k AB với A, B, C cho trớc thì M thuộc đờng tròn tâm C, bán kính bằng k AB

- Nếu MA  k BC thì

+ M thuộc đờng thẳng qua A song song với BC nếu k  R

+ M thuộc nửa đờng thẳng qua A song song với BC và cùng hớng BC nếu kR

+ M thuộc nửa đờng thẳng qua A song song với BC và ngợc hớng BC nếu 

R k

*Bài tập áp dụng:

Bài 1 Cho tam giác ABC Tìm tập hợp những điểm M thoả m n: ã

a MB MC

2

3 MC MB

b MA3 MB 2 MC 2 MA MB MC

Bài 2 Cho tam giác ABC M là điểm tuỳ ý trong mặt phẳng.

a CMR: véctơ v3 MA 5 MB2 MC không đổi

b Tìm tập hợp những điểm M thoả m n: ã 3 MA2 MB 2 MC MB MC

trục toạ độ và hệ trục toạ độ



Phần 1 Trục toạ độ

Bài 1 Trên trục x'Ox cho 2 điểm A, B có tọa độ lần lợt là 2 và 5.

a/ Tìm tọa độ của 

AB.

b/ Tìm tọa độ trung điểm I của đoạn thẳng AB

c/ Tìm tọa độ của điểm M sao cho 2 

MA + 5MB = 0



d/ Tìm tọa độ điểm N sao cho 2NA + 3NB = 1

Bài 2 Trên trục x'Ox cho 3 điểm A, B, C có tọa độ lần lợt là a, b, c.

a/ Tìm tọa độ trung điểm I của AB

b/ Tìm tọa độ điểm M sao cho 

MA + MB  MC = 0 c/ Tìm tọa độ điểm N sao cho 2 

NA  3 

NB = 

NC

Bài 3 Trên trục x'Ox cho 2 điểm A, B có tọa độ lần lợt là 3 và 1.

a/ Tìm tọa độ điểm M sao cho 3MA  2MB = 1

c/ Tìm tọa độ điểm N sao cho NA + 3NB = AB

Bài 4 Trên trục x'Ox cho 4 điểm A (2) ; B(4) ; C(1) ; D(6)

a/ CMR :

AC

1

+

AD

1

=

AB 2

b/ Gọi I là trung điểm AB CMR: 2

IA ID

c/ Gọi J là trung điểm CD CMR: AC AD  AB AJ

phần 2 Hệ toạ độ đề các vuông góc



I Toạ độ véc tơ - Toạ độ điểm:

Bài 1 Biểu diễn véc tơ ux iy j biết a) u ( 2 ;5 ) b) u  ( 4 ; 0 )

Bài 2 Xác định toạ độ của véc tơ u biết: a) u 5 i 2 j b) u  3 i c)u 7 j

Bài 3 Xác định toạ độ và độ dài của véc tơ c biết

a) ca3 b; a ( 2 ; 1 ); b ( 3 ; 4 ) b) c a 5 b; a  ( 2 ; 3 ); b ( 3 ; 6 )

Bài 4 Cho ba điểm A(-1;1); B(1;3)

a) Xác định toạ độ của các véc tơ: AB ; BA b) Tìm toạ độ điểm M sao cho BM ( 3 ; 0 )

c) Tìm toạ độ điểm N sao cho NA ( 1 ; 1 )

II Biểu diễn Véc tơ:

Bài 1 Biểu diễn véc tơ c theo các véc tơ a ; b biết:

a) a ( 2 ; 1 ); b ( 3 ; 4 ); c ( 4 ; 7 ) b) a ( 1 ; 1 ); b ( 2 ; 3 ); c ( 1 ; 3 )

Bài 2 Cho bốn điểm A(1;1); B(2;-1); C(4;3); D(16;3) H y biểu diễn véc tơ ã AD theo các véc tơ AB;AC

Bài 3 Biểu diễn véc tơ c theo các véc tơ a ; b biết:

a) a ( 4 ; 3 ); b ( 2 ; 1 ); c ( 0 ; 5 ) b) a ( 4 ; 2 ); b ( 5 ; 3 ); c ( 2 ; 0 )

Bài 4 Cho bốn điểm A(0;1); B(2;0); C(-1;2); D(6;-4) H y biểu diễn véc tơ ã AD theo các véc tơ AB;AC

III Xác định điểm thoả mãn một đẳng thức véc tơ, độ dài:

Bài 1 Cho tam giác ABC với A(1;0); B(-3;-5); C(0;3)

a Xác định toạ độ điểm E sao cho AE  2 BC

b Xác định toạ độ điểm F sao cho AF=CF=5

c Tìm tập hợp điểm M biết: 2 ( MAMB ) 3 MC MB MC

Bài 2 Cho tam giác ABC với A(-1;3); B(2;4); C(0;1) Xác định toạ độ:

a) Trọng tâm G b) Véc tơ trung tuyến AA1 c) Tâm I của đờng tròn ngoại tiếp tam giác

d) Điểm D sao cho ABCD là hình bình hành

Bài 3 Cho M(1+2t; 1+3t) H y tìm điểm M sao cho ã 2

M

2

M y

x  nhỏ nhất

Bài 4 Cho tam giác ABC với A(4;6); B(1;4); C(7;

2

3

)

a CM: ABC vuông b Tìm toạ độ tâm đờng tròn ngoại tiếp ABC

c Tìm tập hợp các điểm M thoả m n: ã 2 MA2 MB 3 MC MA MC

Bài 5 Cho tam giác ABC với A(1;-2); B(0;4); C(3;2) Tìm toạ độ của:

a Trọng tâm G của tam giác b Véc tơ trung tuyến ứng với cạnh BC

c Điểm D sao cho ABCD là hình bình hành d Tâm I đờng tròn ngoại tiếp tam giác ABC.

e Điểm M biết: CM2 AB 3 AC f Điểm N biết: AN2 BN 4 CN0

Bài 6 Cho tam giác ABC với A(-3;6); B(1;-2); C(6;3) Tìm toạ độ của:

a Trọng tâm G b Tâm đờng tròn ngoại tiếp c Điểm M biết 2 AM 3 CMAB

Bài 7 Cho tam giác ABC với A(0;3); B(4;6); C(3;3).Tìm toạ độ điểm D sao cho ABCD là hình bình hành.

Bài 8 Cho điểm A(3;1)

a Tìm toạ độ các điểm B, C sao cho OABC là hình vuông và điểm B nằm trong góc phần t thứ nhất

b Viết phơng trình hai đờng chéo của hình vuông OABC

Bài 9 Cho M(1-2t; 1-3t) H y tìm điểm M sao cho ã 2

M

2

M y

x  nhỏ nhất

IV Véc tơ cùng ph ơng - Ba điểm thẳng hàng:

Bài 1 Cho A(0;4); B(3;2).

a Chứng minh A , B , C biết C(-6-3t;8+2t) b A, B, D không thẳng hàng biết D(3;0) Tính chu vi ABD

Bài 2 Cho A(2;1); B(6;-1) Tìm toạ độ:

a Điểm M trên trục hoành sao cho A,B,M thẳng hàng

b Điểm N trên trục tung sao cho A, B, N thẳng hàng

c Điểm P khác điểm B sao cho A, B, P thẳng hàng và PA  2 5

Bài 3(ĐHNN97): Cho A(1;1); B(3;3); C(2;0)

a Tính diện tích tam giác ABC B Tìm tất cả các điểm M trên trục Ox sao cho góc AMB nhỏ nhất

Bài 4 Tìm điểm P trên trục hoành sao cho tổng khoảng cách từ P tới A và B là nhỏ nhất, biết:

a) A(1;1) và B(2;-4) b) A(1;2) và B(3;4)

Bài 5 Cho M(4;1) và hai điểm A(a;0); B(0;b) với a,b>0 sao cho A,B,M thẳng hàng Xác định toạ độ A và B sao cho:

a Diện tích OAB lớn nhất b OA+OB nhỏ nhất c 2 2

OB

1 OA

1

 nhỏ nhất

Bài 6 Cho A(-1;-4); B(3;4) Tìm toạ độ:

a Điểm M trên trục hoành sao cho A,B,M thẳng hàng

b Điểm N trên trục tung sao cho A, B, N thẳng hàng

c Điểm P khác điểm B sao cho A, B, P thẳng hàng và PA  3 5

Bài 7: Cho A(1;3); B(3;1); C(2;4)

a Tính diện tích tam giác ABC B Tìm tất cả các điểm M trên trục Ox sao cho góc AMB nhỏ nhất

Bài 8 Tìm điểm P trên trục hoành sao cho tổng khoảng cách từ P tới A và B là nhỏ nhất, biết:

a) A(1;2) và B(3;4) b) A(1;1) và B(2;-5)

Bài 9 Tìm điểm P trên trục tung sao cho tổng khoảng cách từ P tới A và B là nhỏ nhất, biết:

a) A(1;1) và B(-2;-4) b) A(1;1) và B(3;-3)

Bài 10 Tìm điểm P trên đờng thẳng (d): x+y=0 sao cho tổng khoảng cách từ P tới A và B là nhỏ nhất, biết:

a) A(1;1) và B(-2;-4) b) A(1;1) và B(3;-2)

Bài 11 Cho M(1;4) và hai điểm A(a;0); B(0;b) với a,b>0 sao cho A,B,M thẳng hàng Xác định toạ độ A và B sao cho:

a Diện tích OAB lớn nhất b OA+OB nhỏ nhất c 2 2

OB

1 OA

1

 nhỏ nhất

Bài 12 Cho M(1;2) và hai điểm A(a;0); B(0;b) với a,b>0 sao cho A,B,M thẳng hàng Xác định toạ độ A và B sao cho:

a Diện tích OAB lớn nhất b OA+OB nhỏ nhất c 2 2

OB

1 OA

1

 nhỏ nhất

Bài tập tự luyện:

Bài 1 Viết tọa độ của các vectơ sau: a =i  3j , b =

2

1

i



+j ; c = i +

2

3

j



; d = 3i ; e = 4j

Bài 2 Viết dới dạng u = xi + yj , biết rằng:

u



= (1; 3) ; u = (4; 1) ; u = (0; 1) ; u = (1, 0) ; u = (0, 0)

Bài 3 Trong mp Oxy cho a = (1; 3) , b = (2, 0) Tìm tọa độ và độ dài của các vectơ:

a/ u = 3a  2b b/ v = 2a + b c/ w = 4a 

2

1

b



Bài 4 Trong mp Oxy cho A(1; 2) , B(0; 4) , C(3; 2)

a/ Tìm tọa độ của các vectơ 

AB, AC , 

BC b/ Tìm tọa độ trung điểm I của AB c/ Tìm tọa độ điểm M sao cho: 

CM = 2 

AB  3AC

d/ Tìm tọa độ điểm N sao cho: 

AN + 2 

BN  4 

CN = 0

Bài 5 Trong mp Oxy cho ABC có A (4; 3) , B(1; 2) , C(3; 2).

a/ CMR : ABC cân Tính chu vi ABC

b/ Tìm tọa độ điểm D sao cho tứ giác ABCD là hình bình hành

c/ Tìm tọa độ trọng tâm G của ABC

Bài 6 Trong mp Oxy cho ABC có A (0; 2) , B(6; 4) , C(1; 1).

a/ CMR : ABC vuông Tính diện tích ABC b/ Gọi D (3; 1) CMR : 3 điểm B, C, D thẳng hàng

c/ Tìm tọa độ điểm D để tứ giác ABCD là hình bình hành

Bài 7 Trong mp Oxy cho ABC có A (3; 6) , B(9; 10) , C(5; 4).

a/ CMR : A, B, C không thẳng hàng b/ Tìm tọa độ trọng tâm G của ABC

c/ Tìm tọa độ tâm I của đờng tròn ngoại tiếp ABC và tính bán kính đờng tròn đó

Bài 8 Trong mp Oxy cho A(3; 2) , B(4; 3) H y tìm trên trục hoành các điểm M sao cho ã ABM vuông tại M

Bài 9 Trong mp Oxy cho A(0; 1) , B(4; 5)

a/ H y tìm trên trục hoành 1 điểm C sao cho ã ABC cân tại C

b/ Tính diện tích ABC c/ Tìm tọa độ điểm D để tứ giác ABCD là hình bình hành

Bài 10 Trong mp Oxy cho A(2; 3) , B(1; 1) , C(6; 0)

a/ CMR : A, B, C không thẳng hàng b/ Tìm tọa độ trọng tâm G của ABC

c/ CMR : ABC vuông cân d/ Tính diện tích ABC

Chúc các em ôn tập tốt!

(Tóm lại là phải chăm chỉ nhiều vào mới có thể giỏi đợc!!!!)

Tích vô hớng

I Lí thuyết:

1 Định nghĩa: a ba b cosa , b

   

  o   o

o o

180 b , a 90 0 b , a cos

0

b

.

a

b a 90 b , a 0 b , a cos

0

b

.

a

90 b , a 0 0 b , a cos

0

b

.

a









































2 Tính chất:

a Giao hoán b Tính chất phân phối c

a

.

b

b

.

3 Biểu thức toạ độ của tích vô h ớng:

Nếu a ( x 1 ; y 1 ); b ( x 2 ; y 2 ) a b x 1 y 1x 2 y 2

4 Công thức hình chiếu:

a Nếu bốn điểm A, B, C, D cùng ở trên một trục thì: AB . CDAB . CD

b Nếu A', B' là hình chiếu của A, B lên giá của CD thì:

CD ' B ' A

CD

.

AB 

II Bài tập áp dụng:

Tính tích vô hớng

Bài 1 Cho tam giác đều ABC cạnh a, trọng tâm G.

a Tính các tích vô hớng AB CD ; AB BC b Gọi I là điểm thoả m n ã IA 2 IB4 IC0 Chứng minh rằng: BCIG là hình bình hành từ đó tính IAABAC; IB IC ; IA IB

Bài 2 Cho tam giác ABC cạnh a, b, c.

a Tính AB . AC từ đó suy ra: AB . ACBC . CACA . AB

b Gọi M là trung điểm BC, G là trọng tâm tam giác ABC Tính độ dài đoạn AM từ đó suy ra độ dài AG và cosin góc nhọn tạo bởi AG và BC

Bài 3 Cho hình vuông ABCD cạnh a, tâm O, M là điểm tuỳ ý trên đờng tròn nội tiếp hình vuông, N là điểm tuỳ ý trên

cạnh BC Tính:

a MA . MBMC . MD b.NA . NB c NO . BA

Bài 4 Cho ba véc tơ a ; b ; c thoả m n điều kiện ã a a ; b b ; c c và ab c0 Tính:

a c

b

b

a

A  

Bài 5 Cho tam giác đều ABC cạnh a, đờng cao AH

a Tính các tích vô hớng AB . HC b AB AC  2 ABBC

Bài 6 Cho tam giác ABC có AB=6, AC=8, BC=10

a Tính AB . AB b Trên AB lấy M sao cho AM=2; trên cạnh AC lấy N sao ch0o AN=4 Tính AM . AN

Bài 7 Cho hình thang vuông ABCD có đờng cao AB=2, đáy lớn BC=3; đáy nhỏ AD=2

Tính các tích vô hớng AB CD ; BD BC ; AC BD

Bài 8 Cho ba véc tơ a ; b ; c thoả m n điều kiện ã a 3 ; b 2 ; c 1 và ab c0 Tính:

a c

b

b

a

A  

Chứng minh đẳng thức về tích vô hớng hay về độ dài

Bài 9 Cho hai điểm A và B, O là trung điểm của AB và M là một điểm tuỳ ý Chứng minh rằng:

2

2 OA OM

MB

.

Bài 10 Cho MM là đờng kính của đờng tròn tâm O, bán kính R A là điểm cố định và OA=d Giả sử AM cắt (O) tại N